Smarandache Unsolved Problems and New Progress

2008·3 MB·

by  Liu Yanni

未解决的问题
Smarandache
及其新进展

刘燕妮

西北大学数学系

李 玲
陕西工业职业技术学院基础部

刘宝利
西安航空职业技术学院基础部

High American Press
2008
This book can be ordered in a paper bound reprint from:

Books on Demand
ProQuest Information & Learning
(University of Microfilm International)
300 N. Zeeb Road
P.O. Box 1346, Ann Arbor
MI 48106-1346, USA
Tel.: [phone] (Customer Service)
http://wwwlib.umi.com/bod/basic

Peer Reviewers:
Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi ,
P.R.China.
Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan,
Shandong , P.R.China.
Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong,
P.R.China.

Copyright 2008 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science:
http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm

ISBN: 978-1-59973-063-9

Standard Address Number: 297-5092
Printed in the United States of America
(cid:0) (cid:1)
(cid:2)(cid:4)(cid:3) (cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:13)(cid:12)(cid:15)(cid:14) (cid:2)(cid:4)(cid:20)(cid:15)(cid:21)(cid:22)(cid:10)(cid:13)(cid:2)(cid:24)(cid:23)(cid:15)(cid:25)(cid:15)(cid:26) (cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:4)(cid:27)(cid:4)(cid:28)
, (cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8) , (cid:16)(cid:18)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:7)(cid:19) .
(cid:10)(cid:13)(cid:23)(cid:7)"(cid:4)# (cid:2)(cid:4)(cid:23))(cid:25))(cid:26)(cid:11)(cid:10)(cid:13)*)+ (cid:2)(cid:15)(cid:3),(cid:10)&-).(cid:24)/(cid:7)0(cid:24)1(cid:24)2
(cid:29)(cid:22)(cid:30) (cid:31)(cid:15)!
, $&%(cid:4)’(cid:15)( , (cid:6)(cid:18)(cid:8)
(cid:10)3*(cid:15)+ (cid:2)(cid:4)(cid:3)7698(cid:4):(cid:4);=<)(cid:2)(cid:24)(cid:23),(cid:10)&>@?A(cid:25)(cid:15)(cid:26) 0(cid:24)BDC (cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:24)/ *(cid:15)+(cid:15)E
, 4(cid:4)5 , , (cid:5)
F (cid:10)&(cid:2)(cid:4)(cid:23))(cid:25))(cid:26)(cid:15)G C F(cid:15)P)Q(cid:22)R (cid:2)(cid:15)(cid:3)(cid:4)S)T
(cid:29)
. H(cid:7)I(cid:15)J)K(cid:15)L(cid:22)M K(cid:4)N(cid:15)O .
(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:15)0(cid:24)(cid:2)(cid:24)(cid:23) (cid:10)&U(cid:15)V (cid:10) 8(cid:24)[(cid:15)\^]_(cid:2)(cid:24)(cid:23) "=(cid:23),(cid:10)3‘(cid:15)#
(cid:31)
M (cid:5) (cid:16) , W)XZY (cid:5) ,
(cid:2)=(cid:3) (cid:2)(cid:18)(cid:23) (cid:10)A‘=aZb (cid:2)(cid:18)(cid:23)(cid:24)e(cid:18)f(cid:24)g(cid:24)h=i(cid:18)(cid:2)=(cid:3) (cid:10)
(cid:29)(cid:24)j(cid:24)k(cid:18)l(cid:18)m(cid:18)n
(cid:5) M . c3d , M
o(cid:15)p ]s‘(cid:4)a(cid:15)t(cid:11)(cid:10)(cid:24)uwvZb ](cid:127)~(cid:24)(cid:128)Db
, q3r , xzy(cid:15){(cid:4)K(cid:4)|=} , (cid:129)(cid:4)(cid:130)(cid:4)(cid:131)(cid:4)(cid:132)(cid:4)(cid:133)(cid:22)(cid:134)&(cid:135)
(cid:136) ](cid:137)u&v7b (cid:2)7(cid:149)z(cid:150)
: (cid:138))(cid:139)=(cid:140)(cid:15)(cid:141)(cid:18)(cid:142)(cid:15)(cid:143)(cid:11)(cid:144)(cid:146)(cid:145)(cid:18)(cid:147)(cid:4)(cid:148) (cid:144)3(cid:151)(cid:24)(cid:152)7(cid:153)9(cid:154)(cid:4)(cid:155)(cid:24)(cid:156)(cid:22)(cid:144)(cid:24)(cid:157)@(cid:158) (cid:19),(cid:159)
(cid:149) (cid:150) (cid:2)D(cid:149) (cid:150)
(cid:144)(cid:13)(cid:160))¡
¢ (cid:2)£(cid:10))⁄(cid:9)¥@ƒ,(cid:1)§(cid:1)(cid:1) (cid:2)@(cid:3) (cid:10))¤ (cid:150)@G (cid:2)@(cid:3)‹(cid:149)
(cid:29)
(cid:5) (cid:6)D(cid:8) (cid:132)(cid:9)' , (cid:5)=(cid:6)D(cid:8)(cid:18)“(cid:9)«
(cid:150)(cid:11)1(cid:9)›(cid:18)fi(cid:22)fl7(cid:10))(cid:176),– >Z?(cid:24)†@‡£(cid:10))(cid:2)@(cid:3) p (cid:150)(cid:11)f,·=(cid:181) ⁄(cid:9)¥,¶(cid:9)•,‚,„
j
. , c
0(cid:18)(cid:181) (cid:128)(cid:18)…=‰(cid:9)(cid:190)@¿(cid:4)(cid:21)(cid:9)(cid:20)=(cid:192)(cid:9)+(cid:9)f=`=´(cid:18)ˆ(cid:9)(cid:2)(cid:18)(cid:3)(cid:9)*=+(cid:24)˜(cid:11)<(cid:24)¤ (cid:10)(cid:146)¯(cid:9)˘
l (cid:29)(cid:24)”(cid:18)»
(cid:132)
˙(cid:9)¨ 0 (cid:201)(cid:127)˚ Q (cid:149)3(cid:150)(cid:204)¸)˝ Q@˛@ˇZ— †@‡@(cid:2)@(cid:3)(cid:9)(cid:215)
(cid:29)@(cid:209)
. M , (cid:210)@(cid:211)(cid:22)(cid:212)(cid:9)(cid:140)=(cid:213)(cid:11)(cid:214)
e R ˛ (cid:10)(cid:13)(cid:2)(cid:4)(cid:3)Z(cid:149)9(cid:150) >@?,(cid:149)9(cid:150)
m n
F.Smarandache (cid:216))(cid:217)(cid:24)(cid:218)D(cid:134) 105(cid:219)7(cid:220) , ’DM
– Q (cid:10) ¥ ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:149) (cid:150)(cid:15)(cid:192)(cid:15)(cid:222) t,(cid:10) ˛
(cid:29) j (cid:29) n
(cid:142) (cid:6)(cid:18)(cid:8)(cid:7)(cid:221) , (cid:6)(cid:18)(cid:8)(cid:15)(cid:223)(cid:7)(cid:224)(cid:15)Æ (cid:142)A(cid:226)(cid:15)ª , (cid:5)
– Q (cid:3)(cid:15)(cid:228)(cid:15)(cid:229),(cid:10)
(cid:29)
(cid:142)(cid:7)(cid:143) .
(cid:230) ˙(cid:4)(cid:231) 0(cid:24)Ł(cid:24)Ø (cid:23))Œ(cid:4)º=(cid:23)(cid:7)V(cid:18)(cid:236),(cid:237) (cid:10)(cid:13)ı(cid:4)(cid:246)
(cid:209)
(cid:5) (cid:141) , (cid:238)(cid:15)(cid:239)(cid:18)(cid:240)(cid:7)æ=(cid:242)(cid:15)(cid:243)(cid:15)(cid:244)(cid:24)(cid:216))(cid:217) ,
´ł(cid:247)œø Cw(cid:23) (cid:231) „(cid:15)ß (cid:149) (cid:150)(cid:11)(cid:10)&(cid:252)(cid:15)(cid:25) (cid:28)(cid:4)(cid:253) (cid:10) ˛
m
M Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8) , x (cid:254)(cid:15)(cid:218)(cid:22)(cid:134)
(cid:10)A(cid:255)(cid:204)(cid:149)&(cid:150)(cid:1)(cid:0)(cid:3)(cid:2)(cid:18)(cid:28)(cid:5)(cid:4) (cid:247)&(cid:10)(cid:146)0@ß(cid:9)(cid:8)wº (cid:231)(cid:1)(cid:10)(cid:3)(cid:11) „(cid:18)ß (cid:149)
n
, ’(cid:7)(cid:6)=(cid:132) Smarandache
(cid:150)(cid:11)(cid:10) E(cid:4)(cid:255),(cid:10) (cid:28)(cid:4)(cid:253) R „(cid:15)ß(cid:7)(cid:181) ¢ (cid:2),(cid:10) (cid:255),(cid:10)=(cid:149) (cid:150) Q(cid:13)(cid:12)
(cid:29))j j (cid:29))j
(cid:6)(cid:18)(cid:8) , (cid:223)A(cid:218)(cid:22)(cid:134) ,
(cid:14) (cid:10)wº (cid:231) › ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:149) (cid:150)(cid:15)(cid:192)(cid:15)(cid:222) º (cid:231) (cid:10)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21) *(cid:7)º
j l(cid:13)(cid:16)(cid:18)(cid:17)
x (cid:6)(cid:18)(cid:8) , (cid:15) , (cid:23)A(cid:240)AL(cid:22)(cid:24)
(cid:231) ˆ(cid:15)(cid:181) (cid:10) (cid:12) (cid:14)
j)”(cid:15)»
(cid:6)(cid:18)(cid:8) .
0(cid:24)(cid:230) (cid:10)(cid:25)(cid:2)(cid:1)(cid:26)(cid:15)\ (cid:230) (cid:10)(cid:25)(cid:2)(cid:1)(cid:26) R#$(cid:28)% (cid:10)
(cid:209) (cid:209)
(cid:226)ZM , (cid:242)(cid:28)(cid:27)(cid:4)æ(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:30) (cid:254)(cid:1)(cid:31)! #"Z(cid:134)
&(cid:1)’ 0 :(cid:28)((cid:5))(cid:28)* ˆ=B (cid:10) (cid:10)(cid:25).(cid:28)/
, d ! +-, , | (cid:240))æ(cid:18)(cid:242)(cid:4)(cid:243)(cid:4)(cid:244)=(cid:216)(cid:15)(cid:217) y(cid:4){ , 0(cid:5)1
U(cid:1)2(cid:1)3 >(cid:9)?54(cid:22)6)(cid:228)(cid:28)7(cid:18)8 :(cid:15):,(cid:10)(cid:20)*(cid:4)(cid:228)
(cid:209)
¡ (cid:223)A(cid:218)(cid:22)(cid:134) x !
E(cid:4)# ¥(cid:4)…(cid:4)[,u)(cid:10) 0(cid:15)(cid:230) E(cid:13)9(cid:18):(cid:15)ˆ(cid:15)G B(cid:22)C-;#<-=->(cid:13)<-?(cid:15)* R
(cid:209)
, (cid:5) , , (cid:147)
U(cid:28)@(cid:22)A(cid:28)B 0 B ˆ(cid:15)U(cid:28)@ p (cid:10) ((cid:13)F):)•(cid:11)(cid:10)(cid:20)G(cid:28)H
(cid:16)(cid:24)(cid:141) , d | MDC +DE !
(cid:2) (cid:231)
2008I 5J
I
˛ (cid:10)=(cid:149) (cid:150) (cid:255))(cid:192)(cid:4)+
m n
Smarandache (cid:254)(cid:15)’
K L
M(cid:22)N(cid:28)O
Smarandache 1
P(cid:25)Q
1.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
¢ (cid:2),(cid:10)
1.2 S(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . . 3
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
1.2.1 S(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . 3
1 (cid:2),(cid:10)=(cid:149) (cid:150)
1.2.2 (cid:5)(cid:22)U(cid:13)(cid:30)(cid:146)(cid:19) . . . . . . . . . . . 6
S(d)
dn
X- j › ˛ (cid:20)D(cid:149) (cid:150)
1.2.3 (cid:226) S(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . 9
dn
„(cid:15)ß Xj ¢ (cid:2),(cid:10) -
(cid:29)
1.2.4 F.Smarandache (cid:219) (cid:226) . . . . . . . 12
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&-
1.2.5 F.SmarandacheV(cid:13)W (cid:226) . . . . . . . 13
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:13)1
1.2.6 F.Smarandache N(cid:28)X . . . . . . . . 16
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10) -
1.2.7 F.Smarandache +DY (cid:226) . . . . . . . 18
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)[Z(cid:22)\(cid:15)(cid:20)
1.2.8 F.Smarandache . . . . . . . . 20
--‘(cid:4)(cid:2),(cid:10)&-
(cid:29)
1.2.9 (cid:219)(cid:22)](cid:22)^(cid:22)_ (cid:226) . . . . . . . . . . . . 23
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
1.3 Smarandache . . . . . . . . . . . 26
M(cid:22)a(cid:28)O b(cid:28)c
SL(n)P(cid:25)Q 27
2.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
¢ (cid:2),(cid:10)
2.2 SL(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . 27
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
2.2.1 SL(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . 27
„(cid:15)ß ¢ (cid:2))¥(cid:11)(cid:10)#d(cid:7)e
2.2.2 SL(n!) . . . . . . . . . . . . 29
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&⁄)¥
2.2.3 lnSL(n) . . . . . . . . . . . . 32
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)
2.2.4 SL(n) (cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . . . . 35
- (cid:10)&› ˛ (cid:20)
2.2.5 (cid:226) S(d) = SL(d) . . . . . . . . 37
dn dn
„(cid:15)ß Xj¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)DX(cid:149) j(cid:150)
2.3 SL(n) . . . . . . . . . . . . . . 38
M(cid:22)f(cid:28)O
Smarandacheg-h(cid:7)P(cid:25)Q S(cid:3)(n) 39
3.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10)
3.2 Smarandache S(cid:3)(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . 40
„(cid:15)ß ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
3.2.1 Smarandache S(cid:3)(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . 40
II
(cid:247)ji
- (cid:10)&› ˛ (cid:20)
3.2.2 (cid:226) S(cid:3)(d) = n . . . . . . . . . . . 42
dn
- Xj (cid:10)&› ˛ (cid:20)
3.2.3 (cid:226) S(cid:3)(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . . 46
dn
„(cid:15)ß Xj ˆ(cid:28)\ ¢ (cid:2) (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
3.3 Smarandache S (n) . . . . . . . 55
(cid:3)
M(cid:1)k5O l(cid:7)m
Smarandache 56
P(cid:25)Q
4.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
(cid:255),(cid:10) ¢ (cid:2),(cid:10)
4.2 Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . 56
(cid:255),(cid:10) ¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
4.2.1 Smarandache (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . 56
¢ (cid:2),(cid:10)&-
4.2.2 ](cid:22)^ SM(n) (cid:226) . . . . . . . . . . . . . 57
„(cid:15)ß)- (cid:10) ˛
4.2.3 (cid:226) SM(d) = (cid:30)(n) . . . . . . . . . 62
dn
Xj¢ (cid:2),(cid:10)&-
4.2.4 ](cid:22)^ SP(n) (cid:226) . . . . . . . . . . . . . 66
¢ (cid:2) (cid:10)&-
4.2.5 ](cid:22)^ SP(n)(cid:254) (cid:30)(n) (cid:226) . . . . . . . . . . 68
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
4.3 Smarandache . . . . . . . . . . . 71
M(cid:22)n(cid:28)O b(cid:28)c
SPAC(n)P(cid:25)Q 72
5.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
¢ (cid:2),(cid:10)
5.2 SPAC(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . 72
„(cid:15)ß (cid:2)(cid:15)›-o(cid:22)‘(cid:4)(cid:2)
5.2.1 Smarandache(cid:148) SPAC(n) . . . . . 72
(cid:2)(cid:15)›-o(cid:22)‘(cid:4)(cid:2) (cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r
5.2.2 Smarandache(cid:148) SPAC(n) X . . 73
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
5.3 SPAC(n) . . . . . . . . . . . . . 75
M(cid:22)s(cid:28)O t
Smarandache 76
u(cid:22)v-w(cid:7)x#y(cid:1)P(cid:25)Q
6.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
¢ (cid:2),(cid:10)
6.2 Zw(n) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . . . . . 76
¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
6.2.1 Zw(n) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . . 76
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r
6.2.2 Zw(n) X . . . . . . . . . . . 78
„(cid:15)ß ¢ (cid:2) Zw(k)(cid:10)Dp(cid:22)q(cid:1)r
6.2.3 X . . . . . . . . . . . 80
(cid:18)(k)
¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
6.3 Zw(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 82
M(cid:22)z(cid:28)O
Smarandache 85
{(cid:1)|(cid:18)}(cid:5)P(cid:25)Q
7.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
III
˛ (cid:10)=(cid:149) (cid:150) (cid:255))(cid:192)(cid:4)+
m n
Smarandache (cid:254)(cid:15)’
¢ (cid:2),(cid:10)
7.2 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . 85
¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
7.2.1 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . 85
¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
7.3 Smarandache~(cid:1)(cid:127)5(cid:128) . . . . . . . . . . 87
M5(cid:129)(cid:1)O t
Smarandache-totient 91
P(cid:25)Q
8.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
¢ (cid:2),(cid:10)
8.2 (cid:130) Smarandache-totient (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . 91
¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
8.2.1 (cid:130) Smarandache-totient (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . 91
¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
8.3 (cid:130) Smarandache-totient . . . . . . . . . 93
M-(cid:131)(cid:13)O t
Smarandache 104
P(cid:25)Q
9.1 (cid:23)5R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
¢ (cid:2),(cid:10)
9.2 (cid:130) Smarandache (cid:6)(cid:18)(cid:8)A4(cid:22)S . . . . . . . . . . . 104
¢ (cid:2),(cid:10)(cid:20)T(cid:15)(cid:230)
9.2.1 (cid:130) Smarandache (cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . 104
¢ (cid:2),(cid:10)&-
9.2.2 ](cid:22)^(cid:22)(cid:130) Smarandache (cid:226) . . . . . . . . . 106
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)[(cid:132) (cid:149) (cid:150)
9.2.3 (cid:130) Smarandache (cid:219) . . . . . . . 108
„(cid:15)ß ¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:20))(cid:21)
9.2.4 (cid:130) Smarandache . . . . . . . . . 111
¢ (cid:2),(cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
9.3 (cid:130) Smarandache . . . . . . . . . . . . 112
M(cid:22)(cid:133)(cid:28)O N(cid:18)(cid:134)(cid:22)l(cid:7)m
Smarandache 115
(cid:135)(cid:13)(cid:136)
(cid:255),(cid:10) (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
(cid:29))j
10.1 Smarandache(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . 115
„(cid:15)ß -
!
10.2 (cid:127)(cid:138)(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
- (cid:10)&(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
!
10.2.1 (cid:127)(cid:138)(cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . . 126
„(cid:15)ß - (cid:2) (cid:132)
!
10.2.2 (cid:127) (cid:133))(cid:254)(cid:15)’ (cid:219)(cid:15)(cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . 127
M(cid:22)(cid:133)(cid:22)N(cid:28)O(cid:139)b(cid:28)c m(cid:138)N(cid:18)(cid:134)(cid:13)(cid:142)5(cid:143)
Smarandache 130
(cid:140)D(cid:141)
„(cid:15)ß (cid:2),(cid:10)#(cid:144)
11.1 (cid:148) (cid:219)(cid:15)(cid:155)(cid:15)(cid:156) . . . . . . . . . . . . . . . . 130
›-(cid:145)(cid:4)(cid:25)-(cid:146)
11.2 Smarandache (cid:137)(cid:4)(cid:133) . . . . . . . . . . . . . 130
¢ (cid:2)
11.3 Smarandache+DY . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.4 Smarandache ’(cid:142)(cid:7)(cid:143) . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.5 Smarandacheials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
(cid:10)&§-(cid:147)(cid:22)(cid:148)(cid:22)(cid:0)(cid:28)(cid:2)
11.6 Smarandache . . . . . . . . . . . . . 134
¤(cid:13)(cid:150)(cid:9)(cid:237) (cid:190)
11.7 Smarandache(cid:149)(cid:146)(cid:156),(cid:144) (cid:254)(cid:4)(cid:135) . . . . . . . . . . 135
(cid:151)(cid:22)(cid:152)(cid:13)(cid:153)-(cid:154)
137
IV
(cid:155) ¢ (cid:2)
(cid:29)-(cid:156)
Smarandache
(cid:157) (cid:158) (cid:159)
Smarandache
(cid:160)¢¡
£¥⁄§ƒ(cid:3)¤ 0(cid:1)' (cid:2)(cid:5)“(cid:1)« (cid:128)=¥ ƒ(cid:3)¤ (cid:128)(cid:7)‹(cid:24)(cid:2)=¥7(cid:10) ¢ (cid:2)
n (cid:219)(cid:18)(cid:19) M , , c y y =
(cid:2)(cid:9)(cid:3) ¢ (cid:2)(cid:3)fl(cid:1)(cid:147)(cid:7)(cid:176) ¢ (cid:2) ß=>D?(cid:4)(cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:3)fl(cid:7)†(cid:5)«@(cid:2)@(cid:23) (cid:10)(cid:11)(cid:149)(cid:13)(cid:150)@⁄
f(n)›fi(cid:30) . – M
›(cid:13)‡ (cid:2)=(cid:3) ¢ (cid:2)(cid:13)·(cid:5)(cid:181)(cid:18)(cid:3) (cid:2)=(cid:3) ¢ (cid:2) ¤ (cid:10) ¢ (cid:2)
(cid:29)(cid:24)j (cid:29)(cid:22)•(cid:7)‚(cid:1)„
(cid:30) , ¶(cid:204)x (cid:5) (cid:132) , (cid:5)
(cid:2)(cid:9)(cid:3) (cid:10) ¤ (cid:150) (cid:2)(cid:9)(cid:3) (cid:149)(cid:13)(cid:150) 1(cid:18)›=fi(cid:11)flZ(cid:10)(cid:7)(cid:176)(cid:9)–
(cid:29)
M (cid:219) (cid:132)=(cid:6)(cid:22)(cid:8)(cid:24)' , (cid:5)(cid:24)(cid:6)(cid:22)(cid:8)=“(cid:18)« M .
(cid:10)(cid:15)(cid:2),(cid:3) (cid:149)(cid:146)(cid:150)…» ˛ ?D(cid:10)(cid:15)(cid:255) (cid:149)(cid:146)(cid:150)…¿ ˆ,(cid:181)
(cid:29)@j n j
H(cid:1)” , ‰(cid:22)(cid:5)(cid:7)(cid:190) (cid:134)(cid:7)4 , (cid:192)@(cid:5)
(cid:149)3(cid:150)(cid:204)(cid:10)(cid:15)1(cid:11)2 (cid:192) R (cid:2)@(cid:3) (cid:2)@(cid:23)7(cid:10)(cid:18)ˆ(cid:3)˜,*(cid:9)+ (cid:230) (cid:10)…(cid:11)
(cid:156)
(cid:6)D(cid:8)(cid:5)`(cid:7)´ (cid:254)(cid:9)4@5 . (cid:6)(cid:9)(cid:132)
R ¢ (cid:2)(cid:11)(cid:10) R Q „ ¢ (cid:2)(cid:11)(cid:10)
(cid:29)(cid:15)j
Smarandache (cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:7)4(cid:28)S , (cid:223)(cid:7)(cid:218)D(cid:134) Smarandache
(cid:255)D(cid:149) (cid:150)
.
1.1
¯˙˘
¨-(cid:201) B ‚(cid:4)„ ¢ (cid:2),(cid:10) (cid:229)
, |(cid:4)(cid:224)(cid:11)(cid:134)w(cid:135))(cid:219) (cid:142)
˚(cid:28)¸ ¢ (cid:2) (cid:229) E
1.1 (cid:204)(cid:5)˝…˛(cid:22)ˇ(cid:1)—(cid:28)(cid:209) n, (cid:210)(cid:5)(cid:211)(cid:213)(cid:212) Smarandache S(n)(cid:142) (cid:30)
(cid:214) (cid:10) (cid:2) …
(cid:192)A(cid:19) m(cid:215) n m!, (cid:216) S(n) = min m : n m!; m N .
j f j 2 g
˚(cid:18)¸ (cid:2) ¢ (cid:2) ((cid:13)F (cid:10)
1.2 (cid:204)(cid:22)˝(cid:1)˛5ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) n, Dirichlet(cid:217) d(n) n (cid:192)(cid:9)c[(cid:218))(cid:219)
(cid:2)
, (cid:216)
d(n) = 1:
dn
Xj
˚(cid:18)¸ k(k +1)
1.3 (cid:219)(cid:139)(cid:209) Z(n) (cid:220)(cid:13)(cid:221)(cid:22)(cid:222)(cid:18)(cid:223)(cid:3)(cid:224)-(cid:212)[ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) kÆ(cid:22)(cid:226) n , ª
j 2
k(k +1)
Z(n) = min k : n :
j 2
(cid:26) (cid:27)
(cid:228)[(cid:229)(cid:231)(cid:230)#Ł(cid:138)Ø(cid:5)Œ
(cid:210)(cid:22)(cid:211)(cid:22)(cid:209)-º…(cid:236)(cid:3)(cid:237) Jozsef Sandor(cid:238)-(cid:239)æ(cid:240)(cid:243)(cid:242)!(cid:212) .
˚(cid:244)¸
1.4 (cid:204)(cid:231)˝¥˛fiˇæ—(cid:244)(cid:209) nı(cid:213)˝¥˛fi(cid:246)(cid:247)(cid:220)¥(cid:212)(cid:7)—(cid:244)(cid:209) k 2, n(cid:212) kł(cid:213)ø
(cid:21)
(cid:209) ak(n)(cid:220)(cid:13)(cid:221)(cid:22)(cid:222)(cid:18)(cid:223)(cid:3)(cid:224)-(cid:212)[ˇ(cid:28)—(cid:18)(cid:209) m, Æ(cid:22)(cid:226)(cid:13)œ(cid:28)ß m n(cid:222)(cid:22)(cid:252)(cid:25)(cid:253) kł(cid:28)(cid:254)(cid:18)(cid:255) .
(cid:1)
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)
, (cid:5) k = 2(cid:6) , a2(n)(cid:7)(cid:9)(cid:8) n(cid:10)(cid:12)(cid:11)(cid:13)(cid:254)(cid:18)ø(cid:4)(cid:13) .
1
Smarandache (cid:14)(cid:16)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:18)(cid:21)(cid:23)(cid:22)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:27)(cid:30)(cid:29)(cid:28)(cid:31)
(cid:25)!
1.5 "(cid:2)#%$(cid:30)&(cid:18)’(cid:25)(cid:13) n, ()(cid:13) OS(n)*,+.-(cid:30)/ [1; n]0 S(n)(cid:8)(cid:28)1(cid:4)(cid:13)
(cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13) n(cid:10)(cid:4)3(cid:4)(cid:13) ; (4(cid:13) ES(n)*%+5-(cid:16)/ [1; n]0 S(n)(cid:8)76(cid:25)(cid:13)8(cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13) n(cid:10)
37(cid:13) .
(cid:26)(cid:18)9(cid:20):<;(cid:30)=(cid:2)>(cid:30)?A@ SmarandacheB2C,(cid:19)2D(cid:30)E(cid:25)F(cid:30)G . H(cid:4)I(cid:30)J(cid:30)K(cid:18)L , M
n = p(cid:11)1p(cid:11)2 p(cid:11)k
1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) k
N
n (cid:19)<O(cid:30)P(cid:28)Q(cid:30)(cid:15)(cid:2)R .
S(cid:25)T
1.1 "(cid:25)#(cid:9)$(cid:4)&(cid:28)’(cid:16)(cid:13) n, U(cid:16)V(cid:25)W
S(n) = max S(p(cid:11)i) :
1 i kf i g
(cid:20)(cid:20)
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3).X
S(p) = p.
S(cid:20)T
1.2 YAZ P(n) = max p1; p2; ; pk *5+ n(cid:10)(cid:28)[5\(cid:16)]_^(cid:12)‘ ,
a f (cid:1)(cid:1)(cid:1) g
(cid:5) P(n) > pn(cid:6)4W
S(n) = P(n):
S(cid:25)T
1.3 S(p(cid:11))(cid:10)(cid:12)b(cid:18)c2d(cid:25)e(cid:2)f(cid:9)(cid:8)
(p 1)(cid:11)+1 S(p(cid:11)) (p 1)[(cid:11)+1+log (cid:11)]+1:
p
(cid:0) (cid:20) (cid:20) (cid:0)
S(cid:25)T
1.4 S(n)(g(cid:13)%h<i8(cid:10)<j(cid:28)k(cid:4)lAm
(cid:25)2 x2 x2
S(n) = +O :
12lnx ln2x
n x (cid:18) (cid:19)
X(cid:20)
S(cid:25)T
1.5 "(cid:25)#(cid:9)$(cid:9)(cid:10)2](cid:16)(cid:13) pn(cid:9)o2p 1 k < p(cid:10)<&(cid:28)’(cid:16)(cid:13) kı%q(cid:16)r(cid:2)m
(cid:20)
f(x) = xnk +xnk(cid:0)1 + +xn1; (n > n > > n )
k k 1 1
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
W
S(pf(p)) = (p 1)f(p)+pf(1):
(cid:0)
(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)
,
1
S pkpn = k (cid:30)(pn)+ p;
k
(cid:18) (cid:19)
s
(cid:0) (cid:1)
0 (cid:30)(n)t EulerB2C .
2
u
D(cid:30)v SmarandacheB2C
1.2
S(n)
wyx{z}|(cid:127)~(cid:129)(cid:128)(cid:131)(cid:130)
(cid:132)(cid:2)(cid:133)(cid:2)(cid:134)(cid:25)(cid:135)
?8@2D(cid:25)E(cid:2)(cid:136)(cid:28)(cid:137) SmarandacheB(cid:12)C(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:9)(cid:138)(cid:16)(cid:139)AB(cid:12)CA(cid:19)2(cid:140)(cid:25)(cid:141)(cid:2)F(cid:25)G ,
(cid:142)
(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:25)(cid:144) SmarandacheB2C,(cid:19)2D(cid:30)E(cid:16)(cid:145)(cid:28)(cid:146)(cid:28)I(cid:30)(cid:147)A(cid:19)(cid:12)(cid:148)(cid:4)(cid:149)(cid:28)C(cid:30)(cid:15) .
1.2.1
S(n)
(cid:150)(cid:152)(cid:151) (cid:153)5(cid:154)y(cid:155)5(cid:156)_(cid:157)(cid:159)(cid:158)¡(cid:160)
(cid:25)¢ a
1.2.1 £ P(n)*%+ n(cid:10)(cid:4)[%\2]⁄^4‘ , "(cid:28)#(cid:20)$A¥g(cid:13) x > 1, W,c
ƒ
(cid:10)<j(cid:28)k(cid:4)lAm
(S(n) P(n))2 = 2(cid:16) 32 x23 +O x32 ;
n x (cid:0) 3(cid:0)ln(cid:1)x ln2x!
X(cid:20)
s
0 (cid:16)(s)*(cid:20)+ Riemann zeta-B2C .
(cid:30)¢
1.2.2 "(cid:25)#(cid:9)$⁄§'¤(cid:9)(cid:10)<&(cid:28)’(cid:16)(cid:13) kı(cid:30)#(cid:9)$,¥(cid:23)(cid:13) x > 1, W(cid:28)j(cid:28)k(cid:4)lAm
k c x2
(cid:3)(n)S(n) = x2 i +O ;
lnix lnk+1x
n x i=0 (cid:18) (cid:19)
X(cid:20) X
s N(cid:28)“
0 (cid:3)(n)t Mangoldt B2C , ci(i = 1; 2; ; k) C , «(cid:16)‹ c0 = 1.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:28)¢ a
1.2.3 £ k 2(cid:8)5(cid:246)(cid:20)¤%(cid:10)7’(cid:25)(cid:13) , "(cid:2)#%$8¥4(cid:13) x > 1, W(cid:18)j(cid:18)k(cid:30)l
(cid:21)
m
(cid:25)4 x2 k c x2 x2
i
S(n) d(n) = + (cid:1) +O ;
(cid:1) 36 (cid:1) lnx lnix lnk+1x
n x i=2 (cid:18) (cid:19)
s X(cid:20) X “
0 d(n)(cid:8) Dirichlet›(cid:12)C%B2C , ci (i = 2; 3; ; k)H(cid:4)fi(cid:25)fl(cid:30)(cid:176)A(cid:19) C .
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:25)¢
1.2.4 £ m > 1(cid:8)(cid:138)(cid:246)(cid:9)¤(cid:20)(cid:10)2&(cid:2)’(cid:30)(cid:13)(cid:18)– m = p(cid:11)1p(cid:11)2 p(cid:11)k*%+ m(cid:10)
†(cid:9)‡7·(cid:25)(cid:181) a 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1) k
m , "(cid:25)#(cid:9)$(cid:4)&(cid:28)’(cid:16)(cid:13) n, W(cid:28)j(cid:28)k(cid:4)lAm
m
S(mn) = (p 1)(cid:11)n+O lnn ;
(cid:0) lnm
s (cid:16) (cid:17)
0 (p 1)(cid:11) = max (pi 1)(cid:11)i .
(cid:0) 1 i kf (cid:0) g
(cid:20)(cid:20)
¶‚•(cid:18)„(cid:16)”
fi(cid:25)»(cid:2)…(cid:16)‰(cid:25)(cid:190),(cid:19)
3