Les maths en tête : Analyse

417 Pages·1998·21.74 MB·English

by  Xiavier Gourdon

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les maths .:
en tête

Mathématiques pour M'

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Xavier GOURDON

1.

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A
LES MATHS EN·TETE

Mathématiques pour M'

\
.

ANALYSE

..

Xavier GOURDON

Ancien élève de l'écolè'polytechnlque

Avant-propos

. Cet ouvrnge\propose a.11x (.t1111iants des rla.•srs de mat.hlomaliqn<'s sprrialrs (prngrnmme
M') des rappels et des complrm<'nf.s clc r011rs romp)!'ts, ·ainsi qnc dl's !'Xrrrirrs et des
problèmes-corrigés. Il pourra égalr.ment intrrrssrr lrs élèvrs pré-parant l'n.grrgnt.ion.

L'ouvrage est orienté clans.Je ml\me esprit 11111! le tome Algi>lire : le lirn étroit CJlli existe.
entre le co11rs et les exercicl's C'St mis l'n avant. En pife!., unr. honnc comprl-ht'nsion du
cours passe nécessairement par la résolution d'<'X<'rrir.rs, et récipro1111rment, il est illnsoire
cle s'attaquer à. des exerrkes rliffiriles sans avoir nne comprrhension profoncle du ronrs.
Dans cet esprit, de rri11lt.iples remar<Jues ponrt11ent les partfos rll' ronrs, mrttant en avant
ses subtilités, et faisant )~ füm aver ll's exerrir.es qui snivrnt.

Les pn.rt.i!ls de conrs nr Ront pM nn Rnhstit.nt ;1.11 conrs cl11 prnfrsse11r, mn.is pintât nn
résnmé exhanstif CJUi l'~d:iirr. d'une façon r!Hfrr<'nte. L<'s r.ompJ(:m<'nts sont des résultats
très cla.•si<JucS: <1ni ·ne fignrrnt pa.• au programme mais 1lont la ronnaissanrc est utile et
parfois indispensable ponr mener à hien un <'xrrrirr 011 un prohll-rne. Lr.s résnltats prés1mté.s
sont démontrés lors<Jn'ils sont à la limite rl11 programme 011 lom111'ils rnnst.itnrnt un point
important dont la démonstrat.inn met en plnre des trrhni11u<'S i,1.1strnr:tives 11ue l'ét.urliant
doit connaitre et savoir mail.riser.

À la fin cle chac111e sêr.tion, on trouve un<' li11tc d'exercices !le rliffir11lté11 progrc1111ives,
classi1J11es on piufqis originaux, 1111i ronst.it.uent une illustrn.t.ion dn ronrs 1111i les précède.
Je me 1111is efforcé à chaque foi11 de pa.•s<'r en. rr.vne tou11 les prohlrrne11 11ui tonrnent a11to11r
1!11 thî•me ile l'exercice. Le11 nomhrenseR réflorrnrl'11 a.11 conrR 11nnt. (;\ ponr invit.rr le loctenr
à 111y rrport1Jr, le but ét:inf. ile savoir et ile rnmprenrlre prlocis(.mrnl les rés11lt.at11 1111e l'on
utilise.

Une füt.c de prohlème11 ponrtne la fin rit• rharJ11e chapitr<', C<'R prohli•mPs l-t:int des

cxcrciccR pl1tR longR, 11l11R diffiril<'R 011 )llnH Ol'iglnn.11x 11110 l<'R )lr~r~clrnl.M <'t fnlHnnt n.pp11l A
l'ensemhlr. 1111 conrs dn chapitre. À la fin rie rrr.lain11 chnpit.res, on troll V<' iles sujets d'étude
introduisant des théorir11 élloganf.t'll dans ir t!irrnr. rln rhpitrr. Dl'nx anncxr11 pr~Rcntcnt
des c11rio11ités mathémati1111l'11 liél's a.u progr:immr. d'an:ily11e.

Les résnltats clu cours ou l<'s l'Xercires )!'Il plus importants sont indi1111és par une flèche
da.ns la marge ile gauche.

Je tiens à. remercier to11tr11 l<'11prr11onn<>111111i m'ont airlé, Grorg~s Pa.padopnnlo, Drrtrn.nd
Sn.int-Anhin et Alexia Stéfn.no11 pour la rrll'r.t.nre cle rC'Ttains chapitres, Dénédicte H<'rbinet
à.1Jni je dois une élégant<' 11nlntion, Philippe Flajnlct ponr Ra rontrihntinn aux énonr.és de
1J11el1Jne11 problèml's. Cc travail a pn 11e r.onrrrl.isrr grârr an rROJET ALGORITHMES 1p1i m'a
permis rie donner à. l'ouvragr. Sll. VC'r11ion typogr:iphiqul' artnrllr Clf. n )a. collrrtion ELLIPSES
qui l'a a.r.cneilli, et je le11 on remercie.

Je 11cra.is reconnaissant. à ceux de IDP;R ledl'11r11 qui me f~ront parvenir lrnrs remar1111c11
sur cette 11remière érlitinn.

Xavim· Gourrlon

(INRIA-Ror1111r11ro11rt, 7.'ll!i:J Le Che11nay)

Table des matières

Avant-propos
3

Chapitre I. Topologie sur les espaces métriques et les espaces vectoriels
normés
.7

1.
Généralités

· 2.
Suites dans un espare mPtriCJue

3.
Espaces compart.s

4.
Espares connexes

5.
Espar.es vectoriels normés (e.v.n)
6.
Prohlèmes

Chapitre II. Fonctions d'une variable réelle

1:
Fonctions dérivables

2.
Développements limités et d·évC'loppl'ments Mymptoti1111es

3.
Fonctions convexes, fonctions r(.g16r.s
· 4.
Problèmes

Chapitre III. Intégration

1.
Définition et propriét.és de l'i1Mgralr. dC' RiC'mann

2.
Calcul de primitives

3.
Intégrales génér11.lisées

. 4.
Intégrales dépendant d'un paramP!.rC', P<(l1ival<>nts d'int6grall's

5.
Problèmes

Chapitre IV. Suites et séries

1.
Suites numérir111es

2.
Séries n11méri1111es

3.
Suites et séries <le fondions

4.
Séries entièr~s

5.
SériC'H de Fonril'r

6.
Prohlèmes

7

19
27
38
47
56

67

67
84
92

101

117

117
135
145
157
173

193

1!}3
203
220
233
254
2GG

7.
Sujets d'étude

Chapitre V. Fonctions de plusieurs variables

1.
Différentielle, dérivées partielles

2.
Extremums relatifs

3..
Inversion locale, fonctions irnplicitPs

4.
Intégrales multiplc.>s, int~grafos rurvilignPs
5.
Problèmes

fi:. Chapitre VI. Équations différentielles

(

1.
Généralités
2.
Équations différentiPlles linéa.irl's

3.
Équations différPnt.irllrs non lin~airrs

4.
Quelques compléments
5.
Probli>mes

Annexe A. Théorème de Baire et applications

Le théorème de Baire
Applications

Annexe B. Espaces de Hilbert

1.
2.
Résultats généraux sür lrs espa.rrs clr Hilhrrt
Quelques antres résult.at.s snr )ps rsparps dr llilhPrt

Index des notations

Index ,terminologique

2!10

299

2!J!J
310
315
.325
337

347

347
351
363
368
381

391

3!11
393

401

401
405

411

413'

CHAPITRE I

Topologie sur.les espaces métriques et lés espaces vectoriels
normés

L
A naissance de la topologie ... ,t dirr.r.t.em•mt. liée à l'étude des ensembles de nom-
bres réels. Un premier signe fut r.r.rtainPmPnt la définit.ion de la notion de point
d'accumulation 11ar WP.ierstra.'I., vers 18ri0 (11ui tlémontra 11ue tout ensemble "ile
nombres réels infini hornP. aclmet an moins un point. d'acr.umnlation, résultat ad-·
mis auparavant).
Ce poil!'t de vue un peu étroit tomba ensuite en désuétude. Ce n'est 11u'en 1906,
à force ·d'étudier de., ensemhlP., de 11h1s r.n pins abst.raits, 1111 'appamt la notion de
dis'tance, introduite par Frérhet. La notion cl'rspar.e topologi1111e général ne naquit
qu'en 1914 grâce à llau!idorff 1111i <Ir.finit la not.ion de voisinage.
Le développement des.P.,par.r.s VP.r.t.ori .. Js normr.s (en partimli.r.r dl! dimensions in-
finies) est d'abord d1i à HilhP.rt.; Banarh romplét.a largP.ment r.elte théorie dans les
années 1930.
·

La notion d'ensP.mhle r.ompar.t., en germe dios 1900, se dévelop11a avec Borel et·
Lebesgue grâce a11x r.onsidr.mt.ions·!i.:t'S Ï\ la théorie de la. mr.,ure.

La. théorie généra.le des espaces topologiques n 'êta.nt pas au programme des cla.,ses de
ma.théma.tique.s spécfales, nous nous limit.erons à. l'étude des espaces métril1ue.q, Les
curieux trouveront r.eperlclil.nt leur compte dans les différentes remarc111es cles parties de
cours.
En annexe, sont présentés sons forme de. problèmes et d'exercices :
- Le théorème de Bll.ire et fJUl'ICJlll'S applications (annexe A).
- Quelques résultats sur les espaces de Hilbert (annexe B).
Ces curiosités ne sont pa.q au programme dr mathématiques spéciales, mai.11 elles constituent
de forts jolies théories c111i nous sont acr.essihles. ·

1. Généralités

1.1. Normes et Distances

Norme~.

· DÉFINITION l. Soit E nn IK-l'SJla.Ce vectOl'Ïl!I (oit lK =IR 011 C). U11P. 1wm1e 11ur E est une
application E--+ lll+
:r. 1-+ ll:r.11 telle c1ne
(i) On a llii:ll = 0 fiÏ et' seulement fii :r. =O.
(ii) Pour to11t ..\ E lK, pour tout :r. E E, ll..\:r.ll = l..\l • ll:r.11.
(iii) Pour tout (:r., y) e E 7, ll:r. +!!Il ~ llrll + llYll ( inéy111ité lrirmyu/tifrc).

Muni d'une norme, E e~t appclô un IK-e~p;irr. VPr.l.orid nmwr: (<'n a.h1·égé l'.v.n).

8
I. Topologie .~ur fos f'SJ><l.C'P..~ métriq11e.~ et le.~ r.çpa.r.1.>s vectodels nonné.5

Exem[Jle 1.
-
:r. ....... l:r.I est une norme sur IR, z 1-+ lzl est une norme sur C.

-
Da.ns Rn, en nota.nt :r. = (:r.1, ... , :r.n), on a les normes cla..~siques suivantes

ll:r.111 = ~l:r.d,
ll:r.11"" = si:pl:r.d,
ll:r.112 = /~:r.;.

Plus généralement, ponr tout a ~ 1, llxllu = O:, lxd") 11" est une norme sur Rn

(voi~ la conséquence cle l'inégalité de Minkowsky, page 05).

-
L'ensemble B(X, R) des applications bornées d'un ensemble X dans Rest un espace
vectoriel normé muni de la norme 11111 = snp%ex lf(x)I. (Aa passage, cette norme
s'appelle norme de la. convergence uniforme.)

Remarque 1. Lorsque seules les propriétés (ii) et (iii) de la définition sont vérifiées, on dit
que Il · Il est une semi norme.

Distances.

DÉFINITION 2. Soit E un ensemhle. On 11ppelle di.•tnnr.e s11r E tonte applicat.ion cl : Ex
E _,. JR.+ telle que :

{i) cl(:r., y)= 0 si et seulement si :r. =y.
{ii) Pour tout :r., y E E, d{:r.,y) = d(y,:r.) (symétrie).
(iii) Pour tout :r., y, z E E, d(:r.,z) $ d(:r.,y)+cl{y,z) (ir1iy11lité t7-icmgulai1-e).

Muni d'une distance, E est appelé cspC1r.e. métr-iq1u:.

E:r.emrile 2.
- Si E est un e.v.n, d(:r., y)= ll:r. -yll définit une distance sur E, qui fait.

de l'e.v.n E un espace métrique. Sauf mention contraire, c'e~t cette distance que
l'on choisit toujours dans un e. v.n.
- Sur tout ensemble E, la distance cl définie par

d(:r., y)= 0 si :r. = y,
cl(:r.,y) '= 1 si :r. i- y

est appelée clistcmr.e clisr.rète snr E. L'espace mét.riqne (E, cl) est a.lors appelé e.~rmce
discr-et.

Diamètre d'une partie, diatance entre deu:i: partiea.-

DÉF!NITlON 3. Soit (E, d) un espace métrique. Si AC E, A # 0, on appelle cliflmètre de
A l'élément cle (0, +oo] défini par

6(A) =
snp d(:r., y).

(r,y)EA'

On dit c111e A est bornée si A= 0 ou si 6(A) < +oo.

DÉFINITION 4. Soient A et B deux partir.s non vides d'un espace métricpte (E, d). On
appelle clistance de A à B le réel

d(A, B) = !~! d(:r., y).

wEB

Lorsque :r. est un élément de E, on appelle distance de :r. à A le réel

cl(:r.,A) = <1({:1:}, A)= inf d(:r., y).

rEA

Remarque 2. Attention! Définie telle quelle, l'appliration

cl: ('P(E),{0})2
(A,B)-+cl(A,B)

n'est pas une distance i;11r 'P(E), {0} (par exemple, on peut avoir d(A, B) = O avec
A °1 B).

1. Généra.lités
9

Boules et sphères.

DÉFINITION 5. Soit·(E, cl) un espace métrique. Pour tout :r. E E et pour tout p > 0, on
appelle

-
boule 01werte de centre :r. de rayon p l'ensemble B(:r., p) = {y E E 1 cl(:r., y) < p },
-
boule fermée de centre x cle rayon p l'1msemble Bc(.:r.,p) = {y E E 1 cl(.:r., y) ::; p },
- splière cle centre :r. de rnyon p l'ensemhle S(:r.,p) ={y E E 1 cl(:r, y)= p}.

Lorsc1ue E est un espar.e vectoriel normé (muni de la distance issue de la norme) et ciue

:i; = 0, p = 1, on parle de houle unité ouverte, boule unité fermée et de sphère unité. ·
·

PROPOSITION 1. Soit (E,cl) un espace méti-ique, A une partie rie E, et :r. E E. L'en.•r.mb/e
A est borné si et seulement s'il e:r.i11te r > 0 tri que AC B(:r., r).

1.2. Topologie d'un espace métrique

Sauf mention contraire, dans toute cette sous partie, (E, d) désigne un espac.e mét.riq11e.

Ouvert.,,

DÉFINITION 6. Une partie n cle E est ditE' f'lllllerte (ou n 11n rm11c1·t) sin= 0 Oil si

V:r. En, 3p > 0
tel <1ue
B(:r.,p) C n.

L'ensemble <les parties ouvertes cle E s';i.ppelle topri/oyie cle E.

E:r.em11le 3. Une boule ouverte est 11n ouvert. En partic11lier, clans IR (muni de la clistance
usuelle d(:r.,y) = l.:r.- yl), les intervalles ouvert.s Ja,,(3[ sont cles ouverts.

PROPQSITION 2.
(i) Les pm·ties 0 et E sont rlr..• mwrrt.•.

(ii) 'Une réunion d'o1111erts est un 01111r.r·t.
(iii) "Une intersection finie d'm111erts e.•t 1m mrnert.

RemaT"JUC 3. Attention, une intersection infinie cl 1011verts peut ne pas être ouverte. Par·
exemple, dans lll, n .. eN· ]-1/n, l/n( = {O} n'est p;i.~ ouvert.

Fermés.

DÉFINITION 7. Une partie F de E est ditC' /rnnéc (on F 11.n fc1·ml) si E "': F est 011vert.

E:r.empie 4. Une houle fermée est. nn fermé. En p;i.rticulier, un singleton {:r.} = Br(:r., 0) est
un fermé. Dans lll, les intervalles fermés [rr, f1] sont des fermés.

PROPOSITION 3.
(i) Les 1111r·lies 0 r.l E soul tlr:s fc1111és.

(ii) Une inter·section tic /cm1é11 e.~t un fr:nni.
(iii) Une ré11nio11 finie rie fermé.. e.~t uri /cm1f.

Rema111ue 4. Attention, une réunion i111inir dr frrmés pent. ne pas êotre fermée. Par exem-
ple, dans Ill, UneN·[l/n, 1- 1/11] =JO, l[ 1i'rst. p~s nn fermé.

10
I. Topologie sur les espar.Pl! métriques et les e.,paces vectoriel.~ normés

Voiainagea.

DÉFINITION 8. On appelle 11oisinaye d'un élément :r. de E toute partie V de E contenant
un ouvert contenant :r.. L'ensemble des voisinages de :r. est not.é V(:r.).

E:r.emple 5. Un ouvert contenant :r. est un voisina.ge de :r., une boule fermée de centre :r. de
rayon p > 0 est un voisinage de :r..

Remarque 5. Une réunion (resp. une intersection.finie) de voisinages de :r.·est nn voisinage
de x.

Commentaire sur les espC1ces topoloyiq11es yénému:r..

Un espt1ce topologique général E est défini comme ét11.nt un ensemble muni d'une p11.rtie

de 'P(E) dont les éléments sont appelés des ouverts et vérifient les axiomes (i), (ii) et (iii)
de la. proposition 2. On définit a.lors les fermés comme il. la définition 7 et les voisinages
comme à. la. définition 8.
Toutes les notions de cette partie 1.2 pen vent être étendues 11.nx espaces topologiques.
Il existe pour les espace.~ topologiques généraux une notion import.l\nte appelée 111. sé·

pa.ra.tion. Un espace topologic1ue E est dit ·'éJJ<1ré si pour tous éléments :r., y E E, :r. -:/: y,
il existe VE V(:r.) et W E V(y) tels c1ue V n W = 0. On voit facilement que tout espace
métrique est séparé.

Adhérence.

DÉFINITION 9. L'c1dlufrence d'une partie A de E, notée A, est le plus petit ensemble fermé
contena.nt A.

Remarque 6.
- L'ensemble A existe, c'est l'intersection des fermés contenant" A.
- Une pa.rtie A est fermée si et seulement si A= A.

PROPOSITION 4. Soit A tme. [Hlrtie tle E. lin f.lbrient :r. ile E e.,t d1m,, A si et seulement
l'une des assertions s11Ïllnntes e.çt ·vbifiée :

(i).Ve>0,3aeA,
d(1t,:r.)<e.

(ii) Po11r tout tioisinnge V cle :r., V n A f:. 0.
(iii) d(:r., A)= O.

Exemple 6.
- Dans IR, l'adhérence de tont intervalle ouvert borné )a,,8[ est (r.r,,8].

- Da.ns un e.v.n, on a. B(O, 1) = Br(O, 1), propriété fausse dans un espace métrique

général (voir l'exercice· 1).
.
·

- Si A est fermé, on a

:r. E A <::::::> :r. E A Ç:::::> d(:r., A)= o.

DÉFINITION 10. Une partie A de E est di.te rlcn.çe cl11.ns E.si A= E.

Exem[Jle 7. En utilisant la proposition 1m\céclente, on voit facilement qu'une partie A de
Ill est dense dans Ill (Ill éta.nt muni de la cliRt.ance usuelle) si et seulement si

('r/(11,b) E lll21 11 < b),
]1t, b( n A f:. 0.

Par exemple, Q et IR 'Q sont clenses d11.11s IFI ..

1. Généralités
.11

Intérieur.

•
DÉFINITION 11. L'intérieur d'une partie A de E, noté A, est le pins grand ouvE'rt contcnn
dans A.

Remarque 1.
- L'intérienr de A existe :·c'est la. réunion des ouverts contenus dans

A.
•
- Une p.a.rtie A de E e.~t ouverte si et seulement si A = A.
.
.
. ---- --
- Pour tonte partie A de E, A= E,(E,A} et A = E,(E,A).
•
PROPOSITION 5. Soit A une p11rtie de E et :r. 11n élément rie A. On 11 :r. E A 11i et se11lcment
si l'une des 11ssertion.• .•uitinnte.• est 11érifiéc.
(i) A est un voisin11gc ile :r..
(ii) Il e:r.iste E > 0 tel q11c B(:r., E) C A.

E:r.emple 8. Da.nR lll, l'intérienr de [rx,/1] eRt ]rr,P[; l'intérieur rie Q, rie llhlQ, est 0.

Frontière.

DÉFINITION 12; La. frontière d'une pll.rtie A de E est l'ensemhle Jf ,A. On la note Fr( A)
(on encore 8A).

Point d'a.ccumula.tion, point Î.!olé.

DÉFINITION 13. Soit A nne partie de E.
- On dit <1ue a E E est nn [KJint 1l't1r.wm11llltion rie A si pour tont voisinage V de a,

V n A:/: 0 et V n A:/: {t1}, ce qni s'ér.rit encore

{VE> 0),
B(ri,E)nA:/:.0et #{11}.

- On dit qne a. E A est un point i.•olé tle A s'il existe nn voisinage V de ci tel qne
V n A= {ci}, ce qni s'écrit encore
.

{3E > 0),
D(1i,E)n A =.{t1}..

Remarque 8. Si ti est nn point cl'accumnla.tion de A, a.lors " E A et de plus pour to11t
E > 0, B(a,E) contient une infüiité de.points tle A.

Exemple 9. Dans Ill, 0 est point d'accumulation de l'ensemble {l/n, n EN"}.

Topologie induite da.na un eapa.ce métrique. Soit {E,d) nn espace métrique et
AC E. Une manière bien naturelle de fa.ire de A un espace métrique est de le munir de
la restriction de la. distance d de E à A x A. Ainsi, (A, d) ei;t un espace métrique dont
la topologie est appelée topologie intl11itr par ( E, cl). La. proposition suivante permet de
caractériser les ouverts, fermés et voisinage.~ de A par rapport i\. ceux de E.

PROPOSITION 6. Soit A une [Hirtie de E ..
- Les ou11erts rie A sont les enscmblr" tic 1r1 forme f! n A, f! étnnt un 01111ert de E.
- Les fem1és de A sont les enscmble11 tir: Ill f"rme F n A, cni. F est un fe1mé de E.
- Si a E A, les 11oisinage.q de 11 tlnn.ç A sont lr.,ç en.•r.mblr,ç tic 111 forme V n A, V étrmt

un 11oi.çin11ye de " tltms E.

Exemple 10. L'ensemble (0, l[ e.i;t nn onvrrt rlr A = (0, 2] (on peut écrire pnr exemple
[O, 1( = J - 1, l[ nA).

12
I. Topologie sur /P.~ l'S/lilrf'.~ ml-tl'ique.~ et /!•s C'SJlll.CP.~ vectol'ÏP/s 11ormPs

1.3. Continuité

Applications continues.

DÉFINITION 14. Soient (E,cl) et (E',d') deux espaces métriques, et f : E .:.... E' une
application. On dit <Jlle f est continue en n E E si polir tout voisinage W de /(ri),_ il existe
un voisinage V de a tel <Jlle /(V) C W; Lorsque f est continlle en tollt point de É, on dit
que /est continue .•111· E.

PROPOSITION 7. Soient (E, cl) et (E' ,d') rle11:r r..•pr1r.r..• métriqur..s. Cine <1]1[1lirr1tinil f: E -
E' est continue en h E E si et scitlemcnt .<i

(Ve > 0, 3<t > 0, \:/x E E),
(d(11, :r.) < rt ~
cl'(/(n), /(:r.)) < e).

PROPOSITION 8. Soient (E, cl}, (È', cl'), ( E"; d") l.mis rsrmrr..• mét1·it/llP.~•. et 1/P.11:r. ll[l[llir.t1-
tions f: E-+ E' et g : E'-=-< É';, Si/ e.•I r.nnlin11e r.n 11 E E et g r.rmtin11r. eri /(11), 11/nrs
l'application go f : E -+ E" est r.dr1iiniie en 11.

PROPOSITION 9. Soit f : (E, cl) -
(E', cl') imr ll[J11lk11tirm. Lr:.• tmis rm1crtirm.• .•11itumtcs

sont éq11fot1/ente,•.

(i} f est continue sur E.
(ii) L'im11ge réci[Jr()(JllC zmr f rie to11I. mmr1·t rie: E' est 11n rn111r:1'1 rlr. E.
(iii) L'image récivmque zmr f rie tout fr.rmr!: rie E' c.•t 11n /r.nrté rie E.

Remarque 9. Lorsque l'image cle tout OllV!'rt p;i.r f est lin ollvert, on dit <Jlle j est iine
application ou11er·te. Une application continue n'est pa.~ forr.ém!'nt ollverte ( consicléi·er par
exemple une fonction constante sur IR}. De même, l'ima.ge d'un fermé pa.r une application
continue n'est pas forcément fermée. Par exPmple,

:r.

:r.,..... 1 + lxl
/: IR-+lR

est continue et /(IR)=] - l, l[ h'est pa.~ fermé.

H oméomorphi11me11.

DÉFINITION 15. Soit une a.pplica.tion F : (E, d) -+ (E', cl'). On clit que f est un lwméo-
morphisme si f est bijective, continue, et si 1- 1 est continue.

Remarque 10. Une application peut être continue et hijective sans que l'applicat.ion ré·
ciproque ne soit continue. Par exemple, l'applir.il.tion iclent.ité f de (IR, cili.) dans (IR,cl}
(ddio désigna.nt la. distance discrète snr IR, cl la. clistanr.e usuelle) est rontinue mais 1-1 n'est
pas continue. (Cependant, on sait. c1ue si / : (IR_, cl} -+ (IR, cl) est continue et bijective,
alors J- 1 est continue. Sous celltaines hypothèses de r.mnp;i.cité, il est également po.~sihle
de conclure à. la. continuité de l'it.pplication réripmr111e -
voir le théorème 14 page 31.) ·

DÉFINITION 16. Deux distances cl et cl' sm· E sont dit.Ils trJpolngiqt1rment éq11i1111/e-11tes si
elles définissent la. même topologie (i.e. si l<'s 011vNts de (E, cl} sont des ouverts cle (E, cl')
et réciproquement).

PROPOSITION 10. De11x rlistrmre.• ri et ri' sm· E sm1I. to1mlngiqucme11t éq11i1mlcntes si et
seulement si l'1111z1lic11tirm irlcntité rie ( E, d) .mr ( E, cl') r.,çt 1111 lum1érm10171hisme.

Rem11rq11e 11. Si cl et cl' sont. topologiqnC'mc-nt éq11ivalentC's, )ps l'Spares rnétri1111es (E, cl)
et (E, d') possèdent les mêmes propriétés t.opologirptes (en effr.t., les ouverts cle ces deux
espaces métriques coïnriclent, et il en est clnnr. cle rnê-m<' pour lrs formés et les voisin~.ges).

1. Généralités
1:.1

Normes et distances équîvalentea.

DÉFINITION 17.
-
Deux normes N1 et N2 sur nn mëme e!v E sont dites fq11ilralr:ry.I.<!.•
·s'il existe r1 > 0 et b > 0 tels qne pour tant :r. E E, aN.'(:r.)::; N2(:r.)::; bN1(:r.).
-
Deux distances rl et d' sur E sont ditPs éq11i1:11/cntes s'il existe n > 0 et /1 > 0 tels
-_qne pour tout :r.,y E E, rH!(:r.,y) S d'(:r.,y) S bd(:r.,y).

Remczrque· 12.
-
Deux normes équivalr.nt.es inclnisf.'nt cieux dist11.nces é11uivalf.'ntes:

-
Deux clist11.nces équivalentes sont topologi1111ement é11uivalent.es. Il est clone indif-
férent, topologiquement p;i.rlant, de travailler avec l'une ou 1'11.11tre des ·dist:ùië·:esi'

-
On verra. plus loin (voir le théorème 3 page 4!l) que sur nn e.v de dimension finie,
tontes les normes sont équivalentes.

Applications uniformément continuea.

DÉFINITION 18. Une application f : (E, d) -
(E', d') est dite uni/ormf.mmt r.rmtl11m· sur
E si

(Vë > 0, 3cr > 0, V:r., y E E),
(d(:r.,y) < rr ==> d'(/(2:),f(y)) < E).

Remarque 13.
-
Une fonction unifonnémf.'nt cont.inue est continue; la nu:i.nce de con-
cept est qu'une fonction 1miformérnr11t mntinne vérifie d'(/(:r. ), /(y)) < E pour tous
les couples (:r., y) tels que cl(:r., y) < rr, rr Pt.ant indépencl11.nt de :r, alors qne pour
une fonction continue, r1 dépend de :r. L'uuiforrnité de cet n > 0 pour une fonction
uniformément continue f en fait une fonct.ion souple d'emploi. Du coup, certains
théorèmes sont vrais pour les fonctions uniformément continues m11.is pM ponr les
fonctions continues. Nous verrons cependant que tonte fonction continue sur nn
compact y est uniformément continue (voir le théorème 2 page 31).
-
Attention! L'uniforme continuité n'est pi!$ une notion topologique. Autrement dit,
la. seule définition de la topologie ile E et E' ne suffit p;i.s il. définir l11111iforme conti-
. nuité. En p11.rticulier, une fonction 11niformiii11ent continue vis-à-vis d'une c:erta.ine

~distance ne l'est pas forcément vis-à.-vis d'une !list11.nce topologi1111erne11t équiv;i.lente.

"i Par contre, une fonction uniformément r.ontin~e de (E, d1) clans (E',d~),.lor11<,tu'elle
' est regardée comme une fonct.ion de ( E, d~) <!ans (E', d~), reste uniform~ml,'~t con-
tinue lorsque les distances di. d2 Pt cl~, d; sont équivalentes, ou lorsqn 'ellei; scint
uniformément équivalentes (voir la. définit.ion qui suit).
· ·

Exemple 11.
fia.nt
-
Tonte fonction f: (E, d) -
(E', cl') lip.•r.liitzir:11m:, c'est-à-dire véri-

(3k > 0, V:r, y E E),
d'(/(:r. ), /(y))::; k cl(:r., y),
-
'
.
est uniformément continue.

~ La fonction f : )0, l) -+ Ill
:r. 1-+ 1/.r es~ rontin11e m11.is n'est pas uniformément

, continue.
f

La. fin de la. rernar~111e préc.édente mot.ive la <16finit.ion suivante.

DÉFINITION 19. Deux distances d et cl' sur E sont dites 1111i/ormémenl étj11Ï1lfllrnlc.• si
l'application identité ei;t uniformément continue de (E, d) d11m (E, d') et de ( E, d') <Lans
(E,<l).

Remarr111e 14. Deux distances é11uivall'nt.rs sont 11nifor111é1ne11t é1p1ivalentes. Deux dis-
tances uniformément P.qnivalr.ntes sont t.opologi<[llPrnent équivalent.es.

14
·~ I-. ToJ>ologie sur les es1>a.cf'."i 11JétriquP.s et les espa.cf:l.s vectori1:•J,r.; uonné.s

1.4. Produit d'espaces métriques

On se donne un nomhre fini n d'espaces métriques (E1,di), ... ,(En,cln) et on pose
E = E1 X · • • X E,.. On vent faire de E nn espace métriqne. Un moyen natmt'l r.st de
construire une dista.nce cl snr E à. partir des distances d1. Par exemple si :r. = (:r.1, ... , :r.,.)
et y = (Yi. ... , y,.) E E, d(:r., y) = snp1<i<n d1(:r.1, y,) définit une distance sur E. Cette
distance est appelée tlistanr.e prorl11it sur -Ë. Sanf mention contrrure, c'est cette distance
que nous utiliserons sur nn pcoch1it d'espaces 111étric111es.

·Remarque 15.
-
En posant

n
d'(:r., v) = z: d,(:r.,, y,) et c1"c:r., v) =

i=l

" L:d,(x,,y,p,

i=l

on a éga.lement affaire à. des distances sur E. Ces distances sont équivalentt's à la
distance produit cl, car

V:r.,yE E,
d(:r.,y) $ d"(:r.,y) $ d'(:r.,y) $ ncl(:r.,y).

Il est donc indiffé1·ent de travailler avec l'nne on l'antre de ces distances. C'est
parce que la distance produit est pins sonple cl'ut.ifüation qne nons l'avons choisie.
- An sens de la distance produit cl, la. honle onvert.e de centre"= (111, ... 1 11,.) de
rayon r > 0 vérifie

B((l. 1 r) = B(rr.1 1 r) X ···X B(1tn 1 r).

PROPOSITION 11. Si 0 1 , ••• 1 On sont <les mn•el't.• tic E11 ... 1 En, le [17YKlllit 0 1 X • • · X On
est un ouvert 1/e E appelé om1e1·t élémenfofre.

·Cette définition sous-entend (et c'est vrai) q11 111n on vert de E n'est en général pas un

ouvert élémentaire.

PROPOSITION 12. L1i pmjcdion <l'inilicc i, rléfi11ir. [lllr

Pr; : E = E1 X··· XE,. -
E;
(:r.1,. .. ,:r.,.) >-+ :r.;

est une application continue et mme1·te (1111r. fll'TJ/imlirm r.st 1/itr: m111c1·te si l'im11ye cle tout
ouvert par cette application r.st un oimr.rl).

PROPOSITION 13. Une fl[Jplirlltian

f: (F, 6) - Eix .. · X En
:r. >-+ f(:r.) = (/1(:r.), · .. , /,.(:r.)).

est continue en a E F si et swlcment si [Klllr tout i, / 1 = Pr1 of est c<Jntinue en a.

PR.OPOSITION 14. Soit1me<1p[Jlir.ritionf: E=E1 X•••XEn-Fct11=(11 1, ... ,n,.)eE.
Pour tout i, on note

f;: E; -
F
:r. t-+ /(111,. .. •"i-11X1"1+11·" ,11.,.)

(/; est appelée application partielle r/ 1i111/irc i rm rmi11t 11). Si f e.~t r.1111tin11e en 11., 11/ors

[JOUI' tout i, l'ril'TJ/iccitio111mrtielle / 1 est r.rmli1111r. 1'!11 111.

Remarque 16. Attention! La réciproc111e cle r.e clernir.r rés1tltat est. fausse. En d'ant!'es ter-
mes, il se peut que tons les / 1 soient continues f'n "·• sans c111e / soit continue en 11. Pa.1·
exemple, considérons l'a11plication f: R 2 -
IF.. Mfinie par
xy .
/{0,0)=0 et V(:r.,y)#(O,O),/(:r.,y)=-.• --...
:r.- +y·

Les applica.tions partielles en (0, 0) sont nu!IP.s, clone r.ont.innPs, et pourtant f n'e~t pas
continue en {0,0) (sinon, l'application tp :
:r. ,..... /(:r.,:r.) SP.rait continue -
composée

d'application:; continues -
ce q11i est faux pnis1111e tp(O) = 0 et 1p1(:r.) = 1/2 di>s que :r. # 0).

1. Généralités
15

Continuité de la distance.

PROPOSITION 15. Soit (E, cl) un esprir.e m(triqur.. Alors l'<1p11lir.<Jtion di.•lflnr.e cl : ExE -
IR est lipschitzienne de rapport 2, en ]Hirtir.1tlier continue.

Conséquence. Soit a E E et r >O. L'appli·c~tl;~·rp: E-+ IR
x 1-+ cl(a,x) est continue
d'après les deux dernières propositions. On en déduit que B1(ri,r) = rp- 1([0,r])et S(<L,r) =
rp-1( {r}) (sphère de centre a de rayon r ), images réciproques de fermés pn.r une application
continue, sont des fermés de E. On retrouve de même qu'une boule·ouverte est un ouvert.

Continuité de.• opérations dans un e.v.n.

PROPOSITION 16. Soit E un e.v.n sur IK (1111cc ne= IR ou C}. Le.• applications

ExE-+E (x,y)>-+x+y
et KxE-E (A,:r.) ...... A·:r.

sont continues.

Algèbre normée.

DÉFINITION 20. On dit <pt'une norme li· li snr une IK-a.lgèhre A (avec Ir.= IR on C) est une
norme d'algèbre si llxyll S ll:r.ll · llYll pom tout (:r.,y) E A 2 • Munie cl'llne telle norme, A est
appelée algèbre normée. L'application A x A -
A
(:r., y)>-+ :r.y est alors continue.

PROPOSITION 17. Soit A 11n IK-e.11.n (IK = lR rm C) et f,g: (E,d)-+ A rlcu:r. rtpplir.ations
continues en a E E. A/ars les a11plicfltion.~ f + g, A/ (Iiour tout À E JIC fi:r.é) sont continues
en a. Si A est une algèbre normée, l '"l'l'limtion f g est continue en a.

1.5. Limites

DÉFINITION 21. Soient (E, d) et (F, ë) deux espaces métriques et une application f : D C
E-+ F. Soient A CD et a E A, l E F. On dit que J(x) tend 11e1·s l quand :r. tend 11ers a
selon A, et on note fün f(x) = l, si pour tout voisina.ge W de f., il existe un voisinage V

•EA

de a tel que f(A n V) C W. Ceci s'écrit aussi

Vë > 0,3a > 0 tel que V:r. E A vérifiant d(1L,x) <a, on a. ë(J(x),l) < ë.

Rem11rque 17. Si l existe, f. est unique et on a /. E f(A); f. est 11.lors appelée la limite ile f
en a selon A.

Exemple 12.
- Limite 11suelle. Si Il est point c\'accumuln.tion cle D, si A,;,, D' {a},
lim est encore noté lirn .
·-·
·-·
•EA.
z:it•

- Limite à gti1tcl1e. Soit f une fonction de la v11.riahle réelle :r. E J, et 11 E 7. Lorsque

A= ]-oo,a( n J, la. limite YE! /(:r.), si elle existe, est encore notée !i.!.IJ-f(:r.) et

.rEA
.r(•

appelée limite à ga.uche de f en f/., On définirait de même ~Ei J(:r.), fa limite à.
.,..

droite de f en 11.

- Limite en +oo. On note iR l'enst'mhle lR U {-oo, +oo} (cet ensemhle est appelé IR.

achevé). Snr iR, on <léfiilit

( )
:r.
.

rp :r. = --1-1
SI
:r. E IR,
l+ :r.
cp(+oo) = l,'f'(-oo) = -1.

On vérifie facilement que d(:r., y)= lrp(:r.)- rp(iJ)I définit nne distance sur iiï. Cette
distance fait de iR un esp11.re mét.l'iqne t't nous autorise il. parler de limite en +oo
ou en -oo. Lorsqu'une fonction cle la. va.riahle réelle f est cléfiuie sur Je, +oo[, il est