Topologie I (Sommersemester 2005)

33 Pages·2005·0.261 MB·German

by  Rainer Vogt

Topologie I
R. Vogt
Sommersemester 2005
Inhaltsverzei
hnis
1 Topologis
he R(cid:127)aume 3
2 Initiale und terminale Topologien 12
3 Zusammenhang 17
4 Die Trennungsaxiome 19
5 Kompakte R(cid:127)aume 25
6 Abbildungsr(cid:127)aume 30
2
1 Topologis
he R(cid:127)aume
Topologie ist Stetigkeitsgeometrie, d.h. sie untersu
ht Eigens
haften geome-
tris
her Gebilde, die unter bijektiven umkehrbar stetigen Abbildung erhal-
ten bleiben. Eine sol
he Eigens
haft ist etwa, zusammenh(cid:127)angend zu sein,
w(cid:127)ahrendL(cid:127)angenundVoluminaunterallgemeinenstetigenAbbildungenni
ht
erhalten bleiben.
Ausgehend vomStetigkeitsbegri(cid:11)der AnalysiswollenwirdieDe(cid:12)nitioneines
topologis
hen Raumes erarbeiten. Wir erinnern:
1.1 Sei M (cid:26) R. Eine Funktion f : M ! R hei(cid:25)t stetig in a 2 M, wenn es
zu jedem " > 0 ein Æ > 0 gibt, so dass jf(x)(cid:0)f(a)j < " fu(cid:127)r alle x 2 M mit
jx(cid:0)aj < Æ:
Die Menge fx 2 R; jx(cid:0)aj < Æg besteht aus allen Punkten von R, die von a
einen Abstand kleiner als Æ haben. Sie wird Æ-Umgebung von a genannt und
mit UÆ(a) bezei
hnet. Stetigkeit k(cid:127)onnen wir also de(cid:12)nieren, sobald wir einen
Abstandsbegri(cid:11) haben. Mengen, auf denen ein Abstandsbegri(cid:11) de(cid:12)niert ist,
hei(cid:25)en metris
he R(cid:127)aume.
1.2 De(cid:12)nition: Einmetris
herRaum isteineMengeX zusammenmiteiner
Abbildung d : X (cid:2)X ! R, genannt Metrik oder Abstandsfunktion, so dass
fu(cid:127)r x;y;z 2 X stets gilt
(i) d(x;y) = 0 () x = y
(ii) d(x;y) = d(y;x)
(iii) d(x;y) (cid:20) d(x;z)+d(z;y)
Erl(cid:127)auterung: Die drei Axiome geben Bedingungen an, die wir von einem
vernu(cid:127)nftigen Abstandsbegri(cid:11) erwarten: Ist der Abstand zweier Punkte Null,
so sind die Punkte glei
h. Der Abstand von x zu y ist derselbe, wie der von
y zu x: Das dritte Axiom, genannt Dreie
ksunglei
hung, ist am besten dur
h
folgendes Bild erkl(cid:127)art:
z
y
x
3
Eine Æ-Umgebung von a ist dann UÆ(a) = fx 2 X; d(x;a) < Æg
Selbstverst(cid:127)andli
h kann ein Abstand nur positive Werte haben:
1.3 Ist d : X (cid:2) X ! R eine Metrik auf X, so gilt d(x;y) (cid:21) 0 fu(cid:127)r alle
x;y 2 X:
Beweis: 0 = d(x;x) (cid:20) d(x;y)+d(y;x) = 2d(x;y): 2 (cid:3)
n
1.4 Beispiele: (1) Auf R = f(x1;::: ;xn); xi 2 Rg benutzt man meist
einederfolgendendreiMetriken: Seix = (x1;::: ;xn); y = (y1;::: ;yn)
p
2 2
(i) d2(x;y) = (x1 (cid:0)y1) +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(xn (cid:0)yn) (euklidis
he Metrik)
(ii) d1(x;y) = jx1 (cid:0)y1j+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+jxn (cid:0)ynj (L1-Metrik)
(iii) d1(x;y) = maxfjxi (cid:0)yij; i = 1;::: ;ng (Maximummetrik)
Den Na
hweis der Axiome u(cid:127)berlassen wir dem Leser.
Fu(cid:127)r n = 2 sehen die Umgebungen U1(0) wie folgt aus
-1 0 1
euklidis
he Metrik L1-Metrik Maximummetrik
(2) ImZusammenhangmitderglei
hm(cid:127)a(cid:25)igenKonvergenz von Funktionen-
folgen spielt der folgende metris
he Raum eine bedeutende Rolle:
Sei X 6= ; eine beliebigeMenge und B(X;R) die Menge der bes
hr(cid:127)ank-
ten Funktionen f : X ! R. Dann ist
d1(f;g) = supfjf(x)(cid:0)g(x)j; x 2 Xg
eine Metrik auf B(X;R).
(3) In der Analysis werden au
h folgende metris
he R(cid:127)aume behandelt: Sei
C([0;1℄;R) die Menge der stetigen Funktionen f : [0;1℄ ! R und p > 0
aus N. Dann ist
0 11
Z1 p
dp(f;g) =  jf(x)(cid:0)g(x)jpdxA
0
4
eine Metrik auf C([0;1℄;R):
(4) Auf jeder Menge X kann man die diskrete Metrik de(cid:12)nieren:
(cid:26)
0 x = y
d(x;y) =
1 x 6= y
Der Stetigkeitsbegri(cid:11) (1.1) l(cid:127)asst si
h o(cid:11)ensi
htli
h w(cid:127)ortli
h auf metris
he
R(cid:127)aume erweitern.
1.5 De(cid:12)nition: Eine Abbildung f : (X;dX) ! (Y;dY) von metris
hen
R(cid:127)aumen hei(cid:25)t stetig in a 2 X, wenn es zu jedem " > 0 ein Æ > 0 gibt,
so dass
(cid:18) (cid:19)
dY f(x);f(a) < " fu(cid:127)r alle x 2 X mit dX(x;a) < Æ;
d.h. wenn es zu jeder "-Umgebung V von f(a) in Y eine Æ-Umgebung U von
a in X gibt, so dass f(U) (cid:26) V.
Ist f in jedem a 2 X stetig, hei(cid:25)t f stetig.
f hei(cid:25)t Hom(cid:127)oomorphismus, falls f bijektiv und sowohl f als au
h die Um-
(cid:0)1
kehrfunktion f stetig sind.
Der Hom(cid:127)oomorphiebegri(cid:11)in der Topologie entspri
ht dem Isomorphiebegri(cid:11)
inderAlgebra.Hom(cid:127)oomorphemetris
heR(cid:127)aumewerden alsoinderTopologie
als im wesentli
hen glei
h betra
htet. Deshalb de(cid:12)niert der Topologe
1.6 De(cid:12)nition: Zwei Metriken d und d auf einer Menge X hei(cid:25)en (cid:127)aquiva-
lent, wenn die identis
he Abbildung id : (X;d) (cid:0)! (X;d) ein Hom(cid:127)oomor-
phismus ist.
1.7 U(cid:127)bung: Zeigen Sie, dass die drei Metriken auf Rn aus Beispiel 1.4.1
(cid:127)aquivalent sind.
Na
h (1.7) k(cid:127)onnen vers
hiedene Metriken zum selben Stetigkeitsbegri(cid:11) fu(cid:127)h-
ren. DieskannalsHinweisdafu(cid:127)rangesehen werden, dassmanwenigeralseine
metris
he Struktur fu(cid:127)r die De(cid:12)nitionder Stetigkeit ben(cid:127)otigt. Na
h De(cid:12)nition
1.5 genu(cid:127)gt es in der Tat zu wissen, was eine Umgebung eines Punktes ist.
In 1.5 h(cid:127)angen die Umgebungen von einem Parameter " ab, von dem wir uns
zun(cid:127)a
hst l(cid:127)osen wollen:
1.8 De(cid:12)nition: Sei (X;d) ein metris
her Raum und a 2 X. Eine Menge
U (cid:26) X hei(cid:25)t Umgebung von a, wenn es eine "-Umgebung V von a mit " > 0
gibt, so dass V (cid:26) U:
5
Wissen wir fu(cid:127)r jedes x 2 X und y 2 Y, was eine Umgebung von x bzw. y
ist, k(cid:127)onnen wir wie in 1.5 stetige Abbildungen f : X ! Y de(cid:12)nieren.
Damit wir fu(cid:127)r stetige Abbildungen dieses Typs au
h S(cid:127)atze beweisen k(cid:127)onnen,
mu(cid:127)ssen die Umgebungssysteme Axiome erfu(cid:127)llen. Z.B. wird bei dem u(cid:127)bli
hen
Beweis der Stetigkeit der Summe f+g zweier stetiger Funktionen f;g : R !
R benutzt, dass derDur
hs
hnitt zweier Umgebungen wiedereineUmgebung
ist. Damitsind die ersten drei Axiome der folgenden De(cid:12)nitionnahe liegende
Forderungen an einen vernu(cid:127)nftigen Umgebungsbegri(cid:11). Den Wert des vierten
Axioms werden wir etwas sp(cid:127)ater einsehen.
1.9 De(cid:12)nition: Eine Topologie T auf einer Menge X ordnet jedem x 2 X
eine ni
ht leere Menge T (x) von Teilmengen von X zu, so dass gilt
(i) x 2 U 8 U 2 T (x)
(ii) U 2 T(x) und U (cid:26) V ) V 2 T (x)
(iii) U;V 2 T (x) ) U \V 2 T(x)
(iv) U 2 T(x) ) 9V 2 T (x); so dass U 2 T (y) 8y 2 V.
Die Mengen U 2 T (x) hei(cid:25)en Umgebungen von x, das Paar (X;T ) hei(cid:25)t
topologis
her Raum.
1.10 Beispiele: (1) Auf einem metris
hen Raum ist die kanonis
he Topo-
logie dur
h die Umgebungen imSinne von (1.8)de(cid:12)niert. Der Na
hweis
der Axiome ist dem Leser u(cid:127)berlassen.
(2) Sei X eine beliebige Menge. Die diskrete Topologie D auf X hat als
D(x)dieMenge allerTeilmengenvon X,diexenthalten.Beider Klum-
pentopologie K auf X besteht K(x) nur aus der Menge X.
(3) Auf N de(cid:12)nieren wir eine Topologie T dur
h: U 2 T(x), falls 0 und x
aus U sind.
(4) Sei (X;<) eine total geordnete Menge. Die Ordnungstopologie T auf
X hat in T (x) alle Mengen U mit folgender Eigens
haft: Gibt es ein
a < x; so gibt es ein a1, so dass fz 2 X; a1 < z (cid:20) xg (cid:26) U, gibt es ein
b > x, so gibt es ein b1, so dass fz 2 X; x (cid:20) z < b1g (cid:26) U:
1.11 U(cid:127)bung: Sind d und d (cid:127)aquivalente Metriken auf X, dann sind die zu-
geh(cid:127)origen kanonis
hen Topologien dieselben.
Bevor wir stetige Abbildungen zwis
hen topologis
hen R(cid:127)aumen betra
hten,
wollen wir einige wi
htige Begri(cid:11)e einfu(cid:127)hren, die zum Teil s
hon aus der
Analysis bekannt sind.
6
1.12 De(cid:12)nition: Eine Menge A eines topologis
hen Raumes (X;T ) hei(cid:25)t
o(cid:11)en, wenn jedes a 2 A eine Umgebung U besitzt, so dass U (cid:26) A. DieMenge
A hei(cid:25)t abges
hlossen, falls ihr Komplement o(cid:11)en ist.
1.13 U(cid:127)bung: Sei (X;T ) ein topologis
her Raum. Zeigen Sie
(i) ; und X sind o(cid:11)en und abges
hlossen
(ii) die Vereinigung beliebig vieler o(cid:11)ener Mengen ist o(cid:11)en
(iii) der Dur
hs
hnitt zweier (und damit endli
h vieler) o(cid:11)ener Mengen ist
o(cid:11)en
(iv) der Dur
hs
hnitt beliebigvielerabges
hlossener Mengen istabges
hlos-
sen
(v) dieVereinigungzweier (und damitendli
hvieler)abges
hlossener Men-
gen ist abges
hlossen.
Geben Sie Beispiele dafu(cid:127)r an, dass die Vereinigung beliebigvieler abges
hlos-
senerMengenni
htabges
hlossenundderDur
hs
hnittbeliebigvielero(cid:11)ener
Mengen ni
ht o(cid:11)en zu sein brau
ht.
O(cid:11)ene und abges
hlossene Mengen sind fu(cid:127)r die Untersu
hung topologis
her
R(cid:127)aume von fundamentaler Bedeutung. In der Tat bestimmt die Angabe der
o(cid:11)enen Mengen sogar die Topologie.
1.14 Satz: Sei X eine Menge und O eine Familie von Teilmengen, so dass
gilt
(i) ;; X 2 O
(ii) beliebige Vereinigung von Mengen aus O liegen in O
(iii) der Dur
hs
hnitt zweier Mengen aus O liegt in O.
Dann gibt es genau eine Topologie T auf X, deren o(cid:11)ene Mengen genau die
Mengen aus O sind.
Damit O die Familie der o(cid:11)enen Mengen in (X;T) ist, sind na
h (1.13) die
drei Bedingungen aus (1.14) notwendig.
Zum Beweis zun(cid:127)a
hst drei Beoba
htungen
1.15 (i) Eine o(cid:11)ene Menge ist Umgebung eines jeden ihrer Punkte
7
(ii) U 2 T(x) , 9 o(cid:11)ene Menge A mit x 2 A (cid:26) U
Æ
(iii) A = fx 2 A; A 2 T (x)g, genannt das Innere oder der Kern von
A (cid:26) X, ist o(cid:11)en.
Beweis: (i) folgt direkt aus der De(cid:12)nition (1.12)
Æ
(iii) Hier ben(cid:127)otigen wir das Axiom 1.9.4. Sei x 2 A. Dann ist A Umgebung
von x:
Also gibt es eine Umgebung V von x,
so dass A 2 T(y) fu(cid:127)r alle y 2 V. D.h.
V A Æ
x y 2 A fu(cid:127)r alle y 2 V. Also liegt die
Æ
Umgebung V von x ganz in A:
Æ Æ Æ
(ii) U 2 T(x). Dann ist U o(cid:11)en und x 2 U. Also x 2 U (cid:26) U. Sei umgekehrt
A eine o(cid:11)ene Menge mit x 2 A (cid:26) U, dann ist A Umgebung von x na
h (i)
und U Umgebung von x na
h 1.9 (ii). (cid:3)
Beweis 1.14: Fu(cid:127)r die gesu
hte TopologieT auf X muss na
h 1.15 (ii) gelten
T (x) = fU (cid:26) X; 9A 2 O mit x 2 A (cid:26) Ug:
Die Eindeutigkeit von T ist damit klar. Wir zeigen nun, dass T tats(cid:127)a
hli
h
eine Topologie und O die Familie der zugeh(cid:127)origen o(cid:11)enen Mengen ist.
X 2 O, also ist T(x) 6= ;. Die Axiome 1.9 (i) und (ii) sind o(cid:11)ensi
htli
h
erfu(cid:127)llt. Sind nun U;W 2 T (x), dann gibt es A;B 2 O mit x 2 A (cid:26) U und
x 2 B (cid:26) W: Es folgt x 2 A\B (cid:26) U\W: Na
h Voraussetzung ist A\B 2 O;
also U \W 2 T(x): Fu(cid:127)r Axiom (iv) nehme V = A.
Sei nun A 2 O und x 2 A: Da A 2 T(x); ist A eine Umgebung von x, die in
A liegt, also ist A o(cid:11)en. Sei umgekehrt B eine o(cid:11)ene Menge von (X;T ) dann
S
gibt es zu jedem b 2 B ein Ab 2 O mit b 2 Ab (cid:26) B. Also ist B = Ab.
b2B
Na
h Voraussetzung (ii) ist B 2 O. 2
1.16 Bemerkung: Wir werden ab jetzt fast immer Topologien dur
h An-
gabe ihrer o(cid:11)enen Mengen festlegen.
Jetzt no
h einige Bemerkungen zum Begri(cid:11) des Kerns und des dazu komple-
ment(cid:127)aren Begri(cid:11)s, der Hu(cid:127)lle
1.17 De(cid:12)nition: Sei (X;T) ein topologis
her Raum und A (cid:26) X
8
Æ
(i) Die Punkte aus A hei(cid:25)en innere Punkte von A
(ii) x 2 X hei(cid:25)t Ber(cid:127)uhrungspunkt von A, falls fu(cid:127)r jede Umgebung U von x
gilt: U \A = ;. Die H(cid:127)ulle oder der Abs
hluss A von A ist die Menge
der Beru(cid:127)hrungspunkte von A
(iii) x 2 X hei(cid:25)t H(cid:127)aufungspunkt von A, wenn fu(cid:127)r jede Umgebung U von x
gilt: (U (cid:0)fxg)\A 6= ;
(iv) x 2 X hei(cid:25)t Randpunkt von A, wenn fu(cid:127)r jede Umgebung U von x gilt
U \A 6= ; und U \(X (cid:0)A) 6= ;
1.18 U(cid:127)bung: Sei (X;T ) topologis
her Raum und A;B Teilmengen von X
(1) A ist die kleinste abges
hlossene Menge, die A enth(cid:127)alt, d.h.
\
A = fC (cid:26) X; C abges
hlossen, A (cid:26) Cg
(2) Es gilt A[B = A[B und A\B (cid:26) A\B
Æ
(3) A ist die gr(cid:127)o(cid:25)te in A enthaltene o(cid:11)ene Menge, d.h.
Æ [
A= fC (cid:26) X; C o(cid:11)en, C (cid:26) Ag
Æ Æ Æ Æ
Æ Æ
(4) Es gilt (A\B) =A \B und (A[B) (cid:27)A [B
Wenden wir uns nun Abbildungen topologis
her R(cid:127)aume zu. Die De(cid:12)nition
der Stetigkeit haben wir uns bereits erarbeitet:
1.19 De(cid:12)nition: Seien (X;S) und (Y;T) topologis
he R(cid:127)aume. Eine Abbil-
dung f := X ! Y hei(cid:25)t stetig in x 2 X, wenn es zu jeder Umgebung V von
f(x) eine Umgebung U von x gibt, so dass f(U) (cid:26) V:
f hei(cid:25)t stetig, falls es in allen Punkten x 2 X stetig ist. Ist f bijektiv und
(cid:0)1
sind f und ihre Umkehrfunktion f stetig, nennt man f einen Hom(cid:127)oomor-
(cid:24)
phismus. Wir s
hreiben dann (X;S) = (Y;T).
1.20 Beispiele: (1) Fu(cid:127)r jeden topologis
hen Raum (X;T ) ist die identi-
s
he Abbildung id : (X;T ) ! (X;T ) stetig.
(2) Jede konstante Abbildung (X;T) ! (Y;T) von topologis
hen R(cid:127)aumen
ist stetig.
9
(3) Ist D die diskrete Topologie auf X und (Y;T) ein beliebiger topologi-
s
her Raum, dann ist jede Abbildung f : (X;D) ! (Y;T ) stetig.
(4) Ist K die Klumpentopologie auf Y und (X;T ) ein beliebiger topologi-
s
her Raum, dann ist jede Abbildung f : (X;T ) ! (Y;K) stetig.
1.21 Konvention: Um die S
hreibarbeit zu vereinfa
hen, s
hreiben wir fu(cid:127)r
einen topologis
hen Raum (X;T ) kurz X und nennen ihn kurz Raum.
1.22 Satz: Sind f : X ! Y und g : Y ! Z Abbildungen von R(cid:127)aumen, f
stetig in x 2 X und g stetig in y = f(x) 2 Y, dann ist gÆf stetig in x.
Beweis: Sei W Umgebung von (gÆf)(x) = g(f(x)) = g(y). Da g in y stetig
ist, gibt es eine Umgebung V von y, so dass g(V) (cid:26) W. Da f in x stetig ist,
gibt es eine Umgebung U von x, so dass f(U) (cid:26) V. Es folgt
(cid:0) (cid:1)
(g Æf)(U) = g f(U) (cid:26) g(V) (cid:26) W
(cid:3)
Das n(cid:127)a
hste Resultat gibt eine Reihe nu(cid:127)tzli
her Kriterien fu(cid:127)r die globale
Stetigkeit einer Abbildung an.
1.23 Satz: Fu(cid:127)r eine Abbildung f : X ! Y von topologis
hen R(cid:127)aumen sind
(cid:127)aquivalent:
(1) f ist stetig
(cid:0)1
(2) B (cid:26) Y o(cid:11)en ) f (B) o(cid:11)en
(cid:0)1
(3) B (cid:26) Y abges
hlossen ) f (B) abges
hlossen
(4) A (cid:26) X beliebig ) f(A) (cid:26) f(A)
(cid:0)1 (cid:0)1
(5) B (cid:26) Y beliebig ) f (B) (cid:26) f (B)
(cid:0)1 Æ (cid:0) (cid:0)1 (cid:1)Æ
(6) B (cid:26) Y beliebig ) f (B) (cid:26) f (B)
Beweis:(1))(4):Seix 2 AundV eineUmgebungvonf(x):Daf stetigist,
gibt es eine Umgebung U von x mit f(U) (cid:26) V. Da x 2 A, ist U \A 6= ;. Es
folgt:; 6= f(U\A) (cid:26) f(U)\f(A) (cid:26) V\f(A).Alsoistf(x)Beru(cid:127)hrungspunkt
von f(A), so dass f(x) 2 f(A)
(cid:0)1
(4) ) (5) Sei A = f (B). Dann gilt na
h (4) f(A) (cid:26) f(A) (cid:26) B. Also
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
f (B) = A (cid:26) f f(A) (cid:26) f (B)
10