Appunti di Analisi matematica 2

484 Pages·2017·8.41 MB·Italian

Appunti di Analisi matematica 2
Paolo Acquistapace
24 dicembre 2022
Indice
1 Spazi metrici 1
1.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Proprieta` della convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Spazi con prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 La nozione di spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8 Contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.9 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.10 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Sistemi differenziali 86
2.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Sistemi omogenei a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4 Equazioni lineari di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.5 Analisi qualitativa per sistemi 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3 Integrazione secondo Lebesgue 156
3.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.2 Volume dei parallelepipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3 Misura esterna di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.4 Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.5 Misurabilita` dei parallelepipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.6 Insieme di Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.7 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.8 Un insieme non misurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.9 Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.10 L’integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.11 Confronto con l’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.12 Passaggio al limite sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.13 Calcolo degli integrali multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.14 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.15 Lo spazio L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
i
3.16 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.17 Il metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4 Variet`a 300
4.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4.2 Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.3 Geometria delle curve piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.4 Inviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.5 Curve sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.6 Forme differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.7 Aperti con frontiera di classe Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
4.8 Formule di Gauss-Green nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.9 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.10 Geometria delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
4.11 Varieta` r-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
4.12 Applicazioni multilineari alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.13 Misura e integrazione su varieta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
4.14 Forme differenziali lineari di grado r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.15 Integrazione di r-forme su r-variet`a orientate . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Indice analitico 469
ii
Capitolo 1
Spazi metrici
1.1 Successioni di funzioni
Andiamo a considerare varie nozioni di convergenza per successioni o serie di funzioni:
alcune di queste convergenze, in particolare la convergenza uniforme, costituiranno il
modello a cui ci rifaremo per introdurre le nozioni astratte di spazio normato e di spazio
metrico.
Sia dunque {f } una successione di funzioni a valori reali, o anche complessi, definite
n n∈N
su un un sottoinsieme A di R, oppure di Rm, oppure di Cm; sia f un’altra funzione
definita in A.
Definizione 1.1.1 Diciamo che la successione {f } converge puntualmente alla fun-
n
zione f in A se per ogni x ∈ A la successione numerica {f (x)} converge al numero
n
f(x), ossia se
lim f (x) = f(x) ∀x ∈ A;
n
n→∞
in simboli, ci`o significa che
∀x ∈ A, ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : |f (x)−f(x)| < ε ∀n ≥ ν.
n
Definizione 1.1.2 Diciamo che la successione {f } converge uniformemente alla fun-
n
zione f in A se risulta
lim sup|f (x)−f(x)| = 0;
n
n→∞x∈A
in simboli, ci`o significa che
∀ε > 0 ∃ν ∈ N : |f (x)−f(x)| < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ A.
n
Osservazioni 1.1.3 (1) La differenza fra convergenza puntuale ed uniforme sta nel
quantificatore “∀x ∈ A” che si sposta dall’inizio alla fine della frase. La conseguenza
`e che l’indice ν, cio`e la soglia oltre la quale la quantita` |f (x) − f(x)| `e piccola, va a
n
dipendere solo da ε, e non da ε e x. La seconda definizione `e dunque piu` restrittiva
della prima: la convergenza uniforme implica la puntuale.
1
(2) Affinch´e le f convergano uniformemente a f in A occorre e basta che per ogni ε > 0
n
i grafici delle f siano contenuti definitivamente nell’ “intorno tubolare del grafico di f
n
di raggio ε”, ossia nell’insieme
{(x,y) : x ∈ A, |y −f(x)| < ε}.
(3) La definizione 1.1.2 si applica anche a successioni di funzioni non limitate, come
mostra il successivo esempio 1.1.4 (3).
Esempi 1.1.4 (1) Siano A = [0,1] e f (x) = xn. Si ha, fissato x ∈ [0,1],
n
(cid:40)
0 se x ∈ [0,1[
lim f (x) =
n
n→∞ 1 se x = 1.
Quindi la successione {f } converge puntual-
n
mente alla funzione
(cid:40)
0 se x ∈ [0,1[
f(x) =
1 se x = 1.
Pero` la convergenza non `e uniforme: fissato ε ∈]0,1], `e impossibile trovare ν ∈ N tale
che si abbia
xn = |xn −0| < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ [0,1[,
perch´e quando x → 1− cio` implicherebbe 1 ≤ ε. Si osservi, tuttavia, che f converge
n
uniformemente a f in ogni intervallo della forma [0,a] con a < 1, in quanto per un tale
a risulta
sup xn = an → 0 per n → ∞.
x∈[0,a]
(2) Siano A = [0,∞[ e f (x) = e−nx. Allora le f convergono puntualmente in [0,∞[
n n
alla funzione
(cid:40)
1 se x = 0
f(x) =
0 se x > 0.
La convergenza non `e uniforme in [0,∞[ perch´e
sup|f (x)−f(x)| = supe−nx = 1 ∀n ∈ N,
n
x≥0 x>0
2
per`o `e uniforme in ogni semiretta del tipo [a,∞[ con a > 0, essendo
sup|f (x)−f(x)| = supe−nx = e−na → 0 per n → ∞.
n
x≥a x≥a
(3) Sia A =]0,∞[ e poniamo f (x) = 1 ∧ n = min{1,n} e g (x) = n+x. Entrambe
n x x n nx
queste successioni convergono puntualmente a f(x) = 1 (si noti che le g sono funzioni
x n
illimitate), per`o la convergenza `e uniforme per le g e non lo `e per le f . Infatti
n n
(cid:18) (cid:19)
1
sup|f (x)−f(x)| = sup −n = +∞,
n
x
x>0 0<x<1/n
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)1 n+x(cid:12) 1
sup|g (x)−f(x)| = sup(cid:12) − (cid:12) = → 0 per n → ∞.
n
(cid:12)x nx (cid:12) n
x>0 x>0
Gli esempi precedenti mostrano che la convergenza uniforme pu`o realizzarsi o meno
a seconda di come si sceglie l’insieme di definizione delle f . In genere, quindi, data
n
una successione di funzioni definite in A, ci si chiedera` in quali sottoinsiemi di A si ha
convergenza uniforme. Il motivo di questo tipo di richieste sta nel fatto che, a differenza
della convergenza puntuale, la convergenza uniforme preserva, come vedremo, diverse
proprieta` delle funzioni quali la continuit`a e l’integrabilita`.
Accanto alle successioni di funzioni, `e naturale considerare anche le serie di funzioni. Se
{f } `e una successione di funzioni definite in un insieme A contenuto in R, oppure in
n
Rm, oppure in Cm, la serie (cid:80)∞ f `e la successione {s } delle somme parziali, ove
n=0 n n
n
(cid:88)
s (x) = f (x);
n k
k=0
alle serie di funzioni si applicano quindi le nozioni di convergenza puntuale ed uniforme.
Utilizzando le definizioni 1.1.1 e 1.1.2, avremo:
3
• la serie (cid:80)f converge puntualmente in A se per ogni x ∈ A la serie numerica
n
(cid:80)∞ f (x) `e convergente, ossia
n=0 n
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ (cid:12)
∀x ∈ A, ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : (cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀n ≥ ν;
(cid:12) k (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
k=n+1
• la serie (cid:80)f converge uniformemente in A se
n
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ (cid:12)
lim sup(cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀n ≥ ν, ∀x ∈ A.
(cid:12) k (cid:12)
n→∞x∈A(cid:12) (cid:12)
k=n+1
Per le serie di funzioni si hanno per`o altri due tipi di convergenza:
• la serie (cid:80)f converge assolutamente in A se per ogni x ∈ A la serie numerica
n
(cid:80)∞ f (x) `e assolutamente convergente, cio`e se (cid:80)∞ |f (x)| `e convergente;
n=0 n n=0 n
• la serie (cid:80)f converge totalmente in A se la serie numerica
n
∞
(cid:88)
sup|f (x)|
n
x∈A
n=0
`e convergente.
La proposizione che segue mette a confronto i quattro tipi di convergenza.
(cid:80)
Proposizione 1.1.5 Sia f una serie di funzioni definite su un sottoinsieme A di
n
R, o di Rm, o di Cm. Allora:
(i) la convergenza totale implica la convergenza uniforme e quest’ultima implica la
convergenza puntuale;
(ii) la convergenza totale implica la convergenza assoluta e quest’ultima implica la
convergenza puntuale;
(iii) non vi sono implicazioni tra convergenza uniforme e assoluta, n´e valgono le im-
plicazioni contrarie a quelle sopra descritte.
Dimostrazione (i) Poich´e (cid:80)∞ sup |f (x)| `e una serie reale convergente, per il
n=0 x∈A n
criterio di Cauchy si ha
p
(cid:88)
∀ε > 0 ∃ν ∈ N : sup|f (x)| < ε ∀p > n ≥ ν,
k
x∈A
k=n+1
da cui a maggior ragione
(cid:12) (cid:12)
p p
(cid:12) (cid:88) (cid:12) (cid:88)
sup(cid:12) f (x)(cid:12) ≤ sup|f (x)| < ε ∀p > n ≥ ν.
(cid:12) k (cid:12) k
x∈A(cid:12) (cid:12) x∈A
k=n+1 k=n+1
4
In particolare
(cid:12) (cid:12)
p
(cid:12) (cid:88) (cid:12)
(cid:12) f (x)(cid:12) < ε ∀p > n ≥ ν, ∀x ∈ A,
(cid:12) k (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
k=n+1
cio`e la serie (cid:80)∞ f (x) verifica per ogni x ∈ A il criterio di Cauchy in R e dunque `e
n=0 n
convergente per ogni x ∈ A. Passando al limite per p → ∞, si deduce che
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ (cid:12)
(cid:12) f (x)(cid:12) ≤ ε ∀p > n ≥ ν, ∀x ∈ A,
(cid:12) k (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
k=n+1
ossia si `e provato che
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ (cid:12)
∀ε > 0 ∃ν ∈ N : sup(cid:12) f (x)(cid:12) ≤ ε ∀n ≥ ν,
(cid:12) k (cid:12)
x∈A(cid:12) (cid:12)
k=n+1
il che ci d`a la convergenza uniforme. Dalla convergenza uniforme segue in modo ovvio
la convergenza puntuale.
(ii) Se x ∈ A, l’ovvia disuguaglianza
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
|f (x)| ≤ sup|f (x)| ∀x ∈ A, ∀n ∈ N
k k
x∈A
k=n+1 k=n+1
ci fornisce la prima implicazione. La seconda`e banalmente vera per ogni serie numerica.
(iii) Tutte le false implicazioni saranno illustrate dal seguente esempio. Consideriamo
la serie logaritmica
(cid:88)∞ xn
(−1)n−1 ,
n
n=1
la quale, come `e noto, converge puntualmente in ]−1,1] con somma ln(1+x). Inoltre
la serie converge assolutamente in ]−1,1[, mentre nei punti x = ±1 la serie dei moduli
si riduce alla serie armonica e quindi diverge. Vediamo in quali sottoinsiemi di ]−1,1[
c’`e convergenza totale: in ]−1,1[ no, perch´e
(cid:12) (cid:12)
sup (cid:12)(cid:12)(−1)n−1 xn(cid:12)(cid:12) = sup |x|n = 1 ∀n ∈ N+,
(cid:12) n (cid:12) n n
|x|<1 |x|<1
cosicch´e la serie degli estremi superiori `e divergente. Per lo stesso motivo, non vi pu`o
essere convergenza totale in nessun intervallo del tipo ]−1,a] o [−a,1[ con 0 < a < 1.
Invece per ogni fissato δ ∈]0,1[ si ha
(cid:12) (cid:12)
sup (cid:12)(cid:12)(−1)n−1 xn(cid:12)(cid:12) = sup |x|n = (1−δ)n ∀n ∈ N+,
(cid:12) n (cid:12) n n
|x|≤1−δ |x|≤1−δ
e dunque la serie degli estremi superiori `e convergente: quindi si ha convergenza totale
in ogni intervallo del tipo [−1+δ,1−δ] con δ ∈]0,1[.
5
Vediamo infine dove c’`e convergenza uniforme. Notiamo che per x ∈ [0,1] la serie `e a
segni alterni, con termine generale infinitesimo e decrescente in modulo: quindi, per il
criterio di Leibniz, la serie converge in [0,1] e vale la stima del resto:
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ xk(cid:12) |x|n+1 1
(cid:12) (−1)k−1 (cid:12) ≤ ≤ ∀x ∈ [0,1], ∀n ∈ N+.
(cid:12) k (cid:12) n+1 n+1
(cid:12) (cid:12)
k=n+1
Quindi
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:88)∞ xk(cid:12) 1
sup (cid:12) (−1)k−1 (cid:12) ≤ ∀n ∈ N+,
(cid:12) k (cid:12) n+1
x∈[0,1](cid:12) (cid:12)
k=n+1
il che dimostra che vi `e convergenza uniforme in [0,1]. D’altra parte, siccome vi `e con-
vergenza totale in [−1+δ,1−δ] per ogni δ ∈]0,1[, in tali intervalli vi`e anche, a maggior
ragione, convergenza uniforme. Di conseguenza (esercizio 1.1.1) vi `e convergenza uni-
forme nell’unione, cio`e in tutti gli intervalli della forma [−1+δ,1] con 0 < δ < 1.
`
E facile riconoscere, esaminando questo esempio, che esso coinvolge tutte le false impli-
cazioni citate nella proposizione, dato che i quattro tipi di convergenza hanno luogo in
quattro insiemi a due a due distinti.
Nel caso particolare di serie di potenze, valgono i seguenti risultati:
Teorema 1.1.6 Sia (cid:80)a zn una serie di potenze con raggio di convergenza r ∈]0,∞].
n
Allora la serie converge totalmente ed uniformemente in ogni cerchio chiuso {z ∈ C :
|z| ≤ ρ} con ρ ∈]0,r[.
6
Dimostrazione Per |z| ≤ ρ si ha |a ||z|n ≤ |a |ρn qualunque sia n ∈ N, e quindi vi
n n
`e convergenza totale nel cerchio {z ∈ C : |z| ≤ ρ} in virtu` della convergenza assoluta
della serie nel punto z = ρ.
Teorema 1.1.7 (di Abel) Sia (cid:80)a zn una serie di potenze con raggio di convergenza
n
r ∈]0,∞] e supponiamo che esista z ∈ C, con |z | = r, tale che la serie (cid:80)a zn sia
0 0 n 0
convergente ad un numero A ∈ C. Allora la serie (cid:80)a zn converge uniformemente nel
n
segmento S = {tz : t ∈ [0,1]}.
0 0
Dimostrazione Introducendo la variabile w = z/r e ponendo c = rna , la serie
n n
(cid:80)c wn ha raggio di convergenza 1 e, detto w = z /r, si ha (cid:80)c wn = A. Dunque,
n 0 0 n 0
sostituendoeventualmentec conc −A,non`erestrittivosupporrecheA = 0. Dobbiamo
0 0
mostrarechelaserie(cid:80)c wn convergeuniformementenell’insiemeS = {tw : t ∈ [0,1]},
n 0
e ci`o implichera` la tesi.
Faremo uso di uno strumento fondamentale: l’identit`a di Abel, gi`a dimostrata nel corso
del primo anno, e che qui enunciamo:
Proposizione 1.1.8 Siano {a } e {b } due successioni di numeri reali o complessi.
n n
Fissati p,q ∈ N con q ≤ p e posto B = (cid:80)N b , risulta
N n=q n
N N−1
(cid:88) (cid:88)
a b = a B −a B + (a −a )B ∀N > p,
n n N N p p−1 n n+1 n
n=p n=p
ove B = 0 nel caso in cui q = p.
p−1
Utilizziamo questa identita` con p ∈ N+, q = 0, a = tn, b = c wn: posto s =
n n n 0 n
(cid:80)n c wk si ottiene per ogni N > p
k=0 k 0
N N−1 N−1
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
c tnwn = tNs −tps + (tn −tn+1)s = tNs −tps +(1−t) tns .
n 0 N p−1 n N p−1 n
n=p n=p n=p
Ne segue, passando al limite per N → ∞ e tenendo conto che s → 0,
N
∞ ∞
(cid:88) (cid:88)
c tnwn = −tps +(1−t) tns ∀p ∈ N+
n 0 p−1 n
n=p n=p
(si noti che, essendo {s } infinitesima, la serie a secondo membro `e certamente conver-
n
gente, per confronto con la serie geometrica di ragione t).
Sia ora ε > 0: scelto ν ∈ N tale che |s | < ε per ogni n > ν, per p > ν si ha
n
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:88)∞ (cid:12) (cid:88)∞
(cid:12) c tnwn(cid:12) ≤ εtp +ε(1−t) tn ≤ 2ε ∀t ∈ [0,1].
(cid:12) n 0(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
n=p n=p
Cio` prova che la serie t (cid:55)→ (cid:80)c tnwn converge uniformemente in [0,1] e la tesi`e provata.
n 0
7