On one approach to definition of singular differential operators

0.16 MB·

by  A. A. Vladimirov

УДК 517.984
Об одном подходе к определению сингулярных
дифференциальных операторов
А.А. Владимиров
Аннотация: На основе представления о тройках банаховых пространств
даётся определение и характеризация основных свойств широкого класса
7 граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений произ-
1
вольного (в том числе нечётного) порядка с сингулярными коэффициентами.
0
2

n
a
J §1. Введение

7
2
1. В работе [1] была указана конструкция, позволяющая дать корректное

] определение ряда граничных задач для дифференциальных уравнений вида
P
S
n
.
h (−1)n−k(p y(n−k))(n−k) = f
k
t
a k=0
m X
[ с сингулярными коэффициентами p ∈ W−k[0,1]. В случае n = 2 при этом было
k 2

1 показано, что действие соответствующих неограниченных операторов в пространстве
v
L [0,1] допускает описание посредством систем обычных дифференциальных уравнений
7 2
1 для абсолютно непрерывных функций. Применительно к задачам более высоких
0 порядков аналогичныепредставления явнымобразомнеуказывались,хотявозможность
8
такого указания в свете развитой теории была совершенно прозрачной. Значимость
0
. конструкции из [1] может быть продемонстрирована, например, развитым на её основе
1
0 в работе [2] простым подходом к изучению осцилляционных свойств собственных
7
функций сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов — включая
1
: ряд так называемых «многоточечных» задач, рассмотрение которых ранее обычно
v
i проводилось с использованием весьма трудоёмких косвенных методов (см. имеющиеся
X
в [2] ссылки).
r
a Идеологические основы подхода работы [1] были заложены в более ранней работе[3],
где схожим способом изучались дифференциальные уравнения второго порядка.
В последнее время интерес к этой тематике возобновился. Так, в работе [4] были —
вне связи с подходом работы [1] — предложены регуляризованные представления
для формально несколько более широкого, нежели рассмотренный в [1], класса
дифференциальных уравнений чётного порядка. Поэтому представляется не лишённым
интереса вопрос о расширении границ применения использованной в [1] методики.
Характеризации некоторых возможных направлений такого расширения и посвящается
настоящая статья.
2. Структура статьи имеет следующий вид. В §2 даётся определение и указываются
важнейшие свойства вспомогательных функциональных пространств, используемых
далее при описании основных объектов изучения. В §3 непосредственно определяются
Работа поддержана РФФИ, грант №16-01-00706.
1
и исследуются операторы, отвечающие допустимым в рамках развиваемой теории
граничным задачам для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициен-
тами. Наконец, в §4 приводятся примеры приложения развитой теории к ряду
конкретных ситуаций.
Все рассматриваемые далее линейные пространства предполагаются комплексными.
Наименьшим натуральным числом на всём протяжении статьи считается 0.
§2. Квазидифференциальные пространства Соболева
1. Пусть A — такая система функций класса L [0,1], что для каждой пары
1
натуральных индексов i и j 6 i+1 найдётся соответствующая ей функция A ∈ L [0,1].
ij 1
Символом Cn[0,1] мы далее будем обозначать подпространство в пространстве
A
{C[0,1]}n+1 непрерывных вектор-функций с n+1 компонентами, выделенное системой
понимаемых в смысле обобщённого дифференцирования уравнений
i+1
(1) Y′ = A Y , i < n.
i ij j
j=0
X
Символом Wn [0,1], где n > 0 и s ∈ [1,∞), мы будем обозначать результат пополнения
s,A
пространства Cn[0,1] по норме
A
n−1 1 1/s
kYk ⇋ kY k + |A |·|Y |sdx .
Wn [0,1] i C[0,1] n−1,n n
s,A
i=0 (cid:18)Z0 (cid:19)
X
◦ ◦
Наконец, символами Cn[0,1] и Wn [0,1] мы будем обозначать подпространства,
A s,A
получаемые замыканием в пространствах Cn[0,1] и Wn [0,1], соответственно, множеств
A s,A
принадлежащих этим пространствам финитных на интервале (0,1) вектор-функций.
Тривиальным образом имеет место следующий факт:
1.1. Если при каждом i < n первообразная функции |A | строго монотонна,
i,i+1
то естественное вложение Y 7→ Y пространства Wn [0,1] в пространство C[0,1]
0 1,A
является инъективным.
◦
Обычные соболевские пространства Wn[0,1] и Wn[0,1], где s ∈ [1,∞), в рамках
s s
изложенной конструкции отвечают (с точностью до выбора эквивалентной нормы)
ситуации
1 при j = i+1,
A (x) ≡
ij
0 иначе.
n
2. Обозначим символом M решение понимаемой в смысле обобщённого дифферен-
n
цирования начальной задачи
inf{n−1,i+1}
1 при i = j,
(M )′ = A ·(M ) , (M ) (0) =
n ij ik n kj n ij 0 иначе,
k=0 (cid:26)
X
где каждый из индексов i и j пробегает промежуток {0,...,n−1}. Очевидным образом,
каждая из функций (M ) принадлежит классу W1[0,1]. Сопоставляя в каждой точке
n ij 1
x ∈ [0,1] имеющей размер n × n матрице элементов (M ) (x) обратную матрицу
n ij
2
элементов (M−1) (x), получаем набор также принадлежащих классу W1[0,1] функций
n ij 1
(M−1) . При этом всякая вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] восстанавливается по своей
n ij 1,A
последней компоненте согласно правилам
n−1 x
(1) Y (x) = (M ) (x)· Y (0)+ A (t)·(M−1) (t)Y (t)dt , i < n.
i n ij j n−1,n n j,n−1 n
j=0 (cid:20) Z0 (cid:21)
X
2.1.Пусть при некотором n > 0 первообразная функции |A | строго монотонна.
n−1,n
Тогда естественное вложение пространства Cn[0,1] в пространство Cn−1[0,1] имеет
A A
плотный образ.
Доказательство. Зафиксируем произвольную вектор-функцию Y ∈ Cn−1[0,1] и
A
поставим ей в соответствие вектор-функцию Φ ∈ {C[0,1]}n вида
x inf{n−1,i+1}
Φ (x) ≡ Y (x)− A (t)Y (t) dt, i < n.
i i ij j
 
Z0 j=0
X
 
Зафиксируем также последовательность {Y }∞ вектор-функций класса Cn[0,1],
α α=0 A
удовлетворяющих при i < n равенствам (Y ) (0) = Y (0) и таких, что первообразные
α i i
суммируемыхфункцийA ·(Y ) равномерностремятсяприα → ∞кфункцииΦ .
n−1,n α n n−1
Из представления (1) и соотношений (M−1) ∈ W1[0,1] тогда немедленно вытекает
n j,n−1 1
факт равномерной сходимости функциональных последовательностей {(Y ) }∞ , где
α i α=0
i < n. Тривиальные тождества
x x n−1
Y (0)+ A (t)(Y ) (t)dt = (Y ) (x)− A (t)(Y ) (t) dt
n−1 n−1,n α n α n−1 n−1,j α j
 
Z0 Z0 j=0
X
 
вместе с известными общими свойствами интегральных уравнений первого рода озна-
чают теперь, что пределом последовательности образов вектор-функций Y ∈ Cn[0,1]
α A
является в точности исходная вектор-функция Y ∈ Cn−1[0,1]. (cid:3)
A
2.2.Пусть при некотором n > 0 первообразная функции |A | строго монотонна,
n−1,n
а набор суммируемых функций {f }n удовлетворяет тождеству
j j=0
n 1
◦
(2) (∀Y ∈ Cn[0,1]) f Y dx = 0.
A j j
j=0Z0
X
Тогда существует функция h ∈ W1[0,1], при почти всех x ∈ [0,1] удовлетворяющая
1
равенствам f (x) = A (x)h(x). При этом справедливо также тождество
n n−1,n
n−1 1
◦
(∀Y ∈ Cn−1[0,1]) g Y dx = 0,
A j j
j=0Z0
X
где положено
f −A h, при j < n−1,
g ⇋ j n−1,j
j f −A h−h′, при j = n−1.
n−1 n−1,n−1
(cid:26)
3
Доказательство. С учётом представления (1), заведомо найдётся функция
ϕ ∈ W1[0,1], удовлетворяющая тождеству
1
◦ 1
(∀Y ∈ Cn[0,1]) [f +A ϕ]Y dx = 0.
A n n−1,n n
Z0
Функция f + A ϕ ∈ L [0,1] при этом заведомо принадлежит линейной оболочке
n n−1,n 1
набора {A ·(M−1) }n−1, что автоматически означает существование функции
n−1,n n j,n−1 j=0
h ∈ W1[0,1] с требуемым свойством. Выражая теперь, с использованием определе-
1
ния 1(1), в тождестве (2) суммируемую функцию A Y через функции набора
n−1,n n
{Y }n−1 и интегрируя по частям, убеждаемся в справедливости соотношения
i i=0
n−1 1
◦
(∀Y ∈ Cn[0,1]) g Y dx = 0.
A j j
j=0Z0
X
Учёт утверждения 2.1 завершает доказательство. (cid:3)
3. Символом Y∧ ∈ C2n, где Y ∈ Wn [0,1],мы далее будем обозначать вектор гранич-
1,A
ных значений
Y (0) при k < n,
Y∧ ⇋ k
k Y (1) иначе.
k−n
(cid:26)
На основе произвольно фиксированной матрицы U ∈ C2n×2n могут быть определены
подпространства Cn [0,1] и Wn [0,1], выделенные, соответственно, внутри Cn[0,1] и
A,U s,A,U A
Wn [0,1] системой граничных условий UY∧ = 0.
s,A
На указанных подпространствах могут быть заданы полулинейные функционалы
вида
n 1
f Y dx при Y ∈ Cn [0,1],
i i A,U
(1) hF,Yi ≡ Xi=0 Z0
n−1 1 1

 f Y dx+ |A |1/sf Y dx при Y ∈ Wn [0,1],
i i n−1,n n n s,A,U
i=0 Z0 Z0
X


где f ∈ L [0,1]. В случае рассмотрения пространства Wn [0,1] здесь дополнительно
i 1 s,A,U
предполагается, что выполнено условие f ∈ L [0,1], причём для почти любого
n s/(s−1)
x ∈ [0,1] из равенства A (x) = 0 следует равенство f (x) = 0. Первообразные
n−1,n n
всех функций |A |, где i < n, мы на протяжении настоящего пункта считаем строго
i,i+1
монотонными. Из представления 2(1) немедленно вытекает, что всякий функционал
вида (1) может быть переписан в форме
1 n−1
gY dx+ µ Y (0) при Y ∈ Cn [0,1],
n i i A,U
(2) hF,Yi ≡ Z01 Xi=0 n−1
 |A |1/sgY dx+ µ Y (0) при Y ∈ Wn [0,1],
n−1,n n i i s,A,U
Z0 i=0
 X


гдеg ∈ L [0,1]вслучаепространства Cn [0,1],иg ∈ L [0,1]вслучаепространства
1 A,U s/(s−1)
Wn [0,1]. Из того же представления легко получается, что всякий функционал
s,A,U
4
вида (2) допускает обратную перезапись в форме (1). Сказанное означает замкнутость
линейного множества функционалов вида (1) в сопряжённом к рассматриваемому
пространстве. Из известной теоремы об общем виде полулинейного непрерывного
функционала на лебеговском пространстве легко выводится также, что в случае
пространства Wn [0,1] множество функционалов вида (1) в точности совпадает с
s,A,U
сопряжённым пространством.
Пространство заданных на Cn [0,1] функционалов вида (1) мы будем далее обоз-
A,U
начать символом W−n [0,1]. Аналогичным образом, пространство таких функциона-
1,A,U
лов, заданных на Wn [0,1], мы будем обозначать символом W−n [0,1].
s,A,U s/(s−1),A,U
§3. Сингулярные дифференциальные операторы
1. Пусть B — система функций, обладающая аналогичными системе A свойствами
и такая, что при почти всех x ∈ [0,1] равенства A (x) = 0 и B (x) = 0
n−1,n m−1,m
равносильны. Пусть также зафиксирован параметр s ∈ [1,+∞), две матрицы
V ∈ C2m×2m, Q ∈ C2m×2n и система функций со следующими свойствами:
• p ,p−1 ∈ L [0,1].
nm nm ∞
• p ∈ L [0,1] при i < n, причём в случае s 6= 1 для почти любого x ∈ [0,1] из
im s/(s−1)
равенства B (x) = 0 следует равенство p (x) = 0.
m−1,m im
• p ∈ L [0,1] при j < m, причём для почти любого x ∈ [0,1] из равенства
nj s
A (x) = 0 следует равенство p (x) = 0.
n−1,n nj
• p ∈ L [0,1] при i < n и j < m.
ij 1
Тогда может быть задан ограниченный оператор T:Wn [0,1] → W−m [0,1] вида
s,A,U s,B,V
1
(1) hTY,Zi ≡ |A |1/s ·|B |(s−1)/sp Y Z dx+
n−1,n m−1,m nm n m
Z0
n−1 1 m−1 1
+ |B |(s−1)/sp Y Z dx+ |A |1/sp Y Z dx+
m−1,m im i m n−1,n nj n j
i=0 Z0 j=0 Z0
X X
n−1m−1 1
+ p Y Z dx+hQY∧,Z∧i.
ij i j
i=0 j=0 Z0
X X
1.1. Всякий оператор T вида (1) фредгольмов индекса n−m−rankU +rankV.
Доказательство. Справедливость доказываемого утверждения легко устана-
вливается на основе представления §2.2(1), а также факта наличия у оператора
Tˆ:L ([0,1]; |A |) → L ([0,1]; |B |) вида
s n−1,n s m−1,m
1/s
A
Tˆy ⇋ n−1,n p y
nm
B
(cid:12) m−1,m(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
обратного с оценкой нормы vrai sup (cid:12) |p−1((cid:12)x)|. (cid:3)
x∈[0,1] nm
2. Результаты предыдущего параграфа показывают,чтовслучае строгоймонотонно-
сти первообразных функций |B | уравнения TY = F допускают эквивалентную
j,j+1
5
запись в форме граничных задач для систем дифференциальных уравнений для абсо-
лютно непрерывных функций. А именно, для искомого решения Y ∈ Wn [0,1] с
s,A,U
очевидностью могут быть определены квазипроизводные y[i] ⇋ Y ∈ W1[0,1], где i < n,
i 1
удовлетворяющие системе уравнений
i+1
(1) (y[i])′ = A y[j], i < n−1.
ij
j=0
X
Далее, из утверждения §2.2.2 вытекает существование квазипроизводной y[n] ∈ W1[0,1],
1
удовлетворяющей соотношению
n−1
B
(2) |A |1/sY = p−1 · m−1,m ·y[n] − p y[i] +f ,
n−1,n n nm |B |(s−1)/s im m
" m−1,m #
i=0
X
а тогда и уравнению
n−1 p−1p A
(3) (y[n−1])′ = A − nm im n−1,n ·y[i] +
n−1,i
|A |1/s
i=0 (cid:20) n−1,n (cid:21)
X
p−1A B p−1A f
+ nm n−1,n m−1,m ·y[n] + nm n−1,n m.
|A |1/s|B |(s−1)/s |A |1/s
n−1,n m−1,m n−1,n
Наконец, утверждение §2.2.2 вместе с соотношением (2) означают существование
квазипроизводных y[n+m−j−1] ∈ W1[0,1], где j < m−1, подчиняющихся уравнениям
1
n−1
(4) (y[n+m−j−1])′ = p −p−1p p ·y[i] +
ij nm im nj
i=0
X(cid:2) (cid:3)
B
+ p−1 · m−1,m ·p −B ·y[n] −
nm |B |(s−1)/s nj m−1,j
(cid:20) m−1,m (cid:21)
m−1
− B y[n+m−k] −f +p−1p f , j < m.
k−1,j j nm nj m
k=sup{j,1}
X
При этом, очевидным образом, оказывается справедливым тождество
hTY −F,Zi ≡ hQY∧ −Y∨,Z∧i,
где положено
y[n+m−k−1](0) при k < m,
Y∨ ⇋
k −y[n+2m−k−1](1) иначе.
(cid:26)
Соответственно, исходное уравнение TY = F равносильно системе дифференциальных
уравнений (1), (3) и (4), рассмотренной совместно с набором граничных условий
UY∧ = 0, QY∧ −Y∨ ∈ imV∗.
3. Пусть теперь для рассматриваемых пространств Wn [0,1]и W−m [0,1],а также
s,A,U s,B,V
некоторого гильбертова пространства H, зафиксированы вложения I:Wn [0,1] → H
s,A,U
6
и J:H → W−m [0,1]. В этом случае оператор T задаёт на пространстве H линейное
s,B,V
отношение T• ⇋ J−1TI−1 с графиком
{(y,z) ∈ H×H : (∃Y ∈ Wn [0,1]) (IY = y)&(TY = Jz)}.
s,A,U
Если при некотором λ ∈ C оператор T − λJI является ограниченно обратимым, то
очевидным образом определена также и ограниченная резольвента
(1) (T• −λ)−1 = I ·(T −λJI)−1J.
Соответственно, график отношения T• в этом случае заведомо замкнут. Если
дополнительно резольвента (1) инъективна и имеет плотный образ, то отношение T•
представляет собой оператор с плотной областью определения.
3.1. Если вложения I:Wn [0,1] → H и J:H → W−m [0,1] инъективны и име-
s,A,U s,B,V
ют плотные образы, то допускающая представление (1) резольвента отношения T•
также инъективна и имеет плотный образ.
3.2. Пусть вложение J:H → W−m [0,1] инъективно, и пусть для некоторого
s,B,V
ограниченного оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1]вслучае s = 1 или K:Wn [0,1] →
1,A,U B,V s,A,U
Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi. Пусть
s/(s−1),B,V
также равенство hTY,KYi = 0 возможно лишь в случае Y = 0. Тогда линейное
отношение T• представляет собой оператор. Если при этом индекс оператора T равен
нулю, то существует ограниченный оператор T−1, а область определения оператора
T• плотна в H.
Доказательство. Если пара (0,z) ∈ H×H принадлежит графику отношения T•,
то должна существовать вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойствами TY = Jz и
s,A,U
IY = 0. При этом, однако, должны выполняться также равенства
hTY,KYi = hJz,KYi
= hz,IYi
= 0,
согласно сделанным предположениям гарантирующие справедливость равенства Y = 0,
а потому и равенства z = 0.
Далее, всякая вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойством TY = 0 заведомо
s,A,U
удовлетворяет равенству hTY,KYi = 0, а потому является нулевой. Соответственно,
факт ограниченной обратимости оператора T в случае равенства его индекса нулю
немедленно вытекает из альтернативы Фредгольма.
Наконец, если вектор z ∈ H ортогонален образу оператора IT−1J, то должны быть
справедливы равенства
0 = hz,IT−1Jzi
= hJz,KT−1Jzi
= hT ·[T−1Jz],K ·[T−1Jz]i,
согласно сделанным предположениям гарантирующие выполнение равенства T−1Jz = 0,
а потому и равенства z = 0. (cid:3)
7
3.3. Пусть для некоторого ограниченного оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1]
1,A,U B,V
в случае s = 1 или K:Wn [0,1] → Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо
s,A,U s/(s−1),B,V
тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi, и пусть числовая область значений оператора K∗T
включается в некоторый сектор комплексной плоскости, имеющий вершиной точку
0. Тогда числовая область значений отношения T• включается в тот же сектор.
Доказательство. Если пара (y,z) ∈ H × H принадлежит графику отношения
T•, то должна существовать вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойствами IY = y и
s,A,U
TY = Jz. Выполняющиеся при этом равенства
hz,yi = hJz,KYi
= hTY,KYi
как раз и гарантируют справедливость доказываемого утверждения. (cid:3)
3.4. Пусть вложение I:Wn [0,1] → H инъективно, для некоторого ограниченного
s,A,U
оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1] в случае s = 1 или K:Wn [0,1] →
1,A,U B,V s,A,U
Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi, а оператор
s/(s−1),B,V
K∗T является симметрическим. Тогда при любом невещественном λ ∈ C оператор
T − λJI, если является фредгольмовым с нулевым индексом, обладает ограниченным
обратным.
Доказательство. В рассматриваемом случае для всякой вектор-функции
Y ∈ Wn [0,1] справедливо равенство
s,A,U
Imh(T −λJI)Y,KYi = −Imλ·kIYk2.
Соответственно,уравнение(T−λJI)Y = 0неможетиметьнетривиальных решений, что,
согласно альтернативе Фредгольма, как раз и означает справедливость доказываемого
утверждения. (cid:3)
Отметим взаключение, что,согласно утверждению §2.1.3работы[5],в случаеинъек-
тивности и плотности вложений I:Wn [0,1] → H и J:H → W−m [0,1], а также
s,A,U s,B,V
непустоты резольвентного множества пучка T♮:λ 7→ T − λJI, спектр оператора T• в
точности совпадает со спектром пучка T♮.
§4. Примеры
1. В качестве первого примера рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального
уравнения
(py′′)′′ −(q′y′)′ +r′′y = f ∈ L [0,1],
2
где p,p−1 ∈ L [0,1] и q,r ∈ L [0,1] (классический случай, когда коэффициенты p, q′
∞ 2
и r′′ предполагаются гладкими, связан с существенно более сильными ограничениями).
◦ ◦
Этой задаче отвечает оператор T:W2[0,1] → W−2[0,1] вида
2 2
1
hTy,zi ≡ (py′′ −qy′ +ry)z′′ +(−qy′′ +2ry′)z′ +ry′′z dx.
Z0
(cid:2) (cid:3)
8
Данный оператор имеет форму §3.1(1), и потому уравнение T•y = f для соответ-
ствующего неограниченного оператора в пространстве L [0,1] равносильно граничной
2
задаче
(y[0])′ = y[1],
(y[1])′ = −p−1ry[0] +p−1qy[1] +p−1y[2],
(y[2])′ = p−1qry[0] +(2r−p−1q2)y[1] −p−1qy[2] −y[3],
(y[3])′ = −p−1r2y[0] +p−1qry[1] +p−1ry[2] −f,
y[0](0) = y[1](0) = y[0](1) = y[1](1) = 0.
Указанная система уравнений, ожидаемым образом, в точности совпадает с системой из
леммы 2 работы [1].
Развитая выше теория, однако, может быть приложена и к случаю коэффициентов
существенноболееширокоговида.Вчастности,пустькоэффициент p−1 естьобобщённая
производная некоторой строго возрастающей функции H ∈ C[0,1], коэффициент q
принадлежит классу L ([0,1]; H′), а коэффициент r — классу L ([0,1]; H′) ∩ L [0,1].
2 2 1
Тогда могут быть введены в рассмотрение функции ξ,η ∈ W1[0,1] со свойствами
1
x+H(x)−H(0) x+H(x)−H(0)
ξ ≡ x, η ≡ H(x),
1+H(1)−H(0) 1+H(1)−H(0)
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
а также связанная с ними система суммируемых функций
ξ′ при i = 0, j = 1,
A ⇋ η′ при i = 1, j = 2,
ij
(
0 иначе.
Рассматриваемая задача получит при этом трактовку T•y = f, где действующий в
пространстве L [0,1] неограниченный оператор T• = (I∗)−1TI−1 строится на основе
2
◦
инъективного вложения I:W2 [0,1] → L [0,1] вида
2,A 2
x+H(x)−H(0)
[IY](x) ≡ Y
0
1+H(1)−H(0)
(cid:18) (cid:19)
◦ ◦
и оператора T:W2 [0,1] → W−2[0,1] вида
2,A 2,A
1
hTY,Zi ≡ η′ ·(Y −σY +ρY )Z +(−η′σY +2ξ′ρY )Z +η′ρY Z dx,
2 1 0 2 2 1 1 2 0
Z0
(cid:2) (cid:3)
где положено σ ⇋ q ◦ ξ и ρ ⇋ r ◦ ξ. Результаты предыдущего параграфа позволяют
теперь представить исходную задачу в форме
(y[0])′ = ξ′y[1],
(y[1])′ = −η′ρy[0] +η′σy[1] +η′y[2],
(y[2])′ = η′σρy[0] +(2ξ′ρ−η′σ2)y[1] −η′σy[2] −ξ′y[3],
(y[3])′ = −η′ρ2y[0] +η′σρy[1]+η′ρy[2] −f ◦ξ,
y[0](0) = y[1](0) = y[0](1) = y[1](1) = 0,
9
где y[0] = y ◦ξ.
2. В качестве второго примера возьмём задачу периодического типа для дифферен-
циального уравнения третьего порядка
(1) −iy′′′ −(py′)′ +q′y = f ∈ L [0,1],
2
где p,q ∈ L [0,1]. В случае задач нечётного порядка естественным является рассмо-
1
трение ситуации s = 1, в отличие от типичного для чётного случая равенства s = 2.
Соответственно, свяжем с задачей пару пространств
W2 ⇋ {y ∈ W2[0,1] : y(1)−y(0) = y′(1)−y′(0) = 0},
1,A,U 1
C1 ⇋ {y ∈ C1[0,1] : y(1)−y(0) = 0}.
B,V
Умножая обе стороны уравнения (1) на компоненту Z произвольной вектор-функции
0
Z ∈ C1 [0,1], интегрированием по частям убеждаемся в справедливости равенства
B,V
T•y = f, где отношение T• отвечает оператору T:W2 [0,1] → W−1 [0,1] вида
1,A,U 1,B,V
1
hTY,Zi ≡ (iY +pY −qY )Z −qY Z dx.
2 1 0 1 1 0
Z0
(cid:2) (cid:3)
Результаты предыдущего параграфа дают теперь для уравнения T•y = f эквивалентное
представление
(y[0])′ = y[1],
(y[1])′ = −iqy[0] +ipy[1] −iy[2],
(y[2])′ = −qy[1] −f,
y[0](1)−y[0](0) = y[1](1)−y[1](0) = y[2](1)−y[2](0) = 0.
На основе утверждений §3.3.3 и §3.3.4, с учётом наличия ограниченного вложения
пространства W2 [0,1] в пространство C1 [0,1], легко показывается также, что в
1,A,U B,V
случае вещественнозначности коэффициентов p,q ∈ L [0,1] неограниченный оператор
1
T• является самосопряжённым.
3. Вкачестве последнего примера рассмотрим задачу Дирихле для исследовавшегося
в работах [6] и [7] уравнения
d dy
− = f ∈ L ([0,1]; G′),
2
dG dH
(cid:18) (cid:19)
гдеH ∈ C[0,1]естьнекотораянеубывающаяфункциясосвойствамиH(0) = H(1)−1 = 0,
а неубывающая функция G ∈ C[0,1] допускает представление G(x) ≡ N(H(x)). В этом
случае решение задачи заведомо может быть записано в виде y = Iu, где вложение
◦
I:W1[0,1] → L ([0,1]; G′) — вообще говоря, не инъективное — подчиняется тождеству
2 2
[Iu](x) ≡ u(H(x)). Кроме того, заведомо найдётся функция g ∈ L ([0,1]; N′), для
2
которойкомпозиция g◦H будетсовпадатьвпространствеL ([0,1]; G′)сисходнойправой
2
частью f, а потому и подчиняться тождеству
1
◦
(∀v ∈ W1[0,1]) hI∗f,vi = gvdN.
2
Z0
10