Processus Aléatoires JEAN FRANÇOIS DELMAS BENJAMIN JOURDAIN BERNARD LAPEYRE Table des matières 1 RappelsdeProbabilités 7 1.1 Notiondetribuetdevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Espéranced’unevariablealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Théorèmesdeconvergencespourlesespérances . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Loid’unevariablealéatoireréelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Loid’unvecteuraléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Convergencepresquesûreetthéorèmesliés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Convergenceenloid’unefamilledevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Autrestypedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Vecteursgaussiens-MouvementBrownien 25 2.1 Vecteursgaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 MouvementBrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Versuneconstructiondumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Régularitédestrajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Caractèregaussiendumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7 Travaildirigé:Testd’adéquationàuneloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Espéranceconditionnelle 41 3.1 Tribusconstruitesàpartirdevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Notiond’espéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Casd’uncouplegaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Travaildirigé:Estimationbayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Martingalesàtempsdiscrets 53 4.1 Introductionàlanotiondemartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Unexemplegénériquedemartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Notiondetempsd’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5 Théorèmedeconvergencedesmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 ConvergencedeMartingalesetalgorithmesstochastiques . . . . . . . . . . . . 61 4.7 Travaildirigé:Tempsdesortied’unemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . 67 4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 4 TABLEDESMATIÈRES 5 ChaînesdeMarkovàtempsdiscret 71 5.1 ChaînedeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Calculdelois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Exempled’utilisationdeschaînesdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.4 ChaînesdeMarkovetespéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4.1 Solutiond’unproblèmed’arrêtoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6 Travaildirigé:Modélisationdel’évolutiond’unepopulation . . . . . . . . . . 87 5.7 Travaildirigé:AlgorithmedeHastings-Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.8 Travaildirigé:Récurrencedelamarchealéatoiresimple . . . . . . . . . . . . 90 6 PropriétédeMarkovforte 93 6.1 PropriétédeMarkovgénèrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 IntroductionàlapropriétédeMarkovforte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3 Tribudesévénementsantérieursàuntempsd’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4 PropriétédeMarkovforte:premièreapproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6 Contrôle:Loidusupremumd’unemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . 101 7 OptionseuropéennesdanslemodèledeCox-Ross-Rubinstein 103 7.1 Lemodèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.1.1 description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.1.2 liensentrelesparamètres r,aetb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1.3 lecasd’uneseulepériodedetemps: N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2 Portefeuilles,arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.2.1 portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.2.2 Absenced’Opportunitésd’Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3 Pricingdesoptionseuropéennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8 Mouvementbrownienetmartingales 113 8.1 Généralitéssurlesprocessusàtempscontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.2 Extensionsdeladéfinitiondumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.3 Exemplesdemartingalesbrowniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.4 Exemplesd’utilisationdelapropriétédemartingale . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.5 PropriétédeMarkovfortedumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.7 Travaildirigé:Principederéflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Table des figures √ 1.1 Densité e−1x2/ 2πdeN(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 1.2 Fonctionderépartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Projectionorthogonalesur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 B 4.1 Trajectoiredelamarchealéatoiresymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Tempsdesortiede [a,b]parunemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1 HistogrammedelaloidunombremaximumdeFconsécutifsaprès100tirages 77 5.2 Probabilitéd’avoiraumoins nFconsécutifsaprès100tirages . . . . . . . . . 77 8.1 Principederéflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 Chapitre 1 Rappels de Probabilités 1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires Définition1.1.1 Soit Ω un ensemble et A un sous ensemble de l’ensemble P(Ω) des parties de Ω. On dit que A est une tribu si cet ensemble est stable par les opérations ensemblistes naturelles,plusprécisément: – stabilitépar∩,∪etpassageaucomplémentaire:siAetBappartiennentàA,alorsA∩B, A∪BetAc appartiennentà A. – stabilité par réunion et intersection dénombrables : si pour tout i ∈ N∗, A ∈ A alors i ∪ A et∩ A sontdansA. i≥1 i i≥1 i – ∅,Ω ∈ A. Remarque1.1.2 Areprésenteuneinformationdisponible. Exemples – A = {∅,Ω}estlapluspetitetribu.Onl’appellelatributriviale.Ellereprésentel’absence totaled’information. – A = P(Ω)estunetribuappeléetribudiscrètequireprésentel’informationtotale. – Soit(B ,...,B )unepartitionde Ω,alors: 1 n (cid:169) (cid:170) A = ∪ B , réunionfinie ik estunetribu. – SoitΩ = R,onappelletribuboréliennelapluspetitetribucontenantlesintervallesdeR. OnlanoteB(R). Remarque1.1.3 Il est facilede vérifier que l’intersection d’une famillequelconque de tribusreste une tribu.LatribuboréliennedeRestdoncdéfiniecommel’intersectiondetouteslestribusquicontiennent lesintervallesdeR.CommetoutouvertdeRs’exprimecommeuniondénombrabled’intervallesouverts disjoints,latribuboréliennecontienttouslesouvertsdeRettouslesfermésparpassageaucomplémen- taire. EnfaitlatribuborélienneB(R)eststrictementpluspetitequel’ensembledetouteslespartiesdeR,mais lapreuvedecerésultatdélicatreposesurl’utilisationdel’axiomeduchoix. Lanotiondetribupermetdepréciserladéfinitiond’unevariablealéatoire. Définition1.1.4 Une application X de Ω dans R est une variable aléatoire mesurable par rap- portàlatribu A,sipourtout B ∈ B(R): {ω ∈ Ω,X(ω) ∈ B} = {X ∈ B} ∈ A. 7 8 CoursdeProcessusAléatoires Onditalorsque Xestunevariablealéatoire A-mesurable. Définition1.1.5 UneprobabilitéPsur(Ω,A)estunemesurepositivedemassetotale1définie surA.Celasignifieque: – pourtout A ∈ A,P(A) ∈ [0,1]estdéfini, – P(Ω) = 1, – sipourtoutentier i ≥ 1,A ∈ Aetlafamilledes A estdisjointe,alors: i i (cid:88) P(∪ A ) = P(A ). i≥1 i i i≥0 Letriplet(Ω,A,P)s’appelleespacedeprobabilité. On voit que pour une variable aléatoire A-mesurable on peut définir P(X ∈ A) pour tout A, boréliende R. Remarque1.1.6 En choisissant A = ∅ pour i ≥ n + 1, on obtient que si A ,...,A sont (cid:80) i 1 n disjointsP(∪n A ) = n P(A ). i=1 i i=1 i Définition1.1.7 On dit qu’une propriété est vraie presque sûrement, si cette propriété est vé- rifiée avec probabilité 1. On dit ainsi qu’une suite (X ,n ≥ 1) converge presque sûrement n si: (cid:181) (cid:182) P lim X existe = 1. n n→+∞ 1.2 Espérance d’une variable aléatoire Lanotiond’espéranceestlaformalisationduconceptdemoyenne. Cas des variables aléatoires positives Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs R ∪{+∞} mesurable par rapport à la tribu A (en plus de la + définition1.1.4,onsupposesimplementque{X = +∞} ∈ A).Notezbienquel’onaccepteque Xpuisseprendrelavaleur +∞avecprobabiliténonnulle SiXprendunnombrefinidevaleursdeR,{x ,...,x },ondéfinitl’espérancenaturellement 1 n par (cid:88)n E(X) := x P(X = x ). i i i=1 On étend l’espérance a toute variable aléatoire X positive en “approchant” X par la suite croissante(X ,n ≥ 1)donnéepar n n(cid:88)2n−1 k (cid:175) (cid:176) X = 1 +n1 . n 2n k k+1 {X ≥ n} ≤ X < k=0 2n 2n Notez que pour un n fixé on sait donner une valeur à E(X ) (car X prend un nombre fini de n n valeurs) (cid:181) (cid:182) (cid:88)n2n k k k+1 E(X ) = P ≤ X < +nP(X ≥ n). n 2n 2n 2n k=0 Ch.1RappelsdeProbabilités 9 Ondéfinitalorsl’espérance E(X)par E(X) = lim E(X ). n n→∞ La limite existe forcément comme limite croissante de nombres réels positifs. Elle peut être égaleà +∞.Danstouslescaselledéfinitl’espérancedelavariablealéatoirepositive X. Notezquesi P(X = +∞) > 0,onaparconstructionpourtout n E(X) ≥ nP(X ≥ n) ≥ nP(X = +∞). OnadoncE(X) = +∞.Parcontraposée,onvoitqu’unevariablealéatoirepositived’espérance finieestfinieavecprobabilité 1.Autrementdit E(X) < +∞impliqueP(X < +∞) = 1. (1.1) Exercice1 Vérifier à partir de la construction de l’espérance que, si 0 ≤ X ≤ Y on a E(X) ≤ E(Y). Casdesvariablesaléatoiredesignequelconque SiXestunev.a.réelledesignequelconque, on dit qu’elle est intégrable si E(|X|) < ∞ (E(|X|) est toujours définie d’après ce qui précède). Notezque 1.1impliqueque |X|estfiniepresquesûrement.Comme X1 ≤ |X|et(−X)1 ≤ |X| X≥0 X<0 On a, par croissance de l’espérance, E(X1 ) ≤ E(|X|) < +∞ et E((−X)1 ) ≤ E(|X|) < X≥0 X<0 +∞.Onpeutdoncdéfinirl’espéranceparladifférencededeuxnombresréels(finis!) E(X) = E(X1 )−E((−X)1 ). X≥0 X<0 Onadmetlespropriétéssuivantesdel’espérance. 1. Linéarité. Soient X et Y deux v.a. intégrables, soient α,β ∈ R. Alors la v.a. αX+βY estintégrable,etona E[αX+βY] = αE[X]+βE[Y]. 2. E(1 ) = P(A). A 3. Positivité. Soit X une v.a. réelle positive p.s., c’est-à-dire telle que P(X ≥ 0) = 1,alorsona E(X) ∈ [0,∞].Enparticulier E(X) ≥ 0. 4. Soient X et Y deux v.a. réelles intégrables telles que X ≤ Y p.s., c’est-à-dire tellesque P(X ≤ Y) = 1,alorsona E(X) ≤ E(Y). 10 CoursdeProcessusAléatoires 1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances Lesthéorèmessuivantssontfondamentauxlorsquel’onchercheàjustifierproprementque: (cid:179) (cid:180) lim E(X ) = E lim X . n n n→∞ n→∞ Cette égalité bien que naturelle ne va pas de soi et est en général fausse, même si on peut la justifier dans de nombreux cas. L’espérance d’une variable aléatoire positive X a été construite comme la limite des espérances de variables aléatoires X qui convergent vers X en croissant. n C’estpourquoilethéorèmesuivantquenousadmettronsestnaturel. Théorème1.3.1(Théorèmedeconvergencemonotone) Si (X ,n ≥ 1) est une n suitedevariablesaléatoirescroissantespositives,i.e. 0 ≤ X ≤ X , n n+1 onpeutaffirmerque: E( lim X ) = lim E(X ). n n n→+∞ n→+∞ Noter que l’on n’impose ni l’intégrabilité des X ni celle de lim X , ce qui rend ce théo- n n→+∞ n rème très pratique : rien n’interdit aux limites à droite et à gauche de l’égalité de prendre la valeur+∞.Sil’unevaut+∞celaimpliquequel’autrevautaussi +∞. Remarque1.3.1 Uneapplicationdirectedecedernierrésultatmontrequel’ona toujours: (cid:195) (cid:33) (cid:88) (cid:88) E(|X |) = E |X | . n n n≥0 n≥0 (cid:80) Lorsquel’onpeutprouverque E(|X |) < +∞,onestdoncsûrque n≥0 n (cid:195) (cid:33) (cid:88) E |X | < +∞. n n≥0 (cid:80) (cid:80) La variable aléatoire |X | est donc finie presque sûrement et la série X est donc n≥0 n n≥0 n forcément(absolument)convergente.Enparticulier, X tendspresquesûrementvers0. n Ondémontreraitdefaçonidentiquequesi,pourunentier pplusgrandque 1 (cid:88) E(|X |p) < +∞, n n≥0 alorslim X = 0.Cerésultat(trèsfacileàobtenir!)estl’undesraresmoyensquipermet n→+∞ n deprouverlaconvergencepresquesûre. Lerésultatleplusimportantpourpasseràlalimitedanslesespérancesestle

Cours de processus aleatoires

Similar Cours de processus aleatoires