Chapitre 2 Systèmes non linéaires Dansle premierchapitre,ona étudiéquelquesméthodesde résolutionde systèmeslinéairesen dimensionfinie. L’objectifestmaintenantdedévelopperdesméthodesderésolutiondesystèmesnonlinéaires,toujoursendimen- sionfinie.Onsedonneg C(IRn,IRn)etoncherchexdansIRnsolutionde: ∈ x IRn ∈ (2.1) g(x)=0. (cid:26) Au Chapitre I on a étudié des méthodes de résolution du système (2.1) dans le cas particulier g(x) = Ax b, A M (IR), b IRn. On va maintenantétendre le champ d’étudeau cas où g n’est pas forcémentaffine.−On n ∈ ∈ étudieradeuxfamillesdeméthodespourlarésolutionapprochéedusystème(2.1): – lesméthodesdepointfixe:pointfixedecontractionetpointfixedemonotonie – lesméthodesdetypeNewton1. 2.1 Rappels et notations de calcul différentiel Le premier chapitre faisait appel à vos connaissances en algèbre linéaire. Ce chapitre-ci, ainsi que le suivant (optimisation)s’appuierontsur vosconnaissancesencalculdifférentiel,etnousallonsdoncréviserlesquelques notionsquinousserontutiles. Définition2.1(Applicationdifférentiable). SoientE etF desespacesvectorielsnormés,f uneapplicationdeE dansF etx E.Onrappellequef estdifférentiableenxs’ilexisteT L(E,F)(oùL(E,F)estl’ensemble x ∈ ∈ desapplicationslinéairesdeE dansF)telleque f(x+h)=f(x)+T (h)+ h ε(h)avecε(h) 0quandh 0. (2.2) x E k k → → L’applicationT estalorsunique2 etonnoteDf(x) = T L(E,F)ladifférentielledef aupointx.Sif est x x ∈ différentiable en tout pointde E, alors on appelle différentielle de f l’applicationDf = E L(E,F) qui à → x E associel’applicationlinéaireDf(x)deE dansF. ∈ Remarquonstoutdesuitequesif estuneapplicationlinéairedeE dansF,alorsf estdifférentiable,etDf =f. Eneffet,sif estlinéaire,f(x+h) f(x)=f(h),etdoncl’égalité(2.2)estvérifiéeavecT =f etε=0. x − Voyonsmaintenantquelquescasparticuliersd’espacesEetF : 1. IsaacNewton(1643-1727,néd’unefamilledefermiers,estunphilosophe,mathématicien,physicien,alchimisteetastronomeanglais. Figureemblématiquedessciences,ilestsurtoutreconnupoursathéoriedelagravitationuniverselleetlacréation,enconcurrenceavecLeibniz, ducalculinfinitésimal. 141 2.1. RAPPELSETNOTATIONSDECALCULDIFFÉRENTIEL CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES CasoùE = IR etF = IR Sif estunefonctiondeIR dansIR,direquef estdifférentiableenxrevientàdire quef estdérivableenx.Eneffet,direquef estdérivableenxrevientàdireque f(x+h) f(x) f(x+h) f(x) lim − existe,et lim − =f′(x), h 0 h h 0 h → → cequis’écritencore f(x+h) f(x) − =f′(x)+ε(h), avecε(h) 0lorsqueh 0, h → → c’est-à-dire f(x+h) f(x)=Tx(h)+hε(h), avecTx(h)=f′(x)h, − cequirevientàdirequef estdifférentiableenx,etquesadifférentielleenxestl’applicationlinéaireT :IR IR, x → quiàhassocief (x)h.OnaainsivérifiéquepourunefonctiondeIR dansIR,lanotiondedifférentiellecoïncide ′ aveccellededérivée. Exemple 2.2. Prenonsf : IR IR définieparf(x) = sinx. Alorsf est dérivableentoutpointetsa dérivée → vautf (x) = cosx.Lafonctionf estdoncaussidifférentiableentoutpoint.Ladifférentielledef aupointxest ′ l’applicationlinéaireDf(x)quiàh IRassocieDf(x)(h)=cosxh.Ladifférentielledef estl’applicationde ∈ IRdansL(IR,IR),quiàxassocieDf(x)(quiestdoncellemêmeuneapplicationlinéaire). CasoùE = IRn etF = IRp Soitf : IRn IRp, x IRn etsupposonsquef est différentiableenx;alors Df(x) L(IRn,IRp);parcaractérisationd’un→eapplicati∈onlinéairedeIRpdansIRn,ilexisteuneuniquematrice ∈ J (x) M (IR)telleque f p,n ∈ Df(x)(y)=J (x)y, y IRn. f ∀ ∈ IRp IRp ∈ ∈ Onconfondalorssouventl’applicationl|inéa{izreD}f(x|) {zL}(IRn,IRp)avecla matriceJf(x) Mp,n(IR)quila ∈ ∈ représente,qu’onappellematricejacobiennedef aupointxetqu’onnoteJ .Onécritdonc: f J (x)=Df(x)=(a ) oùa =∂ f (x), f i,j 1 i p,1 j n i,j j i ≤≤ ≤ ≤ ∂ désignantladérivéepartielleparrapportàlaj-èmevariable. j Notonsquesin = p = 1,lafonctionf estdeIR dansIR etlamatricejacobienneenxn’estautrequeladérivée enx:J (x)=f (x).OnconfonddanscetteécriturelamatriceJ (x)quiestdetaille1 1aveclescalairef (x). f ′ f ′ × Exemple2.3. Prenonsn=3etp=2;soitf :IR3 IR2définiepar: → x2+x3+x4 x 1 2 3 1 f(x)= , x= x 2   ∀   2x x x 1 2 3 −     Soith IR3decomposantes(h ,h ,h ).Pourcalculerladifférentielledef (enxappliquéeàh),onpeutcalculer 1 2 3 ∈ f(x+h) f(x): − (x +h )2 x2+(x +h )3 x3+(x +h )4 x4 1 1 − 1 2 2 − 2 3 3 − 3 f(x+h) f(x)= −   2(x +h ) 2x 2(x +h )+2x 1 1 1 2 2 2 − − 2x h +h2+ 3x2h +3x h2+h3+ 4x3h + 4x2h2+h4 1 1 1 ′ 2 2 2 2 2 − 3 3 − 3 3 3 =   2h 2+h 1 2 −   etonpeutainsivérifierl’égalité(2.2)avec: 2x h +3x2h +4x3h Df(x)h= 1 1 2 2 3 3 2h h 1 2 (cid:20) − (cid:21) 142 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.1. RAPPELSETNOTATIONSDECALCULDIFFÉRENTIEL CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES etdonc,aveclesnotationsprécédentes, 2x 3x2 4x3 J (x)= 1 2 3 f 2 1 0 (cid:20) − (cid:21) Biensûr,danslapratique,onn’apasbesoindecalculerladifférentielleeneffectuantladifférencef(x+h) f(x). − OnpeutdirectementcalculerlesdériéespartiellespourcalculerlamatricejacobienneJ . f CasoùE =IRn,F =IR C’estenfaitunsous-casduparagrapheprécédent,puisqu’onesticidanslecasp=1. Soit x IRn et f une fonction de E dans F différentiable en x; on a donc J (x) M (IR) : J est une f 1,n f matrice∈ligne.Ondéfinitle gradientdef enxcommelevecteurdeIRndontlescompos∈antessontlescoefficients de la matricecolonne(J (x))t, ce qu’onécrit,avec unabusdenotation, f(x) = (J (x))t IRn. (L’abusde f f notationestdûaufaitqu’àgauche,ils’agitd’unvecteurdeIRn,etàdroite∇,unematricen 1,q∈uisontdesobjets mathématiquesdifférents,maisqu’onidentifiepourallégerlesnotations).Pour(x,y) (IR×n)2,onadonc ∈ ∂ f(x) n 1 Df(x)(y)=Jf(x)y = ∂jf(x)yj = f(x) yoù f(x)= ...  IRn. ∇ · ∇ ∈ Xj=i  ∂nf(x)    Attention,lorsquel’onécritJ (x)y ils’agitd’unproduitmatricevecteur,alorsquelorsqu’onécrit f(x) y,il f ∇ · s’agitduproduitscalaireentrelesvecteurs f(x)ety,qu’onpeutaussiécrire (f(x))ty. ∇ ∇ CasoùE estunespacedeHilbertetF = IR. Ongénéraliseicilecasprésentéauparagrapheprécédent.Soit f : E IR différentiable en x E. Alors Df(x) L(E,IR) = E , où E désigne le dual topologique de ′ ′ → ∈ ∈ E,c.à.d.l’ensembledesformeslinéairescontinuessurE.ParlethéorèmedereprésentationdeRiesz,ilexisteun uniqueu EtelqueDf(x)(y)=(uy) pourtouty E,où(..) désigneleproduitscalairesurE.Onappelle E E ∈ | ∈ | encoregradientdef enxcevecteuru.Onadoncu= f(x) E etpoury E,Df(x)(y)=( f(x)y) . E ∇ ∈ ∈ ∇ | Différentielled’ordre2,matricehessienne. Revenons maintenant au cas général de deux espaces vectoriels normés E et F, et supposons maintenant que f C2(E,F). Le fait que f C2(E,F) signifie que Df C1(E,L(E,F)). Par définition,on a D2f(x) ∈ ∈ ∈ ∈ L(E,L(E,F))etdoncpoury E,D2f(x)(y) L(E,F),etpourz E,D2f(x)(y)(z) F. Considéronsmaintenantlecasp∈articulierE =IR∈netF =IR.Ona: ∈ ∈ f C2(IRn,IR) f C1(IRn,IR)et f C1(IRn,IRn) . ∈ ⇔ ∈ ∇ ∈ et (cid:2) (cid:3) D2f(x) L(IRn,L(IRn,IR)) ∈ Maisàtouteapplicationlinéaireϕ L(IRn,L(IRn,IR)),onpeutassocierdemanièreuniqueuneformebilinéaire φsurIRndelamanièresuivante: ∈ φ:IRn IRn IR (2.3) × → (u,v) φ(u,v)= (ϕ(u)) (v) . (2.4) 7→ L(IRn,IR) IRn ∈ ∈ On dit qu’il existe une isométrie canonique (un isomorphism|e{qzui}co|n{sze}rve la norme) entre l’espace vectoriel norméL(IRn,L(IRn,IR))etl’espacedesformesbilinéairessurIRn. Onappellematricehessiennedef etonnoteH (x)lamatricedelaformebilinéaireainsiassocíéeàl’application f linéaireD2f(x) L(IRn,L(IRn,IR)). ∈ On a donc D2f(x)(y)(z) = ytH (x)z. La matrice hessienne H (x) peutse calculer à l’aide des dérivées par- f f tielles : H (x) = (b ) M (IR) où b = ∂2 f(x) et ∂2 désigne la dérivée partielle par rapport f i,j i,j=1...N ∈ n i,j i,j i,j 143 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES à la variable i de la dérivée partielle par rapportà la variable j. Notons que par définition (toujoursavec l’abus denotationquiconsisteàidentifierlesapplicationslinéairesaveclesmatricesquilesreprésentent),Dg(x)estla matricejacobiennedeg = f enx. ∇ Remarque2.4(Surlesdifférentielles,gradientetHessienne). Pourdéfinirladifférentielled’unefonctionf d’un expacevectorieldedimensionfinieE dansIR,onabesoind’unenormesurE. Sif estdifférentiableenx E,pourdéfinirlegradientdef enx,onabesoind’unproduitscalairesurE pour ∈ pouvoir utiliser le théorème de representation de Riesz mentionné plus haut. Le gradient est défini de manière uniqueparleproduitscalaire,maissescomposantesdépendentdelabasechoisie. Enfin,sif estdeuxfoisdifférentiableenx E,onabesoind’unebasedeE pourdéfinirlamatricehessienneen ∈ x,etcettematricehessiennedépenddelabasechoisie. 2.2 Les méthodes de point fixe 2.2.1 Pointfixede contraction Soitg C(IRn,IRn),ondéfinitlafonctionf C(IRn,IRn)parf(x)=x g(x).Onpeutalorsremarquerque ∈ ∈ − g(x) = 0sietseulementsif(x) = x.Résoudrelesystèmenonlinéaire(2.1)revientdoncàtrouverunpointfixe def.Encorefaut-ilqu’untelpointfixeexiste...Onrappellelethéorèmedepointfixebienconnu: Théorème2.5(Pointfixe). SoitE unespacemétriquecomplet,dladistancesurE,etf : E E unefonction → strictement contractante, c’est–à–dire telle qu’il existe κ ]0,1[ tel que d(f(x),f(y)) κd(x,y) pour tout ∈ ≤ x,y E.Alorsilexisteununiquepointfixex¯ Equivérifief(x¯)=x¯.Deplussix(0) E,etx(k+1) =f(x(k)), ∈ ∈ ∈ k 0,alorsx(k) x¯quandn+ . ∀ ≥ → ∞ DÉMONSTRATION– Etape1:Existencedex¯etconvergencedelasuite Soitx(0) Eet(x(k)) lasuitedéfinieparx(k+1) =f(x(k))pourk 0.Onvamontrerque: k IN ∈ ∈ ≥ 1. lasuite(x(k)) estdeCauchy(doncconvergentecarEestcomplet), n IN ∈ 2. lim x(k) =x¯estpointfixedef. n + → ∞ Parhypothèse,onsaitquepourtoutk 1, ≥ d(x(k+1),x(k))=d(f(x(k)),f(x(k−1))) κd(x(k),x(k−1)). ≤ Parrécurrencesurk,onobtientque d(x(k+1),x(k)) κkd(x(1),x(0)), k 0. ≤ ∀ ≥ Soitk 0etp 1,onadonc: ≥ ≥ d(x(k+p),x(k)) d(x(k+p),x(k+p−1))+ +d(x(k+1),x(k)) ≤ ··· p d(x(k+q),x(k+q−1)) ≤ q=1 X p κk+q−1d(x(1),x(0)) ≤ q=1 X d(x(1),x(0))κk(1+κ+...+κp−1) ≤ κk d(x(1),x(0)) 0quandk + carκ<1. ≤ 1 κ −→ → ∞ − Lasuite(x(k)) estdoncdeCauchy,i.e. : k IN ∈ ε>0, k IN; k k , p 1 d(x(k+p),x(k)) ε. ε ε ∀ ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ≤ 144 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES Comme E est complet, on a donc x(k) x¯ dans E quand k + . Comme la fonction f est strictement contractante,elleestcontinue,doncona−au→ssif(x(k)) f(x¯)d→ansE∞quandk + .Enpassantàlalimite −→ → ∞ dansl’égalitéx(k+1) =f(x(k)),onendéduitquex¯=f(x¯). Etape2:Unicité Soit x¯ et y¯des points fixesde f, qui satisfont donc x¯ = f(x¯) et y¯ = f(y¯). Alors d(f(x¯),f(y¯)) = d(x¯,y¯) ≤ κd(x¯,y¯);commeκ<1,ceciestimpossiblesaufsix¯=y¯. La méthode du point fixe s’appelle aussi méthode des itérations successives. Dans le cadre de ce cours, nous prendronsE =IRn,etladistanceassociéeàlanormeeuclidienne,quenousnoterons . |·| 1 n 2 (x,y) IRn IRnavecx=(x ,...,x ),y =(y ,...,y ),d(x,y)= x y = (x y )2 . 1 n 1 n i i ∀ ∈ × | − | − ! i=1 X Atitred’illustration,essayonsdelamettreenoeuvrepourtrouverlespointsfixesdelafonctionx x2. 7→ y y f(x(2)) y=x2 1 f(x(1)) y=x y=x y=x2 f(x(0)) f(x(0)) 1 f(x(1)) f(x(2)) x(3) x(2) x(1) x(0) 1 x 1x(x0)(1) x(2) x FIGURE 2.1: Comportement des itérés successifs du point fixe pour x x2– A gauche : x(0) < 1, à droite : 7→ x(0) >1. Pour la fonction x x2, on voit sur la figure 2.1, côté gauche, que si l’on part de x = x(0) < 1, la méthode 7→ convergerapidementvers0; or la fonctionx x2 n’eststrictementcontractanteque sur l’intervalle] 1,1[. 7→ − 2 2 Doncsix=x(0) ] 1,1[,onestdanslesconditionsd’applicationduthéorèmedupointfixe.Maisenfait,lasuite ∈ −2 2 (x(k)) définieparlepointfixeconvergepourtoutx(0) ] 1,1[;ceciesttrèsfacileàvoircarx(k) =(x(k))2 n IN ∈ ∈ − etonadoncconvergencevers0si x <1. | | Parcontresil’onpartdex(0) > 1(àdroitesurla figure2.1), ondivergerapidement:maisriendesurprenantà cela,puisquelafonctionx x2n’estpascontractantesur[1,+ [ 7→ ∞ Dans le cas de la fonction x √x, on voit sur la figure 2.2 que les itérés convergentvers 1 que l’on parte à 7→ droiteouàgauchedex = 1;onpeutmêmedémontrer(exercice)quesix(0) > 0,lasuite(x) convergevers n IN 1lorsquek + .Pourtantla fonctionx √xn’estcontractantequepourx > 1;maiso∈nn’atteintjamais → ∞ 7→ 4 lepointfixe0,cequiestmoral,puisquelafonctionn’estpascontractanteen0.Onserendcompteencoresurcet exempleque le théorèmedu pointfixe donne une conditionsuffisante de convergence,mais que cette condition n’estpasnécessaire. Remarquonsquel’hypothèsequef envoieE dansE estcruciale.Parexemplelafonctionf :x 1 estlipschit- 7→ x ziennederapportk <1sur[1+ε,+ [pourtoutε>0maisellen’envoiepas[1+ε,+ [dans[1+ε,+ [.La ∞ ∞ ∞ méthodedupointfixeàpartirduchoixinitialx=1donnelasuitex, 1,x, 1,...,x, 1 quineconvergepas. 6 x x x Remarque2.6(Vitessedeconvergence). Sousleshypothèsesduthéorème2.5,d(x(k+1),x¯)=d(f(x(k)),f(x¯)) ≤ kd(x(k),x¯);doncsix(k) = x¯alors d(x(k+1),x¯) k (< 1),voiràcesujetladéfinition2.14.Laconvergenceest 6 d(x(k),x¯) ≤ doncaumoinslinéaire(mêmesidefait,cetteméthodeconvergeengénéralassezlentement). 145 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES y=√x f(x˜(0)) f(x˜(1)) f(x˜(2)) f(x(2)) f(x(1)) f(x(0)) y=x x(0)x(1) x˜(2) x˜(1) x˜(0) FIGURE2.2:Comportementdesitéréssuccessifsdupointfixepourx √x 7→ Remarque2.7(Généralisation). Lethéorème2.5segénéraliseenremplaçantl’hypothèse“f strictementcontrac- tante"par“ilexistek >0telquef(k) = f f ... f eststrictementcontractante”(reprendreladémonstra- ◦ ◦ ◦ kfois tionduthéorèmepourlevérifier). | {z } La question qui vient alors naturellement est : que faire pour résoudre g(x) = 0 si la méthode du point fixe appliquéeà la fonctionx x g(x) ne convergepas? Dans ce cas, f n’est passtrictementcontractante; une 7→ − idéepossibleestdepondérerlafonctiong parunparamètreω = 0etd’appliquerlesitérationsdepointfixeàla 6 fonctionf (x)=x ωg(x);onremarquelàencorequexestencoresolutiondusystème(2.1)sietseulementsi ω − xestpointfixedef (x).Onaimeraitdanscecastrouverω pourquef soitstrictementcontractante,c.à.d.pour ω ω que f (x) f (y) = x y ω(g(x) g(y)) κx y pour(x,y) IRn IRn, avecκ<1. ω ω | − | | − − − |≤ | − | ∈ × Or x y ω(g(x) g(y))2 = x y ω(g(x) g(y)) x y ω(g(x) g(y)) | − − − | − − − · − − − =(cid:0)x y 2 2(x y) (ω(g(cid:1)(x(cid:0)) g(y)))+ω2 g(x) g(cid:1)(y)2. | − | − − · − | − | Supposonsquegsoitlipschitzienne,etsoitM >0saconstantedeLipschitz: g(x) g(y) M x y , x,y IRn. (2.5) | − |≤ | − | ∀ ∈ Onadonc x y ω(g(x) g(y))2 (1+ω2M2)x y 2 2(x y) (ω(g(x) g(y))) | − − − | ≤ | − | − − · − Oronveut x y ω(g(x) g(y))2 κx y 2,avecκ <1.Onadoncintérêtàcequeleterme 2(x y) | − − − | ≤ | − | − − · (ω(g(x) g(y)))soitdelaforme ax y 2avecastrictementpositif.Pourobtenirceci,onvasupposerdeplus − − | − | que: α>0telque(g(x) g(y)) (x y) αx y 2, x,y IRn, (2.6) ∃ − · − ≥ | − | ∀ ∈ Onobtientalors: x y ω(g(x) g(y))2 (1+ω2M2 2ωα)x y 2. | − − − | ≤ − | − | Et donc si ω ]0, 2α[, le polynômeω2M2 2ωα est strictement négatif : soit µ (noter que µ ]0,1[) et on ∈ M2 − − ∈ obtientque x y ω(g(x) g(y))2 (1 µ)x y 2. | − − − | ≤ − | − | Onpeutdoncénoncerlethéorèmesuivant: 146 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES Théorème2.8(Pointfixedecontractionavecrelaxation). Ondésignepar lanormeeuclidiennesurIRn.Soit g C(IRn,IRn)lipschitziennedeconstantedeLipschitzM > 0,ettellequ|·e|(2.6)estvérifiée:alorslafonction ∈ 2α f : x x ωg(x)eststrictementcontractantesi0 < ω < .Ilexiste doncunetunseulx¯ IRn telque ω 7→ − M2 ∈ g(x¯)=0etx(k) x¯quandn + avecx(k+1) =f (x(k))=x(k) ωg(x(k)). ω → → ∞ − Remarque2.9. Lethéorème2.8permetdemontrerquesousleshypothèses(2.6)et(2.5),etpourω ]0, 2α[,on ∈ M2 peutobtenirlasolutionde(2.1)enconstruisantlasuite: x(k+1) =x(k) ωg(x(k)) n 0, − ≥ (2.7) x(0) IRn. (cid:26) ∈ Oronpeutaussiécrirecettesuitedelamanièresuivante: x˜(k+1) =f(x(k)), n 0 ∀ ≥ (2.8) x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k), x(0) IRn. (cid:26) − ∈ Eneffetsix(k+1) estdonnéparlasuite(2.8),alors x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k) =ωf(x(k))+(1 ω)x(k) = ωg(x(k))+x(k). − − − Leprocédédeconstructiondelasuite(2.8)estl’algorithmederelaxationsurf. Lapropositionsuivantedonneuneconditionsuffisantepourqu’unefonctionvérifieleshypothèses(2.6)et(2.5). Proposition2.10. Soith C2(IRn,IR),et(λ ) lesvaleurspropresdelamatricehessiennedeh.Onsuppose i i=1,n ∈ qu’ilexistedesréelsstrictementpositifsαetM telsque α λ (x) M, i 1...n , x IRn. i ≤ ≤ ∀ ∈{ } ∀ ∈ (Notonsquecettehypothèseestplausiblepuisquelesvaleurspropresdelamatricehessiennesontréelles).Alors lafonctiong = h(gradientdeh)vérifieleshypothèses(2.6)et(2.5)duthéorème2.8. ∇ DÉMONSTRATION– Montrons d’abord que l’hypothèse (2.6) est vérifiée. Soit(x,y) (IRn)2, onveut montrer que ∈ (g(x) g(y)) (x y) αx y2.Onintroduitpourcelalafonctionϕ C1(IR,IRn)définiepar: − · − ≥ | − | ∈ ϕ(t)=g(x+t(y x)). − Onadonc 1 ϕ(1) ϕ(0)=g(y) g(x)= ϕ′(t)dt. − − Z0 Orϕ′(t)=Dg(x+t(y x))(y x).Donc − − 1 g(y) g(x)= Dg(x+t(y x))(y x)dt. − − − Z0 Onendéduitque: 1 (g(y) g(x)) (y x)= (Dg(x+t(y x))(y x) (y x))dt. − · − − − · − Z0 Commeλ (x) [α,M] i 1,...,n ,ona i ∈ ∀ ∈{ } αw2 Dg(z)w w M w2pourtoutw,z IRn | | ≤ · ≤ | | ∈ Onadonc: 1 (g(y) g(x)) (y x) αy x2dt=αy x2 − · − ≥ | − | | − | Z0 cequimontrequel’hypothèse(2.6)estbienvérifiée. 147 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES Montronsmaintenantquel’hypothèse(2.5)estvérifiée.Onveutmontrerque g(y) g(x) M y x.Comme | − |≤ | − | 1 g(y) g(x)= Dg(x+t(y x))(y x)dt, − − − Z0 ona 1 g(y) g(x) Dg(x+t(y x))(y x)dt | − | ≤ | − − | Z01 Dg(x+t(y x)) y xdt, ≤ | − || − | Z0 où . estlanormesurM (IR)induiteparlanormeeuclidiennesurIRn. n || Or,commeλ (x) [α,M]pourtouti=1,...,n,lamatriceDg(x+t(y x))estsymétriquedéfiniepositiveetdonc, i ∈ − d’aprèslaproposition1.30page62,sonrayonspectralestégalàsanorme,pourlanormeinduiteparlanormeeuclidienne. Onadonc: Dg(x+t(y x) =ρ(Dg(x+t(y x)) M. | − | − ≤ Onadoncainsimontréque: g(y) g(x) M y x,cequitermineladémonstration. | − |≤ | − | 2.2.2 Pointfixede monotonie Dansdenombreuxcasissusdeladiscrétisationd’équationsauxdérivéespartielles,leproblèmederésolutiond’un problème non linéaire apparaît sous la forme Ax = R(x) où A est une matrice carrée d’ordre n inversible, et R C(IRn,IRn).Onpeutleréécriresouslaformex = A 1R(x)etappliquerl’algorithmedepointfixesurla − ∈ fonctionf : x A 1Rx, ce quidonnecommeitération : x(k+1) = A 1R(x(k)). Si on pratiqueun pointfixe − − 7→ avecrelaxation,dontleparamètrederelaxationω >0,alorsl’itérations’écrit: x˜(k+1) =A 1R(x(k)), x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k). − − Si la matrice A possède une propriété dite “de monotonie”, on peut montrer la convergencede l’algorithme du pointfixe;c’estl’objetduthéorèmesuivant. Théorème2.11(Pointfixedemonotonie). SoientA M (IR)etR C(IRn,IRn).Onsupposeque: n ∈ ∈ 1. lamatriceAestunematriced’inversepositive,ouIP–matricevoirexercice8),c.à.d.queAestinversibleet touslescoefficientsdeA 1sontpositifsounuls,cequiestéquivalentàdireque: − Ax 0 x 0, ≥ ⇒ ≥ ausenscomposanteparcomposante,c’est-à-dire (Ax) 0, i=1,...,n x 0, i=1,...,n . i i ≥ ∀ ⇒ ≥ ∀ (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 2. R est monotone,c.à.d.que si x y (composantepar composante)alors R(x) R(y) (composantepar ≥ ≥ composante). 3. 0estunesous-solutionduproblème,c’est-à-direque0 R(0)etilexistex˜ IRn;x˜ 0telquex˜estune ≤ ∈ ≥ sur-solutionduproblème,c’est-à-direqueAx˜ R(x˜). ≥ Onposex(0) =0etAx(k+1) =R(x(k)).Onaalors: 1. 0 x(k) x˜, k IN, ≤ ≤ ∀ ∈ 2. x(k+1) x(k), k IN, ≥ ∀ ∈ 3. x(k) x¯quandk + etAx¯=R(x¯). → → ∞ 148 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES DÉMONSTRATION– CommeAestinversiblelasuite(x(k))n INvérifiant ∈ x(0) =0, Ax(k+1)=R(x(k)), k 0 (cid:26) ≥ estbiendéfinie.Onvamontrerparrécurrencesurkque0 x(k) x˜pourtoutk 0etquex(k) x(k+1) pourtout ≤ ≤ ≥ ≤ k 0. ≥ 1. Pourk = 0,onax(0) = 0etdonc0 x(0) x˜etAx(1) = R(0) 0.Onendéduitquex(1) 0grâceaux ≤ ≤ ≥ ≥ hypothèses1et3etdoncx(1) x(0) =0. ≥ 2. Onsupposemaintenant(hypothèsederécurrence)que0 x(p) x˜etx(p) x(p+1)pourtoutp 0,...,n 1 . ≤ ≤ ≤ ∈{ − } Onveutmontrerque0 x(k) x˜etquex(k) x(k+1).Parhypothèsederécurrencepourp=k 1,onsaitque x(k) x(k−1)etquex(≤k−1) ≤0.Onadoncx(k≤) 0.Parhypothèsederécurrence,onaégalement−quex(k−1) x˜ ≥ ≥ ≥ ≤ et grâce à l’hypothèse 2, on a donc R(x(k−1)) R(x˜). Par définition de la suite (x(k))n IN, on a Ax(k) = R(x(k−1))etgrâceàl’hypothèse3,onsaitqueAx˜≤ R(x˜).Onadonc:A(x˜ x(k)) R(x˜)∈ R(x(k−1)) 0. Onendéduitalors(grâceàl’hypothèse1)quex(k) ≥x˜. − ≥ − ≥ ≤ Deplus,commeAx(k)=R(x(k−1))etAx(k+1)=R(x(k)),onaA(x(k+1) x(k))=R(x(k)) R(x(k−1)) 0 parl’hypothèse2,etdoncgrâceàl’hypothèse1,x(k+1) x(k). − − ≥ ≥ Onadoncainsimontré(parrécurrence)que 0 x(k) x˜, k 0 ≤ ≤ ∀ ≥ x(k) x(k+1), k 0. ≤ ∀ ≥ Cesinégalitéss’entendentcomposanteparcomposante,c.à.d.quesix(k) =(x(k)...x(k))t IRnetx˜=(x˜ ...x˜ )t 1 n ∈ 1 n ∈ IRn,alors0 x(k) x˜ etx(k) x(k+1), i 1,...,n ,et k 0. ≤ i ≤ i i ≤ i ∀ ∈{ } ∀ ≥ Soit i 1,...,n ; la suite (x(k)) IR est croissante et majorée par x˜ donc il existe x¯ IR tel que x¯ = lim ∈x(k{).Sionp}osex¯=(x¯ .i..x¯n∈)tIN ⊂IRn,onadoncx(k) x¯quandk i + . i ∈ i k + i 1 n ∈ −→ → ∞ → ∞ Enfin,commeAx(k+1) = R(x(k))etcommeRestcontinue,onobtientparpassage àlalimitelorsquek + que → ∞ Ax¯=R(x¯)etque0 x¯ x˜. ≤ ≤ L’hypothèse1duthéorème2.11estvérifiéeparexempleparlesmatricesAqu’onaobtenuespardiscrétisationpar différencesfiniesdesopérateurs u surl’intervalle]0,1[(voirpage11etl’exercice47)et∆u sur]0,1[ ]0,1[ ′′ − × (voirpage14). Théorème2.12(Généralisationduprécédent). SoitA M (IR),R C1(IRn,IRn),R=(R ,...,R )t telsque n 1 n ∈ ∈ 1. Pourtoutβ 0etpourtoutx IRn,Ax+βx 0 x 0 ≥ ∈ ≥ ⇒ ≥ ∂R 2. i 0, i,j t.q. i = j (R est monotonecroissante parrapportà la variablex si j = i) et γ > 0, i j ∂x ≥ ∀ 6 6 ∃ j ∂R γ i 0, x IRn, i 1,...,n (R estmonotonedécroissanteparrapportàlavariablex ). i i − ≤ ∂x ≤ ∀ ∈ ∀ ∈{ } i 3. 0 R(0)(0estsous-solution)et x˜ 0telqueA(x˜) R(x˜)(x˜estsur-solution). ≤ ∃ ≥ ≥ Soientx(0) = 0, β γ, et (x(k)) la suite définie parAx(k+1) +βx(k+1) = R(x(k))+βx(k). Cette suite n IN convergeversx¯ IR≥netAx¯=R(x¯∈).Deplus,0 x(k) x˜ n INetx(k) x(k+1), n IN. ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ DÉMONSTRATION– OnseramèneauthéorèmeprécédentavecA+βIdaulieudeAetR+βaulieudeR. Remarque2.13(PointfixedeBrouwer). Ons’estintéresséiciuniquementàdesthéorèmesdepointfixe“construc- tifs",i.e.quidonnentunalgorithmepourledéterminer.IlexisteaussiunthéorèmedepointfixedansIRnavecdes 149 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015 2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES hypothèsesbeaucoupplusgénérales(maislethéorèmeestnonconstructif),c’estlethéorèmedeBrouwer3 :sif estunefonctioncontinuedelabouleunitédeIRndanslabouleunité,alorselleadmetunpointfixedanslaboule unité. 2.2.3 Vitessedeconvergence Définition2.14(Vitessedeconvergence). Soit(x(k)) IRn etx¯ IRn.Onsupposequex(k) x¯lorsque n IN k + ,quelasuiteestnonstationnaire,c.à.d.quex∈(k) =∈ x¯pourto∈utk IN,etque → → ∞ 6 ∈ x(k+1) x¯ lim k − k =β [0,1]. (2.9) k + x(k) x¯ ∈ → ∞ k − k Ons’intéresseàla“vitessedeconvergence"delasuite(x(k)) .Onditque: n IN ∈ 1. Laconvergenceestsous–linéairesiβ =1. 2. Laconvergenceestaumoinslinéairesiβ [0,1[. ∈ 3. Laconvergenceestlinéairesiβ ]0,1[. ∈ 4. Laconvergenceestsuperlinéairesiβ =0.Danscecas,onditégalementque: (a) Laconvergenceestaumoinsquadratiques’ilexisteγ IR etilexisten INtelsquesik n + 0 0 ∈ ∈ ≥ alors x(k+1) x¯ γ x(k) x¯ 2. k − k≤ k − k (b) Laconvergenceestquadratiquesi x(k+1) x¯ lim k − k =γ >0. k + x(k) x¯ 2 → ∞ k − k Plusgénéralement,onditque: (a) La convergenceest au moins d’ordre p s’il existe γ IR et il existe k IN tels quesi k k + 0 0 ∈ ∈ ≥ alors x(k+1) x¯ γ x(k) x¯ p. k − k≤ k − k (b) Laconvergenceestd’ordre psi x(k+1) x¯ lim k − k =γ >0. n + x(k) x¯ p → ∞ k − k Remarque2.15(Surlavitessedeconvergencedessuites). – Remarquonsd’abordquesiunesuite(x(k)) IRn convergeversx¯ IRn lorsquentendversl’infini, n IN ∈ ∈ ∈ alorsonaforcémentβ 1dans(2.9).Eneffet,silasuitevérifie(2.9)avecβ > 1,alorsilexistek IN 0 ≤ ∈ telquesik k , x x¯ x x¯ pourtoutk k ,cequicontreditlaconvergence. ≥ 0 | n− |≥| k0 − | ≥ 0 – Quelquesexemplesdesuitesquiconvergentsous-linéairement:x = 1 ,x = 1,maisaussi,demanière k √k k k moinsintuitive:x = 1 .Toutescessuitesvérifientl’égalité(2.9)avecβ =1. k k2 – Attentiondonc,contrairementàcequepourraitsuggérersonnom,laconvergencelinéaire(ausensdonné ci-dessus),estdéjàuneconvergencetrèsrapide.Lessuitesgéométriquesdéfiniesparx =βkavecβ ]0,1[ k ∈ sontdessuitesquiconvergentlinéairement(vers0),carellesverifientévidemmentbien(2.9)avecβ ]0,1[. ∈ – laconvergencequadratiqueestencoreplusrapide!Parexemplelasuitedéfinieparx =x2 convergede k+1 k manièrequadratiquepourunchoixinitialx ] 1,1[.Maissiparmalheurlechoixinitialestendehorsde 0 ∈ − cetintervalle,lasuitedivergealorstrèsvite...demanièreexponentielle,enfait,puisquex =exp(klnx ). k 0 3. LuitzenEgbertusJanBrouwer(1881-1966),mathématiciennéerlandais. 150 AnalysenumériqueI,télé-enseignement,L3 Universitéd’Aix-Marseille,R.Herbin,1eroctobre2015

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