Appunti di Analisi matematica 2 Paolo Acquistapace 24 dicembre 2022 Indice 1 Spazi metrici 1 1.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Proprieta` della convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Spazi con prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 La nozione di spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8 Contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.9 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.10 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2 Sistemi differenziali 86 2.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.3 Sistemi omogenei a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4 Equazioni lineari di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.5 Analisi qualitativa per sistemi 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3 Integrazione secondo Lebesgue 156 3.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.2 Volume dei parallelepipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.3 Misura esterna di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.4 Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.5 Misurabilita` dei parallelepipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.6 Insieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.7 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.8 Un insieme non misurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.9 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.10 L’integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.11 Confronto con l’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.12 Passaggio al limite sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.13 Calcolo degli integrali multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.14 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.15 Lo spazio L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 i 3.16 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.17 Il metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 4 Varietà 300 4.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 4.2 Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 4.3 Geometria delle curve piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 4.4 Inviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 4.5 Curve sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 4.6 Forme differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 4.7 Aperti con frontiera di classe Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 4.8 Formule di Gauss-Green nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 4.9 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 4.10 Geometria delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 4.11 Varieta` r-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 4.12 Applicazioni multilineari alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 4.13 Misura e integrazione su varieta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 4.14 Forme differenziali lineari di grado r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 4.15 Integrazione di r-forme su r-varietà orientate . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Indice analitico 469 ii Capitolo 1 Spazi metrici 1.1 Successioni di funzioni Andiamo a considerare varie nozioni di convergenza per successioni o serie di funzioni: alcune di queste convergenze, in particolare la convergenza uniforme, costituiranno il modello a cui ci rifaremo per introdurre le nozioni astratte di spazio normato e di spazio metrico. Sia dunque {f } una successione di funzioni a valori reali, o anche complessi, definite n n∈N su un un sottoinsieme A di R, oppure di Rm, oppure di Cm; sia f un’altra funzione definita in A. Definizione 1.1.1 Diciamo che la successione {f } converge puntualmente alla fun- n zione f in A se per ogni x ∈ A la successione numerica {f (x)} converge al numero n f(x), ossia se lim f (x) = f(x) ∀x ∈ A; n n→∞ in simboli, ciò significa che ∀x ∈ A, ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : |f (x)−f(x)| < ε ∀n ≥ ν. n Definizione 1.1.2 Diciamo che la successione {f } converge uniformemente alla fun- n zione f in A se risulta lim sup|f (x)−f(x)| = 0; n n→∞x∈A in simboli, ciò significa che ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : |f (x)−f(x)| < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ A. n Osservazioni 1.1.3 (1) La differenza fra convergenza puntuale ed uniforme sta nel quantificatore “∀x ∈ A” che si sposta dall’inizio alla fine della frase. La conseguenza è che l’indice ν, cioè la soglia oltre la quale la quantita` |f (x) − f(x)| è piccola, va a n dipendere solo da ε, e non da ε e x. La seconda definizione è dunque piu` restrittiva della prima: la convergenza uniforme implica la puntuale. 1 (2) Affinché le f convergano uniformemente a f in A occorre e basta che per ogni ε > 0 n i grafici delle f siano contenuti definitivamente nell’ “intorno tubolare del grafico di f n di raggio ε”, ossia nell’insieme {(x,y) : x ∈ A, |y −f(x)| < ε}. (3) La definizione 1.1.2 si applica anche a successioni di funzioni non limitate, come mostra il successivo esempio 1.1.4 (3). Esempi 1.1.4 (1) Siano A = [0,1] e f (x) = xn. Si ha, fissato x ∈ [0,1], n (cid:40) 0 se x ∈ [0,1[ lim f (x) = n n→∞ 1 se x = 1. Quindi la successione {f } converge puntual- n mente alla funzione (cid:40) 0 se x ∈ [0,1[ f(x) = 1 se x = 1. Pero` la convergenza non è uniforme: fissato ε ∈]0,1], è impossibile trovare ν ∈ N tale che si abbia xn = |xn −0| < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ [0,1[, perché quando x → 1− cio` implicherebbe 1 ≤ ε. Si osservi, tuttavia, che f converge n uniformemente a f in ogni intervallo della forma [0,a] con a < 1, in quanto per un tale a risulta sup xn = an → 0 per n → ∞. x∈[0,a] (2) Siano A = [0,∞[ e f (x) = e−nx. Allora le f convergono puntualmente in [0,∞[ n n alla funzione (cid:40) 1 se x = 0 f(x) = 0 se x > 0. La convergenza non è uniforme in [0,∞[ perché sup|f (x)−f(x)| = supe−nx = 1 ∀n ∈ N, n x≥0 x>0 2 però è uniforme in ogni semiretta del tipo [a,∞[ con a > 0, essendo sup|f (x)−f(x)| = supe−nx = e−na → 0 per n → ∞. n x≥a x≥a (3) Sia A =]0,∞[ e poniamo f (x) = 1 ∧ n = min{1,n} e g (x) = n+x. Entrambe n x x n nx queste successioni convergono puntualmente a f(x) = 1 (si noti che le g sono funzioni x n illimitate), però la convergenza è uniforme per le g e non lo è per le f . Infatti n n (cid:18) (cid:19) 1 sup|f (x)−f(x)| = sup −n = +∞, n x x>0 00 x>0 Gli esempi precedenti mostrano che la convergenza uniforme può realizzarsi o meno a seconda di come si sceglie l’insieme di definizione delle f . In genere, quindi, data n una successione di funzioni definite in A, ci si chiedera` in quali sottoinsiemi di A si ha convergenza uniforme. Il motivo di questo tipo di richieste sta nel fatto che, a differenza della convergenza puntuale, la convergenza uniforme preserva, come vedremo, diverse proprieta` delle funzioni quali la continuità e l’integrabilita`. Accanto alle successioni di funzioni, è naturale considerare anche le serie di funzioni. Se {f } è una successione di funzioni definite in un insieme A contenuto in R, oppure in n Rm, oppure in Cm, la serie (cid:80)∞ f è la successione {s } delle somme parziali, ove n=0 n n n (cid:88) s (x) = f (x); n k k=0 alle serie di funzioni si applicano quindi le nozioni di convergenza puntuale ed uniforme. Utilizzando le definizioni 1.1.1 e 1.1.2, avremo: 3 • la serie (cid:80)f converge puntualmente in A se per ogni x ∈ A la serie numerica n (cid:80)∞ f (x) è convergente, ossia n=0 n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ (cid:12) ∀x ∈ A, ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : (cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀n ≥ ν; (cid:12) k (cid:12) (cid:12) (cid:12) k=n+1 • la serie (cid:80)f converge uniformemente in A se n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ (cid:12) lim sup(cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ A. (cid:12) k (cid:12) n→∞x∈A(cid:12) (cid:12) k=n+1 Per le serie di funzioni si hanno però altri due tipi di convergenza: • la serie (cid:80)f converge assolutamente in A se per ogni x ∈ A la serie numerica n (cid:80)∞ f (x) è assolutamente convergente, cioè se (cid:80)∞ |f (x)| è convergente; n=0 n n=0 n • la serie (cid:80)f converge totalmente in A se la serie numerica n ∞ (cid:88) sup|f (x)| n x∈A n=0 è convergente. La proposizione che segue mette a confronto i quattro tipi di convergenza. (cid:80) Proposizione 1.1.5 Sia f una serie di funzioni definite su un sottoinsieme A di n R, o di Rm, o di Cm. Allora: (i) la convergenza totale implica la convergenza uniforme e quest’ultima implica la convergenza puntuale; (ii) la convergenza totale implica la convergenza assoluta e quest’ultima implica la convergenza puntuale; (iii) non vi sono implicazioni tra convergenza uniforme e assoluta, né valgono le implicazioni contrarie a quelle sopra descritte. Dimostrazione (i) Poiché (cid:80)∞ sup |f (x)| è una serie reale convergente, per il n=0 x∈A n criterio di Cauchy si ha p (cid:88) ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : sup|f (x)| < ε ∀p > n ≥ ν, k x∈A k=n+1 da cui a maggior ragione (cid:12) (cid:12) p p (cid:12) (cid:88) (cid:12) (cid:88) sup(cid:12) f (x)(cid:12) ≤ sup|f (x)| < ε ∀p > n ≥ ν. (cid:12) k (cid:12) k x∈A(cid:12) (cid:12) x∈A k=n+1 k=n+1 4 In particolare (cid:12) (cid:12) p (cid:12) (cid:88) (cid:12) (cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀p > n ≥ ν, ∀x ∈ A, (cid:12) k (cid:12) (cid:12) (cid:12) k=n+1 cioè la serie (cid:80)∞ f (x) verifica per ogni x ∈ A il criterio di Cauchy in R e dunque è n=0 n convergente per ogni x ∈ A. Passando al limite per p → ∞, si deduce che (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ (cid:12) (cid:12) f (x)(cid:12) ≤ ε ∀p > n ≥ ν, ∀x ∈ A, (cid:12) k (cid:12) (cid:12) (cid:12) k=n+1 ossia si è provato che (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ (cid:12) ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : sup(cid:12) f (x)(cid:12) ≤ ε ∀n ≥ ν, (cid:12) k (cid:12) x∈A(cid:12) (cid:12) k=n+1 il che ci dà la convergenza uniforme. Dalla convergenza uniforme segue in modo ovvio la convergenza puntuale. (ii) Se x ∈ A, l’ovvia disuguaglianza ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) |f (x)| ≤ sup|f (x)| ∀x ∈ A, ∀n ∈ N k k x∈A k=n+1 k=n+1 ci fornisce la prima implicazione. La secondaè banalmente vera per ogni serie numerica. (iii) Tutte le false implicazioni saranno illustrate dal seguente esempio. Consideriamo la serie logaritmica (cid:88)∞ xn (−1)n−1 , n n=1 la quale, come è noto, converge puntualmente in ]−1,1] con somma ln(1+x). Inoltre la serie converge assolutamente in ]−1,1[, mentre nei punti x = ±1 la serie dei moduli si riduce alla serie armonica e quindi diverge. Vediamo in quali sottoinsiemi di ]−1,1[ c’è convergenza totale: in ]−1,1[ no, perché (cid:12) (cid:12) sup (cid:12)(cid:12)(−1)n−1 xn(cid:12)(cid:12) = sup |x|n = 1 ∀n ∈ N+, (cid:12) n (cid:12) n n |x|<1 |x|<1 cosicché la serie degli estremi superiori è divergente. Per lo stesso motivo, non vi può essere convergenza totale in nessun intervallo del tipo ]−1,a] o [−a,1[ con 0 < a < 1. Invece per ogni fissato δ ∈]0,1[ si ha (cid:12) (cid:12) sup (cid:12)(cid:12)(−1)n−1 xn(cid:12)(cid:12) = sup |x|n = (1−δ)n ∀n ∈ N+, (cid:12) n (cid:12) n n |x|≤1−δ |x|≤1−δ e dunque la serie degli estremi superiori è convergente: quindi si ha convergenza totale in ogni intervallo del tipo [−1+δ,1−δ] con δ ∈]0,1[. 5 Vediamo infine dove c’è convergenza uniforme. Notiamo che per x ∈ [0,1] la serie è a segni alterni, con termine generale infinitesimo e decrescente in modulo: quindi, per il criterio di Leibniz, la serie converge in [0,1] e vale la stima del resto: (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ xk(cid:12) |x|n+1 1 (cid:12) (−1)k−1 (cid:12) ≤ ≤ ∀x ∈ [0,1], ∀n ∈ N+. (cid:12) k (cid:12) n+1 n+1 (cid:12) (cid:12) k=n+1 Quindi (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:88)∞ xk(cid:12) 1 sup (cid:12) (−1)k−1 (cid:12) ≤ ∀n ∈ N+, (cid:12) k (cid:12) n+1 x∈[0,1](cid:12) (cid:12) k=n+1 il che dimostra che vi è convergenza uniforme in [0,1]. D’altra parte, siccome vi è convergenza totale in [−1+δ,1−δ] per ogni δ ∈]0,1[, in tali intervalli viè anche, a maggior ragione, convergenza uniforme. Di conseguenza (esercizio 1.1.1) vi è convergenza uniforme nell’unione, cioè in tutti gli intervalli della forma [−1+δ,1] con 0 < δ < 1. ` E facile riconoscere, esaminando questo esempio, che esso coinvolge tutte le false implicazioni citate nella proposizione, dato che i quattro tipi di convergenza hanno luogo in quattro insiemi a due a due distinti. Nel caso particolare di serie di potenze, valgono i seguenti risultati: Teorema 1.1.6 Sia (cid:80)a zn una serie di potenze con raggio di convergenza r ∈]0,∞]. n Allora la serie converge totalmente ed uniformemente in ogni cerchio chiuso {z ∈ C : |z| ≤ ρ} con ρ ∈]0,r[. 6 Dimostrazione Per |z| ≤ ρ si ha |a ||z|n ≤ |a |ρn qualunque sia n ∈ N, e quindi vi n n è convergenza totale nel cerchio {z ∈ C : |z| ≤ ρ} in virtu` della convergenza assoluta della serie nel punto z = ρ. Teorema 1.1.7 (di Abel) Sia (cid:80)a zn una serie di potenze con raggio di convergenza n r ∈]0,∞] e supponiamo che esista z ∈ C, con |z | = r, tale che la serie (cid:80)a zn sia 0 0 n 0 convergente ad un numero A ∈ C. Allora la serie (cid:80)a zn converge uniformemente nel n segmento S = {tz : t ∈ [0,1]}. 0 0 Dimostrazione Introducendo la variabile w = z/r e ponendo c = rna , la serie n n (cid:80)c wn ha raggio di convergenza 1 e, detto w = z /r, si ha (cid:80)c wn = A. Dunque, n 0 0 n 0 sostituendoeventualmentec conc −A,nonèrestrittivosupporrecheA = 0. Dobbiamo 0 0 mostrarechelaserie(cid:80)c wn convergeuniformementenell’insiemeS = {tw : t ∈ [0,1]}, n 0 e ciò implichera` la tesi. Faremo uso di uno strumento fondamentale: l’identità di Abel, già dimostrata nel corso del primo anno, e che qui enunciamo: Proposizione 1.1.8 Siano {a } e {b } due successioni di numeri reali o complessi. n n Fissati p,q ∈ N con q ≤ p e posto B = (cid:80)N b , risulta N n=q n N N−1 (cid:88) (cid:88) a b = a B −a B + (a −a )B ∀N > p, n n N N p p−1 n n+1 n n=p n=p ove B = 0 nel caso in cui q = p. p−1 Utilizziamo questa identita` con p ∈ N+, q = 0, a = tn, b = c wn: posto s = n n n 0 n (cid:80)n c wk si ottiene per ogni N > p k=0 k 0 N N−1 N−1 (cid:88) (cid:88) (cid:88) c tnwn = tNs −tps + (tn −tn+1)s = tNs −tps +(1−t) tns . n 0 N p−1 n N p−1 n n=p n=p n=p Ne segue, passando al limite per N → ∞ e tenendo conto che s → 0, N ∞ ∞ (cid:88) (cid:88) c tnwn = −tps +(1−t) tns ∀p ∈ N+ n 0 p−1 n n=p n=p (si noti che, essendo {s } infinitesima, la serie a secondo membro è certamente conver- n gente, per confronto con la serie geometrica di ragione t). Sia ora ε > 0: scelto ν ∈ N tale che |s | < ε per ogni n > ν, per p > ν si ha n (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:88)∞ (cid:12) (cid:88)∞ (cid:12) c tnwn(cid:12) ≤ εtp +ε(1−t) tn ≤ 2ε ∀t ∈ [0,1]. (cid:12) n 0(cid:12) (cid:12) (cid:12) n=p n=p Cio` prova che la serie t (cid:55)→ (cid:80)c tnwn converge uniformemente in [0,1] e la tesiè provata. n 0 7

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