NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn OLIVAINES. DEQUEIROZ DepartamentodeMatemática InstitutodeMatemática,EstatísticaeComputaçãoCientífica UNICAMP Campinas 2015 Capítulo 1 Revisão de Topologia em Rn Nestecapítuloinicialvamosapresentarconceitosbásicosessenciaisquenecessitaremosnodecorrerdocurso. 1.1 Comentários preliminares sobre o espaço Rn O espaço Euclidiano Rn é definido como o conjunto de todas as n-uplas x=(x ,...,x ) de números reais x, 1 n i i=1,...,n. Umpontox Rnétambémchamadodevetor,jáquecomasoperaçõesx+y:=(x +y ,...,x +y ) 1 1 n n ∈ eax:=(ax ,...,ax )(a R),Rnsetornaumespaçovetorial. Ovetor(0,...,0) Rnserádenotadosomentepor 1 n 0. Quandon=1,também∈chamamosospontosdeR=R1deescalares. ∈ A noção se soma de vetores e multiplicação por escalares, apesar de determinar uma estrutura de espaço vetorialemRn,nãoésuficienteparadefiniranoçãodedistância. Paratantonecessitamosdoconceitodeproduto interno, que é uma função que associa a cada par de vetores x,y Rn um escalar e que ainda satisfaz certas propriedadesquelistaremosaseguirparaumexemploparticular. O∈produtointernoeuclidianoemRn édefinido por n x,y :=∑xy, x=(x ,...,x ),y=(y ,...,y ). i i 1 n 1 n h i i=1 Outros produtosinternos em Rn também podem ser considerados. São 4 as principaispropriedadesdo produto interno. Proposição1.1.1 Sejamx,y Rnea Rquaisquer.Temosasseguintespropriedades: ∈ ∈ (i) simetria: x,y = y,x ; h i h i (ii) bilinearidade: ax,y = x,ay =a x,y , x+z,y = x,y + z,y e x,y+z = x,y + x,z ; h i h i h i h i h i h i h i h i h i (iii) positividade: x,x 0e x,x =0se,esomentese,x=0; h i≥ h i (iv) identidadedepolarização:4 x,y = x+y,x+y x y,x y . h i h i−h − − i Anormaeuclidiana(oucomprimento)deumvetorx Rnédefinidapor ∈ x := x,x 1/2. k k h i Proposição1.1.2 Sejamx,y,z Rnea Rquaisquer.Temosasseguintespropriedades: ∈ ∈ (i) x 0e x =0se,esomentese,x=0; k k≥ k k (ii) DesigualdadedeCauchy: x,y x y ; |h i|≤k kk k (iii) Desigualdadetriangular: x+y x + y ; k k≤k k k k 3 4 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN (iv) ax = a x . k k | |k k Sendo Rn um espaço vetorialde dimensão n, qualquersubconjuntolinearmente independente v ,...,v 1 n { } comnvetoresformaumabasedesteespaço. Umabase v ,...,v paraRnéchamadaortonormalse v,v =δ ,ondeδ =0sei= jeδ =1(símbolo 1 n i j ij ij ii deKronecker). A{basecan}ônicadeRn é e ,...,e ,ondee =h (0,.i..,1,...,0),com1nai-6ésimacoordenada. 1 n i { } Concluiremosestaseçãocomalgunscomentáriossobretransformaçõeslinearesematrizes. SeT: Rn Rm éumatransformaçãolinear,amatrizdeT comrelaçãoàsbasescanônicasdeRn eRm éa → matrizA=(a ),onde ij m T(e)= ∑a f . i ji j j=1 Observequeascoordenadasa dovetorT(e)(comrelaçãoàbase(f ,...,f ))aparecemnai-ésimacolunadeA. ji i 1 m Porlinearidadeobtemosentãoqueovetory=T(x)=Txpodeserencontradopelaexpressão y a ... a x 1 11 1n 1 . . . .  .. = .. ..  .. . y a ... a x m m1 mn n           Reciprocamente,seAéumamatrizm nentãoT(x):=Ax,x Rn,defineumatransformaçãolineardeRn emRm. Assim,existeumarelaçãobiunívoc×aentreoconjuntoL(R∈n,Rm)dastransformaçõeslinearesdeRn em Rmcomoconjuntodasmatrizesm n. × 1.2 Espaços métricos Nesta seção vamos formalizar o conceito de métrica ou distância em um conjunto, definindo assim os espaços métricos. Definição1.2.1 UmconjuntoX échamadodeespaçométricoseexisteumafunçãod: X X Rsatisfazendo × → asseguintespropriedadesparaquaisquerx,y,z X: ∈ (1) d(x,y) 0ed(x,y)=0se,esomentese,x=y; ≥ (2) d(x,y)=d(y,x); (3) d(x,z) d(x,y)+d(y,z). ≤ Qualquerfunçãodquesatisfazastrêspropriedadesacimaéchamadademétrica(oudistância). Asvezesutilizamosanotação(X,d)significandoqueX éumespaçométricocommétricad. Exemplo1.2.2 SejaX =Rne d (x,y)= x y = (x y )2+...+(x y )2, x,y Rn. 1 1 1 n n k − k − − ∈ q Daspropriedadesdeprodutointernosegueque(Rn,d )éumespaçométrico.Alémdisso,podemosaindadefinir 1 d (x,y)= x y =max x y . 2 i i | − | i {| − |} Verifica-sesemmuitasdificuldadesque(Rn,d )étambémumespaçométrico. Asmétricasd ed sãochamadas 2 1 2 demétricaeuclidianaemétricadosup,respectivamente.Elasestãorelacionadasdeváriasmaneiras.Emparticular, x y x y √nx y, paraquaisquerx,y Rn. | − |≤k − k≤ | − | ∈ 1.2. ESPAÇOSMÉTRICOS 5 Exemplo1.2.3 Seja X qualquer conjunto não vazio. Dados x,y X defina d(x,y)=1 se x=y e d(x,x)=0. ∈ 6 Então,apesardeparecermeioartificial,d defineumamétricaemX. Suponhaqued sejaumamétricaemX equeY X. Entãoexisteautomaticamenteumamétricad emY (e Y ⊂ portanto(Y,d )éumespaçométrico)definidapelarestriçãoded àY Y,istoé, Y × d =d . Y Y Y | × Exemplo1.2.4 Seja S2 a esferaderaio1 emR3. Dadosx,y S2, definad˜(x,y)comosendoo comprimentodo menorarcosobreS2queunexay. Entãod˜éumamétricaem∈S2. Alémdisso,notequed˜=d ,onded éa métricaeuclidiana.Defato,aseguintedesiguladadeésatisfeita: 6 1|S2×S2 1 π d (x,y) d˜(x,y) d (x,y), paraquaisquerx,y S2. 1 1 ≤ ≤ 2 ∈ Recorrendoànoçãodedistânciapodemosdefinirosconceitosfundamentaisdeconjuntosabertosefechados. Definição1.2.5 Seja(X,d)umespaçométricoex X. dadoε>0,oconjunto 0 ∈ U(x ,ε):= x X d(x,x )<ε 0 0 { ∈ | } échamadodeε-vizinhançadex . UmsubconjuntoV X échamadodeabertose,paraqualquerx V,existe 0 0 ⊂ ∈ ε>0talqueU(x ,ε) V.UmsubconjuntoC X échamadodefechadoseseucomplementoX C=X C=Cc 0 ⊂ ⊂ − \ éaberto. Observação1.2.6 Seja(X,d)umespaçométricoeY X.Entãoumaε-vizinhançadeumpontox Y namétrica 0 ⊂ ∈ d édadaporU(x ,ε) Y,sendoessaúltimaentendidanamétricad. Y 0 ∩ Proposição1.2.7 Seja(X,d)umespaçométricoe U α A umacoleçãodesubconjuntosabertosdeX,onde α { | ∈ } Aéumconjuntodeíndicesqualquer. Entãooconjunto U éabertodeX. SesupormosquequeAéfinito, α A α istoé,A= 1,...,k ,então k U éaberto. ∈ { } α=1 α S T Corolário1.2.8 SeY X eAéabertoemY comrelaçãoàd ,entãoexisteumconjuntoabertoU emX talque Y ⊂ A=U Y. ∩ Demonstração.SendoAabertoemY,paraqualquerx Aexisteε >0talqueU(x,ε) Y A. Definamos x x ∈ ∩ ⊂ U = U(x,ε). x x A [∈ TemosentãopelaProposição1.2.7epelaObservação1.2.6queU éabertodeX. NotequeU Y A. Alémdisso, comoauniãoétomadaemtodox A,temosqueA U. Logo,A U Y. Conclui-sequeA∩=U⊂ Y. (cid:3) ∈ ⊂ ⊂ ∩ ∩ Em Rn asε-vizinhançasnasduasmétricasd e d quevimosanteriormenterecebemnomesespeciais. Se 1 2 x Rn,aε-vizinhançadex namétricaeuclidianad échamadadebolaabertadecentrox eraioε,eédenotada 0 0 1 0 ∈ porB (x ).Aε-vizinhançadex namétricadosupéchamadadecuboabertodecentrox eraioε,sendodenotado ε 0 0 0 porC (x ). PeloExemplo1.2.2temosque ε 0 B (x ) C (x ) B (x ), ε 0 ⊂ ε 0 ⊂ ε√n 0 paraqualquerx Rnequalquerε>0. Podemosrefrasearestefatonamaneiraapresentadanopróximoresultado. 0 ∈ Proposição1.2.9 UmsubconjuntoU Rn éabertocomrelaçãoàmétricad se, seesomentese, éabertocom 1 ⊂ relaçãoàmétricad . 2 6 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN Definição1.2.10 Umpontox deumespaçométricoX échamadodepontolimitedeumsubconjuntoA X se 0 ⊂ paratodaε-vizinhançadex U(x ,ε),oconjuntoU(x ,ε) A possuiinfinitoselementos. Sex Anãoéponto 0 0 0 0 ∩ ∈ limitedeAdizemosquex épontoisoladodeA. 0 UmsubconjuntoD X édensoemX setodopontodeX épontolimitedeDouumpontodeD. ⊂ Oconjunto A:=A x X xépontolimitedeA ∪{ ∈ | } échamadodefechodeA. Emparticular,ofechodequalquersubconjuntodeX éumsubconjuntofechado. 1.3 Limites e continuidade Consideremosdoisespaçosmétricos(X,d )e(Y,d ),umafunção f: X Y ex X. X Y 0 → ∈ Definição1.3.1 Nascondiçõesacima,dizemosque f écontínuaemx se,dadoε>0,existeumδ>0,δ=δ(ε), 0 talque d (f(x),f(x ))<εsemprequed (x,x )<δ. Y 0 X 0 Dizemosque f écontínuase f écontínuaemtodox X. 0 ∈ Umaformulaçãoalternativaparaadefiniçãodecontinuidadepodeserapresentadanaformadeteorema. Teorema1.3.2 A função f: X Y é contínua se, e somente se, para qualquer subconjunto abertoU de Y, a pré-imagem f 1(U)éabertaem→X. − Definição1.3.3 Umafunção f: X Y échamadadehomeomorfismoseelaéinversíveleambas, f e f 1,são − → contínuas. Osespaçosmétricos(X,d)e(Y,d)sãohomeomorfosseexisteumhomeomorfismodeX emY. Duas métricasded definidasnomesmoconjuntoX sãoequivalentesseexisteumhomeomorfismode(X,d)em(X,d ). ′ ′ Tambémdefinimosolimitedeumafunção f emumdadopontoemtermosdamétrica. Definição1.3.4 SejaA X e f: A Y. Sejaaindax umpontolimitedodomínioAde f. Dizemosqueolimite 0 ⊂ → de f emx éy se,paracadaε>0,existeumδ>0talque 0 0 d (f(x),y )<εsemprequex Ae00talqueU(x,ε) A,eassimointeriordeAéaberto. ∈ ⊂ Definição1.4.2 O exterior de A é o conjunto ExtA := Int(Ac). O bordo, (ou fronteira) de A é o conjunto ∂A:=X (ExtA IntA). \ ∪ NotemosquesemprevaleX =IntA ExtA ∂A. ∪ ∪ 1.5. COMPACIDADEEMRN 7 1.5 Compacidade em Rn Passamosa relembrarnesta seção o importanteconceitodesubconjuntoscompactos. Como usual, denotaremos por(X,d)umespaçométrico. Seja A X. Uma cobertura de A é uma coleção de subconjuntos U α I , sendo I um conjunto de α ⊂ { | ∈ } índices,talqueA U . SecadaU éaberto,entãodizemosqueacoberturaéaberta. ⊂ α∈I α α S Definição1.5.1 Um subconjunto A X é chamado de compacto se toda cobertura aberta de A possui uma ⊂ subcoleçãofinitaquetambémformaumacoberturaabertadeA. UmsubconjuntoBdeumespaçométrico(X,d)éditolimitadoseexisteumaconstanteM>0ex X tal 0 ∈ qued(x,x ) Mparaqualquerx B. 0 ≤ ∈ EmRnoscompactossãocaracterizadoscomosendoossubconjuntosfechadoselimitados.Umapartedesse resultadopossuiumademonstraçãosimplesedaremosaseguir.Naverdade,enunciamossomenteparaRnmasele valeparaqualquerespaçométrico. Teorema1.5.2 SejaX umsubespaçocompactode(Rn,d )ou(Rn,d ).EntãoX éfechadoelimitado. 1 2 Demonstração.Porequivalência,bastademonstrarmosoresultadocomrelaçãoàmétricad . 2 MostremosincialmentequeX élimitado.ParacadaN Z definimosocuboabertoU :=C (0). Então: + N N ∈ ∞ U U ... e Rn= U . 1 2 N ⊂ ⊂ N=1 [ Emparticular,oconjunto U N Z éumacoberturaabertadocompactoX,existindoassimumaquantidade N + { | ∈ } finitadeinteirospositivosN ,...,N taisque 1 k k X U . ⊂ Nj j=1 [ Assim,sendoM=max N ,seguequeX U eX élimitado. j j M { } ⊂ AgorademonstremosqueRn X éaberto,istoé, queX éfechado. Paraisso, sejax Rn X e,paracada 0 \ ∈ \ N Z ,definamosocubofechadoC :=C (x ). Então ∈ + N 1/N 0 ∞ ... C C e C = x . 2 1 N 0 ⊂ ⊂ { } N=1 \ SejaV :=Rn C . SeguequeV éabertoeque N N N \ ∞ Rn x = V . 0 N \{ } N=1 [ Novamente, usando a compacidade de X obtemos que existe uma quantidade finita de subconjuntosV ,...V N1 Nl quecobremX. TomandoM=max N obtemosqueX V eemparticularC X =0/. Notandoquex IntC i i M N 0 M temosqueRn X éaberto. ⊂ ∩ ∈ (cid:3) \ Corolário1.5.3 SeX éumsubconjuntocompactodeRentãoX possuimáximoemínimo. Teorema1.5.4 SejaX umsubconjuntocompactodeRn e f: X Rmcontínua.Então f(X) Rmécompactoe, → ⊂ sem=1, f assumemáximoemínimo. ParafinalizarmosacaraterizaçãodossubconjuntoscompactosemRnnecessitaremosaindadeumfatobásico. Lema1.5.5 OretânguloQ:=[a ,b ] ... [a ,b ] Rnéumsubconjuntocompacto. 1 1 n n × × ⊂ 8 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN Teorema1.5.6 SejaX Rnumsubconjuntolimitadoefechado.EntãoX écompacto. ⊂ Demonstração.SejaA umacoleçãodeabertosquecobremX.AdicionemosaestacoleçãooabertoRn X.Temos \ assim uma coberturaaberta de Rn. Como X é limitado, podemostomar um retânguloQ comono Lemma1.5.5 talqueX Q. Emparticulara coberturaabertadeRn cobreocompactoQ. Extraímosentãoumasubcobertura finitaquea⊂indacobreQ. SeestasubcoberturadeQaindaconterRn X,tiramosesteconjuntoobtendoaindaoutra subcoleçãodacoberturainicialA. Talsubcoleçãopodenãocobrir\Q,mascertamentecobreX jáqueoconjunto Rn X descartadonãocontémpontosdeX. (cid:3) \ Definição1.5.7 SejaX Rn. Dadoε>0,oconjunto B (x)échamadodeε-vizinhançadeX namétrica euclidiana.Similarmente⊂,substituindoB (x)porC (x)dexfi∈nXimεosaε-vizinhançadeX namétricadosup. ε ε S Teorema1.5.8 SejamX RnumsubespaçocompactoeU RnumabertoquecontémX. Entãoexisteε>0tal ⊂ ⊂ queaε-vizinhançadeX estácontidaemU (emqualquermétricad oud ). 1 2 Demonstração.Porequivalênciadasmétricas,bastademonstrarmosoresultadoparaamétricadosup. DadoumsubconjuntoC Rn,paracadax RndefinimosadistânciaentrexeCpelaexpressão ⊂ ∈ d(x,C):= inf x c . c C{| − |} ∈ Assumiremosporummomentoque,fixadoC,afunçãox d(x,C)écontínuadeRn emR. 7→ SejamU abertotalqueX U e f: X Rdadapor ⊂ → f(x):=d(x,Rn U). \ Como f écontínuaeX écompacto,peloTeorema1.5.4temosque f assumeummínimo. O valormínimode f deveserpositivo,casocontrário, f(x )=0paraalgumx X,oquemostrariaquex Rn U,poisesteúltimo 0 0 0 ∈ ∈ \ conjuntoéfechado,obtendoassimumacontradição.Seguequeexisteε >0talque f(x) ε paraqualquerx X 0 0 ≥ ∈ eassimaε-vizinhançadeX estácontidaemU. 0 Faltamostrarmosquex d(x,C)écontínuadeRnemR. Sejamx,y Rnec C. Então,peladesigualdade 7→ ∈ ∈ triangular, d(x,C) x y x c x y y c. −| − |≤| − |−| − |≤| − | Tomandooínfimoemcnadesigualdadeacimaobtemos d(x,C) d(y,C) x y. − ≤| − | Comoamesmadesigualdadevalesetrocarmosospapeisdexey,obtemos d(x,C) d(y,C) x y. | − |≤| − | Segueacontinuidadeeademonstraçãodoteorema. (cid:3) OTeorema1.5.8nãoéválidoseretirarmosahipótesedecompacidadeemX,comoverificaremosnosexer- cíciosdestecapítulo. Demonstraremosaseguirumresultadofamiliar. Teorema1.5.9 SejaX Rnumsubespaçocompactoe f: X Rmcontínua.Então f éuniformementecontínua ⊂ → noseguintesentido:dadoε>0,existeδ>0,dependendosomentedeε,talque,paraquaisquerx,y X, ∈ f(x) f(y) <ε sempreque x y <δ. k − k k − k Estemesmoresultadovaleseconsiderarmosamétricadosup. 1.6. CONEXIDADEEMRN 9 Demonstração.ConsideremosoprodutocartesianoX X Rn Rneseusubconjunto × ⊂ × ∆:= (x,x) x X , { | ∈ } oqualchamaremosdediagonaldeX X.Notemosque∆éumsubconjuntocompactodeR2njáqueéimagemde × X pelaaplicaçãocontínuah(x)=(x,x). Consideremosafunçãog: X X Rdefinidapor × → g(x,y):= f(x) f(y) . k − k Notemosqueg é contínuajá quepodeser escrita comsoma e composiçãodasfunçõescontínuas f e d . Segue 1 que,dadoε>0,oconjuntoV dospontos(x,y) X X paraosquaisg(x,y)<εéabertoemX X e,comotal, ∈ × × deveserescritocomoaintersecçãodeumabertoU Rn RncomX X.Como∆ V,temosque∆ U. ⊂ × × ⊂ ⊂ Acompacidadede∆eoTeorema1.5.8implicamnaexistênciadeumnúmeroδ>0talqueaδ-vizinhança de∆aindaestácontidaemU. Noteque,sex,y X sãotaisque x y <δ,então ∈ k − k (x,y) (y,y) = (x y,0) = x y <δ, k − k k − k k − k ouseja,(x,y)pertenceàδ-vizinhançade∆. Segueque(x,y) U eassimg(x,y)<ε,comodesejado. ∈ Ademonstraçãoparaocasodamétricadosupsegueporequivalênciadasmétricas. (cid:3) 1.6 Conexidade em Rn Nestaseçãodaremosadefiniçãodeespaçosconexoseapresentaremosalgumaspropriedadesquenecessitaremos. Definição1.6.1 UmsubconjuntoY deumespaçométricoX éconexoseelenãoéigualàuniãodedoissubcon- juntosabertos,disjuntosenãovazios. Exemplo1.6.2 OconjuntoQdosnúmerosracionaisédesconexo,sendo x R x>√2 Qe x R x<√2 Q { ∈ | }∩ { ∈ | }∩ umadecomposição. Teorema1.6.3 OsúnicossubconjuntosdeRquepossuemmaisqueumpontoesãoconexossãoopróprioReos intervalos(abertos,fechadosousemi-fechados). Umacaracterizaçãodesubconjuntosconexosédadanopróximoresultado. Teorema1.6.4 SejaX umespaçométrico. Sãoequivalentes: 1. X éconexo; 2. osúnicossubconjuntosdeX quesãoabertosefechadossãoopróprioX e0/; 3. nenhumafunçãocontínua f: X 1,2 ésobrejetiva. →{ } Usaremososeguintefatobásicosobreespaçosconexos. Teorema1.6.5(Teoremadovalorintermediário) SejamX eY espaçosmétricos. SeX éconexoe f: X Ré → contínuaentão f(X)éconexo. 10 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN Demonstração.Se f(X)nãofosseconexo,peloTeorema1.6.4existiriaumafunçãog: f(X) 1,2 contínuae →{ } sobrejetora.Assim,acomposiçãog f: X 1,2 seriatambémcontínuaesobrejetora,contradizendoofatode X serconexo. ◦ →{ } (cid:3) Em particular, uma função contínua de um espaço métrico conexo X com valores em R assume todos os valoresentredoisquaisquerpontosdesuaimagem. UmaimportanteclassedeconjuntosconexosemRnédadapelosconjuntosconvexos,quepassamosadefinir. Dados x ,x Rn, o segmento de reta unindo x a x é dado por t x +t(x x ), 0 t 1. Um 1 2 1 2 1 2 1 ∈ 7→ − ≤ ≤ subconjuntoA Rn é convexose osegmentodereta unindoquaisquerdeseuspontosestá inteiramentecontido ⊂ emA. NotemosquequalquersubconjuntoconvexodeRnéconexo. 1.7 Exercícios do capítulo Exercício1 Se x,y Rn, demonstre que x+y x + y . Quando vale a igualdade? (A resposta não é ∈ k k≤k k k k “quandoxeyforemlinearmentedependentes"). Exercício2(DesigualdadedeCauchy-Schwarz) Sejamx=(x ,...,x )ey=(y ,...,y ). Demonstreque 1 n 1 n n ∑xy x y , i i ≤k kk k i=1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) comaigualdadevalendose,esomentese,xey(cid:12)foreml(cid:12)inearmentedependentes. Exercício3 Sejam f egfunçõesintegráveisem[a,b]. (i) Demonstreque b b 1/2 b 1/2 fgdx f2dx g2dx . a ≤ a a (cid:12)Z (cid:12) (cid:18)Z (cid:19) (cid:18)Z (cid:19) (cid:12) (cid:12) b b Sugestão: considereseparadam(cid:12)enteosca(cid:12)sos0= (f λg)2dxparaalgumλ Re0< (f λg)2dx a − ∈ a − Z Z paratodoλ R. ∈ (ii) Nocasoemquetemosigualdade,éverdadeque f =λgparaalgumλ R? Ese f egforemcontínuas? ∈ (iii) Existealgumarelaçãoentreadesigualdadedoitem(i)comadesigualdadedoExercício2? Exercício4 Uma transformação linear T: Rn Rn preserva norma se Tx = x para qualquer x Rn e preservaprodutointernose Tx,Ty = x,y p→araquaisquerx,y Rn. Dekmonkstrekqukeestasduaspropri∈edades h i h i ∈ sãoequivalentes.Demonstreaindaque,nestecaso,T ébijetoraeT 1tambémsatisfazasmesmaspropriedades. − Exercício5 Definimosoânguloentredoisvetoresnãonulosx,y Rnpor ∈ x,y ∠(x,y):=arccos h i . x y (cid:18)k kk k(cid:19) A transformação linear T: Rn Rn preserva ângulo se T é bijetora e ∠(Tx,Ty)=∠(x,y) para vetores não → nulosxey. (i) DemonstrequeseT preservanorma,entãoT preservaângulo. (ii) Suponhaqueexista umabase x ,...,x ortonormalde Rn e númerosλ,...,λ taisqueTx =λx, i= 1 n 1 n i i i { } 1,...,n. DemonstrequeT preservaângulose,esomentese, λ sãotodosiguais. i | |

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