УДК 517.984 Об одном подходе к определению сингулярных дифференциальных операторов А.А. Владимиров Аннотация: На основе представления о тройках банаховых пространств даётся определение и характеризация основных свойств широкого класса 7 граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений произ- 1 вольного (в том числе нечётного) порядка с сингулярными коэффициентами. 0 2 n a J §1. Введение 7 2 1. В работе [1] была указана конструкция, позволяющая дать корректное ] определение ряда граничных задач для дифференциальных уравнений вида P S n . h (−1)n−k(p y(n−k))(n−k) = f k t a k=0 m X [ с сингулярными коэффициентами p ∈ W−k[0,1]. В случае n = 2 при этом было k 2 1 показано, что действие соответствующих неограниченных операторов в пространстве v L [0,1] допускает описание посредством систем обычных дифференциальных уравнений 7 2 1 для абсолютно непрерывных функций. Применительно к задачам более высоких 0 порядков аналогичныепредставления явнымобразомнеуказывались,хотявозможность 8 такого указания в свете развитой теории была совершенно прозрачной. Значимость 0 . конструкции из [1] может быть продемонстрирована, например, развитым на её основе 1 0 в работе [2] простым подходом к изучению осцилляционных свойств собственных 7 функций сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов — включая 1 : ряд так называемых «многоточечных» задач, рассмотрение которых ранее обычно v i проводилось с использованием весьма трудоёмких косвенных методов (см. имеющиеся X в [2] ссылки). r a Идеологические основы подхода работы [1] были заложены в более ранней работе[3], где схожим способом изучались дифференциальные уравнения второго порядка. В последнее время интерес к этой тематике возобновился. Так, в работе [4] были — вне связи с подходом работы [1] — предложены регуляризованные представления для формально несколько более широкого, нежели рассмотренный в [1], класса дифференциальных уравнений чётного порядка. Поэтому представляется не лишённым интереса вопрос о расширении границ применения использованной в [1] методики. Характеризации некоторых возможных направлений такого расширения и посвящается настоящая статья. 2. Структура статьи имеет следующий вид. В §2 даётся определение и указываются важнейшие свойства вспомогательных функциональных пространств, используемых далее при описании основных объектов изучения. В §3 непосредственно определяются Работа поддержана РФФИ, грант №16-01-00706. 1 и исследуются операторы, отвечающие допустимым в рамках развиваемой теории граничным задачам для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициен- тами. Наконец, в §4 приводятся примеры приложения развитой теории к ряду конкретных ситуаций. Все рассматриваемые далее линейные пространства предполагаются комплексными. Наименьшим натуральным числом на всём протяжении статьи считается 0. §2. Квазидифференциальные пространства Соболева 1. Пусть A — такая система функций класса L [0,1], что для каждой пары 1 натуральных индексов i и j 6 i+1 найдётся соответствующая ей функция A ∈ L [0,1]. ij 1 Символом Cn[0,1] мы далее будем обозначать подпространство в пространстве A {C[0,1]}n+1 непрерывных вектор-функций с n+1 компонентами, выделенное системой понимаемых в смысле обобщённого дифференцирования уравнений i+1 (1) Y′ = A Y , i < n. i ij j j=0 X Символом Wn [0,1], где n > 0 и s ∈ [1,∞), мы будем обозначать результат пополнения s,A пространства Cn[0,1] по норме A n−1 1 1/s kYk ⇋ kY k + |A |·|Y |sdx . Wn [0,1] i C[0,1] n−1,n n s,A i=0 (cid:18)Z0 (cid:19) X ◦ ◦ Наконец, символами Cn[0,1] и Wn [0,1] мы будем обозначать подпространства, A s,A получаемые замыканием в пространствах Cn[0,1] и Wn [0,1], соответственно, множеств A s,A принадлежащих этим пространствам финитных на интервале (0,1) вектор-функций. Тривиальным образом имеет место следующий факт: 1.1. Если при каждом i < n первообразная функции |A | строго монотонна, i,i+1 то естественное вложение Y 7→ Y пространства Wn [0,1] в пространство C[0,1] 0 1,A является инъективным. ◦ Обычные соболевские пространства Wn[0,1] и Wn[0,1], где s ∈ [1,∞), в рамках s s изложенной конструкции отвечают (с точностью до выбора эквивалентной нормы) ситуации 1 при j = i+1, A (x) ≡ ij 0 иначе. n 2. Обозначим символом M решение понимаемой в смысле обобщённого дифферен- n цирования начальной задачи inf{n−1,i+1} 1 при i = j, (M )′ = A ·(M ) , (M ) (0) = n ij ik n kj n ij 0 иначе, k=0 (cid:26) X где каждый из индексов i и j пробегает промежуток {0,...,n−1}. Очевидным образом, каждая из функций (M ) принадлежит классу W1[0,1]. Сопоставляя в каждой точке n ij 1 x ∈ [0,1] имеющей размер n × n матрице элементов (M ) (x) обратную матрицу n ij 2 элементов (M−1) (x), получаем набор также принадлежащих классу W1[0,1] функций n ij 1 (M−1) . При этом всякая вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] восстанавливается по своей n ij 1,A последней компоненте согласно правилам n−1 x (1) Y (x) = (M ) (x)· Y (0)+ A (t)·(M−1) (t)Y (t)dt , i < n. i n ij j n−1,n n j,n−1 n j=0 (cid:20) Z0 (cid:21) X 2.1.Пусть при некотором n > 0 первообразная функции |A | строго монотонна. n−1,n Тогда естественное вложение пространства Cn[0,1] в пространство Cn−1[0,1] имеет A A плотный образ. Доказательство. Зафиксируем произвольную вектор-функцию Y ∈ Cn−1[0,1] и A поставим ей в соответствие вектор-функцию Φ ∈ {C[0,1]}n вида x inf{n−1,i+1} Φ (x) ≡ Y (x)− A (t)Y (t) dt, i < n. i i ij j   Z0 j=0 X   Зафиксируем также последовательность {Y }∞ вектор-функций класса Cn[0,1], α α=0 A удовлетворяющих при i < n равенствам (Y ) (0) = Y (0) и таких, что первообразные α i i суммируемыхфункцийA ·(Y ) равномерностремятсяприα → ∞кфункцииΦ . n−1,n α n n−1 Из представления (1) и соотношений (M−1) ∈ W1[0,1] тогда немедленно вытекает n j,n−1 1 факт равномерной сходимости функциональных последовательностей {(Y ) }∞ , где α i α=0 i < n. Тривиальные тождества x x n−1 Y (0)+ A (t)(Y ) (t)dt = (Y ) (x)− A (t)(Y ) (t) dt n−1 n−1,n α n α n−1 n−1,j α j   Z0 Z0 j=0 X   вместе с известными общими свойствами интегральных уравнений первого рода озна- чают теперь, что пределом последовательности образов вектор-функций Y ∈ Cn[0,1] α A является в точности исходная вектор-функция Y ∈ Cn−1[0,1]. (cid:3) A 2.2.Пусть при некотором n > 0 первообразная функции |A | строго монотонна, n−1,n а набор суммируемых функций {f }n удовлетворяет тождеству j j=0 n 1 ◦ (2) (∀Y ∈ Cn[0,1]) f Y dx = 0. A j j j=0Z0 X Тогда существует функция h ∈ W1[0,1], при почти всех x ∈ [0,1] удовлетворяющая 1 равенствам f (x) = A (x)h(x). При этом справедливо также тождество n n−1,n n−1 1 ◦ (∀Y ∈ Cn−1[0,1]) g Y dx = 0, A j j j=0Z0 X где положено f −A h, при j < n−1, g ⇋ j n−1,j j f −A h−h′, при j = n−1. n−1 n−1,n−1 (cid:26) 3 Доказательство. С учётом представления (1), заведомо найдётся функция ϕ ∈ W1[0,1], удовлетворяющая тождеству 1 ◦ 1 (∀Y ∈ Cn[0,1]) [f +A ϕ]Y dx = 0. A n n−1,n n Z0 Функция f + A ϕ ∈ L [0,1] при этом заведомо принадлежит линейной оболочке n n−1,n 1 набора {A ·(M−1) }n−1, что автоматически означает существование функции n−1,n n j,n−1 j=0 h ∈ W1[0,1] с требуемым свойством. Выражая теперь, с использованием определе- 1 ния 1(1), в тождестве (2) суммируемую функцию A Y через функции набора n−1,n n {Y }n−1 и интегрируя по частям, убеждаемся в справедливости соотношения i i=0 n−1 1 ◦ (∀Y ∈ Cn[0,1]) g Y dx = 0. A j j j=0Z0 X Учёт утверждения 2.1 завершает доказательство. (cid:3) 3. Символом Y∧ ∈ C2n, где Y ∈ Wn [0,1],мы далее будем обозначать вектор гранич- 1,A ных значений Y (0) при k < n, Y∧ ⇋ k k Y (1) иначе. k−n (cid:26) На основе произвольно фиксированной матрицы U ∈ C2n×2n могут быть определены подпространства Cn [0,1] и Wn [0,1], выделенные, соответственно, внутри Cn[0,1] и A,U s,A,U A Wn [0,1] системой граничных условий UY∧ = 0. s,A На указанных подпространствах могут быть заданы полулинейные функционалы вида n 1 f Y dx при Y ∈ Cn [0,1], i i A,U (1) hF,Yi ≡ Xi=0 Z0 n−1 1 1   f Y dx+ |A |1/sf Y dx при Y ∈ Wn [0,1], i i n−1,n n n s,A,U i=0 Z0 Z0 X   где f ∈ L [0,1]. В случае рассмотрения пространства Wn [0,1] здесь дополнительно i 1 s,A,U предполагается, что выполнено условие f ∈ L [0,1], причём для почти любого n s/(s−1) x ∈ [0,1] из равенства A (x) = 0 следует равенство f (x) = 0. Первообразные n−1,n n всех функций |A |, где i < n, мы на протяжении настоящего пункта считаем строго i,i+1 монотонными. Из представления 2(1) немедленно вытекает, что всякий функционал вида (1) может быть переписан в форме 1 n−1 gY dx+ µ Y (0) при Y ∈ Cn [0,1], n i i A,U (2) hF,Yi ≡ Z01 Xi=0 n−1  |A |1/sgY dx+ µ Y (0) при Y ∈ Wn [0,1], n−1,n n i i s,A,U Z0 i=0  X   гдеg ∈ L [0,1]вслучаепространства Cn [0,1],иg ∈ L [0,1]вслучаепространства 1 A,U s/(s−1) Wn [0,1]. Из того же представления легко получается, что всякий функционал s,A,U 4 вида (2) допускает обратную перезапись в форме (1). Сказанное означает замкнутость линейного множества функционалов вида (1) в сопряжённом к рассматриваемому пространстве. Из известной теоремы об общем виде полулинейного непрерывного функционала на лебеговском пространстве легко выводится также, что в случае пространства Wn [0,1] множество функционалов вида (1) в точности совпадает с s,A,U сопряжённым пространством. Пространство заданных на Cn [0,1] функционалов вида (1) мы будем далее обоз- A,U начать символом W−n [0,1]. Аналогичным образом, пространство таких функциона- 1,A,U лов, заданных на Wn [0,1], мы будем обозначать символом W−n [0,1]. s,A,U s/(s−1),A,U §3. Сингулярные дифференциальные операторы 1. Пусть B — система функций, обладающая аналогичными системе A свойствами и такая, что при почти всех x ∈ [0,1] равенства A (x) = 0 и B (x) = 0 n−1,n m−1,m равносильны. Пусть также зафиксирован параметр s ∈ [1,+∞), две матрицы V ∈ C2m×2m, Q ∈ C2m×2n и система функций со следующими свойствами: • p ,p−1 ∈ L [0,1]. nm nm ∞ • p ∈ L [0,1] при i < n, причём в случае s 6= 1 для почти любого x ∈ [0,1] из im s/(s−1) равенства B (x) = 0 следует равенство p (x) = 0. m−1,m im • p ∈ L [0,1] при j < m, причём для почти любого x ∈ [0,1] из равенства nj s A (x) = 0 следует равенство p (x) = 0. n−1,n nj • p ∈ L [0,1] при i < n и j < m. ij 1 Тогда может быть задан ограниченный оператор T:Wn [0,1] → W−m [0,1] вида s,A,U s,B,V 1 (1) hTY,Zi ≡ |A |1/s ·|B |(s−1)/sp Y Z dx+ n−1,n m−1,m nm n m Z0 n−1 1 m−1 1 + |B |(s−1)/sp Y Z dx+ |A |1/sp Y Z dx+ m−1,m im i m n−1,n nj n j i=0 Z0 j=0 Z0 X X n−1m−1 1 + p Y Z dx+hQY∧,Z∧i. ij i j i=0 j=0 Z0 X X 1.1. Всякий оператор T вида (1) фредгольмов индекса n−m−rankU +rankV. Доказательство. Справедливость доказываемого утверждения легко устана- вливается на основе представления §2.2(1), а также факта наличия у оператора Tˆ:L ([0,1]; |A |) → L ([0,1]; |B |) вида s n−1,n s m−1,m 1/s A Tˆy ⇋ n−1,n p y nm B (cid:12) m−1,m(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) обратного с оценкой нормы vrai sup (cid:12) |p−1((cid:12)x)|. (cid:3) x∈[0,1] nm 2. Результаты предыдущего параграфа показывают,чтовслучае строгоймонотонно- сти первообразных функций |B | уравнения TY = F допускают эквивалентную j,j+1 5 запись в форме граничных задач для систем дифференциальных уравнений для абсо- лютно непрерывных функций. А именно, для искомого решения Y ∈ Wn [0,1] с s,A,U очевидностью могут быть определены квазипроизводные y[i] ⇋ Y ∈ W1[0,1], где i < n, i 1 удовлетворяющие системе уравнений i+1 (1) (y[i])′ = A y[j], i < n−1. ij j=0 X Далее, из утверждения §2.2.2 вытекает существование квазипроизводной y[n] ∈ W1[0,1], 1 удовлетворяющей соотношению n−1 B (2) |A |1/sY = p−1 · m−1,m ·y[n] − p y[i] +f , n−1,n n nm |B |(s−1)/s im m " m−1,m # i=0 X а тогда и уравнению n−1 p−1p A (3) (y[n−1])′ = A − nm im n−1,n ·y[i] + n−1,i |A |1/s i=0 (cid:20) n−1,n (cid:21) X p−1A B p−1A f + nm n−1,n m−1,m ·y[n] + nm n−1,n m. |A |1/s|B |(s−1)/s |A |1/s n−1,n m−1,m n−1,n Наконец, утверждение §2.2.2 вместе с соотношением (2) означают существование квазипроизводных y[n+m−j−1] ∈ W1[0,1], где j < m−1, подчиняющихся уравнениям 1 n−1 (4) (y[n+m−j−1])′ = p −p−1p p ·y[i] + ij nm im nj i=0 X(cid:2) (cid:3) B + p−1 · m−1,m ·p −B ·y[n] − nm |B |(s−1)/s nj m−1,j (cid:20) m−1,m (cid:21) m−1 − B y[n+m−k] −f +p−1p f , j < m. k−1,j j nm nj m k=sup{j,1} X При этом, очевидным образом, оказывается справедливым тождество hTY −F,Zi ≡ hQY∧ −Y∨,Z∧i, где положено y[n+m−k−1](0) при k < m, Y∨ ⇋ k −y[n+2m−k−1](1) иначе. (cid:26) Соответственно, исходное уравнение TY = F равносильно системе дифференциальных уравнений (1), (3) и (4), рассмотренной совместно с набором граничных условий UY∧ = 0, QY∧ −Y∨ ∈ imV∗. 3. Пусть теперь для рассматриваемых пространств Wn [0,1]и W−m [0,1],а также s,A,U s,B,V некоторого гильбертова пространства H, зафиксированы вложения I:Wn [0,1] → H s,A,U 6 и J:H → W−m [0,1]. В этом случае оператор T задаёт на пространстве H линейное s,B,V отношение T• ⇋ J−1TI−1 с графиком {(y,z) ∈ H×H : (∃Y ∈ Wn [0,1]) (IY = y)&(TY = Jz)}. s,A,U Если при некотором λ ∈ C оператор T − λJI является ограниченно обратимым, то очевидным образом определена также и ограниченная резольвента (1) (T• −λ)−1 = I ·(T −λJI)−1J. Соответственно, график отношения T• в этом случае заведомо замкнут. Если дополнительно резольвента (1) инъективна и имеет плотный образ, то отношение T• представляет собой оператор с плотной областью определения. 3.1. Если вложения I:Wn [0,1] → H и J:H → W−m [0,1] инъективны и име- s,A,U s,B,V ют плотные образы, то допускающая представление (1) резольвента отношения T• также инъективна и имеет плотный образ. 3.2. Пусть вложение J:H → W−m [0,1] инъективно, и пусть для некоторого s,B,V ограниченного оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1]вслучае s = 1 или K:Wn [0,1] → 1,A,U B,V s,A,U Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi. Пусть s/(s−1),B,V также равенство hTY,KYi = 0 возможно лишь в случае Y = 0. Тогда линейное отношение T• представляет собой оператор. Если при этом индекс оператора T равен нулю, то существует ограниченный оператор T−1, а область определения оператора T• плотна в H. Доказательство. Если пара (0,z) ∈ H×H принадлежит графику отношения T•, то должна существовать вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойствами TY = Jz и s,A,U IY = 0. При этом, однако, должны выполняться также равенства hTY,KYi = hJz,KYi = hz,IYi = 0, согласно сделанным предположениям гарантирующие справедливость равенства Y = 0, а потому и равенства z = 0. Далее, всякая вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойством TY = 0 заведомо s,A,U удовлетворяет равенству hTY,KYi = 0, а потому является нулевой. Соответственно, факт ограниченной обратимости оператора T в случае равенства его индекса нулю немедленно вытекает из альтернативы Фредгольма. Наконец, если вектор z ∈ H ортогонален образу оператора IT−1J, то должны быть справедливы равенства 0 = hz,IT−1Jzi = hJz,KT−1Jzi = hT ·[T−1Jz],K ·[T−1Jz]i, согласно сделанным предположениям гарантирующие выполнение равенства T−1Jz = 0, а потому и равенства z = 0. (cid:3) 7 3.3. Пусть для некоторого ограниченного оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1] 1,A,U B,V в случае s = 1 или K:Wn [0,1] → Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо s,A,U s/(s−1),B,V тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi, и пусть числовая область значений оператора K∗T включается в некоторый сектор комплексной плоскости, имеющий вершиной точку 0. Тогда числовая область значений отношения T• включается в тот же сектор. Доказательство. Если пара (y,z) ∈ H × H принадлежит графику отношения T•, то должна существовать вектор-функция Y ∈ Wn [0,1] со свойствами IY = y и s,A,U TY = Jz. Выполняющиеся при этом равенства hz,yi = hJz,KYi = hTY,KYi как раз и гарантируют справедливость доказываемого утверждения. (cid:3) 3.4. Пусть вложение I:Wn [0,1] → H инъективно, для некоторого ограниченного s,A,U оператора K:Wn [0,1] → Cm [0,1] в случае s = 1 или K:Wn [0,1] → 1,A,U B,V s,A,U Wm [0,1] в случае s 6= 1 справедливо тождество hz,IYi ≡ hJz,KYi, а оператор s/(s−1),B,V K∗T является симметрическим. Тогда при любом невещественном λ ∈ C оператор T − λJI, если является фредгольмовым с нулевым индексом, обладает ограниченным обратным. Доказательство. В рассматриваемом случае для всякой вектор-функции Y ∈ Wn [0,1] справедливо равенство s,A,U Imh(T −λJI)Y,KYi = −Imλ·kIYk2. Соответственно,уравнение(T−λJI)Y = 0неможетиметьнетривиальных решений, что, согласно альтернативе Фредгольма, как раз и означает справедливость доказываемого утверждения. (cid:3) Отметим взаключение, что,согласно утверждению §2.1.3работы[5],в случаеинъек- тивности и плотности вложений I:Wn [0,1] → H и J:H → W−m [0,1], а также s,A,U s,B,V непустоты резольвентного множества пучка T♮:λ 7→ T − λJI, спектр оператора T• в точности совпадает со спектром пучка T♮. §4. Примеры 1. В качестве первого примера рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения (py′′)′′ −(q′y′)′ +r′′y = f ∈ L [0,1], 2 где p,p−1 ∈ L [0,1] и q,r ∈ L [0,1] (классический случай, когда коэффициенты p, q′ ∞ 2 и r′′ предполагаются гладкими, связан с существенно более сильными ограничениями). ◦ ◦ Этой задаче отвечает оператор T:W2[0,1] → W−2[0,1] вида 2 2 1 hTy,zi ≡ (py′′ −qy′ +ry)z′′ +(−qy′′ +2ry′)z′ +ry′′z dx. Z0 (cid:2) (cid:3) 8 Данный оператор имеет форму §3.1(1), и потому уравнение T•y = f для соответ- ствующего неограниченного оператора в пространстве L [0,1] равносильно граничной 2 задаче (y[0])′ = y[1], (y[1])′ = −p−1ry[0] +p−1qy[1] +p−1y[2], (y[2])′ = p−1qry[0] +(2r−p−1q2)y[1] −p−1qy[2] −y[3], (y[3])′ = −p−1r2y[0] +p−1qry[1] +p−1ry[2] −f, y[0](0) = y[1](0) = y[0](1) = y[1](1) = 0. Указанная система уравнений, ожидаемым образом, в точности совпадает с системой из леммы 2 работы [1]. Развитая выше теория, однако, может быть приложена и к случаю коэффициентов существенноболееширокоговида.Вчастности,пустькоэффициент p−1 естьобобщённая производная некоторой строго возрастающей функции H ∈ C[0,1], коэффициент q принадлежит классу L ([0,1]; H′), а коэффициент r — классу L ([0,1]; H′) ∩ L [0,1]. 2 2 1 Тогда могут быть введены в рассмотрение функции ξ,η ∈ W1[0,1] со свойствами 1 x+H(x)−H(0) x+H(x)−H(0) ξ ≡ x, η ≡ H(x), 1+H(1)−H(0) 1+H(1)−H(0) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) а также связанная с ними система суммируемых функций ξ′ при i = 0, j = 1, A ⇋ η′ при i = 1, j = 2, ij ( 0 иначе. Рассматриваемая задача получит при этом трактовку T•y = f, где действующий в пространстве L [0,1] неограниченный оператор T• = (I∗)−1TI−1 строится на основе 2 ◦ инъективного вложения I:W2 [0,1] → L [0,1] вида 2,A 2 x+H(x)−H(0) [IY](x) ≡ Y 0 1+H(1)−H(0) (cid:18) (cid:19) ◦ ◦ и оператора T:W2 [0,1] → W−2[0,1] вида 2,A 2,A 1 hTY,Zi ≡ η′ ·(Y −σY +ρY )Z +(−η′σY +2ξ′ρY )Z +η′ρY Z dx, 2 1 0 2 2 1 1 2 0 Z0 (cid:2) (cid:3) где положено σ ⇋ q ◦ ξ и ρ ⇋ r ◦ ξ. Результаты предыдущего параграфа позволяют теперь представить исходную задачу в форме (y[0])′ = ξ′y[1], (y[1])′ = −η′ρy[0] +η′σy[1] +η′y[2], (y[2])′ = η′σρy[0] +(2ξ′ρ−η′σ2)y[1] −η′σy[2] −ξ′y[3], (y[3])′ = −η′ρ2y[0] +η′σρy[1]+η′ρy[2] −f ◦ξ, y[0](0) = y[1](0) = y[0](1) = y[1](1) = 0, 9 где y[0] = y ◦ξ. 2. В качестве второго примера возьмём задачу периодического типа для дифферен- циального уравнения третьего порядка (1) −iy′′′ −(py′)′ +q′y = f ∈ L [0,1], 2 где p,q ∈ L [0,1]. В случае задач нечётного порядка естественным является рассмо- 1 трение ситуации s = 1, в отличие от типичного для чётного случая равенства s = 2. Соответственно, свяжем с задачей пару пространств W2 ⇋ {y ∈ W2[0,1] : y(1)−y(0) = y′(1)−y′(0) = 0}, 1,A,U 1 C1 ⇋ {y ∈ C1[0,1] : y(1)−y(0) = 0}. B,V Умножая обе стороны уравнения (1) на компоненту Z произвольной вектор-функции 0 Z ∈ C1 [0,1], интегрированием по частям убеждаемся в справедливости равенства B,V T•y = f, где отношение T• отвечает оператору T:W2 [0,1] → W−1 [0,1] вида 1,A,U 1,B,V 1 hTY,Zi ≡ (iY +pY −qY )Z −qY Z dx. 2 1 0 1 1 0 Z0 (cid:2) (cid:3) Результаты предыдущего параграфа дают теперь для уравнения T•y = f эквивалентное представление (y[0])′ = y[1], (y[1])′ = −iqy[0] +ipy[1] −iy[2], (y[2])′ = −qy[1] −f, y[0](1)−y[0](0) = y[1](1)−y[1](0) = y[2](1)−y[2](0) = 0. На основе утверждений §3.3.3 и §3.3.4, с учётом наличия ограниченного вложения пространства W2 [0,1] в пространство C1 [0,1], легко показывается также, что в 1,A,U B,V случае вещественнозначности коэффициентов p,q ∈ L [0,1] неограниченный оператор 1 T• является самосопряжённым. 3. Вкачестве последнего примера рассмотрим задачу Дирихле для исследовавшегося в работах [6] и [7] уравнения d dy − = f ∈ L ([0,1]; G′), 2 dG dH (cid:18) (cid:19) гдеH ∈ C[0,1]естьнекотораянеубывающаяфункциясосвойствамиH(0) = H(1)−1 = 0, а неубывающая функция G ∈ C[0,1] допускает представление G(x) ≡ N(H(x)). В этом случае решение задачи заведомо может быть записано в виде y = Iu, где вложение ◦ I:W1[0,1] → L ([0,1]; G′) — вообще говоря, не инъективное — подчиняется тождеству 2 2 [Iu](x) ≡ u(H(x)). Кроме того, заведомо найдётся функция g ∈ L ([0,1]; N′), для 2 которойкомпозиция g◦H будетсовпадатьвпространствеL ([0,1]; G′)сисходнойправой 2 частью f, а потому и подчиняться тождеству 1 ◦ (∀v ∈ W1[0,1]) hI∗f,vi = gvdN. 2 Z0 10

On one approach to definition of singular differential operators

Similar On one approach to definition of singular differential operators