未解决的问题 Smarandache 及其新进展刘燕妮西北大学数学系李玲陕西工业职业技术学院基础部刘宝利西安航空职业技术学院基础部 High American Press 2008 This book can be ordered in a paper bound reprint from: Books on Demand ProQuest Information & Learning (University of Microfilm International) 300 N. Zeeb Road P.O. Box 1346, Ann Arbor MI 48106-1346, USA Tel.: 1-800-521-0600 (Customer Service) http://wwwlib.umi.com/bod/basic Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi , P.R.China. Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong , P.R.China. Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P.R.China. Copyright 2008 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm ISBN: 978-1-59973-063-9 Standard Address Number: 297-5092 Printed in the United States of America (cid:0) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:3) (cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:13)(cid:12)(cid:15)(cid:14) (cid:2)(cid:4)(cid:20)(cid:15)(cid:21)(cid:22)(cid:10)(cid:13)(cid:2)(cid:24)(cid:23)(cid:15)(cid:25)(cid:15)(cid:26) (cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:4)(cid:27)(cid:4)(cid:28) , (cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8) , (cid:16)(cid:18)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:7)(cid:19) . (cid:10)(cid:13)(cid:23)(cid:7)"(cid:4)# (cid:2)(cid:4)(cid:23))(cid:25))(cid:26)(cid:11)(cid:10)(cid:13)*)+ (cid:2)(cid:15)(cid:3),(cid:10)&-).(cid:24)/(cid:7)0(cid:24)1(cid:24)2 (cid:29)(cid:22)(cid:30) (cid:31)(cid:15)! , $&%(cid:4)’(cid:15)( , (cid:6)(cid:18)(cid:8) (cid:10)3*(cid:15)+ (cid:2)(cid:4)(cid:3)7698(cid:4):(cid:4);=<)(cid:2)(cid:24)(cid:23),(cid:10)&>@?A(cid:25)(cid:15)(cid:26) 0(cid:24)BDC (cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:24)/ *(cid:15)+(cid:15)E , 4(cid:4)5 , , (cid:5) F (cid:10)&(cid:2)(cid:4)(cid:23))(cid:25))(cid:26)(cid:15)G C F(cid:15)P)Q(cid:22)R (cid:2)(cid:15)(cid:3)(cid:4)S)T (cid:29) . H(cid:7)I(cid:15)J)K(cid:15)L(cid:22)M K(cid:4)N(cid:15)O . (cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:15)0(cid:24)(cid:2)(cid:24)(cid:23) (cid:10)&U(cid:15)V (cid:10) 8(cid:24)[(cid:15)\^]_(cid:2)(cid:24)(cid:23) "=(cid:23),(cid:10)3‘(cid:15)# (cid:31) M (cid:5) (cid:16) , W)XZY (cid:5) , (cid:2)=(cid:3) (cid:2)(cid:18)(cid:23) (cid:10)A‘=aZb (cid:2)(cid:18)(cid:23)(cid:24)e(cid:18)f(cid:24)g(cid:24)h=i(cid:18)(cid:2)=(cid:3) (cid:10) (cid:29)(cid:24)j(cid:24)k(cid:18)l(cid:18)m(cid:18)n (cid:5) M . c3d , M o(cid:15)p ]s‘(cid:4)a(cid:15)t(cid:11)(cid:10)(cid:24)uwvZb ](cid:127)~(cid:24)(cid:128)Db , q3r , xzy(cid:15){(cid:4)K(cid:4)|=} , (cid:129)(cid:4)(cid:130)(cid:4)(cid:131)(cid:4)(cid:132)(cid:4)(cid:133)(cid:22)(cid:134)&(cid:135) (cid:136) ](cid:137)u&v7b (cid:2)7(cid:149)z(cid:150) : (cid:138))(cid:139)=(cid:140)(cid:15)(cid:141)(cid:18)(cid:142)(cid:15)(cid:143)(cid:11)(cid:144)(cid:146)(cid:145)(cid:18)(cid:147)(cid:4)(cid:148) (cid:144)3(cid:151)(cid:24)(cid:152)7(cid:153)9(cid:154)(cid:4)(cid:155)(cid:24)(cid:156)(cid:22)(cid:144)(cid:24)(cid:157)@(cid:158) (cid:19),(cid:159) (cid:149) (cid:150) (cid:2)D(cid:149) (cid:150) (cid:144)(cid:13)(cid:160))¡ ¢ (cid:2)£(cid:10))⁄(cid:9)¥@ƒ,(cid:1)§(cid:1)(cid:1) (cid:2)@(cid:3) (cid:10))¤ (cid:150)@G (cid:2)@(cid:3)‹(cid:149) (cid:29) (cid:5) (cid:6)D(cid:8) (cid:132)(cid:9)' , (cid:5)=(cid:6)D(cid:8)(cid:18)“(cid:9)« (cid:150)(cid:11)1(cid:9)›(cid:18)fi(cid:22)fl7(cid:10))(cid:176),– >Z?(cid:24)†@‡£(cid:10))(cid:2)@(cid:3) p (cid:150)(cid:11)f,·=(cid:181) ⁄(cid:9)¥,¶(cid:9)•,‚,„ j . , c 0(cid:18)(cid:181) (cid:128)(cid:18)…=‰(cid:9)(cid:190)@¿(cid:4)(cid:21)(cid:9)(cid:20)=(cid:192)(cid:9)+(cid:9)f=`=´(cid:18)ˆ(cid:9)(cid:2)(cid:18)(cid:3)(cid:9)*=+(cid:24)˜(cid:11)<(cid:24)¤ (cid:10)(cid:146)¯(cid:9)˘ l (cid:29)(cid:24)”(cid:18)» (cid:132) ˙(cid:9)¨ 0 (cid:201)(cid:127)˚ Q (cid:149)3(cid:150)(cid:204)¸)˝ Q@˛@ˇZ— †@‡@(cid:2)@(cid:3)(cid:9)(cid:215) (cid:29)@(cid:209) . M , (cid:210)@(cid:211)(cid:22)(cid:212)(cid:9)(cid:140)=(cid:213)(cid:11)(cid:214) e R ˛ (cid:10)(cid:13)(cid:2)(cid:4)(cid:3)Z(cid:149)9(cid:150) >@?,(cid:149)9(cid:150) m n F.Smarandache (cid:216))(cid:217)(cid:24)(cid:218)D(cid:134) 105(cid:219)7(cid:220) , ’DM – Q (cid:10) ¥ ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:149) (cid:150)(cid:15)(cid:192)(cid:15)(cid:222) t,(cid:10) ˛ (cid:29) j (cid:29) n (cid:142) (cid:6)(cid:18)(cid:8)(cid:7)(cid:221) , (cid:6)(cid:18)(cid:8)(cid:15)(cid:223)(cid:7)(cid:224)(cid:15)Æ (cid:142)A(cid:226)(cid:15)ª , (cid:5) – Q (cid:3)(cid:15)(cid:228)(cid:15)(cid:229),(cid:10) (cid:29) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . (cid:230) ˙(cid:4)(cid:231) 0(cid:24)Ł(cid:24)Ø (cid:23))Œ(cid:4)º=(cid:23)(cid:7)V(cid:18)(cid:236),(cid:237) (cid:10)(cid:13)ı(cid:4)(cid:246) (cid:209) (cid:5) (cid:141) , (cid:238)(cid:15)(cid:239)(cid:18)(cid:240)(cid:7)æ=(cid:242)(cid:15)(cid:243)(cid:15)(cid:244)(cid:24)(cid:216))(cid:217) , ´ł(cid:247)œø Cw(cid:23) (cid:231) „(cid:15)ß (cid:149) (cid:150)(cid:11)(cid:10)&(cid:252)(cid:15)(cid:25) (cid:28)(cid:4)(cid:253) (cid:10) ˛ m M Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8) , x (cid:254)(cid:15)(cid:218)(cid:22)(cid:134) (cid:10)A(cid:255)(cid:204)(cid:149)&(cid:150)(cid:1)(cid:0)(cid:3)(cid:2)(cid:18)(cid:28)(cid:5)(cid:4) (cid:247)&(cid:10)(cid:146)0@ß(cid:9)(cid:8)wº (cid:231)(cid:1)(cid:10)(cid:3)(cid:11) „(cid:18)ß (cid:149) n , ’(cid:7)(cid:6)=(cid:132) Smarandache (cid:150)(cid:11)(cid:10) E(cid:4)(cid:255),(cid:10) (cid:28)(cid:4)(cid:253) R „(cid:15)ß(cid:7)(cid:181) ¢ (cid:2),(cid:10) (cid:255),(cid:10)=(cid:149) (cid:150) Q(cid:13)(cid:12) (cid:29))j j (cid:29))j (cid:6)(cid:18)(cid:8) , (cid:223)A(cid:218)(cid:22)(cid:134) , (cid:14) (cid:10)wº (cid:231) › ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:149) (cid:150)(cid:15)(cid:192)(cid:15)(cid:222) º (cid:231) (cid:10)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21) *(cid:7)º j l(cid:13)(cid:16)(cid:18)(cid:17) x (cid:6)(cid:18)(cid:8) , (cid:15) , (cid:23)A(cid:240)AL(cid:22)(cid:24) (cid:231) ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:10) (cid:12) (cid:14) j)”(cid:15)» (cid:6)(cid:18)(cid:8) . 0(cid:24)(cid:230) (cid:10)(cid:25)(cid:2)(cid:1)(cid:26)(cid:15)\ (cid:230) (cid:10)(cid:25)(cid:2)(cid:1)(cid:26) R#$(cid:28)% (cid:10) (cid:209) (cid:209) (cid:226)ZM , (cid:242)(cid:28)(cid:27)(cid:4)æ(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:30) (cid:254)(cid:1)(cid:31)! #"Z(cid:134) &(cid:1)’ 0 :(cid:28)((cid:5))(cid:28)* ˆ=B (cid:10) (cid:10)(cid:25).(cid:28)/ , d ! +-, , | (cid:240))æ(cid:18)(cid:242)(cid:4)(cid:243)(cid:4)(cid:244)=(cid:216)(cid:15)(cid:217) y(cid:4){ , 0(cid:5)1 U(cid:1)2(cid:1)3 >(cid:9)?54(cid:22)6)(cid:228)(cid:28)7(cid:18)8 :(cid:15):,(cid:10)(cid:20)*(cid:4)(cid:228) (cid:209) ¡ (cid:223)A(cid:218)(cid:22)(cid:134) x ! E(cid:4)# ¥(cid:4)…(cid:4)[,u)(cid:10) 0(cid:15)(cid:230) E(cid:13)9(cid:18):(cid:15)ˆ(cid:15)G B(cid:22)C-;#<-=->(cid:13)<-?(cid:15)* R (cid:209) , (cid:5) , , (cid:147) U(cid:28)@(cid:22)A(cid:28)B 0 B ˆ(cid:15)U(cid:28)@ p (cid:10) ((cid:13)F):)•(cid:11)(cid:10)(cid:20)G(cid:28)H (cid:16)(cid:24)(cid:141) , d | MDC +DE ! (cid:2) (cid:231) 2008I 5J I ˛ (cid:10)=(cid:149) (cid:150) (cid:255))(cid:192)(cid:4)+ m n Smarandache (cid:254)(cid:15)’ K L M(cid:22)N(cid:28)O Smarandache 1 P(cid:25)Q 1.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ¢ (cid:2),(cid:10) 1.2 S(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . . 3 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 1.2.1 S(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . 3 1 (cid:2),(cid:10)=(cid:149) (cid:150) 1.2.2 (cid:5)(cid:22)U(cid:13)(cid:30)(cid:146)(cid:19) . . . . . . . . . . . 6 S(d) dn X- j › ˛ (cid:20)D(cid:149) (cid:150) 1.2.3 (cid:226) S(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . 9 dn „(cid:15)ß Xj ¢ (cid:2),(cid:10) - (cid:29) 1.2.4 F.Smarandache (cid:219) (cid:226) . . . . . . . 12 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&- 1.2.5 F.SmarandacheV(cid:13)W (cid:226) . . . . . . . 13 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:13)1 1.2.6 F.Smarandache N(cid:28)X . . . . . . . . 16 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10) - 1.2.7 F.Smarandache +DY (cid:226) . . . . . . . 18 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)[Z(cid:22)\(cid:15)(cid:20) 1.2.8 F.Smarandache . . . . . . . . 20 --‘(cid:4)(cid:2),(cid:10)&- (cid:29) 1.2.9 (cid:219)(cid:22)](cid:22)^(cid:22)_ (cid:226) . . . . . . . . . . . . 23 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 1.3 Smarandache . . . . . . . . . . . 26 M(cid:22)a(cid:28)O b(cid:28)c SL(n)P(cid:25)Q 27 2.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ¢ (cid:2),(cid:10) 2.2 SL(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . 27 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 2.2.1 SL(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . 27 „(cid:15)ß ¢ (cid:2))¥(cid:11)(cid:10)#d(cid:7)e 2.2.2 SL(n!) . . . . . . . . . . . . 29 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&⁄)¥ 2.2.3 lnSL(n) . . . . . . . . . . . . 32 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10) 2.2.4 SL(n) (cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . . . . 35 - (cid:10)&› ˛ (cid:20) 2.2.5 (cid:226) S(d) = SL(d) . . . . . . . . 37 dn dn „(cid:15)ß Xj¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)DX(cid:149) j(cid:150) 2.3 SL(n) . . . . . . . . . . . . . . 38 M(cid:22)f(cid:28)O Smarandacheg-h(cid:7)P(cid:25)Q S(cid:3)(n) 39 3.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10) 3.2 Smarandache S(cid:3)(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . 40 „(cid:15)ß ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 3.2.1 Smarandache S(cid:3)(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . 40 II (cid:247)ji - (cid:10)&› ˛ (cid:20) 3.2.2 (cid:226) S(cid:3)(d) = n . . . . . . . . . . . 42 dn - Xj (cid:10)&› ˛ (cid:20) 3.2.3 (cid:226) S(cid:3)(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . . 46 dn „(cid:15)ß Xj ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 3.3 Smarandache S (n) . . . . . . . 55 (cid:3) M(cid:1)k5O l(cid:7)m Smarandache 56 P(cid:25)Q 4.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (cid:255),(cid:10) ¢ (cid:2),(cid:10) 4.2 Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . 56 (cid:255),(cid:10) ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 4.2.1 Smarandache (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . 56 ¢ (cid:2),(cid:10)&- 4.2.2 ](cid:22)^ SM(n) (cid:226) . . . . . . . . . . . . . 57 „(cid:15)ß)- (cid:10) ˛ 4.2.3 (cid:226) SM(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . 62 dn Xj¢ (cid:2),(cid:10)&- 4.2.4 ](cid:22)^ SP(n) (cid:226) . . . . . . . . . . . . . 66 ¢ (cid:2) (cid:10)&- 4.2.5 ](cid:22)^ SP(n)(cid:254) (cid:30)(n) (cid:226) . . . . . . . . . . 68 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 4.3 Smarandache . . . . . . . . . . . 71 M(cid:22)n(cid:28)O b(cid:28)c SPAC(n)P(cid:25)Q 72 5.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ¢ (cid:2),(cid:10) 5.2 SPAC(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . 72 „(cid:15)ß (cid:2)(cid:15)›-o(cid:22)‘(cid:4)(cid:2) 5.2.1 Smarandache(cid:148) SPAC(n) . . . . . 72 (cid:2)(cid:15)›-o(cid:22)‘(cid:4)(cid:2) (cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r 5.2.2 Smarandache(cid:148) SPAC(n) X . . 73 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 5.3 SPAC(n) . . . . . . . . . . . . . 75 M(cid:22)s(cid:28)O t Smarandache 76 u(cid:22)v-w(cid:7)x#y(cid:1)P(cid:25)Q 6.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ¢ (cid:2),(cid:10) 6.2 Zw(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . 76 ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 6.2.1 Zw(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . . 76 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r 6.2.2 Zw(n) X . . . . . . . . . . . 78 „(cid:15)ß ¢ (cid:2) Zw(k)(cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r 6.2.3 X . . . . . . . . . . . 80 (cid:18)(k) ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 6.3 Zw(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 82 M(cid:22)z(cid:28)O Smarandache 85 {(cid:1)|(cid:18)}(cid:5)P(cid:25)Q 7.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 III ˛ (cid:10)=(cid:149) (cid:150) (cid:255))(cid:192)(cid:4)+ m n Smarandache (cid:254)(cid:15)’ ¢ (cid:2),(cid:10) 7.2 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . 85 ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 7.2.1 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . 85 ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 7.3 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) . . . . . . . . . . 87 M5(cid:129)(cid:1)O t Smarandache-totient 91 P(cid:25)Q 8.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ¢ (cid:2),(cid:10) 8.2 (cid:130) Smarandache-totient (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . 91 ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 8.2.1 (cid:130) Smarandache-totient (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . 91 ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 8.3 (cid:130) Smarandache-totient . . . . . . . . . 93 M-(cid:131)(cid:13)O t Smarandache 104 P(cid:25)Q 9.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ¢ (cid:2),(cid:10) 9.2 (cid:130) Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . 104 ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230) 9.2.1 (cid:130) Smarandache (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . 104 ¢ (cid:2),(cid:10)&- 9.2.2 ](cid:22)^(cid:22)(cid:130) Smarandache (cid:226) . . . . . . . . . 106 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)[(cid:132) (cid:149) (cid:150) 9.2.3 (cid:130) Smarandache (cid:219) . . . . . . . 108 „(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:20))(cid:21) 9.2.4 (cid:130) Smarandache . . . . . . . . . 111 ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) 9.3 (cid:130) Smarandache . . . . . . . . . . . . 112 M(cid:22)(cid:133)(cid:28)O N(cid:18)(cid:134)(cid:22)l(cid:7)m Smarandache 115 (cid:135)(cid:13)(cid:136) (cid:255),(cid:10) (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) (cid:29))j 10.1 Smarandache(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . 115 „(cid:15)ß - ! 10.2 (cid:127)(cid:138)(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 - (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150) ! 10.2.1 (cid:127)(cid:138)(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . . 126 „(cid:15)ß - (cid:2) (cid:132) ! 10.2.2 (cid:127) (cid:133))(cid:254)(cid:15)’ (cid:219)(cid:15)(cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . 127 M(cid:22)(cid:133)(cid:22)N(cid:28)O(cid:139)b(cid:28)c m(cid:138)N(cid:18)(cid:134)(cid:13)(cid:142)5(cid:143) Smarandache 130 (cid:140)D(cid:141) „(cid:15)ß (cid:2),(cid:10)#(cid:144) 11.1 (cid:148) (cid:219)(cid:15)(cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ›-(cid:145)(cid:4)(cid:25)-(cid:146) 11.2 Smarandache (cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . 130 ¢ (cid:2) 11.3 Smarandache+DY . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.4 Smarandache ’(cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.5 Smarandacheials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 (cid:10)&§-(cid:147)(cid:22)(cid:148)(cid:22)(cid:0)(cid:28)(cid:2) 11.6 Smarandache . . . . . . . . . . . . . 134 ¤(cid:13)(cid:150)(cid:9)(cid:237) (cid:190) 11.7 Smarandache(cid:149)(cid:146)(cid:156),(cid:144) (cid:254)(cid:4)(cid:135) . . . . . . . . . . 135 (cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:13)(cid:153)-(cid:154) 137 IV (cid:155) ¢ (cid:2) (cid:29)-(cid:156) Smarandache (cid:157) (cid:158) (cid:159) Smarandache (cid:160)¢¡ £¥⁄§ƒ(cid:3)¤ 0(cid:1)' (cid:2)(cid:5)“(cid:1)« (cid:128)=¥ ƒ(cid:3)¤ (cid:128)(cid:7)‹(cid:24)(cid:2)=¥7(cid:10) ¢ (cid:2) n (cid:219)(cid:18)(cid:19) M , , c y y = (cid:2)(cid:9)(cid:3) ¢ (cid:2)(cid:3)fl(cid:1)(cid:147)(cid:7)(cid:176) ¢ (cid:2) ß=>D?(cid:4)(cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:3)fl(cid:7)†(cid:5)«@(cid:2)@(cid:23) (cid:10)(cid:11)(cid:149)(cid:13)(cid:150)@⁄ f(n)›fi(cid:30) . – M ›(cid:13)‡ (cid:2)=(cid:3) ¢ (cid:2)(cid:13)·(cid:5)(cid:181)(cid:18)(cid:3) (cid:2)=(cid:3) ¢ (cid:2) ¤ (cid:10) ¢ (cid:2) (cid:29)(cid:24)j (cid:29)(cid:22)•(cid:7)‚(cid:1)„ (cid:30) , ¶(cid:204)x (cid:5) (cid:132) , (cid:5) (cid:2)(cid:9)(cid:3) (cid:10) ¤ (cid:150) (cid:2)(cid:9)(cid:3) (cid:149)(cid:13)(cid:150) 1(cid:18)›=fi(cid:11)flZ(cid:10)(cid:7)(cid:176)(cid:9)– (cid:29) M (cid:219) (cid:132)=(cid:6)(cid:22)(cid:8)(cid:24)' , (cid:5)(cid:24)(cid:6)(cid:22)(cid:8)=“(cid:18)« M . (cid:10)(cid:15)(cid:2),(cid:3) (cid:149)(cid:146)(cid:150)…» ˛ ?D(cid:10)(cid:15)(cid:255) (cid:149)(cid:146)(cid:150)…¿ ˆ,(cid:181) (cid:29)@j n j H(cid:1)” , ‰(cid:22)(cid:5)(cid:7)(cid:190) (cid:134)(cid:7)4 , (cid:192)@(cid:5) (cid:149)3(cid:150)(cid:204)(cid:10)(cid:15)1(cid:11)2 (cid:192) R (cid:2)@(cid:3) (cid:2)@(cid:23)7(cid:10)(cid:18)ˆ(cid:3)˜,*(cid:9)+ (cid:230) (cid:10)…(cid:11) (cid:156) (cid:6)D(cid:8)(cid:5)`(cid:7)´ (cid:254)(cid:9)4@5 . (cid:6)(cid:9)(cid:132) R ¢ (cid:2)(cid:11)(cid:10) R Q „ ¢ (cid:2)(cid:11)(cid:10) (cid:29)(cid:15)j Smarandache (cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:7)4(cid:28)S , (cid:223)(cid:7)(cid:218)D(cid:134) Smarandache (cid:255)D(cid:149) (cid:150) . 1.1 ¯˙˘ ¨-(cid:201) B ‚(cid:4)„ ¢ (cid:2),(cid:10) (cid:229) , |(cid:4)(cid:224)(cid:11)(cid:134)w(cid:135))(cid:219) (cid:142) ˚(cid:28)¸ ¢ (cid:2) (cid:229) E 1.1 (cid:204)(cid:5)˝…˛(cid:22)ˇ(cid:1)—(cid:28)(cid:209) n, (cid:210)(cid:5)(cid:211)(cid:213)(cid:212) Smarandache S(n)(cid:142) (cid:30) (cid:214) (cid:10) (cid:2) … (cid:192)A(cid:19) m(cid:215) n m!, (cid:216) S(n) = min m : n m!; m N . j f j 2 g ˚(cid:18)¸ (cid:2) ¢ (cid:2) ((cid:13)F (cid:10) 1.2 (cid:204)(cid:22)˝(cid:1)˛5ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) n, Dirichlet(cid:217) d(n) n (cid:192)(cid:9)c[(cid:218))(cid:219) (cid:2) , (cid:216) d(n) = 1: dn Xj ˚(cid:18)¸ k(k +1) 1.3 (cid:219)(cid:139)(cid:209) Z(n) (cid:220)(cid:13)(cid:221)(cid:22)(cid:222)(cid:18)(cid:223)(cid:3)(cid:224)-(cid:212)[ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) kÆ(cid:22)(cid:226) n , ª j 2 k(k +1) Z(n) = min k : n : j 2 (cid:26) (cid:27) (cid:228)[(cid:229)(cid:231)(cid:230)#Ł(cid:138)Ø(cid:5)Œ (cid:210)(cid:22)(cid:211)(cid:22)(cid:209)-º…(cid:236)(cid:3)(cid:237) Jozsef Sandor(cid:238)-(cid:239)æ(cid:240)(cid:243)(cid:242)!(cid:212) . ˚(cid:244)¸ 1.4 (cid:204)(cid:231)˝¥˛fiˇæ—(cid:244)(cid:209) nı(cid:213)˝¥˛fi(cid:246)(cid:247)(cid:220)¥(cid:212)(cid:7)—(cid:244)(cid:209) k 2, n(cid:212) kł(cid:213)ø (cid:21) (cid:209) ak(n)(cid:220)(cid:13)(cid:221)(cid:22)(cid:222)(cid:18)(cid:223)(cid:3)(cid:224)-(cid:212)[ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) m, Æ(cid:22)(cid:226)(cid:13)œ(cid:28)ß m n(cid:222)(cid:22)(cid:252)(cid:25)(cid:253) kł(cid:28)(cid:254)(cid:18)(cid:255) . (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3) , (cid:5) k = 2(cid:6) , a2(n)(cid:7)(cid:9)(cid:8) n(cid:10)(cid:12)(cid:11)(cid:13)(cid:254)(cid:18)ø(cid:4)(cid:13) . 1 Smarandache (cid:14)(cid:16)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:18)(cid:21)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:31) (cid:25)! 1.5 "(cid:2)#%$(cid:30)&(cid:18)’(cid:25)(cid:13) n, ()(cid:13) OS(n)*,+.-(cid:30)/ [1; n]0 S(n)(cid:8)(cid:28)1(cid:4)(cid:13) (cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13) n(cid:10)(cid:4)3(cid:4)(cid:13) ; (4(cid:13) ES(n)*%+5-(cid:16)/ [1; n]0 S(n)(cid:8)76(cid:25)(cid:13)8(cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13) n(cid:10) 37(cid:13) . (cid:26)(cid:18)9(cid:20):<;(cid:30)=(cid:2)>(cid:30)?A@ SmarandacheB2C,(cid:19)2D(cid:30)E(cid:25)F(cid:30)G . H(cid:4)I(cid:30)J(cid:30)K(cid:18)L , M n = p(cid:11)1p(cid:11)2 p(cid:11)k 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) k N n (cid:19) pn(cid:6)4W S(n) = P(n): S(cid:25)T 1.3 S(p(cid:11))(cid:10)(cid:12)b(cid:18)c2d(cid:25)e(cid:2)f(cid:9)(cid:8) (p 1)(cid:11)+1 S(p(cid:11)) (p 1)[(cid:11)+1+log (cid:11)]+1: p (cid:0) (cid:20) (cid:20) (cid:0) S(cid:25)T 1.4 S(n)(g(cid:13)%h n > > n ) k k 1 1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1) W S(pf(p)) = (p 1)f(p)+pf(1): (cid:0) (cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3) , 1 S pkpn = k (cid:30)(pn)+ p; k (cid:18) (cid:19) s (cid:0) (cid:1) 0 (cid:30)(n)t EulerB2C . 2 u D(cid:30)v SmarandacheB2C 1.2 S(n) wyx{z}|(cid:127)~(cid:129)(cid:128)(cid:131)(cid:130) (cid:132)(cid:2)(cid:133)(cid:2)(cid:134)(cid:25)(cid:135) ?8@2D(cid:25)E(cid:2)(cid:136)(cid:28)(cid:137) SmarandacheB(cid:12)C(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:9)(cid:138)(cid:16)(cid:139)AB(cid:12)CA(cid:19)2(cid:140)(cid:25)(cid:141)(cid:2)F(cid:25)G , (cid:142) (cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:25)(cid:144) SmarandacheB2C,(cid:19)2D(cid:30)E(cid:16)(cid:145)(cid:28)(cid:146)(cid:28)I(cid:30)(cid:147)A(cid:19)(cid:12)(cid:148)(cid:4)(cid:149)(cid:28)C(cid:30)(cid:15) . 1.2.1 S(n) (cid:150)(cid:152)(cid:151) (cid:153)5(cid:154)y(cid:155)5(cid:156)_(cid:157)(cid:159)(cid:158)¡(cid:160) (cid:25)¢ a 1.2.1 £ P(n)*%+ n(cid:10)(cid:4)[%\2]⁄^4‘ , "(cid:28)#(cid:20)$A¥g(cid:13) x > 1, W,c ƒ (cid:10) 1, W(cid:28)j(cid:28)k(cid:4)lAm k c x2 (cid:3)(n)S(n) = x2 i +O ; lnix lnk+1x n x i=0 (cid:18) (cid:19) X(cid:20) X s N(cid:28)“ 0 (cid:3)(n)t Mangoldt B2C , ci(i = 1; 2; ; k) C , «(cid:16)‹ c0 = 1. (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:28)¢ a 1.2.3 £ k 2(cid:8)5(cid:246)(cid:20)¤%(cid:10)7’(cid:25)(cid:13) , "(cid:2)#%$8¥4(cid:13) x > 1, W(cid:18)j(cid:18)k(cid:30)l (cid:21) m (cid:25)4 x2 k c x2 x2 i S(n) d(n) = + (cid:1) +O ; (cid:1) 36 (cid:1) lnx lnix lnk+1x n x i=2 (cid:18) (cid:19) s X(cid:20) X “ 0 d(n)(cid:8) Dirichlet›(cid:12)C%B2C , ci (i = 2; 3; ; k)H(cid:4)fi(cid:25)fl(cid:30)(cid:176)A(cid:19) C . (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:25)¢ 1.2.4 £ m > 1(cid:8)(cid:138)(cid:246)(cid:9)¤(cid:20)(cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13)(cid:18)– m = p(cid:11)1p(cid:11)2 p(cid:11)k*%+ m(cid:10) †(cid:9)‡7·(cid:25)(cid:181) a 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) k m , "(cid:25)#(cid:9)$(cid:4)&(cid:28)’(cid:16)(cid:13) n, W(cid:28)j(cid:28)k(cid:4)lAm m S(mn) = (p 1)(cid:11)n+O lnn ; (cid:0) lnm s (cid:16) (cid:17) 0 (p 1)(cid:11) = max (pi 1)(cid:11)i . (cid:0) 1 i kf (cid:0) g (cid:20)(cid:20) ¶‚•(cid:18)„(cid:16)” fi(cid:25)»(cid:2)…(cid:16)‰(cid:25)(cid:190),(cid:19) 3

Smarandache Unsolved Problems and New Progress

Similar Smarandache Unsolved Problems and New Progress