Cours de processus aleatoires

123 Pages·2000·0.403 MB·French

by  Lapeyre B.

Processus Aléatoires
JEAN FRANÇOIS DELMAS BENJAMIN JOURDAIN
BERNARD LAPEYRE

Table des matières
1 RappelsdeProbabilités 7
1.1 Notiondetribuetdevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espéranced’unevariablealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Théorèmesdeconvergencespourlesespérances . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Loid’unevariablealéatoireréelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Loid’unvecteuraléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Convergencepresquesûreetthéorèmesliés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Convergenceenloid’unefamilledevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Autrestypedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Vecteursgaussiens-MouvementBrownien 25
2.1 Vecteursgaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 MouvementBrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Versuneconstructiondumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Régularitédestrajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Caractèregaussiendumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Travaildirigé:Testd’adéquationàuneloi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Espéranceconditionnelle 41
3.1 Tribusconstruitesàpartirdevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Notiond’espéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Casd’uncouplegaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Travaildirigé:Estimationbayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Martingalesàtempsdiscrets 53
4.1 Introductionàlanotiondemartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Unexemplegénériquedemartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Notiondetempsd’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Théorèmedeconvergencedesmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 ConvergencedeMartingalesetalgorithmesstochastiques . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Travaildirigé:Tempsdesortied’unemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
4 TABLEDESMATIÈRES
5 ChaînesdeMarkovàtempsdiscret 71
5.1 ChaînedeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Calculdelois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Exempled’utilisationdeschaînesdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 ChaînesdeMarkovetespéranceconditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1 Solutiond’unproblèmed’arrêtoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Travaildirigé:Modélisationdel’évolutiond’unepopulation . . . . . . . . . . 87
5.7 Travaildirigé:AlgorithmedeHastings-Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.8 Travaildirigé:Récurrencedelamarchealéatoiresimple . . . . . . . . . . . . 90
6 PropriétédeMarkovforte 93
6.1 PropriétédeMarkovgénèrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 IntroductionàlapropriétédeMarkovforte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Tribudesévénementsantérieursàuntempsd’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 PropriétédeMarkovforte:premièreapproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 Contrôle:Loidusupremumd’unemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 OptionseuropéennesdanslemodèledeCox-Ross-Rubinstein 103
7.1 Lemodèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.1.1 description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.1.2 liensentrelesparamètres r,aetb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.3 lecasd’uneseulepériodedetemps: N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Portefeuilles,arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.1 portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.2 Absenced’Opportunitésd’Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Pricingdesoptionseuropéennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Mouvementbrownienetmartingales 113
8.1 Généralitéssurlesprocessusàtempscontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Extensionsdeladéfinitiondumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3 Exemplesdemartingalesbrowniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4 Exemplesd’utilisationdelapropriétédemartingale . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.5 PropriétédeMarkovfortedumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.7 Travaildirigé:Principederéflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Table des figures
√
1.1 Densité e−1x2/ 2πdeN(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
1.2 Fonctionderépartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Projectionorthogonalesur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B
4.1 Trajectoiredelamarchealéatoiresymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Tempsdesortiede [a,b]parunemarchealéatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 HistogrammedelaloidunombremaximumdeFconsécutifsaprès100tirages 77
5.2 Probabilitéd’avoiraumoins nFconsécutifsaprès100tirages . . . . . . . . . 77
8.1 Principederéflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5

Chapitre 1
Rappels de Probabilités
1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires
Définition1.1.1 Soit Ω un ensemble et A un sous ensemble de l’ensemble P(Ω) des parties
de Ω. On dit que A est une tribu si cet ensemble est stable par les opérations ensemblistes
naturelles,plusprécisément:
– stabilitépar∩,∪etpassageaucomplémentaire:siAetBappartiennentàA,alorsA∩B,
A∪BetAc appartiennentà A.
– stabilité par réunion et intersection dénombrables : si pour tout i ∈ N∗, A ∈ A alors
i
∪ A et∩ A sontdansA.
i≥1 i i≥1 i
– ∅,Ω ∈ A.
Remarque1.1.2 Areprésenteuneinformationdisponible.
Exemples
– A = {∅,Ω}estlapluspetitetribu.Onl’appellelatributriviale.Ellereprésentel’absence
totaled’information.
– A = P(Ω)estunetribuappeléetribudiscrètequireprésentel’informationtotale.
– Soit(B ,...,B )unepartitionde Ω,alors:
1 n
(cid:169) (cid:170)
A = ∪ B ,
réunionfinie ik
estunetribu.
– SoitΩ = R,onappelletribuboréliennelapluspetitetribucontenantlesintervallesdeR.
OnlanoteB(R).
Remarque1.1.3 Il est facilede vérifier que l’intersection d’une famillequelconque de tribusreste une
tribu.LatribuboréliennedeRestdoncdéfiniecommel’intersectiondetouteslestribusquicontiennent
lesintervallesdeR.CommetoutouvertdeRs’exprimecommeuniondénombrabled’intervallesouverts
disjoints,latribuboréliennecontienttouslesouvertsdeRettouslesfermésparpassageaucomplémen-
taire.
EnfaitlatribuborélienneB(R)eststrictementpluspetitequel’ensembledetouteslespartiesdeR,mais
lapreuvedecerésultatdélicatreposesurl’utilisationdel’axiomeduchoix.
Lanotiondetribupermetdepréciserladéfinitiond’unevariablealéatoire.
Définition1.1.4 Une application X de Ω dans R est une variable aléatoire mesurable par rap-
portàlatribu A,sipourtout B ∈ B(R):
{ω ∈ Ω,X(ω) ∈ B} = {X ∈ B} ∈ A.
7
8 CoursdeProcessusAléatoires
Onditalorsque Xestunevariablealéatoire A-mesurable.
Définition1.1.5 UneprobabilitéPsur(Ω,A)estunemesurepositivedemassetotale1définie
surA.Celasignifieque:
– pourtout A ∈ A,P(A) ∈ [0,1]estdéfini,
– P(Ω) = 1,
– sipourtoutentier i ≥ 1,A ∈ Aetlafamilledes A estdisjointe,alors:
i i
(cid:88)
P(∪ A ) = P(A ).
i≥1 i i
i≥0
Letriplet(Ω,A,P)s’appelleespacedeprobabilité.
On voit que pour une variable aléatoire A-mesurable on peut définir P(X ∈ A) pour tout A,
boréliende R.
Remarque1.1.6 En choisissant A = ∅ pour i ≥ n + 1, on obtient que si A ,...,A sont
(cid:80) i 1 n
disjointsP(∪n A ) = n P(A ).
i=1 i i=1 i
Définition1.1.7 On dit qu’une propriété est vraie presque sûrement, si cette propriété est vé-
rifiée avec probabilité 1. On dit ainsi qu’une suite (X ,n ≥ 1) converge presque sûrement
n
si: (cid:181) (cid:182)
P lim X existe = 1.
n
n→+∞
1.2 Espérance d’une variable aléatoire
Lanotiond’espéranceestlaformalisationduconceptdemoyenne.
Cas des variables aléatoires positives Soit (Ω,A,P) un espace de probabilité. Soit X une
variable aléatoire réelle à valeurs R ∪{+∞} mesurable par rapport à la tribu A (en plus de la
+
définition1.1.4,onsupposesimplementque{X = +∞} ∈ A).Notezbienquel’onaccepteque
Xpuisseprendrelavaleur +∞avecprobabiliténonnulle
SiXprendunnombrefinidevaleursdeR,{x ,...,x },ondéfinitl’espérancenaturellement
1 n
par
(cid:88)n
E(X) := x P(X = x ).
i i
i=1
On étend l’espérance a toute variable aléatoire X positive en “approchant” X par la suite crois-
sante(X ,n ≥ 1)donnéepar
n
n(cid:88)2n−1
k
(cid:175) (cid:176)
X = 1 +n1 .
n 2n k k+1 {X ≥ n}
≤ X <
k=0
2n 2n
Notez que pour un n fixé on sait donner une valeur à E(X ) (car X prend un nombre fini de
n n
valeurs)
(cid:181) (cid:182)
(cid:88)n2n
k k k+1
E(X ) = P ≤ X < +nP(X ≥ n).
n 2n 2n 2n
k=0
Ch.1RappelsdeProbabilités 9
Ondéfinitalorsl’espérance E(X)par
E(X) = lim E(X ).
n
n→∞
La limite existe forcément comme limite croissante de nombres réels positifs. Elle peut être
égaleà +∞.Danstouslescaselledéfinitl’espérancedelavariablealéatoirepositive X.
Notezquesi P(X = +∞) > 0,onaparconstructionpourtout n
E(X) ≥ nP(X ≥ n) ≥ nP(X = +∞).
OnadoncE(X) = +∞.Parcontraposée,onvoitqu’unevariablealéatoirepositived’espérance
finieestfinieavecprobabilité 1.Autrementdit
E(X) < +∞impliqueP(X < +∞) = 1. (1.1)
Exercice1 Vérifier à partir de la construction de l’espérance que, si 0 ≤ X ≤ Y on a E(X) ≤
E(Y).
Casdesvariablesaléatoiredesignequelconque SiXestunev.a.réelledesignequelconque,
on dit qu’elle est intégrable si E(|X|) < ∞ (E(|X|) est toujours définie d’après ce qui précède).
Notezque 1.1impliqueque |X|estfiniepresquesûrement.Comme
X1 ≤ |X|et(−X)1 ≤ |X|
X≥0 X<0
On a, par croissance de l’espérance, E(X1 ) ≤ E(|X|) < +∞ et E((−X)1 ) ≤ E(|X|) <
X≥0 X<0
+∞.Onpeutdoncdéfinirl’espéranceparladifférencededeuxnombresréels(finis!)
E(X) = E(X1 )−E((−X)1 ).
X≥0 X<0
Onadmetlespropriétéssuivantesdel’espérance.
1. Linéarité. Soient X et Y deux v.a. intégrables, soient α,β ∈ R. Alors la v.a.
αX+βY estintégrable,etona
E[αX+βY] = αE[X]+βE[Y].
2. E(1 ) = P(A).
A
3. Positivité. Soit X une v.a. réelle positive p.s., c’est-à-dire telle que P(X ≥ 0) =
1,alorsona E(X) ∈ [0,∞].Enparticulier E(X) ≥ 0.
4. Soient X et Y deux v.a. réelles intégrables telles que X ≤ Y p.s., c’est-à-dire
tellesque P(X ≤ Y) = 1,alorsona
E(X) ≤ E(Y).
10 CoursdeProcessusAléatoires
1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances
Lesthéorèmessuivantssontfondamentauxlorsquel’onchercheàjustifierproprementque:
(cid:179) (cid:180)
lim E(X ) = E lim X .
n n
n→∞ n→∞
Cette égalité bien que naturelle ne va pas de soi et est en général fausse, même si on peut la
justifier dans de nombreux cas. L’espérance d’une variable aléatoire positive X a été construite
comme la limite des espérances de variables aléatoires X qui convergent vers X en croissant.
n
C’estpourquoilethéorèmesuivantquenousadmettronsestnaturel.
Théorème1.3.1(Théorèmedeconvergencemonotone) Si (X ,n ≥ 1) est une
n
suitedevariablesaléatoirescroissantespositives,i.e.
0 ≤ X ≤ X ,
n n+1
onpeutaffirmerque:
E( lim X ) = lim E(X ).
n n
n→+∞ n→+∞
Noter que l’on n’impose ni l’intégrabilité des X ni celle de lim X , ce qui rend ce théo-
n n→+∞ n
rème très pratique : rien n’interdit aux limites à droite et à gauche de l’égalité de prendre la
valeur+∞.Sil’unevaut+∞celaimpliquequel’autrevautaussi +∞.
Remarque1.3.1 Uneapplicationdirectedecedernierrésultatmontrequel’ona toujours:
(cid:195) (cid:33)
(cid:88) (cid:88)
E(|X |) = E |X | .
n n
n≥0 n≥0
(cid:80)
Lorsquel’onpeutprouverque E(|X |) < +∞,onestdoncsûrque
n≥0 n
(cid:195) (cid:33)
(cid:88)
E |X | < +∞.
n
n≥0
(cid:80) (cid:80)
La variable aléatoire |X | est donc finie presque sûrement et la série X est donc
n≥0 n n≥0 n
forcément(absolument)convergente.Enparticulier, X tendspresquesûrementvers0.
n
Ondémontreraitdefaçonidentiquequesi,pourunentier pplusgrandque 1
(cid:88)
E(|X |p) < +∞,
n
n≥0
alorslim X = 0.Cerésultat(trèsfacileàobtenir!)estl’undesraresmoyensquipermet
n→+∞ n
deprouverlaconvergencepresquesûre.
Lerésultatleplusimportantpourpasseràlalimitedanslesespérancesestle