'1 les maths .: en tête Mathématiques pour M' . Xavier GOURDON 1. i , . A LES MATHS EN·TETE Mathématiques pour M' \ . ANALYSE .. Xavier GOURDON Ancien élève de l'écolè'polytechnlque Avant-propos . Cet ouvrnge\propose a.11x (.t1111iants des rla.•srs de mat.hlomaliqn<'s sprrialrs (prngrnmme M') des rappels et des complrm<'nf.s clc r011rs romp)!'ts, ·ainsi qnc dl's !'Xrrrirrs et des problèmes-corrigés. Il pourra égalr.ment intrrrssrr lrs élèvrs pré-parant l'n.grrgnt.ion. L'ouvrage est orienté clans.Je ml\me esprit 11111! le tome Algi>lire : le lirn étroit CJlli existe. entre le co11rs et les exercicl's C'St mis l'n avant. En pife!., unr. honnc comprl-ht'nsion du cours passe nécessairement par la résolution d'<'X<'rrir.rs, et récipro1111rment, il est illnsoire cle s'attaquer à. des exerrkes rliffiriles sans avoir nne comprrhension profoncle du ronrs. Dans cet esprit, de rri11lt.iples remar111111i m'ont airlé, Grorg~s Pa.padopnnlo, Drrtrn.nd Sn.int-Anhin et Alexia Stéfn.no11 pour la rrll'r.t.nre cle rC'Ttains chapitres, Dénédicte H<'rbinet à.1Jni je dois une élégant<' 11nlntion, Philippe Flajnlct ponr Ra rontrihntinn aux énonr.és de 1J11el1Jne11 problèml's. Cc travail a pn 11e r.onrrrl.isrr grârr an rROJET ALGORITHMES 1p1i m'a permis rie donner à. l'ouvragr. Sll. VC'r11ion typogr:iphiqul' artnrllr Clf. n )a. collrrtion ELLIPSES qui l'a a.r.cneilli, et je le11 on remercie. Je 11cra.is reconnaissant. à ceux de IDP;R ledl'11r11 qui me f~ront parvenir lrnrs remar1111c11 sur cette 11remière érlitinn. Xavim· Gourrlon (INRIA-Ror1111r11ro11rt, 7.'ll!i:J Le Che11nay) Table des matières Avant-propos 3 Chapitre I. Topologie sur les espaces métriques et les espaces vectoriels normés .7 1. Généralités · 2. Suites dans un espare mPtriCJue 3. Espaces compart.s 4. Espares connexes 5. Espar.es vectoriels normés (e.v.n) 6. Prohlèmes Chapitre II. Fonctions d'une variable réelle 1: Fonctions dérivables 2. Développements limités et d·évC'loppl'ments Mymptoti1111es 3. Fonctions convexes, fonctions r(.g16r.s · 4. Problèmes Chapitre III. Intégration 1. Définition et propriét.és de l'i1Mgralr. dC' RiC'mann 2. Calcul de primitives 3. Intégrales génér11.lisées . 4. Intégrales dépendant d'un paramP!.rC', P<(l1ival<>nts d'int6grall's 5. Problèmes Chapitre IV. Suites et séries 1. Suites numérir111es 2. Séries n11méri1111es 3. Suites et séries s, int~grafos rurvilignPs 5. Problèmes fi:. Chapitre VI. Équations différentielles ( 1. Généralités 2. Équations différentiPlles linéa.irl's 3. Équations différPnt.irllrs non lin~airrs 4. Quelques compléments 5. Probli>mes Annexe A. Théorème de Baire et applications Le théorème de Baire Applications Annexe B. Espaces de Hilbert 1. 2. Résultats généraux sür lrs espa.rrs clr Hilhrrt Quelques antres résult.at.s snr )ps rsparps dr llilhPrt Index des notations Index ,terminologique 2!10 299 2!J!J 310 315 .325 337 347 347 351 363 368 381 391 3!11 393 401 401 405 411 413' CHAPITRE I Topologie sur.les espaces métriques et lés espaces vectoriels normés L A naissance de la topologie ... ,t dirr.r.t.em•mt. liée à l'étude des ensembles de nombres réels. Un premier signe fut r.r.rtainPmPnt la définit.ion de la notion de point d'accumulation 11ar WP.ierstra.'I., vers 18ri0 (11ui tlémontra 11ue tout ensemble "ile nombres réels infini hornP. aclmet an moins un point. d'acr.umnlation, résultat ad-· mis auparavant). Ce poil!'t de vue un peu étroit tomba ensuite en désuétude. Ce n'est 11u'en 1906, à force ·d'étudier de., ensemhlP., de 11h1s r.n pins abst.raits, 1111 'appamt la notion de dis'tance, introduite par Frérhet. La notion cl'rspar.e topologi1111e général ne naquit qu'en 1914 grâce à llau!idorff 1111i s vectodels nonné.5 Exem[Jle 1. - :r. ....... l:r.I est une norme sur IR, z 1-+ lzl est une norme sur C. - Da.ns Rn, en nota.nt :r. = (:r.1, ... , :r.n), on a les normes cla..~siques suivantes ll:r.111 = ~l:r.d, ll:r.11"" = si:pl:r.d, ll:r.112 = /~:r.;. Plus généralement, ponr tout a ~ 1, llxllu = O:, lxd") 11" est une norme sur Rn (voi~ la conséquence cle l'inégalité de Minkowsky, page 05). - L'ensemble B(X, R) des applications bornées d'un ensemble X dans Rest un espace vectoriel normé muni de la norme 11111 = snp%ex lf(x)I. (Aa passage, cette norme s'appelle norme de la. convergence uniforme.) Remarque 1. Lorsque seules les propriétés (ii) et (iii) de la définition sont vérifiées, on dit que Il · Il est une semi norme. Distances. DÉFINITION 2. Soit E un ensemhle. On 11ppelle di.•tnnr.e s11r E tonte applicat.ion cl : Ex E _,. JR.+ telle que : {i) cl(:r., y)= 0 si et seulement si :r. =y. {ii) Pour tout :r., y E E, d{:r.,y) = d(y,:r.) (symétrie). (iii) Pour tout :r., y, z E E, d(:r.,z) $ d(:r.,y)+cl{y,z) (ir1iy11lité t7-icmgulai1-e). Muni d'une distance, E est appelé cspC1r.e. métr-iq1u:. E:r.emrile 2. - Si E est un e.v.n, d(:r., y)= ll:r. -yll définit une distance sur E, qui fait. de l'e.v.n E un espace métrique. Sauf mention contraire, c'e~t cette distance que l'on choisit toujours dans un e. v.n. - Sur tout ensemble E, la distance cl définie par d(:r., y)= 0 si :r. = y, cl(:r.,y) '= 1 si :r. i- y est appelée clistcmr.e clisr.rète snr E. L'espace mét.riqne (E, cl) est a.lors appelé e.~rmce discr-et. Diamètre d'une partie, diatance entre deu:i: partiea.- DÉF!NITlON 3. Soit (E, d) un espace métrique. Si AC E, A # 0, on appelle cliflmètre de A l'élément cle (0, +oo] défini par 6(A) = snp d(:r., y). (r,y)EA' On dit c111e A est bornée si A= 0 ou si 6(A) < +oo. DÉFINITION 4. Soient A et B deux partir.s non vides d'un espace métricpte (E, d). On appelle clistance de A à B le réel d(A, B) = !~! d(:r., y). wEB Lorsque :r. est un élément de E, on appelle distance de :r. à A le réel cl(:r.,A) = <1({:1:}, A)= inf d(:r., y). rEA Remarque 2. Attention! Définie telle quelle, l'appliration cl: ('P(E),{0})2 (A,B)-+cl(A,B) n'est pas une distance i;11r 'P(E), {0} (par exemple, on peut avoir d(A, B) = O avec A °1 B). 1. Généra.lités 9 Boules et sphères. DÉFINITION 5. Soit·(E, cl) un espace métrique. Pour tout :r. E E et pour tout p > 0, on appelle - boule 01werte de centre :r. de rayon p l'ensemble B(:r., p) = {y E E 1 cl(:r., y) < p }, - boule fermée de centre x cle rayon p l'1msemble Bc(.:r.,p) = {y E E 1 cl(.:r., y) ::; p }, - splière cle centre :r. de rnyon p l'ensemhle S(:r.,p) ={y E E 1 cl(:r, y)= p}. Lorsc1ue E est un espar.e vectoriel normé (muni de la distance issue de la norme) et ciue :i; = 0, p = 1, on parle de houle unité ouverte, boule unité fermée et de sphère unité. · · PROPOSITION 1. Soit (E,cl) un espace méti-ique, A une partie rie E, et :r. E E. L'en.•r.mb/e A est borné si et seulement s'il e:r.i11te r > 0 tri que AC B(:r., r). 1.2. Topologie d'un espace métrique Sauf mention contraire, dans toute cette sous partie, (E, d) désigne un espac.e mét.riq11e. Ouvert.,, DÉFINITION 6. Une partie n cle E est ditE' f'lllllerte (ou n 11n rm11c1·t) sin= 0 Oil si V:r. En, 3p > 0 tel <1ue B(:r.,p) C n. L'ensemble 0 est un voisinage de :r.. Remarque 5. Une réunion (resp. une intersection.finie) de voisinages de :r.·est nn voisinage de x. Commentaire sur les espC1ces topoloyiq11es yénému:r.. Un espt1ce topologique général E est défini comme ét11.nt un ensemble muni d'une p11.rtie de 'P(E) dont les éléments sont appelés des ouverts et vérifient les axiomes (i), (ii) et (iii) de la. proposition 2. On définit a.lors les fermés comme il. la définition 7 et les voisinages comme à. la. définition 8. Toutes les notions de cette partie 1.2 pen vent être étendues 11.nx espaces topologiques. Il existe pour les espace.~ topologiques généraux une notion import.l\nte appelée 111. sé· pa.ra.tion. Un espace topologic1ue E est dit ·'éJJ<1ré si pour tous éléments :r., y E E, :r. -:/: y, il existe VE V(:r.) et W E V(y) tels c1ue V n W = 0. On voit facilement que tout espace métrique est séparé. Adhérence. DÉFINITION 9. L'c1dlufrence d'une partie A de E, notée A, est le plus petit ensemble fermé contena.nt A. Remarque 6. - L'ensemble A existe, c'est l'intersection des fermés contenant" A. - Une pa.rtie A est fermée si et seulement si A= A. PROPOSITION 4. Soit A tme. [Hlrtie tle E. lin f.lbrient :r. ile E e.,t d1m,, A si et seulement l'une des assertions s11Ïllnntes e.çt ·vbifiée : (i).Ve>0,3aeA, d(1t,:r.) :r. E A Ç:::::> d(:r., A)= o. DÉFINITION 10. Une partie A de E est di.te rlcn.çe cl11.ns E.si A= E. Exem[Jle 7. En utilisant la proposition 1m\céclente, on voit facilement qu'une partie A de Ill est dense dans Ill (Ill éta.nt muni de la cliRt.ance usuelle) si et seulement si ('r/(11,b) E lll21 11 < b), ]1t, b( n A f:. 0. Par exemple, Q et IR 'Q sont clenses d11.11s IFI .. 1. Généralités .11 Intérieur. • DÉFINITION 11. L'intérieur d'une partie A de E, noté A, est le pins grand ouvE'rt contcnn dans A. Remarque 1. - L'intérienr de A existe :·c'est la. réunion des ouverts contenus dans A. • - Une p.a.rtie A de E e.~t ouverte si et seulement si A = A. . . . ---- -- - Pour tonte partie A de E, A= E,(E,A} et A = E,(E,A). • PROPOSITION 5. Soit A une p11rtie de E et :r. 11n élément rie A. On 11 :r. E A 11i et se11lcment si l'une des 11ssertion.• .•uitinnte.• est 11érifiéc. (i) A est un voisin11gc ile :r.. (ii) Il e:r.iste E > 0 tel q11c B(:r., E) C A. E:r.emple 8. Da.nR lll, l'intérienr de [rx,/1] eRt ]rr,P[; l'intérieur rie Q, rie llhlQ, est 0. Frontière. DÉFINITION 12; La. frontière d'une pll.rtie A de E est l'ensemhle Jf ,A. On la note Fr( A) (on encore 8A). Point d'a.ccumula.tion, point Î.!olé. DÉFINITION 13. Soit A nne partie de E. - On dit <1ue a E E est nn [KJint 1l't1r.wm11llltion rie A si pour tont voisinage V de a, V n A:/: 0 et V n A:/: {t1}, ce qni s'ér.rit encore {VE> 0), B(ri,E)nA:/:.0et #{11}. - On dit qne a. E A est un point i.•olé tle A s'il existe nn voisinage V de ci tel qne V n A= {ci}, ce qni s'écrit encore . {3E > 0), D(1i,E)n A =.{t1}.. Remarque 8. Si ti est nn point cl'accumnla.tion de A, a.lors " E A et de plus pour to11t E > 0, B(a,E) contient une infüiité de.points tle A. Exemple 9. Dans Ill, 0 est point d'accumulation de l'ensemble {l/n, n EN"}. Topologie induite da.na un eapa.ce métrique. Soit {E,d) nn espace métrique et AC E. Une manière bien naturelle de fa.ire de A un espace métrique est de le munir de la restriction de la. distance d de E à A x A. Ainsi, (A, d) ei;t un espace métrique dont la topologie est appelée topologie intl11itr par ( E, cl). La. proposition suivante permet de caractériser les ouverts, fermés et voisinage.~ de A par rapport i\. ceux de E. PROPOSITION 6. Soit A une [Hirtie de E .. - Les ou11erts rie A sont les enscmblr" tic 1r1 forme f! n A, f! étnnt un 01111ert de E. - Les fem1és de A sont les enscmble11 tir: Ill f"rme F n A, cni. F est un fe1mé de E. - Si a E A, les 11oisinage.q de 11 tlnn.ç A sont lr.,ç en.•r.mblr,ç tic 111 forme V n A, V étrmt un 11oi.çin11ye de " tltms E. Exemple 10. L'ensemble (0, l[ e.i;t nn onvrrt rlr A = (0, 2] (on peut écrire pnr exemple [O, 1( = J - 1, l[ nA). 12 I. Topologie sur /P.~ l'S/lilrf'.~ ml-tl'ique.~ et /!•s C'SJlll.CP.~ vectol'ÏP/s 11ormPs 1.3. Continuité Applications continues. DÉFINITION 14. Soient (E,cl) et (E',d') deux espaces métriques, et f : E .:.... E' une application. On dit 0, 3 0, \:/x E E), (d(11, :r.) < rt ~ cl'(/(n), /(:r.)) < e). PROPOSITION 8. Soient (E, cl}, (È', cl'), ( E"; d") l.mis rsrmrr..• mét1·it/llP.~•. et 1/P.11:r. ll[l[llir.t1- tions f: E-+ E' et g : E'-=-< É';, Si/ e.•I r.nnlin11e r.n 11 E E et g r.rmtin11r. eri /(11), 11/nrs l'application go f : E -+ E" est r.dr1iiniie en 11. PROPOSITION 9. Soit f : (E, cl) - (E', cl') imr ll[J11lk11tirm. Lr:.• tmis rm1crtirm.• .•11itumtcs sont éq11fot1/ente,•. (i} f est continue sur E. (ii) L'im11ge réci[Jr()(JllC zmr f rie to11I. mmr1·t rie: E' est 11n rn111r:1'1 rlr. E. (iii) L'image récivmque zmr f rie tout fr.rmr!: rie E' c.•t 11n /r.nrté rie E. Remarque 9. Lorsque l'image cle tout OllV!'rt p;i.r f est lin ollvert, on dit 0 et b > 0 tels qne pour tant :r. E E, aN.'(:r.)::; N2(:r.)::; bN1(:r.). - Deux distances rl et d' sur E sont ditPs éq11i1:11/cntes s'il existe n > 0 et /1 > 0 tels -_qne pour tout :r.,y E E, rH!(:r.,y) S d'(:r.,y) S bd(:r.,y). Remczrque· 12. - Deux normes équivalr.nt.es inclnisf.'nt cieux dist11.nces é11uivalf.'ntes: - Deux clist11.nces équivalentes sont topologi1111ement é11uivalent.es. Il est clone indif- férent, topologiquement p;i.rlant, de travailler avec l'une ou 1'11.11tre des ·dist:ùië·:esi' - On verra. plus loin (voir le théorème 3 page 4!l) que sur nn e.v de dimension finie, tontes les normes sont équivalentes. Applications uniformément continuea. DÉFINITION 18. Une application f : (E, d) - (E', d') est dite uni/ormf.mmt r.rmtl11m· sur E si (Vë > 0, 3cr > 0, V:r., y E E), (d(:r.,y) < rr ==> d'(/(2:),f(y)) < E). Remarque 13. - Une fonction unifonnémf.'nt cont.inue est continue; la nu:i.nce de con- cept est qu'une fonction 1miformérnr11t mntinne vérifie d'(/(:r. ), /(y)) < E pour tous les couples (:r., y) tels que cl(:r., y) < rr, rr Pt.ant indépencl11.nt de :r, alors qne pour une fonction continue, r1 dépend de :r. L'uuiforrnité de cet n > 0 pour une fonction uniformément continue f en fait une fonct.ion souple d'emploi. Du coup, certains théorèmes sont vrais pour les fonctions uniformément continues m11.is pM ponr les fonctions continues. Nous verrons cependant que tonte fonction continue sur nn compact y est uniformément continue (voir le théorème 2 page 31). - Attention! L'uniforme continuité n'est pi!$ une notion topologique. Autrement dit, la. seule définition de la topologie ile E et E' ne suffit p;i.s il. définir l11111iforme conti- . nuité. En p11.rticulier, une fonction 11niformiii11ent continue vis-à-vis d'une c:erta.ine ~distance ne l'est pas forcément vis-à.-vis d'une !list11.nce topologi1111erne11t équiv;i.lente. "i Par contre, une fonction uniformément r.ontin~e de (E, d1) clans (E',d~),.lor11<,tu'elle ' est regardée comme une fonct.ion de ( E, d~) 0, V:r, y E E), d'(/(:r. ), /(y))::; k cl(:r., y), - ' . est uniformément continue. ~ La fonction f : )0, l) -+ Ill :r. 1-+ 1/.r es~ rontin11e m11.is n'est pas uniformément , continue. f La. fin de la. rernar~111e préc.édente mot.ive la <16finit.ion suivante. DÉFINITION 19. Deux distances d et cl' sur E sont dites 1111i/ormémenl étj11Ï1lfllrnlc.• si l'application identité ei;t uniformément continue de (E, d) d11m (E, d') et de ( E, d') ologie sur les es1>a.cf'."i 11JétriquP.s et les espa.cf:l.s vectori1:•J,r.; uonné.s 1.4. Produit d'espaces métriques On se donne un nomhre fini n d'espaces métriques (E1,di), ... ,(En,cln) et on pose E = E1 X · • • X E,.. On vent faire de E nn espace métriqne. Un moyen natmt'l r.st de construire une dista.nce cl snr E à. partir des distances d1. Par exemple si :r. = (:r.1, ... , :r.,.) et y = (Yi. ... , y,.) E E, d(:r., y) = snp1 0 vérifie B((l. 1 r) = B(rr.1 1 r) X ···X B(1tn 1 r). PROPOSITION 11. Si 0 1 , ••• 1 On sont -+ :r.; est une application continue et mme1·te (1111r. fll'TJ/imlirm r.st 1/itr: m111c1·te si l'im11ye cle tout ouvert par cette application r.st un oimr.rl). PROPOSITION 13. Une fl[Jplirlltian f: (F, 6) - Eix .. · X En :r. >-+ f(:r.) = (/1(:r.), · .. , /,.(:r.)). est continue en a E F si et swlcment si [Klllr tout i, / 1 = Pr1 of est cs que :r. # 0). 1. Généralités 15 Continuité de la distance. PROPOSITION 15. Soit (E, cl) un esprir.e m(triqur.. Alors l'<1p11lir.O. L'appli·c~tl;~·rp: E-+ IR x 1-+ cl(a,x) est continue d'après les deux dernières propositions. On en déduit que B1(ri,r) = rp- 1([0,r])et S(-+x+y et KxE-E (A,:r.) ...... A·:r. sont continues. Algèbre normée. DÉFINITION 20. On dit -+ :r.y est alors continue. PROPOSITION 17. Soit A 11n IK-e.11.n (IK = lR rm C) et f,g: (E,d)-+ A rlcu:r. rtpplir.ations continues en a E E. A/ars les a11plicfltion.~ f + g, A/ (Iiour tout À E JIC fi:r.é) sont continues en a. Si A est une algèbre normée, l '"l'l'limtion f g est continue en a. 1.5. Limites DÉFINITION 21. Soient (E, d) et (F, ë) deux espaces métriques et une application f : D C E-+ F. Soient A CD et a E A, l E F. On dit que J(x) tend 11e1·s l quand :r. tend 11ers a selon A, et on note fün f(x) = l, si pour tout voisina.ge W de f., il existe un voisinage V •EA de a tel que f(A n V) C W. Ceci s'écrit aussi Vë > 0,3a > 0 tel que V:r. E A vérifiant d(1L,x)

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