Systèmes non linéaires

29 Pages·2015·0.56 MB·French

Chapitre 2
Systèmes non linéaires
Dansle premierchapitre,ona étudiéquelquesméthodesde résolutionde systèmeslinéairesen dimensionfinie.
L’objectifestmaintenantdedévelopperdesméthodesderésolutiondesystèmesnonlinéaires,toujoursendimen-
sionfinie.Onsedonneg C(IRn,IRn)etoncherchexdansIRnsolutionde:
∈
x IRn
∈ (2.1)
g(x)=0.
(cid:26)
Au Chapitre I on a étudié des méthodes de résolution du système (2.1) dans le cas particulier g(x) = Ax b,
A M (IR), b IRn. On va maintenantétendre le champ d’étudeau cas où g n’est pas forcémentaffine.−On
n
∈ ∈
étudieradeuxfamillesdeméthodespourlarésolutionapprochéedusystème(2.1):
– lesméthodesdepointfixe:pointfixedecontractionetpointfixedemonotonie
– lesméthodesdetypeNewton1.
2.1 Rappels et notations de calcul différentiel
Le premier chapitre faisait appel à vos connaissances en algèbre linéaire. Ce chapitre-ci, ainsi que le suivant
(optimisation)s’appuierontsur vosconnaissancesencalculdifférentiel,etnousallonsdoncréviserlesquelques
notionsquinousserontutiles.
Définition2.1(Applicationdifférentiable). SoientE etF desespacesvectorielsnormés,f uneapplicationdeE
dansF etx E.Onrappellequef estdifférentiableenxs’ilexisteT L(E,F)(oùL(E,F)estl’ensemble
x
∈ ∈
desapplicationslinéairesdeE dansF)telleque
f(x+h)=f(x)+T (h)+ h ε(h)avecε(h) 0quandh 0. (2.2)
x E
k k → →
L’applicationT estalorsunique2 etonnoteDf(x) = T L(E,F)ladifférentielledef aupointx.Sif est
x x
∈
différentiable en tout pointde E, alors on appelle différentielle de f l’applicationDf = E L(E,F) qui à
→
x E associel’applicationlinéaireDf(x)deE dansF.
∈
Remarquonstoutdesuitequesif estuneapplicationlinéairedeE dansF,alorsf estdifférentiable,etDf =f.
Eneffet,sif estlinéaire,f(x+h) f(x)=f(h),etdoncl’égalité(2.2)estvérifiéeavecT =f etε=0.
x
−
Voyonsmaintenantquelquescasparticuliersd’espacesEetF :
1. IsaacNewton(1643-1727,néd’unefamilledefermiers,estunphilosophe,mathématicien,physicien,alchimisteetastronomeanglais.
Figureemblématiquedessciences,ilestsurtoutreconnupoursathéoriedelagravitationuniverselleetlacréation,enconcurrenceavecLeibniz,
ducalculinfinitésimal.
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2.1. RAPPELSETNOTATIONSDECALCULDIFFÉRENTIEL CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
CasoùE = IR etF = IR Sif estunefonctiondeIR dansIR,direquef estdifférentiableenxrevientàdire
quef estdérivableenx.Eneffet,direquef estdérivableenxrevientàdireque
f(x+h) f(x) f(x+h) f(x)
lim − existe,et lim − =f′(x),
h 0 h h 0 h
→ →
cequis’écritencore
f(x+h) f(x)
− =f′(x)+ε(h), avecε(h) 0lorsqueh 0,
h → →
c’est-à-dire
f(x+h) f(x)=Tx(h)+hε(h), avecTx(h)=f′(x)h,
−
cequirevientàdirequef estdifférentiableenx,etquesadifférentielleenxestl’applicationlinéaireT :IR IR,
x
→
quiàhassocief (x)h.OnaainsivérifiéquepourunefonctiondeIR dansIR,lanotiondedifférentiellecoïncide
′
aveccellededérivée.
Exemple 2.2. Prenonsf : IR IR définieparf(x) = sinx. Alorsf est dérivableentoutpointetsa dérivée
→
vautf (x) = cosx.Lafonctionf estdoncaussidifférentiableentoutpoint.Ladifférentielledef aupointxest
′
l’applicationlinéaireDf(x)quiàh IRassocieDf(x)(h)=cosxh.Ladifférentielledef estl’applicationde
∈
IRdansL(IR,IR),quiàxassocieDf(x)(quiestdoncellemêmeuneapplicationlinéaire).
CasoùE = IRn etF = IRp Soitf : IRn IRp, x IRn etsupposonsquef est différentiableenx;alors
Df(x) L(IRn,IRp);parcaractérisationd’un→eapplicati∈onlinéairedeIRpdansIRn,ilexisteuneuniquematrice
∈
J (x) M (IR)telleque
f p,n
∈ Df(x)(y)=J (x)y, y IRn.
f
∀ ∈
IRp IRp
∈ ∈
Onconfondalorssouventl’applicationl|inéa{izreD}f(x|) {zL}(IRn,IRp)avecla matriceJf(x) Mp,n(IR)quila
∈ ∈
représente,qu’onappellematricejacobiennedef aupointxetqu’onnoteJ .Onécritdonc:
f
J (x)=Df(x)=(a ) oùa =∂ f (x),
f i,j 1 i p,1 j n i,j j i
≤≤ ≤ ≤
∂ désignantladérivéepartielleparrapportàlaj-èmevariable.
j
Notonsquesin = p = 1,lafonctionf estdeIR dansIR etlamatricejacobienneenxn’estautrequeladérivée
enx:J (x)=f (x).OnconfonddanscetteécriturelamatriceJ (x)quiestdetaille1 1aveclescalairef (x).
f ′ f ′
×
Exemple2.3. Prenonsn=3etp=2;soitf :IR3 IR2définiepar:
→
x2+x3+x4 x
1 2 3 1
f(x)= , x= x
2
  ∀  
2x x x
1 2 3
−
   
Soith IR3decomposantes(h ,h ,h ).Pourcalculerladifférentielledef (enxappliquéeàh),onpeutcalculer
1 2 3
∈
f(x+h) f(x):
−
(x +h )2 x2+(x +h )3 x3+(x +h )4 x4
1 1 − 1 2 2 − 2 3 3 − 3
f(x+h) f(x)=
−  
2(x +h ) 2x 2(x +h )+2x
1 1 1 2 2 2
− −
2x h +h2+ 3x2h +3x h2+h3+ 4x3h + 4x2h2+h4
1 1 1 ′ 2 2 2 2 2 − 3 3 − 3 3 3
=
 
2h 2+h
1 2
−
 
etonpeutainsivérifierl’égalité(2.2)avec:
2x h +3x2h +4x3h
Df(x)h= 1 1 2 2 3 3
2h h
1 2
(cid:20) − (cid:21)
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2.1. RAPPELSETNOTATIONSDECALCULDIFFÉRENTIEL CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
etdonc,aveclesnotationsprécédentes,
2x 3x2 4x3
J (x)= 1 2 3
f 2 1 0
(cid:20) − (cid:21)
Biensûr,danslapratique,onn’apasbesoindecalculerladifférentielleeneffectuantladifférencef(x+h) f(x).
−
OnpeutdirectementcalculerlesdériéespartiellespourcalculerlamatricejacobienneJ .
f
CasoùE =IRn,F =IR C’estenfaitunsous-casduparagrapheprécédent,puisqu’onesticidanslecasp=1.
Soit x IRn et f une fonction de E dans F différentiable en x; on a donc J (x) M (IR) : J est une
f 1,n f
matrice∈ligne.Ondéfinitle gradientdef enxcommelevecteurdeIRndontlescompos∈antessontlescoefficients
de la matricecolonne(J (x))t, ce qu’onécrit,avec unabusdenotation, f(x) = (J (x))t IRn. (L’abusde
f f
notationestdûaufaitqu’àgauche,ils’agitd’unvecteurdeIRn,etàdroite∇,unematricen 1,q∈uisontdesobjets
mathématiquesdifférents,maisqu’onidentifiepourallégerlesnotations).Pour(x,y) (IR×n)2,onadonc
∈
∂ f(x)
n 1
Df(x)(y)=Jf(x)y = ∂jf(x)yj = f(x) yoù f(x)= ...  IRn.
∇ · ∇ ∈
Xj=i  ∂nf(x) 
 
Attention,lorsquel’onécritJ (x)y ils’agitd’unproduitmatricevecteur,alorsquelorsqu’onécrit f(x) y,il
f
∇ ·
s’agitduproduitscalaireentrelesvecteurs f(x)ety,qu’onpeutaussiécrire (f(x))ty.
∇ ∇
CasoùE estunespacedeHilbertetF = IR. Ongénéraliseicilecasprésentéauparagrapheprécédent.Soit
f : E IR différentiable en x E. Alors Df(x) L(E,IR) = E , où E désigne le dual topologique de
′ ′
→ ∈ ∈
E,c.à.d.l’ensembledesformeslinéairescontinuessurE.ParlethéorèmedereprésentationdeRiesz,ilexisteun
uniqueu EtelqueDf(x)(y)=(uy) pourtouty E,où(..) désigneleproduitscalairesurE.Onappelle
E E
∈ | ∈ |
encoregradientdef enxcevecteuru.Onadoncu= f(x) E etpoury E,Df(x)(y)=( f(x)y) .
E
∇ ∈ ∈ ∇ |
Différentielled’ordre2,matricehessienne.
Revenons maintenant au cas général de deux espaces vectoriels normés E et F, et supposons maintenant que
f C2(E,F). Le fait que f C2(E,F) signifie que Df C1(E,L(E,F)). Par définition,on a D2f(x)
∈ ∈ ∈ ∈
L(E,L(E,F))etdoncpoury E,D2f(x)(y) L(E,F),etpourz E,D2f(x)(y)(z) F.
Considéronsmaintenantlecasp∈articulierE =IR∈netF =IR.Ona: ∈ ∈
f C2(IRn,IR) f C1(IRn,IR)et f C1(IRn,IRn) .
∈ ⇔ ∈ ∇ ∈
et (cid:2) (cid:3)
D2f(x) L(IRn,L(IRn,IR))
∈
Maisàtouteapplicationlinéaireϕ L(IRn,L(IRn,IR)),onpeutassocierdemanièreuniqueuneformebilinéaire
φsurIRndelamanièresuivante: ∈
φ:IRn IRn IR (2.3)
× →
(u,v) φ(u,v)= (ϕ(u)) (v) . (2.4)
7→
L(IRn,IR) IRn
∈ ∈
On dit qu’il existe une isométrie canonique (un isomorphism|e{qzui}co|n{sze}rve la norme) entre l’espace vectoriel
norméL(IRn,L(IRn,IR))etl’espacedesformesbilinéairessurIRn.
Onappellematricehessiennedef etonnoteH (x)lamatricedelaformebilinéaireainsiassocíéeàl’application
f
linéaireD2f(x) L(IRn,L(IRn,IR)).
∈
On a donc D2f(x)(y)(z) = ytH (x)z. La matrice hessienne H (x) peutse calculer à l’aide des dérivées par-
f f
tielles : H (x) = (b ) M (IR) où b = ∂2 f(x) et ∂2 désigne la dérivée partielle par rapport
f i,j i,j=1...N ∈ n i,j i,j i,j
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
à la variable i de la dérivée partielle par rapportà la variable j. Notons que par définition (toujoursavec l’abus
denotationquiconsisteàidentifierlesapplicationslinéairesaveclesmatricesquilesreprésentent),Dg(x)estla
matricejacobiennedeg = f enx.
∇
Remarque2.4(Surlesdifférentielles,gradientetHessienne). Pourdéfinirladifférentielled’unefonctionf d’un
expacevectorieldedimensionfinieE dansIR,onabesoind’unenormesurE.
Sif estdifférentiableenx E,pourdéfinirlegradientdef enx,onabesoind’unproduitscalairesurE pour
∈
pouvoir utiliser le théorème de representation de Riesz mentionné plus haut. Le gradient est défini de manière
uniqueparleproduitscalaire,maissescomposantesdépendentdelabasechoisie.
Enfin,sif estdeuxfoisdifférentiableenx E,onabesoind’unebasedeE pourdéfinirlamatricehessienneen
∈
x,etcettematricehessiennedépenddelabasechoisie.
2.2 Les méthodes de point fixe
2.2.1 Pointfixede contraction
Soitg C(IRn,IRn),ondéfinitlafonctionf C(IRn,IRn)parf(x)=x g(x).Onpeutalorsremarquerque
∈ ∈ −
g(x) = 0sietseulementsif(x) = x.Résoudrelesystèmenonlinéaire(2.1)revientdoncàtrouverunpointfixe
def.Encorefaut-ilqu’untelpointfixeexiste...Onrappellelethéorèmedepointfixebienconnu:
Théorème2.5(Pointfixe). SoitE unespacemétriquecomplet,dladistancesurE,etf : E E unefonction
→
strictement contractante, c’est–à–dire telle qu’il existe κ ]0,1[ tel que d(f(x),f(y)) κd(x,y) pour tout
∈ ≤
x,y E.Alorsilexisteununiquepointfixex¯ Equivérifief(x¯)=x¯.Deplussix(0) E,etx(k+1) =f(x(k)),
∈ ∈ ∈
k 0,alorsx(k) x¯quandn+ .
∀ ≥ → ∞
DÉMONSTRATION– Etape1:Existencedex¯etconvergencedelasuite
Soitx(0) Eet(x(k)) lasuitedéfinieparx(k+1) =f(x(k))pourk 0.Onvamontrerque:
k IN
∈ ∈ ≥
1. lasuite(x(k)) estdeCauchy(doncconvergentecarEestcomplet),
n IN
∈
2. lim x(k) =x¯estpointfixedef.
n +
→ ∞
Parhypothèse,onsaitquepourtoutk 1,
≥
d(x(k+1),x(k))=d(f(x(k)),f(x(k−1))) κd(x(k),x(k−1)).
≤
Parrécurrencesurk,onobtientque
d(x(k+1),x(k)) κkd(x(1),x(0)), k 0.
≤ ∀ ≥
Soitk 0etp 1,onadonc:
≥ ≥
d(x(k+p),x(k)) d(x(k+p),x(k+p−1))+ +d(x(k+1),x(k))
≤ ···
p
d(x(k+q),x(k+q−1))
≤
q=1
X
p
κk+q−1d(x(1),x(0))
≤
q=1
X
d(x(1),x(0))κk(1+κ+...+κp−1)
≤
κk
d(x(1),x(0)) 0quandk + carκ<1.
≤ 1 κ −→ → ∞
−
Lasuite(x(k)) estdoncdeCauchy,i.e. :
k IN
∈
ε>0, k IN; k k , p 1 d(x(k+p),x(k)) ε.
ε ε
∀ ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ≤
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
Comme E est complet, on a donc x(k) x¯ dans E quand k + . Comme la fonction f est strictement
contractante,elleestcontinue,doncona−au→ssif(x(k)) f(x¯)d→ansE∞quandk + .Enpassantàlalimite
−→ → ∞
dansl’égalitéx(k+1) =f(x(k)),onendéduitquex¯=f(x¯).
Etape2:Unicité
Soit x¯ et y¯des points fixesde f, qui satisfont donc x¯ = f(x¯) et y¯ = f(y¯). Alors d(f(x¯),f(y¯)) = d(x¯,y¯)
≤
κd(x¯,y¯);commeκ<1,ceciestimpossiblesaufsix¯=y¯.
La méthode du point fixe s’appelle aussi méthode des itérations successives. Dans le cadre de ce cours, nous
prendronsE =IRn,etladistanceassociéeàlanormeeuclidienne,quenousnoterons .
|·|
1
n 2
(x,y) IRn IRnavecx=(x ,...,x ),y =(y ,...,y ),d(x,y)= x y = (x y )2 .
1 n 1 n i i
∀ ∈ × | − | − !
i=1
X
Atitred’illustration,essayonsdelamettreenoeuvrepourtrouverlespointsfixesdelafonctionx x2.
7→
y y
f(x(2))
y=x2
1
f(x(1)) y=x
y=x y=x2 f(x(0))
f(x(0))
1
f(x(1))
f(x(2))
x(3) x(2) x(1) x(0) 1 x 1x(x0)(1) x(2) x
FIGURE 2.1: Comportement des itérés successifs du point fixe pour x x2– A gauche : x(0) < 1, à droite :
7→
x(0) >1.
Pour la fonction x x2, on voit sur la figure 2.1, côté gauche, que si l’on part de x = x(0) < 1, la méthode
7→
convergerapidementvers0; or la fonctionx x2 n’eststrictementcontractanteque sur l’intervalle] 1,1[.
7→ − 2 2
Doncsix=x(0) ] 1,1[,onestdanslesconditionsd’applicationduthéorèmedupointfixe.Maisenfait,lasuite
∈ −2 2
(x(k)) définieparlepointfixeconvergepourtoutx(0) ] 1,1[;ceciesttrèsfacileàvoircarx(k) =(x(k))2
n IN
∈ ∈ −
etonadoncconvergencevers0si x <1.
| |
Parcontresil’onpartdex(0) > 1(àdroitesurla figure2.1), ondivergerapidement:maisriendesurprenantà
cela,puisquelafonctionx x2n’estpascontractantesur[1,+ [
7→ ∞
Dans le cas de la fonction x √x, on voit sur la figure 2.2 que les itérés convergentvers 1 que l’on parte à
7→
droiteouàgauchedex = 1;onpeutmêmedémontrer(exercice)quesix(0) > 0,lasuite(x) convergevers
n IN
1lorsquek + .Pourtantla fonctionx √xn’estcontractantequepourx > 1;maiso∈nn’atteintjamais
→ ∞ 7→ 4
lepointfixe0,cequiestmoral,puisquelafonctionn’estpascontractanteen0.Onserendcompteencoresurcet
exempleque le théorèmedu pointfixe donne une conditionsuffisante de convergence,mais que cette condition
n’estpasnécessaire.
Remarquonsquel’hypothèsequef envoieE dansE estcruciale.Parexemplelafonctionf :x 1 estlipschit-
7→ x
ziennederapportk <1sur[1+ε,+ [pourtoutε>0maisellen’envoiepas[1+ε,+ [dans[1+ε,+ [.La
∞ ∞ ∞
méthodedupointfixeàpartirduchoixinitialx=1donnelasuitex, 1,x, 1,...,x, 1 quineconvergepas.
6 x x x
Remarque2.6(Vitessedeconvergence). Sousleshypothèsesduthéorème2.5,d(x(k+1),x¯)=d(f(x(k)),f(x¯))
≤
kd(x(k),x¯);doncsix(k) = x¯alors d(x(k+1),x¯) k (< 1),voiràcesujetladéfinition2.14.Laconvergenceest
6 d(x(k),x¯) ≤
doncaumoinslinéaire(mêmesidefait,cetteméthodeconvergeengénéralassezlentement).
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
y=√x
f(x˜(0))
f(x˜(1))
f(x˜(2))
f(x(2))
f(x(1))
f(x(0))
y=x x(0)x(1) x˜(2) x˜(1) x˜(0)
FIGURE2.2:Comportementdesitéréssuccessifsdupointfixepourx √x
7→
Remarque2.7(Généralisation). Lethéorème2.5segénéraliseenremplaçantl’hypothèse“f strictementcontrac-
tante"par“ilexistek >0telquef(k) = f f ... f eststrictementcontractante”(reprendreladémonstra-
◦ ◦ ◦
kfois
tionduthéorèmepourlevérifier).
| {z }
La question qui vient alors naturellement est : que faire pour résoudre g(x) = 0 si la méthode du point fixe
appliquéeà la fonctionx x g(x) ne convergepas? Dans ce cas, f n’est passtrictementcontractante; une
7→ −
idéepossibleestdepondérerlafonctiong parunparamètreω = 0etd’appliquerlesitérationsdepointfixeàla
6
fonctionf (x)=x ωg(x);onremarquelàencorequexestencoresolutiondusystème(2.1)sietseulementsi
ω
−
xestpointfixedef (x).Onaimeraitdanscecastrouverω pourquef soitstrictementcontractante,c.à.d.pour
ω ω
que
f (x) f (y) = x y ω(g(x) g(y)) κx y pour(x,y) IRn IRn, avecκ<1.
ω ω
| − | | − − − |≤ | − | ∈ ×
Or
x y ω(g(x) g(y))2 = x y ω(g(x) g(y)) x y ω(g(x) g(y))
| − − − | − − − · − − −
=(cid:0)x y 2 2(x y) (ω(g(cid:1)(x(cid:0)) g(y)))+ω2 g(x) g(cid:1)(y)2.
| − | − − · − | − |
Supposonsquegsoitlipschitzienne,etsoitM >0saconstantedeLipschitz:
g(x) g(y) M x y , x,y IRn. (2.5)
| − |≤ | − | ∀ ∈
Onadonc
x y ω(g(x) g(y))2 (1+ω2M2)x y 2 2(x y) (ω(g(x) g(y)))
| − − − | ≤ | − | − − · −
Oronveut x y ω(g(x) g(y))2 κx y 2,avecκ <1.Onadoncintérêtàcequeleterme 2(x y)
| − − − | ≤ | − | − − ·
(ω(g(x) g(y)))soitdelaforme ax y 2avecastrictementpositif.Pourobtenirceci,onvasupposerdeplus
− − | − |
que:
α>0telque(g(x) g(y)) (x y) αx y 2, x,y IRn, (2.6)
∃ − · − ≥ | − | ∀ ∈
Onobtientalors:
x y ω(g(x) g(y))2 (1+ω2M2 2ωα)x y 2.
| − − − | ≤ − | − |
Et donc si ω ]0, 2α[, le polynômeω2M2 2ωα est strictement négatif : soit µ (noter que µ ]0,1[) et on
∈ M2 − − ∈
obtientque
x y ω(g(x) g(y))2 (1 µ)x y 2.
| − − − | ≤ − | − |
Onpeutdoncénoncerlethéorèmesuivant:
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
Théorème2.8(Pointfixedecontractionavecrelaxation). Ondésignepar lanormeeuclidiennesurIRn.Soit
g C(IRn,IRn)lipschitziennedeconstantedeLipschitzM > 0,ettellequ|·e|(2.6)estvérifiée:alorslafonction
∈ 2α
f : x x ωg(x)eststrictementcontractantesi0 < ω < .Ilexiste doncunetunseulx¯ IRn telque
ω 7→ − M2 ∈
g(x¯)=0etx(k) x¯quandn + avecx(k+1) =f (x(k))=x(k) ωg(x(k)).
ω
→ → ∞ −
Remarque2.9. Lethéorème2.8permetdemontrerquesousleshypothèses(2.6)et(2.5),etpourω ]0, 2α[,on
∈ M2
peutobtenirlasolutionde(2.1)enconstruisantlasuite:
x(k+1) =x(k) ωg(x(k)) n 0,
− ≥ (2.7)
x(0) IRn.
(cid:26) ∈
Oronpeutaussiécrirecettesuitedelamanièresuivante:
x˜(k+1) =f(x(k)), n 0
∀ ≥ (2.8)
x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k), x(0) IRn.
(cid:26) − ∈
Eneffetsix(k+1) estdonnéparlasuite(2.8),alors
x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k) =ωf(x(k))+(1 ω)x(k) = ωg(x(k))+x(k).
− − −
Leprocédédeconstructiondelasuite(2.8)estl’algorithmederelaxationsurf.
Lapropositionsuivantedonneuneconditionsuffisantepourqu’unefonctionvérifieleshypothèses(2.6)et(2.5).
Proposition2.10. Soith C2(IRn,IR),et(λ ) lesvaleurspropresdelamatricehessiennedeh.Onsuppose
i i=1,n
∈
qu’ilexistedesréelsstrictementpositifsαetM telsque
α λ (x) M, i 1...n , x IRn.
i
≤ ≤ ∀ ∈{ } ∀ ∈
(Notonsquecettehypothèseestplausiblepuisquelesvaleurspropresdelamatricehessiennesontréelles).Alors
lafonctiong = h(gradientdeh)vérifieleshypothèses(2.6)et(2.5)duthéorème2.8.
∇
DÉMONSTRATION– Montrons d’abord que l’hypothèse (2.6) est vérifiée. Soit(x,y) (IRn)2, onveut montrer que
∈
(g(x) g(y)) (x y) αx y2.Onintroduitpourcelalafonctionϕ C1(IR,IRn)définiepar:
− · − ≥ | − | ∈
ϕ(t)=g(x+t(y x)).
−
Onadonc
1
ϕ(1) ϕ(0)=g(y) g(x)= ϕ′(t)dt.
− −
Z0
Orϕ′(t)=Dg(x+t(y x))(y x).Donc
− −
1
g(y) g(x)= Dg(x+t(y x))(y x)dt.
− − −
Z0
Onendéduitque:
1
(g(y) g(x)) (y x)= (Dg(x+t(y x))(y x) (y x))dt.
− · − − − · −
Z0
Commeλ (x) [α,M] i 1,...,n ,ona
i
∈ ∀ ∈{ }
αw2 Dg(z)w w M w2pourtoutw,z IRn
| | ≤ · ≤ | | ∈
Onadonc:
1
(g(y) g(x)) (y x) αy x2dt=αy x2
− · − ≥ | − | | − |
Z0
cequimontrequel’hypothèse(2.6)estbienvérifiée.
147
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
Montronsmaintenantquel’hypothèse(2.5)estvérifiée.Onveutmontrerque g(y) g(x) M y x.Comme
| − |≤ | − |
1
g(y) g(x)= Dg(x+t(y x))(y x)dt,
− − −
Z0
ona
1
g(y) g(x) Dg(x+t(y x))(y x)dt
| − | ≤ | − − |
Z01
Dg(x+t(y x)) y xdt,
≤ | − || − |
Z0
où . estlanormesurM (IR)induiteparlanormeeuclidiennesurIRn.
n
||
Or,commeλ (x) [α,M]pourtouti=1,...,n,lamatriceDg(x+t(y x))estsymétriquedéfiniepositiveetdonc,
i
∈ −
d’aprèslaproposition1.30page62,sonrayonspectralestégalàsanorme,pourlanormeinduiteparlanormeeuclidienne.
Onadonc:
Dg(x+t(y x) =ρ(Dg(x+t(y x)) M.
| − | − ≤
Onadoncainsimontréque: g(y) g(x) M y x,cequitermineladémonstration.
| − |≤ | − |
2.2.2 Pointfixede monotonie
Dansdenombreuxcasissusdeladiscrétisationd’équationsauxdérivéespartielles,leproblèmederésolutiond’un
problème non linéaire apparaît sous la forme Ax = R(x) où A est une matrice carrée d’ordre n inversible, et
R C(IRn,IRn).Onpeutleréécriresouslaformex = A 1R(x)etappliquerl’algorithmedepointfixesurla
−
∈
fonctionf : x A 1Rx, ce quidonnecommeitération : x(k+1) = A 1R(x(k)). Si on pratiqueun pointfixe
− −
7→
avecrelaxation,dontleparamètrederelaxationω >0,alorsl’itérations’écrit:
x˜(k+1) =A 1R(x(k)), x(k+1) =ωx˜(k+1)+(1 ω)x(k).
−
−
Si la matrice A possède une propriété dite “de monotonie”, on peut montrer la convergencede l’algorithme du
pointfixe;c’estl’objetduthéorèmesuivant.
Théorème2.11(Pointfixedemonotonie).
SoientA M (IR)etR C(IRn,IRn).Onsupposeque:
n
∈ ∈
1. lamatriceAestunematriced’inversepositive,ouIP–matricevoirexercice8),c.à.d.queAestinversibleet
touslescoefficientsdeA 1sontpositifsounuls,cequiestéquivalentàdireque:
−
Ax 0 x 0,
≥ ⇒ ≥
ausenscomposanteparcomposante,c’est-à-dire
(Ax) 0, i=1,...,n x 0, i=1,...,n .
i i
≥ ∀ ⇒ ≥ ∀
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
2. R est monotone,c.à.d.que si x y (composantepar composante)alors R(x) R(y) (composantepar
≥ ≥
composante).
3. 0estunesous-solutionduproblème,c’est-à-direque0 R(0)etilexistex˜ IRn;x˜ 0telquex˜estune
≤ ∈ ≥
sur-solutionduproblème,c’est-à-direqueAx˜ R(x˜).
≥
Onposex(0) =0etAx(k+1) =R(x(k)).Onaalors:
1. 0 x(k) x˜, k IN,
≤ ≤ ∀ ∈
2. x(k+1) x(k), k IN,
≥ ∀ ∈
3. x(k) x¯quandk + etAx¯=R(x¯).
→ → ∞
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
DÉMONSTRATION– CommeAestinversiblelasuite(x(k))n INvérifiant
∈
x(0) =0,
Ax(k+1)=R(x(k)), k 0
(cid:26) ≥
estbiendéfinie.Onvamontrerparrécurrencesurkque0 x(k) x˜pourtoutk 0etquex(k) x(k+1) pourtout
≤ ≤ ≥ ≤
k 0.
≥
1. Pourk = 0,onax(0) = 0etdonc0 x(0) x˜etAx(1) = R(0) 0.Onendéduitquex(1) 0grâceaux
≤ ≤ ≥ ≥
hypothèses1et3etdoncx(1) x(0) =0.
≥
2. Onsupposemaintenant(hypothèsederécurrence)que0 x(p) x˜etx(p) x(p+1)pourtoutp 0,...,n 1 .
≤ ≤ ≤ ∈{ − }
Onveutmontrerque0 x(k) x˜etquex(k) x(k+1).Parhypothèsederécurrencepourp=k 1,onsaitque
x(k) x(k−1)etquex(≤k−1) ≤0.Onadoncx(k≤) 0.Parhypothèsederécurrence,onaégalement−quex(k−1) x˜
≥ ≥ ≥ ≤
et grâce à l’hypothèse 2, on a donc R(x(k−1)) R(x˜). Par définition de la suite (x(k))n IN, on a Ax(k) =
R(x(k−1))etgrâceàl’hypothèse3,onsaitqueAx˜≤ R(x˜).Onadonc:A(x˜ x(k)) R(x˜)∈ R(x(k−1)) 0.
Onendéduitalors(grâceàl’hypothèse1)quex(k) ≥x˜. − ≥ − ≥
≤
Deplus,commeAx(k)=R(x(k−1))etAx(k+1)=R(x(k)),onaA(x(k+1) x(k))=R(x(k)) R(x(k−1)) 0
parl’hypothèse2,etdoncgrâceàl’hypothèse1,x(k+1) x(k). − − ≥
≥
Onadoncainsimontré(parrécurrence)que
0 x(k) x˜, k 0
≤ ≤ ∀ ≥
x(k) x(k+1), k 0.
≤ ∀ ≥
Cesinégalitéss’entendentcomposanteparcomposante,c.à.d.quesix(k) =(x(k)...x(k))t IRnetx˜=(x˜ ...x˜ )t
1 n ∈ 1 n ∈
IRn,alors0 x(k) x˜ etx(k) x(k+1), i 1,...,n ,et k 0.
≤ i ≤ i i ≤ i ∀ ∈{ } ∀ ≥
Soit i 1,...,n ; la suite (x(k)) IR est croissante et majorée par x˜ donc il existe x¯ IR tel que x¯ =
lim ∈x(k{).Sionp}osex¯=(x¯ .i..x¯n∈)tIN ⊂IRn,onadoncx(k) x¯quandk i + . i ∈ i
k + i 1 n ∈ −→ → ∞
→ ∞
Enfin,commeAx(k+1) = R(x(k))etcommeRestcontinue,onobtientparpassage àlalimitelorsquek + que
→ ∞
Ax¯=R(x¯)etque0 x¯ x˜.
≤ ≤
L’hypothèse1duthéorème2.11estvérifiéeparexempleparlesmatricesAqu’onaobtenuespardiscrétisationpar
différencesfiniesdesopérateurs u surl’intervalle]0,1[(voirpage11etl’exercice47)et∆u sur]0,1[ ]0,1[
′′
− ×
(voirpage14).
Théorème2.12(Généralisationduprécédent).
SoitA M (IR),R C1(IRn,IRn),R=(R ,...,R )t telsque
n 1 n
∈ ∈
1. Pourtoutβ 0etpourtoutx IRn,Ax+βx 0 x 0
≥ ∈ ≥ ⇒ ≥
∂R
2. i 0, i,j t.q. i = j (R est monotonecroissante parrapportà la variablex si j = i) et γ > 0,
i j
∂x ≥ ∀ 6 6 ∃
j
∂R
γ i 0, x IRn, i 1,...,n (R estmonotonedécroissanteparrapportàlavariablex ).
i i
− ≤ ∂x ≤ ∀ ∈ ∀ ∈{ }
i
3. 0 R(0)(0estsous-solution)et x˜ 0telqueA(x˜) R(x˜)(x˜estsur-solution).
≤ ∃ ≥ ≥
Soientx(0) = 0, β γ, et (x(k)) la suite définie parAx(k+1) +βx(k+1) = R(x(k))+βx(k). Cette suite
n IN
convergeversx¯ IR≥netAx¯=R(x¯∈).Deplus,0 x(k) x˜ n INetx(k) x(k+1), n IN.
∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
DÉMONSTRATION– OnseramèneauthéorèmeprécédentavecA+βIdaulieudeAetR+βaulieudeR.
Remarque2.13(PointfixedeBrouwer). Ons’estintéresséiciuniquementàdesthéorèmesdepointfixe“construc-
tifs",i.e.quidonnentunalgorithmepourledéterminer.IlexisteaussiunthéorèmedepointfixedansIRnavecdes
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2.2. LESMÉTHODESDEPOINTFIXE CHAPITRE2. SYSTÈMESNONLINÉAIRES
hypothèsesbeaucoupplusgénérales(maislethéorèmeestnonconstructif),c’estlethéorèmedeBrouwer3 :sif
estunefonctioncontinuedelabouleunitédeIRndanslabouleunité,alorselleadmetunpointfixedanslaboule
unité.
2.2.3 Vitessedeconvergence
Définition2.14(Vitessedeconvergence). Soit(x(k)) IRn etx¯ IRn.Onsupposequex(k) x¯lorsque
n IN
k + ,quelasuiteestnonstationnaire,c.à.d.quex∈(k) =∈ x¯pourto∈utk IN,etque →
→ ∞ 6 ∈
x(k+1) x¯
lim k − k =β [0,1]. (2.9)
k + x(k) x¯ ∈
→ ∞ k − k
Ons’intéresseàla“vitessedeconvergence"delasuite(x(k)) .Onditque:
n IN
∈
1. Laconvergenceestsous–linéairesiβ =1.
2. Laconvergenceestaumoinslinéairesiβ [0,1[.
∈
3. Laconvergenceestlinéairesiβ ]0,1[.
∈
4. Laconvergenceestsuperlinéairesiβ =0.Danscecas,onditégalementque:
(a) Laconvergenceestaumoinsquadratiques’ilexisteγ IR etilexisten INtelsquesik n
+ 0 0
∈ ∈ ≥
alors x(k+1) x¯ γ x(k) x¯ 2.
k − k≤ k − k
(b) Laconvergenceestquadratiquesi
x(k+1) x¯
lim k − k =γ >0.
k + x(k) x¯ 2
→ ∞ k − k
Plusgénéralement,onditque:
(a) La convergenceest au moins d’ordre p s’il existe γ IR et il existe k IN tels quesi k k
+ 0 0
∈ ∈ ≥
alors x(k+1) x¯ γ x(k) x¯ p.
k − k≤ k − k
(b) Laconvergenceestd’ordre psi
x(k+1) x¯
lim k − k =γ >0.
n + x(k) x¯ p
→ ∞ k − k
Remarque2.15(Surlavitessedeconvergencedessuites).
– Remarquonsd’abordquesiunesuite(x(k)) IRn convergeversx¯ IRn lorsquentendversl’infini,
n IN
∈ ∈ ∈
alorsonaforcémentβ 1dans(2.9).Eneffet,silasuitevérifie(2.9)avecβ > 1,alorsilexistek IN
0
≤ ∈
telquesik k , x x¯ x x¯ pourtoutk k ,cequicontreditlaconvergence.
≥ 0 | n− |≥| k0 − | ≥ 0
– Quelquesexemplesdesuitesquiconvergentsous-linéairement:x = 1 ,x = 1,maisaussi,demanière
k √k k k
moinsintuitive:x = 1 .Toutescessuitesvérifientl’égalité(2.9)avecβ =1.
k k2
– Attentiondonc,contrairementàcequepourraitsuggérersonnom,laconvergencelinéaire(ausensdonné
ci-dessus),estdéjàuneconvergencetrèsrapide.Lessuitesgéométriquesdéfiniesparx =βkavecβ ]0,1[
k
∈
sontdessuitesquiconvergentlinéairement(vers0),carellesverifientévidemmentbien(2.9)avecβ ]0,1[.
∈
– laconvergencequadratiqueestencoreplusrapide!Parexemplelasuitedéfinieparx =x2 convergede
k+1 k
manièrequadratiquepourunchoixinitialx ] 1,1[.Maissiparmalheurlechoixinitialestendehorsde
0
∈ −
cetintervalle,lasuitedivergealorstrèsvite...demanièreexponentielle,enfait,puisquex =exp(klnx ).
k 0
3. LuitzenEgbertusJanBrouwer(1881-1966),mathématiciennéerlandais.
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