ebook img

Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen PDF

160 Pages·2003·1.158 MB·German
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen

Konrad-Zuse-Zentrum Takustraße7 D-14195Berlin-Dahlem für Informationstechnik Berlin Germany SVEN O. KRUMKE HARTMUT NOLTEMEIER HANS-CHRISTOPH WIRTH Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen ZIB-Report00-19(Juni2000) Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen Skript zur Vorlesung am Lehrstuhl f(cid:252)r Informatik I der Bayerischen Julius-Maximilians-Universit(cid:228)t W(cid:252)rzburg Sven Oliver Krumke Hartmut Noltemeier Hans-Christoph Wirth (cid:3) (cid:3) (cid:3) erg(cid:228)nzt um JAVA-Applets Stefan Schwarz Thomas Wolf Christoph Sachse Florian Mayer Simon Weidmann Letzte˜nderung:29.September2003,15:21 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 DasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)ckenproblem . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 DasHausvonNikolaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Labyrinth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Informationen(cid:252)berWWW. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Grundbegriffe 5 2.1 GerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 TeilgraphenundObergraphen . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 UngerichteteGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 GraphenmiteinerspeziellenStruktur . . . . . . . . . . . 8 2.5 GraphentheoretischeAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . 8 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Wege,KreiseundZusammenhang 13 3.1 Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 DerSatzvonEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 HamiltonscheKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 BestimmungvonZusammenhangskomponenten 25 4.1 TransitiveH(cid:252)lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 DerTripelalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 DerReduzierteGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 IrreduzibleKerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 B(cid:228)ume,W(cid:228)lderundMatroide 35 5.1 B(cid:228)umeundW(cid:228)lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 MinimalespannendeB(cid:228)ume. . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3 Steinerb(cid:228)umeundandereDilemmas . . . . . . . . . . . . 49 5.4 SpannendeWurzelb(cid:228)umeingerichtetenGraphen . . . . 49 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Suchstrategien 57 6.1 UntersuchungvonGraphenmitTiefensuche . . . . . . . 57 6.2 AnwendungenvonDFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Tiefensuchef(cid:252)rungerichteteGraphen . . . . . . . . . . . 65 6.4 Breitensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 iv INHALTSVERZEICHNIS 7 Bestimmungk(cid:252)rzesterWege 69 7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 K(cid:252)rzesteWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 K(cid:252)rzeste-Wege-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 K(cid:252)rzeste-Wege-B(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 DerAlgorithmusvonDijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.6 DerAlgorithmusvonBellmanundFord . . . . . . . . . . 75 7.7 DieBellmanschenGleichungenundkreisfreieGraphen . 77 7.8 L(cid:228)ngsteWege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8 Str(cid:246)mungenundFl(cid:252)sse 81 8.1 Str(cid:246)mungenundSchnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2 Zul(cid:228)ssigeundmaximaleStr(cid:246)mungen . . . . . . . . . . . 82 8.3 DasMax-Flow-Min-Cut-Theorem . . . . . . . . . . . . . . 85 8.4 DerAlgorithmusvonFordundFulkerson . . . . . . . . . 87 8.5 KombinatorischeAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . 95 8.6 KostenminimaleStr(cid:246)mungen . . . . . . . . . . . . . . . . 98 (cid:220)bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9 PlanareGraphen 103 9.1 Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.2 DieEulerschePolyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3 Triangulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.4 GradeinplanarenGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.5 Kriterienf(cid:252)rPlanarit(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.6 DualeGraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10 Homomorphismen 115 10.1 TripeldarstellungvonGraphen . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.2 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.3 DasGraphenisomorphieproblem . . . . . . . . . . . . . . 117 10.4 Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A L(cid:246)sungenzuden(cid:220)bungsaufgaben 121 B Notationen 149 Vorwort DasvorliegendeSkriptbasiertaufderVorlesung(cid:132)Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen(cid:147), welche ich im Sommersemester1997an derBayerischenLudwigs-Maximilians-Universit(cid:228)tW(cid:252)rzburggehalten habe. Einge(cid:3)ossen sind in das Skript auch Mitschriften vorausgegan- gener regelm(cid:228)(cid:223)iger Vorlesungen von Prof. Dr. H. Noltemeier an der Universit(cid:228)tW(cid:252)rzburg. Das Skript wurde im Sommersemester 1999 erg(cid:228)nzt durch Inhalte ausderVorlesung(cid:132)GraphentheoretischeMethodenundAlgorithmen(cid:147), gehalten von Prof. Dr. H. Noltemeier, durch (cid:220)bungen zur Vorlesung von H.-C. Wirth und durch Java-Applets von T. Wolf. Die Stellen, an deneneinJava-AppletzurVerf(cid:252)gungsteht,sind amRandwieneben- stehendmarkiert.InderPDF-VersionwerdendieAppletsdurchKlick aufdasSymbolgestartet. DasvorliegendeMaterialwurdef(cid:252)reinenSelbststudienkurs(cid:132)Gra- phentheoretischeKonzepteundAlgorithmen(cid:147)imRahmendesMEILE- Programmesf(cid:252)rdieVirtuelleHochschuleBayernaufgearbeitet. Berlin/W(cid:252)rzburg,29.September2003 SvenOliverKrumke Kapitel 1 Einleitung 1.1 Das K(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblem DieGeschichtederGraphentheoriebeginntmiteinerArbeitvonEuler ausdemJahr1736,indererdasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)ckenprobleml(cid:246)ste. Norden NeuerPregel Insel Pregel Osten AlterPregel S(cid:252)den N W O Abbildung1.1: Skizzierter Stadtplan von K(cid:246)nigsberg und zugeh(cid:246)ri- S gerGraph. DiesesProblembestanddarinzuentscheiden,obeseinenRundweg durchK(cid:246)nigsberggibt,derjededersiebenBr(cid:252)ckengenaueinmal(cid:252)ber- 2 1 Einleitung quert.Abbildung1.1zeigteinenStadtplanvonK(cid:246)nigbergmitderLage derBr(cid:252)cken. Euler erkannte, da(cid:223) man die Situation von der genauen Form der Ufer und Br(cid:252)cken abstrahieren kann. Man stellt die einzelnen Ufer durchPunkte (Ecken)dar,die durchLinien (Kanten)verbunden sind, die dieeinzelnen Br(cid:252)ckenrepr(cid:228)sentieren.Dabeierh(cid:228)ltman deneben- fallsinAbbildung1.1gezeichnetenGraphen.DasK(cid:246)nigsbergerBr(cid:252)cken- problem reduziert sich nun darauf zu entscheiden, ob es in dem ent- standenenGrapheneinenRundweggibt,derjedeLinie(Kante)genau einmaldurchl(cid:228)uft.EulersAntwortaufdasBr(cid:252)ckenproblemwardann, da(cid:223) es keinen Rundweg durchden Graphen (oderdurch K(cid:246)nigsberg) mitdengew(cid:252)nschtenEigenschaftengibt. BevorwirdasErgebnisEulerseinfachhinnehmen,solltenwirkurz dar(cid:252)bernachdenken,warumderobigeGraphkeinenEulerschenKreis enth(cid:228)lt.DazustartenwireinegedachteRundtourimPunktOdesGra- phen,derdenOstenderStadtrepr(cid:228)sentiert.WirverlassenO(cid:252)bereine derdreieinm(cid:252)ndendenKanten.WennwirdaserstemalwiedernachO zur(cid:252)ckkehren (und dies m(cid:252)ssen wir, da wir alle Br(cid:252)cken genau ein- maldurchlaufenwollen),habenwirzudiesemZeitpunktzweiderdrei in Oeinm(cid:252)ndenden Br(cid:252)cken(cid:252)berquert.Wenn wir nun Owiederver- lassen,bestehtkeineM(cid:246)glichkeitmehr,zuOzur(cid:252)ckzukehren,ohneei- neBr(cid:252)ckemindestenszweimaldurchlaufenzuhaben. DasProblembeiderErstellungeinesRundweges,deralleBr(cid:252)cken genaueinmaldurchl(cid:228)uft,bestehtoffenbardarin,da(cid:223)imPunktO(und inallenanderenEckendesGraphen)eineungeradeAnzahlvonKanten m(cid:252)ndet. Manzeigtnun leicht, da(cid:223) in einem Graphen h(cid:246)chstens dann einEulerscherKreis,d.h.einKreis,derjedeKanteeinesGraphengenau einmaldurchl(cid:228)uft,existiert,wenninjederEckeeinegeradeAnzahlvon (ungerichteten)Kantenm(cid:252)ndet. Euler war dar(cid:252)berhinaus in derLage zu zeigen, da(cid:223) die obige Be- dingung nicht nur notwendig sondern auch hinreichend f(cid:252)r die Exi- stenzeinesEulerschenKreisesist.Denber(cid:252)hmtenSatzvonEulerwer- denwirinKapitel3vorstellenundbeweisen. 1.2 Das Haus von Nikolaus Eine (cid:228)hnliche Fragestellung wie beim K(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblem erh(cid:228)ltman beim (cid:132)HausdesNikolaus(cid:147),welches in Abbildung 1.2dar- gestelltist.DasProblembestehtdarin,zuentscheiden,obmandasBild ausAbbildung1.2zeichnenkann,ohnedenStiftabzusetzen. Abbildung1.2: DasHausvomNikolaus. AusgraphentheoretischerSichtfragtmanhiernacheinemWeg,der 1.3 Labyrinth 3 jedeKantegenaueinmaldurchl(cid:228)uft.ImGegensatzzumK(cid:246)nigsberger Br(cid:252)ckenproblemmu(cid:223)dieserWegaberkeinKreissein,dawirmitdem ZeichnenaneinerbeliebigenEckeanfangenundm(cid:246)glicherweiseanei- neranderenEckeendenk(cid:246)nnen. WegeinGraphen,diejedeKantege- nau einmal durchlaufen,nennt man wegen Ihrer engen Beziehung zu denEulerschenKreisenEulerscheWege. 1.3 Labyrinth Als abschlie(cid:223)endes Beispiel betrachten wir das Problem, einen Weg durch ein Labyrinth von einem gegebenen Startpunkt zu einem End- punktzu(cid:2)nden. Start Ziel Abbildung1.3: Labyrinth und zugeh(cid:246)riger Graph. Das Labyrinth aus Abbildung 1.3 wird in einen Graphen umge- setzt,indemmanf(cid:252)rStart,ZielundjedeKreuzungEckenimGraphen einf(cid:252)hrtunddiesedanngem(cid:228)(cid:223)derLabyrinthstrukturverbindet.Man suchtdannimentstandenenGrapheneinenWegvomStartzumZiel. FragennachderExistenzvonWegenwerdenindenKapiteln4und 6behandelt.InKapitel7wirddieProblemstellungdahingehenderwei- tert, da(cid:223) man nicht nach einem beliebigen Weg sondern nach einem k(cid:252)rzestenWegfragt. 1.4 Informationen (cid:252)ber WWW InformationensindunterfolgenderURLerh(cid:228)ltlich: http://www-info1.informatik.uni-wuerzburg.de/

See more

The list of books you might like

book image

Believe Me

Tahereh Mafi
·177 Pages
·2021
·2.19 MB

book image

The Silent Patient

Alex Michaelides
·0.52 MB

book image

The Strength In Our Scars

Bianca Sparacino
·2018
·0.17 MB

book image

Atomic Habits James Clear

JAMES CLEAR
·6.4 MB

book image

BWT AQA basic

24 Pages
·2016
·5.63 MB

book image

Tell Me to Stay - Charlotte Byrd

Charlotte Byrd
·0.2066 MB

book image

A Defense of the Nicene Definition (De Decretis)

Athanasius of Alexandria; Bl. John Henry Newman
·2014
·0.158 MB

book image

Tic Disorders, Trichotillomania, Other Repet. Behav. Disorders

D. Woods, et. al.,
·325 Pages
·2001
·14.706 MB

book image

Compressors: Selection and Sizing

Royce N. Brown
·625 Pages
·2005
·90.215 MB

book image

August 2016 PART I

36 Pages
·2012
·1.45 MB

book image

byle s lie Pine ada

204 Pages
·2011
·18.3 MB

book image

Greek Government Gazette: Part 2, 2013 no. 63

The Government of the Hellenic Republic
·2013
·0.14 MB

book image

C++ för dig som kan Java

32 Pages
·2000
·0.73 MB

book image

C++ for You++, AP Edition

580 Pages
·2012
·1.69 MB

book image

The name Cyanocorax mystacalis

Edward C Dickinson
·2006
·0.43 MB