Konrad-Zuse-Zentrum Takustraße7 D-14195Berlin-Dahlem für Informationstechnik Berlin Germany SVEN O. KRUMKE HARTMUT NOLTEMEIER HANS-CHRISTOPH WIRTH Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen ZIB-Report00-19(Juni2000) Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen Skript zur Vorlesung am Lehrstuhl f(cid:252)r Informatik I der Bayerischen Julius-Maximilians-Universit(cid:228)t W(cid:252)rzburg Sven Oliver Krumke Hartmut Noltemeier Hans-Christoph Wirth (cid:3) (cid:3) (cid:3) erg(cid:228)nzt um JAVA-Applets Stefan Schwarz Thomas Wolf Christoph Sachse Florian Mayer Simon Weidmann Letzte˜nderung:29.September2003,15:21 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 DasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)ckenproblem . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 DasHausvonNikolaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Labyrinth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Informationen(cid:252)berWWW. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Grundbegriffe 5 2.1 GerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 TeilgraphenundObergraphen . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 UngerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 GraphenmiteinerspeziellenStruktur . . . . . . . . . . . 8 2.5 GraphentheoretischeAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . 8 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Wege,KreiseundZusammenhang 13 3.1 Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 DerSatzvonEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 HamiltonscheKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 BestimmungvonZusammenhangskomponenten 25 4.1 TransitiveH(cid:252)lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 DerTripelalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 DerReduzierteGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 IrreduzibleKerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 B(cid:228)ume,W(cid:228)lderundMatroide 35 5.1 B(cid:228)umeundW(cid:228)lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 MinimalespannendeB(cid:228)ume. . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3 Steinerb(cid:228)umeundandereDilemmas . . . . . . . . . . . . 49 5.4 SpannendeWurzelb(cid:228)umeingerichtetenGraphen . . . . 49 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Suchstrategien 57 6.1 UntersuchungvonGraphenmitTiefensuche . . . . . . . 57 6.2 AnwendungenvonDFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Tiefensuchef(cid:252)rungerichteteGraphen . . . . . . . . . . . 65 6.4 Breitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 iv INHALTSVERZEICHNIS 7 Bestimmungk(cid:252)rzesterWege 69 7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 K(cid:252)rzesteWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 K(cid:252)rzeste-Wege-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 K(cid:252)rzeste-Wege-B(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 DerAlgorithmusvonDijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.6 DerAlgorithmusvonBellmanundFord . . . . . . . . . . 75 7.7 DieBellmanschenGleichungenundkreisfreieGraphen . 77 7.8 L(cid:228)ngsteWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8 Str(cid:246)mungenundFl(cid:252)sse 81 8.1 Str(cid:246)mungenundSchnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2 Zul(cid:228)ssigeundmaximaleStr(cid:246)mungen . . . . . . . . . . . 82 8.3 DasMax-Flow-Min-Cut-Theorem . . . . . . . . . . . . . . 85 8.4 DerAlgorithmusvonFordundFulkerson . . . . . . . . . 87 8.5 KombinatorischeAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . 95 8.6 KostenminimaleStr(cid:246)mungen . . . . . . . . . . . . . . . . 98 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9 PlanareGraphen 103 9.1 Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.2 DieEulerschePolyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3 Triangulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.4 GradeinplanarenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.5 Kriterienf(cid:252)rPlanarit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.6 DualeGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10 Homomorphismen 115 10.1 TripeldarstellungvonGraphen . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.2 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3 DasGraphenisomorphieproblem . . . . . . . . . . . . . . 117 10.4 Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A L(cid:246)sungenzuden(cid:220)bungsaufgaben 121 B Notationen 149 Vorwort DasvorliegendeSkriptbasiertaufderVorlesung(cid:132)Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen(cid:147), welche ich im Sommersemester1997an derBayerischenLudwigs-Maximilians-Universit(cid:228)tW(cid:252)rzburggehalten habe. Einge(cid:3)ossen sind in das Skript auch Mitschriften vorausgegan- gener regelm(cid:228)(cid:223)iger Vorlesungen von Prof. Dr. H. Noltemeier an der Universit(cid:228)tW(cid:252)rzburg. Das Skript wurde im Sommersemester 1999 erg(cid:228)nzt durch Inhalte ausderVorlesung(cid:132)GraphentheoretischeMethodenundAlgorithmen(cid:147), gehalten von Prof. Dr. H. Noltemeier, durch (cid:220)bungen zur Vorlesung von H.-C. Wirth und durch Java-Applets von T. Wolf. Die Stellen, an deneneinJava-AppletzurVerf(cid:252)gungsteht,sind amRandwieneben- stehendmarkiert.InderPDF-VersionwerdendieAppletsdurchKlick aufdasSymbolgestartet. DasvorliegendeMaterialwurdef(cid:252)reinenSelbststudienkurs(cid:132)Gra- phentheoretischeKonzepteundAlgorithmen(cid:147)imRahmendesMEILE- Programmesf(cid:252)rdieVirtuelleHochschuleBayernaufgearbeitet. Berlin/W(cid:252)rzburg,29.September2003 SvenOliverKrumke Kapitel 1 Einleitung 1.1 Das K(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblem DieGeschichtederGraphentheoriebeginntmiteinerArbeitvonEuler ausdemJahr1736,indererdasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)ckenprobleml(cid:246)ste. Norden NeuerPregel Insel Pregel Osten AlterPregel S(cid:252)den N W O Abbildung1.1: Skizzierter Stadtplan von K(cid:246)nigsberg und zugeh(cid:246)ri- S gerGraph. DiesesProblembestanddarinzuentscheiden,obeseinenRundweg durchK(cid:246)nigsberggibt,derjededersiebenBr(cid:252)ckengenaueinmal(cid:252)ber- 2 1 Einleitung quert.Abbildung1.1zeigteinenStadtplanvonK(cid:246)nigbergmitderLage derBr(cid:252)cken. Euler erkannte, da(cid:223) man die Situation von der genauen Form der Ufer und Br(cid:252)cken abstrahieren kann. Man stellt die einzelnen Ufer durchPunkte (Ecken)dar,die durchLinien (Kanten)verbunden sind, die dieeinzelnen Br(cid:252)ckenrepr(cid:228)sentieren.Dabeierh(cid:228)ltman deneben- fallsinAbbildung1.1gezeichnetenGraphen.DasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)cken- problem reduziert sich nun darauf zu entscheiden, ob es in dem ent- standenenGrapheneinenRundweggibt,derjedeLinie(Kante)genau einmaldurchl(cid:228)uft.EulersAntwortaufdasBr(cid:252)ckenproblemwardann, da(cid:223) es keinen Rundweg durchden Graphen (oderdurch K(cid:246)nigsberg) mitdengew(cid:252)nschtenEigenschaftengibt. BevorwirdasErgebnisEulerseinfachhinnehmen,solltenwirkurz dar(cid:252)bernachdenken,warumderobigeGraphkeinenEulerschenKreis enth(cid:228)lt.DazustartenwireinegedachteRundtourimPunktOdesGra- phen,derdenOstenderStadtrepr(cid:228)sentiert.WirverlassenO(cid:252)bereine derdreieinm(cid:252)ndendenKanten.WennwirdaserstemalwiedernachO zur(cid:252)ckkehren (und dies m(cid:252)ssen wir, da wir alle Br(cid:252)cken genau ein- maldurchlaufenwollen),habenwirzudiesemZeitpunktzweiderdrei in Oeinm(cid:252)ndenden Br(cid:252)cken(cid:252)berquert.Wenn wir nun Owiederver- lassen,bestehtkeineM(cid:246)glichkeitmehr,zuOzur(cid:252)ckzukehren,ohneei- neBr(cid:252)ckemindestenszweimaldurchlaufenzuhaben. DasProblembeiderErstellungeinesRundweges,deralleBr(cid:252)cken genaueinmaldurchl(cid:228)uft,bestehtoffenbardarin,da(cid:223)imPunktO(und inallenanderenEckendesGraphen)eineungeradeAnzahlvonKanten m(cid:252)ndet. Manzeigtnun leicht, da(cid:223) in einem Graphen h(cid:246)chstens dann einEulerscherKreis,d.h.einKreis,derjedeKanteeinesGraphengenau einmaldurchl(cid:228)uft,existiert,wenninjederEckeeinegeradeAnzahlvon (ungerichteten)Kantenm(cid:252)ndet. Euler war dar(cid:252)berhinaus in derLage zu zeigen, da(cid:223) die obige Be- dingung nicht nur notwendig sondern auch hinreichend f(cid:252)r die Exi- stenzeinesEulerschenKreisesist.Denber(cid:252)hmtenSatzvonEulerwer- denwirinKapitel3vorstellenundbeweisen. 1.2 Das Haus von Nikolaus Eine (cid:228)hnliche Fragestellung wie beim K(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblem erh(cid:228)ltman beim (cid:132)HausdesNikolaus(cid:147),welches in Abbildung 1.2dar- gestelltist.DasProblembestehtdarin,zuentscheiden,obmandasBild ausAbbildung1.2zeichnenkann,ohnedenStiftabzusetzen. Abbildung1.2: DasHausvomNikolaus. AusgraphentheoretischerSichtfragtmanhiernacheinemWeg,der 1.3 Labyrinth 3 jedeKantegenaueinmaldurchl(cid:228)uft.ImGegensatzzumK(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblemmu(cid:223)dieserWegaberkeinKreissein,dawirmitdem ZeichnenaneinerbeliebigenEckeanfangenundm(cid:246)glicherweiseanei- neranderenEckeendenk(cid:246)nnen. WegeinGraphen,diejedeKantege- nau einmal durchlaufen,nennt man wegen Ihrer engen Beziehung zu denEulerschenKreisenEulerscheWege. 1.3 Labyrinth Als abschlie(cid:223)endes Beispiel betrachten wir das Problem, einen Weg durch ein Labyrinth von einem gegebenen Startpunkt zu einem End- punktzu(cid:2)nden. Start Ziel Abbildung1.3: Labyrinth und zugeh(cid:246)riger Graph. Das Labyrinth aus Abbildung 1.3 wird in einen Graphen umge- setzt,indemmanf(cid:252)rStart,ZielundjedeKreuzungEckenimGraphen einf(cid:252)hrtunddiesedanngem(cid:228)(cid:223)derLabyrinthstrukturverbindet.Man suchtdannimentstandenenGrapheneinenWegvomStartzumZiel. FragennachderExistenzvonWegenwerdenindenKapiteln4und 6behandelt.InKapitel7wirddieProblemstellungdahingehenderwei- tert, da(cid:223) man nicht nach einem beliebigen Weg sondern nach einem k(cid:252)rzestenWegfragt. 1.4 Informationen (cid:252)ber WWW InformationensindunterfolgenderURLerh(cid:228)ltlich: http://www-info1.informatik.uni-wuerzburg.de/