Topologie I R. Vogt Sommersemester 2005 Inhaltsverzei hnis 1 Topologis he R(cid:127)aume 3 2 Initiale und terminale Topologien 12 3 Zusammenhang 17 4 Die Trennungsaxiome 19 5 Kompakte R(cid:127)aume 25 6 Abbildungsr(cid:127)aume 30 2 1 Topologis he R(cid:127)aume Topologie ist Stetigkeitsgeometrie, d.h. sie untersu ht Eigens haften geome- tris her Gebilde, die unter bijektiven umkehrbar stetigen Abbildung erhalten bleiben. Eine sol he Eigens haft ist etwa, zusammenh(cid:127)angend zu sein, w(cid:127)ahrendL(cid:127)angenundVoluminaunterallgemeinenstetigenAbbildungenni ht erhalten bleiben. Ausgehend vomStetigkeitsbegri(cid:11)der AnalysiswollenwirdieDe(cid:12)nitioneines topologis hen Raumes erarbeiten. Wir erinnern: 1.1 Sei M (cid:26) R. Eine Funktion f : M ! R hei(cid:25)t stetig in a 2 M, wenn es zu jedem " > 0 ein Æ > 0 gibt, so dass jf(x)(cid:0)f(a)j < " fu(cid:127)r alle x 2 M mit jx(cid:0)aj < Æ: Die Menge fx 2 R; jx(cid:0)aj < Æg besteht aus allen Punkten von R, die von a einen Abstand kleiner als Æ haben. Sie wird Æ-Umgebung von a genannt und mit UÆ(a) bezei hnet. Stetigkeit k(cid:127)onnen wir also de(cid:12)nieren, sobald wir einen Abstandsbegri(cid:11) haben. Mengen, auf denen ein Abstandsbegri(cid:11) de(cid:12)niert ist, hei(cid:25)en metris he R(cid:127)aume. 1.2 De(cid:12)nition: Einmetris herRaum isteineMengeX zusammenmiteiner Abbildung d : X (cid:2)X ! R, genannt Metrik oder Abstandsfunktion, so dass fu(cid:127)r x;y;z 2 X stets gilt (i) d(x;y) = 0 () x = y (ii) d(x;y) = d(y;x) (iii) d(x;y) (cid:20) d(x;z)+d(z;y) Erl(cid:127)auterung: Die drei Axiome geben Bedingungen an, die wir von einem vernu(cid:127)nftigen Abstandsbegri(cid:11) erwarten: Ist der Abstand zweier Punkte Null, so sind die Punkte glei h. Der Abstand von x zu y ist derselbe, wie der von y zu x: Das dritte Axiom, genannt Dreie ksunglei hung, ist am besten dur h folgendes Bild erkl(cid:127)art: z y x 3 Eine Æ-Umgebung von a ist dann UÆ(a) = fx 2 X; d(x;a) < Æg Selbstverst(cid:127)andli h kann ein Abstand nur positive Werte haben: 1.3 Ist d : X (cid:2) X ! R eine Metrik auf X, so gilt d(x;y) (cid:21) 0 fu(cid:127)r alle x;y 2 X: Beweis: 0 = d(x;x) (cid:20) d(x;y)+d(y;x) = 2d(x;y): 2 (cid:3) n 1.4 Beispiele: (1) Auf R = f(x1;::: ;xn); xi 2 Rg benutzt man meist einederfolgendendreiMetriken: Seix = (x1;::: ;xn); y = (y1;::: ;yn) p 2 2 (i) d2(x;y) = (x1 (cid:0)y1) +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(xn (cid:0)yn) (euklidis he Metrik) (ii) d1(x;y) = jx1 (cid:0)y1j+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+jxn (cid:0)ynj (L1-Metrik) (iii) d1(x;y) = maxfjxi (cid:0)yij; i = 1;::: ;ng (Maximummetrik) Den Na hweis der Axiome u(cid:127)berlassen wir dem Leser. Fu(cid:127)r n = 2 sehen die Umgebungen U1(0) wie folgt aus -1 0 1 euklidis he Metrik L1-Metrik Maximummetrik (2) ImZusammenhangmitderglei hm(cid:127)a(cid:25)igenKonvergenz von Funktionen- folgen spielt der folgende metris he Raum eine bedeutende Rolle: Sei X 6= ; eine beliebigeMenge und B(X;R) die Menge der bes hr(cid:127)ank- ten Funktionen f : X ! R. Dann ist d1(f;g) = supfjf(x)(cid:0)g(x)j; x 2 Xg eine Metrik auf B(X;R). (3) In der Analysis werden au h folgende metris he R(cid:127)aume behandelt: Sei C([0;1℄;R) die Menge der stetigen Funktionen f : [0;1℄ ! R und p > 0 aus N. Dann ist 0 11 Z1 p dp(f;g) = jf(x)(cid:0)g(x)jpdxA 0 4 eine Metrik auf C([0;1℄;R): (4) Auf jeder Menge X kann man die diskrete Metrik de(cid:12)nieren: (cid:26) 0 x = y d(x;y) = 1 x 6= y Der Stetigkeitsbegri(cid:11) (1.1) l(cid:127)asst si h o(cid:11)ensi htli h w(cid:127)ortli h auf metris he R(cid:127)aume erweitern. 1.5 De(cid:12)nition: Eine Abbildung f : (X;dX) ! (Y;dY) von metris hen R(cid:127)aumen hei(cid:25)t stetig in a 2 X, wenn es zu jedem " > 0 ein Æ > 0 gibt, so dass (cid:18) (cid:19) dY f(x);f(a) < " fu(cid:127)r alle x 2 X mit dX(x;a) < Æ; d.h. wenn es zu jeder "-Umgebung V von f(a) in Y eine Æ-Umgebung U von a in X gibt, so dass f(U) (cid:26) V. Ist f in jedem a 2 X stetig, hei(cid:25)t f stetig. f hei(cid:25)t Hom(cid:127)oomorphismus, falls f bijektiv und sowohl f als au h die Um- (cid:0)1 kehrfunktion f stetig sind. Der Hom(cid:127)oomorphiebegri(cid:11)in der Topologie entspri ht dem Isomorphiebegri(cid:11) inderAlgebra.Hom(cid:127)oomorphemetris heR(cid:127)aumewerden alsoinderTopologie als im wesentli hen glei h betra htet. Deshalb de(cid:12)niert der Topologe 1.6 De(cid:12)nition: Zwei Metriken d und d auf einer Menge X hei(cid:25)en (cid:127)aquivalent, wenn die identis he Abbildung id : (X;d) (cid:0)! (X;d) ein Hom(cid:127)oomorphismus ist. 1.7 U(cid:127)bung: Zeigen Sie, dass die drei Metriken auf Rn aus Beispiel 1.4.1 (cid:127)aquivalent sind. Na h (1.7) k(cid:127)onnen vers hiedene Metriken zum selben Stetigkeitsbegri(cid:11) fu(cid:127)h- ren. DieskannalsHinweisdafu(cid:127)rangesehen werden, dassmanwenigeralseine metris he Struktur fu(cid:127)r die De(cid:12)nitionder Stetigkeit ben(cid:127)otigt. Na h De(cid:12)nition 1.5 genu(cid:127)gt es in der Tat zu wissen, was eine Umgebung eines Punktes ist. In 1.5 h(cid:127)angen die Umgebungen von einem Parameter " ab, von dem wir uns zun(cid:127)a hst l(cid:127)osen wollen: 1.8 De(cid:12)nition: Sei (X;d) ein metris her Raum und a 2 X. Eine Menge U (cid:26) X hei(cid:25)t Umgebung von a, wenn es eine "-Umgebung V von a mit " > 0 gibt, so dass V (cid:26) U: 5 Wissen wir fu(cid:127)r jedes x 2 X und y 2 Y, was eine Umgebung von x bzw. y ist, k(cid:127)onnen wir wie in 1.5 stetige Abbildungen f : X ! Y de(cid:12)nieren. Damit wir fu(cid:127)r stetige Abbildungen dieses Typs au h S(cid:127)atze beweisen k(cid:127)onnen, mu(cid:127)ssen die Umgebungssysteme Axiome erfu(cid:127)llen. Z.B. wird bei dem u(cid:127)bli hen Beweis der Stetigkeit der Summe f+g zweier stetiger Funktionen f;g : R ! R benutzt, dass derDur hs hnitt zweier Umgebungen wiedereineUmgebung ist. Damitsind die ersten drei Axiome der folgenden De(cid:12)nitionnahe liegende Forderungen an einen vernu(cid:127)nftigen Umgebungsbegri(cid:11). Den Wert des vierten Axioms werden wir etwas sp(cid:127)ater einsehen. 1.9 De(cid:12)nition: Eine Topologie T auf einer Menge X ordnet jedem x 2 X eine ni ht leere Menge T (x) von Teilmengen von X zu, so dass gilt (i) x 2 U 8 U 2 T (x) (ii) U 2 T(x) und U (cid:26) V ) V 2 T (x) (iii) U;V 2 T (x) ) U \V 2 T(x) (iv) U 2 T(x) ) 9V 2 T (x); so dass U 2 T (y) 8y 2 V. Die Mengen U 2 T (x) hei(cid:25)en Umgebungen von x, das Paar (X;T ) hei(cid:25)t topologis her Raum. 1.10 Beispiele: (1) Auf einem metris hen Raum ist die kanonis he Topo- logie dur h die Umgebungen imSinne von (1.8)de(cid:12)niert. Der Na hweis der Axiome ist dem Leser u(cid:127)berlassen. (2) Sei X eine beliebige Menge. Die diskrete Topologie D auf X hat als D(x)dieMenge allerTeilmengenvon X,diexenthalten.Beider Klum- pentopologie K auf X besteht K(x) nur aus der Menge X. (3) Auf N de(cid:12)nieren wir eine Topologie T dur h: U 2 T(x), falls 0 und x aus U sind. (4) Sei (X;<) eine total geordnete Menge. Die Ordnungstopologie T auf X hat in T (x) alle Mengen U mit folgender Eigens haft: Gibt es ein a < x; so gibt es ein a1, so dass fz 2 X; a1 < z (cid:20) xg (cid:26) U, gibt es ein b > x, so gibt es ein b1, so dass fz 2 X; x (cid:20) z < b1g (cid:26) U: 1.11 U(cid:127)bung: Sind d und d (cid:127)aquivalente Metriken auf X, dann sind die zugeh(cid:127)origen kanonis hen Topologien dieselben. Bevor wir stetige Abbildungen zwis hen topologis hen R(cid:127)aumen betra hten, wollen wir einige wi htige Begri(cid:11)e einfu(cid:127)hren, die zum Teil s hon aus der Analysis bekannt sind. 6 1.12 De(cid:12)nition: Eine Menge A eines topologis hen Raumes (X;T ) hei(cid:25)t o(cid:11)en, wenn jedes a 2 A eine Umgebung U besitzt, so dass U (cid:26) A. DieMenge A hei(cid:25)t abges hlossen, falls ihr Komplement o(cid:11)en ist. 1.13 U(cid:127)bung: Sei (X;T ) ein topologis her Raum. Zeigen Sie (i) ; und X sind o(cid:11)en und abges hlossen (ii) die Vereinigung beliebig vieler o(cid:11)ener Mengen ist o(cid:11)en (iii) der Dur hs hnitt zweier (und damit endli h vieler) o(cid:11)ener Mengen ist o(cid:11)en (iv) der Dur hs hnitt beliebigvielerabges hlossener Mengen istabges hlossen (v) dieVereinigungzweier (und damitendli hvieler)abges hlossener Men- gen ist abges hlossen. Geben Sie Beispiele dafu(cid:127)r an, dass die Vereinigung beliebigvieler abges hlos- senerMengenni htabges hlossenundderDur hs hnittbeliebigvielero(cid:11)ener Mengen ni ht o(cid:11)en zu sein brau ht. O(cid:11)ene und abges hlossene Mengen sind fu(cid:127)r die Untersu hung topologis her R(cid:127)aume von fundamentaler Bedeutung. In der Tat bestimmt die Angabe der o(cid:11)enen Mengen sogar die Topologie. 1.14 Satz: Sei X eine Menge und O eine Familie von Teilmengen, so dass gilt (i) ;; X 2 O (ii) beliebige Vereinigung von Mengen aus O liegen in O (iii) der Dur hs hnitt zweier Mengen aus O liegt in O. Dann gibt es genau eine Topologie T auf X, deren o(cid:11)ene Mengen genau die Mengen aus O sind. Damit O die Familie der o(cid:11)enen Mengen in (X;T) ist, sind na h (1.13) die drei Bedingungen aus (1.14) notwendig. Zum Beweis zun(cid:127)a hst drei Beoba htungen 1.15 (i) Eine o(cid:11)ene Menge ist Umgebung eines jeden ihrer Punkte 7 (ii) U 2 T(x) , 9 o(cid:11)ene Menge A mit x 2 A (cid:26) U Æ (iii) A = fx 2 A; A 2 T (x)g, genannt das Innere oder der Kern von A (cid:26) X, ist o(cid:11)en. Beweis: (i) folgt direkt aus der De(cid:12)nition (1.12) Æ (iii) Hier ben(cid:127)otigen wir das Axiom 1.9.4. Sei x 2 A. Dann ist A Umgebung von x: Also gibt es eine Umgebung V von x, so dass A 2 T(y) fu(cid:127)r alle y 2 V. D.h. V A Æ x y 2 A fu(cid:127)r alle y 2 V. Also liegt die Æ Umgebung V von x ganz in A: Æ Æ Æ (ii) U 2 T(x). Dann ist U o(cid:11)en und x 2 U. Also x 2 U (cid:26) U. Sei umgekehrt A eine o(cid:11)ene Menge mit x 2 A (cid:26) U, dann ist A Umgebung von x na h (i) und U Umgebung von x na h 1.9 (ii). (cid:3) Beweis 1.14: Fu(cid:127)r die gesu hte TopologieT auf X muss na h 1.15 (ii) gelten T (x) = fU (cid:26) X; 9A 2 O mit x 2 A (cid:26) Ug: Die Eindeutigkeit von T ist damit klar. Wir zeigen nun, dass T tats(cid:127)a hli h eine Topologie und O die Familie der zugeh(cid:127)origen o(cid:11)enen Mengen ist. X 2 O, also ist T(x) 6= ;. Die Axiome 1.9 (i) und (ii) sind o(cid:11)ensi htli h erfu(cid:127)llt. Sind nun U;W 2 T (x), dann gibt es A;B 2 O mit x 2 A (cid:26) U und x 2 B (cid:26) W: Es folgt x 2 A\B (cid:26) U\W: Na h Voraussetzung ist A\B 2 O; also U \W 2 T(x): Fu(cid:127)r Axiom (iv) nehme V = A. Sei nun A 2 O und x 2 A: Da A 2 T(x); ist A eine Umgebung von x, die in A liegt, also ist A o(cid:11)en. Sei umgekehrt B eine o(cid:11)ene Menge von (X;T ) dann S gibt es zu jedem b 2 B ein Ab 2 O mit b 2 Ab (cid:26) B. Also ist B = Ab. b2B Na h Voraussetzung (ii) ist B 2 O. 2 1.16 Bemerkung: Wir werden ab jetzt fast immer Topologien dur h An- gabe ihrer o(cid:11)enen Mengen festlegen. Jetzt no h einige Bemerkungen zum Begri(cid:11) des Kerns und des dazu komplement(cid:127)aren Begri(cid:11)s, der Hu(cid:127)lle 1.17 De(cid:12)nition: Sei (X;T) ein topologis her Raum und A (cid:26) X 8 Æ (i) Die Punkte aus A hei(cid:25)en innere Punkte von A (ii) x 2 X hei(cid:25)t Ber(cid:127)uhrungspunkt von A, falls fu(cid:127)r jede Umgebung U von x gilt: U \A = ;. Die H(cid:127)ulle oder der Abs hluss A von A ist die Menge der Beru(cid:127)hrungspunkte von A (iii) x 2 X hei(cid:25)t H(cid:127)aufungspunkt von A, wenn fu(cid:127)r jede Umgebung U von x gilt: (U (cid:0)fxg)\A 6= ; (iv) x 2 X hei(cid:25)t Randpunkt von A, wenn fu(cid:127)r jede Umgebung U von x gilt U \A 6= ; und U \(X (cid:0)A) 6= ; 1.18 U(cid:127)bung: Sei (X;T ) topologis her Raum und A;B Teilmengen von X (1) A ist die kleinste abges hlossene Menge, die A enth(cid:127)alt, d.h. \ A = fC (cid:26) X; C abges hlossen, A (cid:26) Cg (2) Es gilt A[B = A[B und A\B (cid:26) A\B Æ (3) A ist die gr(cid:127)o(cid:25)te in A enthaltene o(cid:11)ene Menge, d.h. Æ [ A= fC (cid:26) X; C o(cid:11)en, C (cid:26) Ag Æ Æ Æ Æ Æ Æ (4) Es gilt (A\B) =A \B und (A[B) (cid:27)A [B Wenden wir uns nun Abbildungen topologis her R(cid:127)aume zu. Die De(cid:12)nition der Stetigkeit haben wir uns bereits erarbeitet: 1.19 De(cid:12)nition: Seien (X;S) und (Y;T) topologis he R(cid:127)aume. Eine Abbil- dung f := X ! Y hei(cid:25)t stetig in x 2 X, wenn es zu jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x gibt, so dass f(U) (cid:26) V: f hei(cid:25)t stetig, falls es in allen Punkten x 2 X stetig ist. Ist f bijektiv und (cid:0)1 sind f und ihre Umkehrfunktion f stetig, nennt man f einen Hom(cid:127)oomor- (cid:24) phismus. Wir s hreiben dann (X;S) = (Y;T). 1.20 Beispiele: (1) Fu(cid:127)r jeden topologis hen Raum (X;T ) ist die identi- s he Abbildung id : (X;T ) ! (X;T ) stetig. (2) Jede konstante Abbildung (X;T) ! (Y;T) von topologis hen R(cid:127)aumen ist stetig. 9 (3) Ist D die diskrete Topologie auf X und (Y;T) ein beliebiger topologi- s her Raum, dann ist jede Abbildung f : (X;D) ! (Y;T ) stetig. (4) Ist K die Klumpentopologie auf Y und (X;T ) ein beliebiger topologi- s her Raum, dann ist jede Abbildung f : (X;T ) ! (Y;K) stetig. 1.21 Konvention: Um die S hreibarbeit zu vereinfa hen, s hreiben wir fu(cid:127)r einen topologis hen Raum (X;T ) kurz X und nennen ihn kurz Raum. 1.22 Satz: Sind f : X ! Y und g : Y ! Z Abbildungen von R(cid:127)aumen, f stetig in x 2 X und g stetig in y = f(x) 2 Y, dann ist gÆf stetig in x. Beweis: Sei W Umgebung von (gÆf)(x) = g(f(x)) = g(y). Da g in y stetig ist, gibt es eine Umgebung V von y, so dass g(V) (cid:26) W. Da f in x stetig ist, gibt es eine Umgebung U von x, so dass f(U) (cid:26) V. Es folgt (cid:0) (cid:1) (g Æf)(U) = g f(U) (cid:26) g(V) (cid:26) W (cid:3) Das n(cid:127)a hste Resultat gibt eine Reihe nu(cid:127)tzli her Kriterien fu(cid:127)r die globale Stetigkeit einer Abbildung an. 1.23 Satz: Fu(cid:127)r eine Abbildung f : X ! Y von topologis hen R(cid:127)aumen sind (cid:127)aquivalent: (1) f ist stetig (cid:0)1 (2) B (cid:26) Y o(cid:11)en ) f (B) o(cid:11)en (cid:0)1 (3) B (cid:26) Y abges hlossen ) f (B) abges hlossen (4) A (cid:26) X beliebig ) f(A) (cid:26) f(A) (cid:0)1 (cid:0)1 (5) B (cid:26) Y beliebig ) f (B) (cid:26) f (B) (cid:0)1 Æ (cid:0) (cid:0)1 (cid:1)Æ (6) B (cid:26) Y beliebig ) f (B) (cid:26) f (B) Beweis:(1))(4):Seix 2 AundV eineUmgebungvonf(x):Daf stetigist, gibt es eine Umgebung U von x mit f(U) (cid:26) V. Da x 2 A, ist U \A 6= ;. Es folgt:; 6= f(U\A) (cid:26) f(U)\f(A) (cid:26) V\f(A).Alsoistf(x)Beru(cid:127)hrungspunkt von f(A), so dass f(x) 2 f(A) (cid:0)1 (4) ) (5) Sei A = f (B). Dann gilt na h (4) f(A) (cid:26) f(A) (cid:26) B. Also (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 f (B) = A (cid:26) f f(A) (cid:26) f (B) 10

Topologie I (Sommersemester 2005)

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