NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn

149 Pages·2015·1.12 MB·Portuguese

NOTAS DE AULA DE ANÁLISE NO Rn
OLIVAINES. DEQUEIROZ
DepartamentodeMatemática
InstitutodeMatemática,EstatísticaeComputaçãoCientífica
UNICAMP
Campinas
2015

Capítulo 1
Revisão de Topologia em Rn
Nestecapítuloinicialvamosapresentarconceitosbásicosessenciaisquenecessitaremosnodecorrerdocurso.
1.1 Comentários preliminares sobre o espaço Rn
O espaço Euclidiano Rn é definido como o conjunto de todas as n-uplas x=(x ,...,x ) de números reais x,
1 n i
i=1,...,n. Umpontox Rnétambémchamadodevetor,jáquecomasoperaçõesx+y:=(x +y ,...,x +y )
1 1 n n
∈
eax:=(ax ,...,ax )(a R),Rnsetornaumespaçovetorial. Ovetor(0,...,0) Rnserádenotadosomentepor
1 n
0. Quandon=1,também∈chamamosospontosdeR=R1deescalares. ∈
A noção se soma de vetores e multiplicação por escalares, apesar de determinar uma estrutura de espaço
vetorialemRn,nãoésuficienteparadefiniranoçãodedistância. Paratantonecessitamosdoconceitodeproduto
interno, que é uma função que associa a cada par de vetores x,y Rn um escalar e que ainda satisfaz certas
propriedadesquelistaremosaseguirparaumexemploparticular. O∈produtointernoeuclidianoemRn édefinido
por
n
x,y :=∑xy, x=(x ,...,x ),y=(y ,...,y ).
i i 1 n 1 n
h i
i=1
Outros produtosinternos em Rn também podem ser considerados. São 4 as principaispropriedadesdo produto
interno.
Proposição1.1.1 Sejamx,y Rnea Rquaisquer.Temosasseguintespropriedades:
∈ ∈
(i) simetria: x,y = y,x ;
h i h i
(ii) bilinearidade: ax,y = x,ay =a x,y , x+z,y = x,y + z,y e x,y+z = x,y + x,z ;
h i h i h i h i h i h i h i h i h i
(iii) positividade: x,x 0e x,x =0se,esomentese,x=0;
h i≥ h i
(iv) identidadedepolarização:4 x,y = x+y,x+y x y,x y .
h i h i−h − − i
Anormaeuclidiana(oucomprimento)deumvetorx Rnédefinidapor
∈
x := x,x 1/2.
k k h i
Proposição1.1.2 Sejamx,y,z Rnea Rquaisquer.Temosasseguintespropriedades:
∈ ∈
(i) x 0e x =0se,esomentese,x=0;
k k≥ k k
(ii) DesigualdadedeCauchy: x,y x y ;
|h i|≤k kk k
(iii) Desigualdadetriangular: x+y x + y ;
k k≤k k k k
3
4 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN
(iv) ax = a x .
k k | |k k
Sendo Rn um espaço vetorialde dimensão n, qualquersubconjuntolinearmente independente v ,...,v
1 n
{ }
comnvetoresformaumabasedesteespaço.
Umabase v ,...,v paraRnéchamadaortonormalse v,v =δ ,ondeδ =0sei= jeδ =1(símbolo
1 n i j ij ij ii
deKronecker). A{basecan}ônicadeRn é e ,...,e ,ondee =h (0,.i..,1,...,0),com1nai-6ésimacoordenada.
1 n i
{ }
Concluiremosestaseçãocomalgunscomentáriossobretransformaçõeslinearesematrizes.
SeT: Rn Rm éumatransformaçãolinear,amatrizdeT comrelaçãoàsbasescanônicasdeRn eRm éa
→
matrizA=(a ),onde
ij
m
T(e)= ∑a f .
i ji j
j=1
Observequeascoordenadasa dovetorT(e)(comrelaçãoàbase(f ,...,f ))aparecemnai-ésimacolunadeA.
ji i 1 m
Porlinearidadeobtemosentãoqueovetory=T(x)=Txpodeserencontradopelaexpressão
y a ... a x
1 11 1n 1
. . . .
 .. = .. ..  .. .
y a ... a x
m m1 mn n
    
    
Reciprocamente,seAéumamatrizm nentãoT(x):=Ax,x Rn,defineumatransformaçãolineardeRn
emRm. Assim,existeumarelaçãobiunívoc×aentreoconjuntoL(R∈n,Rm)dastransformaçõeslinearesdeRn em
Rmcomoconjuntodasmatrizesm n.
×
1.2 Espaços métricos
Nesta seção vamos formalizar o conceito de métrica ou distância em um conjunto, definindo assim os espaços
métricos.
Definição1.2.1 UmconjuntoX échamadodeespaçométricoseexisteumafunçãod: X X Rsatisfazendo
× →
asseguintespropriedadesparaquaisquerx,y,z X:
∈
(1) d(x,y) 0ed(x,y)=0se,esomentese,x=y;
≥
(2) d(x,y)=d(y,x);
(3) d(x,z) d(x,y)+d(y,z).
≤
Qualquerfunçãodquesatisfazastrêspropriedadesacimaéchamadademétrica(oudistância).
Asvezesutilizamosanotação(X,d)significandoqueX éumespaçométricocommétricad.
Exemplo1.2.2 SejaX =Rne
d (x,y)= x y = (x y )2+...+(x y )2, x,y Rn.
1 1 1 n n
k − k − − ∈
q
Daspropriedadesdeprodutointernosegueque(Rn,d )éumespaçométrico.Alémdisso,podemosaindadefinir
1
d (x,y)= x y =max x y .
2 i i
| − | i {| − |}
Verifica-sesemmuitasdificuldadesque(Rn,d )étambémumespaçométrico. Asmétricasd ed sãochamadas
2 1 2
demétricaeuclidianaemétricadosup,respectivamente.Elasestãorelacionadasdeváriasmaneiras.Emparticular,
x y x y √nx y, paraquaisquerx,y Rn.
| − |≤k − k≤ | − | ∈
1.2. ESPAÇOSMÉTRICOS 5
Exemplo1.2.3 Seja X qualquer conjunto não vazio. Dados x,y X defina d(x,y)=1 se x=y e d(x,x)=0.
∈ 6
Então,apesardeparecermeioartificial,d defineumamétricaemX.
Suponhaqued sejaumamétricaemX equeY X. Entãoexisteautomaticamenteumamétricad emY (e
Y
⊂
portanto(Y,d )éumespaçométrico)definidapelarestriçãoded àY Y,istoé,
Y
×
d =d .
Y Y Y
| ×
Exemplo1.2.4 Seja S2 a esferaderaio1 emR3. Dadosx,y S2, definad˜(x,y)comosendoo comprimentodo
menorarcosobreS2queunexay. Entãod˜éumamétricaem∈S2. Alémdisso,notequed˜=d ,onded éa
métricaeuclidiana.Defato,aseguintedesiguladadeésatisfeita: 6 1|S2×S2 1
π
d (x,y) d˜(x,y) d (x,y), paraquaisquerx,y S2.
1 1
≤ ≤ 2 ∈
Recorrendoànoçãodedistânciapodemosdefinirosconceitosfundamentaisdeconjuntosabertosefechados.
Definição1.2.5 Seja(X,d)umespaçométricoex X. dadoε>0,oconjunto
0
∈
U(x ,ε):= x X d(x,x )<ε
0 0
{ ∈ | }
échamadodeε-vizinhançadex . UmsubconjuntoV X échamadodeabertose,paraqualquerx V,existe
0 0
⊂ ∈
ε>0talqueU(x ,ε) V.UmsubconjuntoC X échamadodefechadoseseucomplementoX C=X C=Cc
0
⊂ ⊂ − \
éaberto.
Observação1.2.6 Seja(X,d)umespaçométricoeY X.Entãoumaε-vizinhançadeumpontox Y namétrica
0
⊂ ∈
d édadaporU(x ,ε) Y,sendoessaúltimaentendidanamétricad.
Y 0
∩
Proposição1.2.7 Seja(X,d)umespaçométricoe U α A umacoleçãodesubconjuntosabertosdeX,onde
α
{ | ∈ }
Aéumconjuntodeíndicesqualquer. Entãooconjunto U éabertodeX. SesupormosquequeAéfinito,
α A α
istoé,A= 1,...,k ,então k U éaberto. ∈
{ } α=1 α S
T
Corolário1.2.8 SeY X eAéabertoemY comrelaçãoàd ,entãoexisteumconjuntoabertoU emX talque
Y
⊂
A=U Y.
∩
Demonstração.SendoAabertoemY,paraqualquerx Aexisteε >0talqueU(x,ε) Y A. Definamos
x x
∈ ∩ ⊂
U = U(x,ε).
x
x A
[∈
TemosentãopelaProposição1.2.7epelaObservação1.2.6queU éabertodeX. NotequeU Y A. Alémdisso,
comoauniãoétomadaemtodox A,temosqueA U. Logo,A U Y. Conclui-sequeA∩=U⊂ Y. (cid:3)
∈ ⊂ ⊂ ∩ ∩
Em Rn asε-vizinhançasnasduasmétricasd e d quevimosanteriormenterecebemnomesespeciais. Se
1 2
x Rn,aε-vizinhançadex namétricaeuclidianad échamadadebolaabertadecentrox eraioε,eédenotada
0 0 1 0
∈
porB (x ).Aε-vizinhançadex namétricadosupéchamadadecuboabertodecentrox eraioε,sendodenotado
ε 0 0 0
porC (x ). PeloExemplo1.2.2temosque
ε 0
B (x ) C (x ) B (x ),
ε 0 ⊂ ε 0 ⊂ ε√n 0
paraqualquerx Rnequalquerε>0. Podemosrefrasearestefatonamaneiraapresentadanopróximoresultado.
0
∈
Proposição1.2.9 UmsubconjuntoU Rn éabertocomrelaçãoàmétricad se, seesomentese, éabertocom
1
⊂
relaçãoàmétricad .
2
6 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN
Definição1.2.10 Umpontox deumespaçométricoX échamadodepontolimitedeumsubconjuntoA X se
0
⊂
paratodaε-vizinhançadex U(x ,ε),oconjuntoU(x ,ε) A possuiinfinitoselementos. Sex Anãoéponto
0 0 0 0
∩ ∈
limitedeAdizemosquex épontoisoladodeA.
0
UmsubconjuntoD X édensoemX setodopontodeX épontolimitedeDouumpontodeD.
⊂
Oconjunto
A:=A x X xépontolimitedeA
∪{ ∈ | }
échamadodefechodeA.
Emparticular,ofechodequalquersubconjuntodeX éumsubconjuntofechado.
1.3 Limites e continuidade
Consideremosdoisespaçosmétricos(X,d )e(Y,d ),umafunção f: X Y ex X.
X Y 0
→ ∈
Definição1.3.1 Nascondiçõesacima,dizemosque f écontínuaemx se,dadoε>0,existeumδ>0,δ=δ(ε),
0
talque
d (f(x),f(x ))<εsemprequed (x,x )<δ.
Y 0 X 0
Dizemosque f écontínuase f écontínuaemtodox X.
0
∈
Umaformulaçãoalternativaparaadefiniçãodecontinuidadepodeserapresentadanaformadeteorema.
Teorema1.3.2 A função f: X Y é contínua se, e somente se, para qualquer subconjunto abertoU de Y, a
pré-imagem f 1(U)éabertaem→X.
−
Definição1.3.3 Umafunção f: X Y échamadadehomeomorfismoseelaéinversíveleambas, f e f 1,são
−
→
contínuas. Osespaçosmétricos(X,d)e(Y,d)sãohomeomorfosseexisteumhomeomorfismodeX emY. Duas
métricasded definidasnomesmoconjuntoX sãoequivalentesseexisteumhomeomorfismode(X,d)em(X,d ).
′ ′
Tambémdefinimosolimitedeumafunção f emumdadopontoemtermosdamétrica.
Definição1.3.4 SejaA X e f: A Y. Sejaaindax umpontolimitedodomínioAde f. Dizemosqueolimite
0
⊂ →
de f emx éy se,paracadaε>0,existeumδ>0talque
0 0
d (f(x),y )<εsemprequex Ae0<d (x,x )<δ.
Y 0 X 0
∈
Limites e continuidade de funções em espaços métricos satisfazem as mesmas propriedadesque limites e
continuidadesdefunçõesemRcomrelaçãoàsoma,produtoecomposição.
1.4 Interior e exterior
Definição1.4.1 Seja(X,d)umespaçométricoeA X. oconjunto
⊂
IntA:=(Ac)c
échamadointeriordeA.
Notequex IntAse,esomentese,existeε>0talqueU(x,ε) A,eassimointeriordeAéaberto.
∈ ⊂
Definição1.4.2 O exterior de A é o conjunto ExtA := Int(Ac). O bordo, (ou fronteira) de A é o conjunto
∂A:=X (ExtA IntA).
\ ∪
NotemosquesemprevaleX =IntA ExtA ∂A.
∪ ∪
1.5. COMPACIDADEEMRN 7
1.5 Compacidade em Rn
Passamosa relembrarnesta seção o importanteconceitodesubconjuntoscompactos. Como usual, denotaremos
por(X,d)umespaçométrico.
Seja A X. Uma cobertura de A é uma coleção de subconjuntos U α I , sendo I um conjunto de
α
⊂ { | ∈ }
índices,talqueA U . SecadaU éaberto,entãodizemosqueacoberturaéaberta.
⊂ α∈I α α
S
Definição1.5.1 Um subconjunto A X é chamado de compacto se toda cobertura aberta de A possui uma
⊂
subcoleçãofinitaquetambémformaumacoberturaabertadeA.
UmsubconjuntoBdeumespaçométrico(X,d)éditolimitadoseexisteumaconstanteM>0ex X tal
0
∈
qued(x,x ) Mparaqualquerx B.
0
≤ ∈
EmRnoscompactossãocaracterizadoscomosendoossubconjuntosfechadoselimitados.Umapartedesse
resultadopossuiumademonstraçãosimplesedaremosaseguir.Naverdade,enunciamossomenteparaRnmasele
valeparaqualquerespaçométrico.
Teorema1.5.2 SejaX umsubespaçocompactode(Rn,d )ou(Rn,d ).EntãoX éfechadoelimitado.
1 2
Demonstração.Porequivalência,bastademonstrarmosoresultadocomrelaçãoàmétricad .
2
MostremosincialmentequeX élimitado.ParacadaN Z definimosocuboabertoU :=C (0). Então:
+ N N
∈
∞
U U ... e Rn= U .
1 2 N
⊂ ⊂
N=1
[
Emparticular,oconjunto U N Z éumacoberturaabertadocompactoX,existindoassimumaquantidade
N +
{ | ∈ }
finitadeinteirospositivosN ,...,N taisque
1 k
k
X U .
⊂ Nj
j=1
[
Assim,sendoM=max N ,seguequeX U eX élimitado.
j j M
{ } ⊂
AgorademonstremosqueRn X éaberto,istoé, queX éfechado. Paraisso, sejax Rn X e,paracada
0
\ ∈ \
N Z ,definamosocubofechadoC :=C (x ). Então
∈ + N 1/N 0
∞
... C C e C = x .
2 1 N 0
⊂ ⊂ { }
N=1
\
SejaV :=Rn C . SeguequeV éabertoeque
N N N
\
∞
Rn x = V .
0 N
\{ }
N=1
[
Novamente, usando a compacidade de X obtemos que existe uma quantidade finita de subconjuntosV ,...V
N1 Nl
quecobremX. TomandoM=max N obtemosqueX V eemparticularC X =0/. Notandoquex IntC
i i M N 0 M
temosqueRn X éaberto. ⊂ ∩ ∈ (cid:3)
\
Corolário1.5.3 SeX éumsubconjuntocompactodeRentãoX possuimáximoemínimo.
Teorema1.5.4 SejaX umsubconjuntocompactodeRn e f: X Rmcontínua.Então f(X) Rmécompactoe,
→ ⊂
sem=1, f assumemáximoemínimo.
ParafinalizarmosacaraterizaçãodossubconjuntoscompactosemRnnecessitaremosaindadeumfatobásico.
Lema1.5.5 OretânguloQ:=[a ,b ] ... [a ,b ] Rnéumsubconjuntocompacto.
1 1 n n
× × ⊂
8 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN
Teorema1.5.6 SejaX Rnumsubconjuntolimitadoefechado.EntãoX écompacto.
⊂
Demonstração.SejaA umacoleçãodeabertosquecobremX.AdicionemosaestacoleçãooabertoRn X.Temos
\
assim uma coberturaaberta de Rn. Como X é limitado, podemostomar um retânguloQ comono Lemma1.5.5
talqueX Q. Emparticulara coberturaabertadeRn cobreocompactoQ. Extraímosentãoumasubcobertura
finitaquea⊂indacobreQ. SeestasubcoberturadeQaindaconterRn X,tiramosesteconjuntoobtendoaindaoutra
subcoleçãodacoberturainicialA. Talsubcoleçãopodenãocobrir\Q,mascertamentecobreX jáqueoconjunto
Rn X descartadonãocontémpontosdeX. (cid:3)
\
Definição1.5.7 SejaX Rn. Dadoε>0,oconjunto B (x)échamadodeε-vizinhançadeX namétrica
euclidiana.Similarmente⊂,substituindoB (x)porC (x)dexfi∈nXimεosaε-vizinhançadeX namétricadosup.
ε ε S
Teorema1.5.8 SejamX RnumsubespaçocompactoeU RnumabertoquecontémX. Entãoexisteε>0tal
⊂ ⊂
queaε-vizinhançadeX estácontidaemU (emqualquermétricad oud ).
1 2
Demonstração.Porequivalênciadasmétricas,bastademonstrarmosoresultadoparaamétricadosup.
DadoumsubconjuntoC Rn,paracadax RndefinimosadistânciaentrexeCpelaexpressão
⊂ ∈
d(x,C):= inf x c .
c C{| − |}
∈
Assumiremosporummomentoque,fixadoC,afunçãox d(x,C)écontínuadeRn emR.
7→
SejamU abertotalqueX U e f: X Rdadapor
⊂ →
f(x):=d(x,Rn U).
\
Como f écontínuaeX écompacto,peloTeorema1.5.4temosque f assumeummínimo. O valormínimode f
deveserpositivo,casocontrário, f(x )=0paraalgumx X,oquemostrariaquex Rn U,poisesteúltimo
0 0 0
∈ ∈ \
conjuntoéfechado,obtendoassimumacontradição.Seguequeexisteε >0talque f(x) ε paraqualquerx X
0 0
≥ ∈
eassimaε-vizinhançadeX estácontidaemU.
0
Faltamostrarmosquex d(x,C)écontínuadeRnemR. Sejamx,y Rnec C. Então,peladesigualdade
7→ ∈ ∈
triangular,
d(x,C) x y x c x y y c.
−| − |≤| − |−| − |≤| − |
Tomandooínfimoemcnadesigualdadeacimaobtemos
d(x,C) d(y,C) x y.
− ≤| − |
Comoamesmadesigualdadevalesetrocarmosospapeisdexey,obtemos
d(x,C) d(y,C) x y.
| − |≤| − |
Segueacontinuidadeeademonstraçãodoteorema. (cid:3)
OTeorema1.5.8nãoéválidoseretirarmosahipótesedecompacidadeemX,comoverificaremosnosexer-
cíciosdestecapítulo.
Demonstraremosaseguirumresultadofamiliar.
Teorema1.5.9 SejaX Rnumsubespaçocompactoe f: X Rmcontínua.Então f éuniformementecontínua
⊂ →
noseguintesentido:dadoε>0,existeδ>0,dependendosomentedeε,talque,paraquaisquerx,y X,
∈
f(x) f(y) <ε sempreque x y <δ.
k − k k − k
Estemesmoresultadovaleseconsiderarmosamétricadosup.
1.6. CONEXIDADEEMRN 9
Demonstração.ConsideremosoprodutocartesianoX X Rn Rneseusubconjunto
× ⊂ ×
∆:= (x,x) x X ,
{ | ∈ }
oqualchamaremosdediagonaldeX X.Notemosque∆éumsubconjuntocompactodeR2njáqueéimagemde
×
X pelaaplicaçãocontínuah(x)=(x,x).
Consideremosafunçãog: X X Rdefinidapor
× →
g(x,y):= f(x) f(y) .
k − k
Notemosqueg é contínuajá quepodeser escrita comsoma e composiçãodasfunçõescontínuas f e d . Segue
1
que,dadoε>0,oconjuntoV dospontos(x,y) X X paraosquaisg(x,y)<εéabertoemX X e,comotal,
∈ × ×
deveserescritocomoaintersecçãodeumabertoU Rn RncomX X.Como∆ V,temosque∆ U.
⊂ × × ⊂ ⊂
Acompacidadede∆eoTeorema1.5.8implicamnaexistênciadeumnúmeroδ>0talqueaδ-vizinhança
de∆aindaestácontidaemU. Noteque,sex,y X sãotaisque x y <δ,então
∈ k − k
(x,y) (y,y) = (x y,0) = x y <δ,
k − k k − k k − k
ouseja,(x,y)pertenceàδ-vizinhançade∆. Segueque(x,y) U eassimg(x,y)<ε,comodesejado.
∈
Ademonstraçãoparaocasodamétricadosupsegueporequivalênciadasmétricas. (cid:3)
1.6 Conexidade em Rn
Nestaseçãodaremosadefiniçãodeespaçosconexoseapresentaremosalgumaspropriedadesquenecessitaremos.
Definição1.6.1 UmsubconjuntoY deumespaçométricoX éconexoseelenãoéigualàuniãodedoissubcon-
juntosabertos,disjuntosenãovazios.
Exemplo1.6.2 OconjuntoQdosnúmerosracionaisédesconexo,sendo
x R x>√2 Qe x R x<√2 Q
{ ∈ | }∩ { ∈ | }∩
umadecomposição.
Teorema1.6.3 OsúnicossubconjuntosdeRquepossuemmaisqueumpontoesãoconexossãoopróprioReos
intervalos(abertos,fechadosousemi-fechados).
Umacaracterizaçãodesubconjuntosconexosédadanopróximoresultado.
Teorema1.6.4 SejaX umespaçométrico. Sãoequivalentes:
1. X éconexo;
2. osúnicossubconjuntosdeX quesãoabertosefechadossãoopróprioX e0/;
3. nenhumafunçãocontínua f: X 1,2 ésobrejetiva.
→{ }
Usaremososeguintefatobásicosobreespaçosconexos.
Teorema1.6.5(Teoremadovalorintermediário) SejamX eY espaçosmétricos. SeX éconexoe f: X Ré
→
contínuaentão f(X)éconexo.
10 CAPÍTULO1. REVISÃODETOPOLOGIAEMRN
Demonstração.Se f(X)nãofosseconexo,peloTeorema1.6.4existiriaumafunçãog: f(X) 1,2 contínuae
→{ }
sobrejetora.Assim,acomposiçãog f: X 1,2 seriatambémcontínuaesobrejetora,contradizendoofatode
X serconexo. ◦ →{ } (cid:3)
Em particular, uma função contínua de um espaço métrico conexo X com valores em R assume todos os
valoresentredoisquaisquerpontosdesuaimagem.
UmaimportanteclassedeconjuntosconexosemRnédadapelosconjuntosconvexos,quepassamosadefinir.
Dados x ,x Rn, o segmento de reta unindo x a x é dado por t x +t(x x ), 0 t 1. Um
1 2 1 2 1 2 1
∈ 7→ − ≤ ≤
subconjuntoA Rn é convexose osegmentodereta unindoquaisquerdeseuspontosestá inteiramentecontido
⊂
emA. NotemosquequalquersubconjuntoconvexodeRnéconexo.
1.7 Exercícios do capítulo
Exercício1 Se x,y Rn, demonstre que x+y x + y . Quando vale a igualdade? (A resposta não é
∈ k k≤k k k k
“quandoxeyforemlinearmentedependentes").
Exercício2(DesigualdadedeCauchy-Schwarz) Sejamx=(x ,...,x )ey=(y ,...,y ). Demonstreque
1 n 1 n
n
∑xy x y ,
i i
≤k kk k
i=1
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
comaigualdadevalendose,esomentese,xey(cid:12)foreml(cid:12)inearmentedependentes.
Exercício3 Sejam f egfunçõesintegráveisem[a,b].
(i) Demonstreque
b b 1/2 b 1/2
fgdx f2dx g2dx .
a ≤ a a
(cid:12)Z (cid:12) (cid:18)Z (cid:19) (cid:18)Z (cid:19)
(cid:12) (cid:12) b b
Sugestão: considereseparadam(cid:12)enteosca(cid:12)sos0= (f λg)2dxparaalgumλ Re0< (f λg)2dx
a − ∈ a −
Z Z
paratodoλ R.
∈
(ii) Nocasoemquetemosigualdade,éverdadeque f =λgparaalgumλ R? Ese f egforemcontínuas?
∈
(iii) Existealgumarelaçãoentreadesigualdadedoitem(i)comadesigualdadedoExercício2?
Exercício4 Uma transformação linear T: Rn Rn preserva norma se Tx = x para qualquer x Rn e
preservaprodutointernose Tx,Ty = x,y p→araquaisquerx,y Rn. Dekmonkstrekqukeestasduaspropri∈edades
h i h i ∈
sãoequivalentes.Demonstreaindaque,nestecaso,T ébijetoraeT 1tambémsatisfazasmesmaspropriedades.
−
Exercício5 Definimosoânguloentredoisvetoresnãonulosx,y Rnpor
∈
x,y
∠(x,y):=arccos h i .
x y
(cid:18)k kk k(cid:19)
A transformação linear T: Rn Rn preserva ângulo se T é bijetora e ∠(Tx,Ty)=∠(x,y) para vetores não
→
nulosxey.
(i) DemonstrequeseT preservanorma,entãoT preservaângulo.
(ii) Suponhaqueexista umabase x ,...,x ortonormalde Rn e númerosλ,...,λ taisqueTx =λx, i=
1 n 1 n i i i
{ }
1,...,n. DemonstrequeT preservaângulose,esomentese, λ sãotodosiguais.
i
| |