Table Of Content(cid:25)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:35)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:1)(cid:29)(cid:42)(cid:39)(cid:49)(cid:51)(cid:58)(cid:10)(cid:1)(cid:11)(cid:38)(cid:55)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:52)(cid:1)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:1)
(cid:11)(cid:50)(cid:50)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:49)(cid:48)(cid:52)
(cid:31)(cid:49)(cid:46)(cid:6)(cid:1)(cid:163)(cid:7)(cid:200)(cid:9)(cid:199)(cid:8)
(cid:4)(cid:14)(cid:18)(cid:24)(cid:20)(cid:22)(cid:3)
(cid:6)(cid:2)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:17)(cid:12)(cid:15)(cid:22)(cid:16)
(cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:25)(cid:40)(cid:60)(cid:1)(cid:37)(cid:39)(cid:10) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:29)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:54)(cid:51)(cid:49)(cid:38)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:49)(cid:45)(cid:58)(cid:49)(cid:3)
(cid:28)(cid:37)(cid:42)(cid:49)(cid:49)(cid:46)(cid:1)(cid:49)(cid:40)(cid:1)(cid:23)(cid:35)(cid:53)(cid:42)(cid:39)(cid:47)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:37)(cid:35)(cid:46)(cid:1) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:35)(cid:46)(cid:41)(cid:35)(cid:51)(cid:58)(cid:3)
(cid:28)(cid:37)(cid:43)(cid:39)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:52) (cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:39)(cid:51)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:18)(cid:35)(cid:43)(cid:40)(cid:35)(cid:3)
(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:1)(cid:30)(cid:48)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:53)(cid:58) (cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:43)(cid:53)(cid:58)(cid:35)(cid:41)(cid:43)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:49)(cid:46)(cid:54)(cid:47)(cid:36)(cid:54)(cid:52)(cid:3)
(cid:27)(cid:35)(cid:47)(cid:35)(cid:53)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:4)(cid:1)(cid:19)(cid:52)(cid:51)(cid:35)(cid:39)(cid:46) (cid:31)(cid:6)(cid:1)(cid:25)(cid:46)(cid:52)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:52)(cid:3)
(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:26)(cid:54)(cid:53)(cid:43)(cid:48)(cid:35)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:12)(cid:35)(cid:51)(cid:36)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:3)
(cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:12)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:38)(cid:10) (cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:49)(cid:38)(cid:47)(cid:35)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:46)(cid:50)(cid:35)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:5)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3) (cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:49)(cid:55)(cid:48)(cid:58)(cid:35)(cid:45)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:46)(cid:49)(cid:53)(cid:53)(cid:39)(cid:52)(cid:55)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:51)(cid:35)(cid:59)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:18)(cid:35)(cid:43)(cid:40)(cid:35)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:52)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:45)(cid:39)(cid:46)(cid:39)(cid:58)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:53)(cid:59)(cid:47)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:3) (cid:19)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:50)(cid:43)(cid:53)(cid:45)(cid:49)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:35)(cid:46)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:35)(cid:37)(cid:45)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:29)(cid:51)(cid:39)(cid:43)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:26)(cid:51)(cid:49)(cid:55)(cid:43)(cid:38)(cid:39)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:39)(cid:48)(cid:5)(cid:11)(cid:51)(cid:53)(cid:59)(cid:43)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:30)(cid:50)(cid:47)(cid:39)(cid:43)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:23)(cid:35)(cid:51)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:49)(cid:55)(cid:43)(cid:37)(cid:43)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:47)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:3) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:31)(cid:39)(cid:51)(cid:38)(cid:54)(cid:58)(cid:48)(cid:1)(cid:22)(cid:54)(cid:48)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:39)(cid:43)(cid:38)(cid:39)(cid:48)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:62)(cid:53)(cid:53)(cid:37)(cid:42)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:42)(cid:39)(cid:47)(cid:48)(cid:43)(cid:53)(cid:59)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:31)(cid:49)(cid:43)(cid:37)(cid:54)(cid:46)(cid:39)(cid:52)(cid:37)(cid:54)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:45)(cid:39)(cid:46)(cid:39)(cid:58)(cid:3)
(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:46)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:53)(cid:42)(cid:39)(cid:48)(cid:52)(cid:4)(cid:1)(cid:30)(cid:28)(cid:11)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:33)(cid:43)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:24)(cid:35)(cid:52)(cid:42)(cid:55)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:3)
(cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:49)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:54)(cid:40)(cid:40)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:35)(cid:39)(cid:55)(cid:1)(cid:2)(cid:27)(cid:39)(cid:48)(cid:48)(cid:39)(cid:52)(cid:3)
(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:54)(cid:51)(cid:53)(cid:49)(cid:1)(cid:2)(cid:19)(cid:49)(cid:56)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:43)(cid:53)(cid:58)(cid:3)
(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:35)(cid:55)(cid:43)(cid:38)(cid:52)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:35)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:4)(cid:1)(cid:25)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:51)(cid:43)(cid:49)(cid:3) (cid:18)(cid:49)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:35)(cid:51)(cid:58)(cid:1)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:1)(cid:11)(cid:38)(cid:55)(cid:43)(cid:52)(cid:49)(cid:51)(cid:58)
(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:49)(cid:54)(cid:41)(cid:46)(cid:35)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:49)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:41)(cid:39)(cid:1)(cid:28)(cid:53)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:49)(cid:48)(cid:3) (cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:12)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:38)(cid:10)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:52)(cid:47)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:51)(cid:49)(cid:48)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:39)(cid:48)(cid:3) (cid:13)(cid:6)(cid:1)(cid:16)(cid:49)(cid:43)(cid:35)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:47)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:58)(cid:47)(cid:1)(cid:2)(cid:27)(cid:39)(cid:42)(cid:49)(cid:55)(cid:49)(cid:53)(cid:3) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:18)(cid:35)(cid:46)(cid:47)(cid:49)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:46)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:3)
(cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:16)(cid:54)(cid:42)(cid:51)(cid:47)(cid:35)(cid:48)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3) (cid:29)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:43)(cid:46)(cid:35)(cid:53)(cid:42)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:53)(cid:35)(cid:48)(cid:40)(cid:49)(cid:51)(cid:38)(cid:3)
(cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:51)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:37)(cid:42)(cid:1)(cid:2)(cid:23)(cid:35)(cid:43)(cid:48)(cid:59)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:48)(cid:41)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:31)(cid:43)(cid:39)(cid:48)(cid:48)(cid:35)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:18)(cid:39)(cid:46)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:35)(cid:1)(cid:20)(cid:49)(cid:46)(cid:46)(cid:35)(cid:3) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:57)(cid:1)(cid:2)(cid:24)(cid:39)(cid:56)(cid:1)(cid:34)(cid:49)(cid:51)(cid:45)(cid:3)
(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:35)(cid:52)(cid:42)(cid:49)(cid:39)(cid:45)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:38)(cid:35)(cid:47)(cid:3) (cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:43)(cid:55)(cid:52)(cid:43)(cid:37)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:51)(cid:41)(cid:49)(cid:48)(cid:48)(cid:39)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:32)(cid:43)(cid:38)(cid:49)(cid:47)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:51)(cid:54)(cid:59)(cid:3)
(cid:55)(cid:62)(cid:219)(cid:105)(cid:143)(cid:105)(cid:204)(cid:195)(cid:93)
(cid:31)(cid:213)(cid:143)(cid:204)(cid:136)(cid:195)(cid:86)(cid:62)(cid:143)(cid:105)(cid:202)(cid:45)(cid:222)(cid:195)(cid:204)(cid:105)(cid:147)(cid:195)(cid:202)(cid:62)(cid:152)(cid:96)(cid:202)
(cid:21)(cid:222)(cid:171)(cid:105)(cid:192)(cid:86)(cid:156)(cid:147)(cid:171)(cid:143)(cid:105)(cid:221)(cid:202)(cid:1)(cid:152)(cid:62)(cid:143)(cid:222)(cid:195)(cid:136)(cid:195)
(cid:12)(cid:62)(cid:152)(cid:136)(cid:105)(cid:143)(cid:202)(cid:1)(cid:143)(cid:171)(cid:62)(cid:222)
(cid:13)(cid:96)(cid:136)(cid:204)(cid:156)(cid:192)
(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:86)(cid:29)
(cid:36)(cid:48)(cid:65)(cid:68)(cid:78)(cid:87)(cid:87)(cid:73)(cid:75)(cid:69)(cid:76)(cid:76)(cid:0)(cid:68)(cid:33)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:47)(cid:80)(cid:65)(cid:68)(cid:89)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85) (cid:36)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:88)(cid:74)(cid:72)(cid:85)
(cid:36)(cid:39)(cid:69)(cid:72)(cid:80)(cid:83)(cid:65)(cid:68)(cid:82)(cid:85)(cid:84)(cid:87)(cid:77)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:78)(cid:81)(cid:84)(cid:87)(cid:0)(cid:3)(cid:79)(cid:82)(cid:70)(cid:73)(cid:0)(cid:3)(cid:45)(cid:48)(cid:65)(cid:68)(cid:84)(cid:87)(cid:72)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:77)(cid:80)(cid:65)(cid:68)(cid:84)(cid:87)(cid:73)(cid:76)(cid:67)(cid:70)(cid:83)(cid:86) (cid:43)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:71)(cid:3)(cid:58)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:78)
(cid:34)(cid:56)(cid:69)(cid:81)(cid:78)(cid:76)(cid:89)(cid:13)(cid:39)(cid:72)(cid:85)(cid:85)(cid:86)(cid:82)(cid:76)(cid:87)(cid:73)(cid:92)(cid:79)(cid:3)(cid:78)(cid:82)(cid:0)(cid:73)(cid:53)(cid:3)(cid:54)(cid:78)(cid:87)(cid:73)(cid:85)(cid:86)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:82)(cid:75)(cid:83)(cid:70)(cid:73)(cid:79)(cid:84)(cid:92)(cid:89)(cid:71)(cid:0)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:0)(cid:84)(cid:72)(cid:69)(cid:0)(cid:46)(cid:69)(cid:71)(cid:69)(cid:86) (cid:44)(cid:81)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:87)(cid:3)(cid:73)(cid:129)(cid:85)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)
(cid:48)(cid:21)(cid:14)(cid:25)(cid:47)(cid:3)(cid:53)(cid:14)(cid:0)(cid:34)(cid:76)(cid:70)(cid:79)(cid:75)(cid:88)(cid:80)(cid:0)(cid:22)(cid:82)(cid:21)(cid:81)(cid:19)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:87) (cid:55)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:81)
(cid:34)(cid:42)(cid:69)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:86)(cid:82)(cid:74)(cid:0)(cid:51)(cid:82)(cid:72)(cid:90)(cid:69)(cid:3)(cid:86)(cid:42)(cid:65)(cid:0)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:20)(cid:20)(cid:17)(cid:59)(cid:16)(cid:43)(cid:21) (cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:88)(cid:83)(cid:87)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:27)(cid:178)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:18)(cid:3)(cid:20)(cid:19)(cid:20)
(cid:41)(cid:56)(cid:83)(cid:82)(cid:46)(cid:65)(cid:69)(cid:76)(cid:3) (cid:20)(cid:19)(cid:23)(cid:19)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:81)
(cid:72)(cid:72)(cid:16)(cid:16)(cid:80)(cid:80)(cid:68)(cid:68)(cid:76)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:29)(cid:29)(cid:3)(cid:3)(cid:71)(cid:80)(cid:68)(cid:79)(cid:81)(cid:35)(cid:92)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:80)(cid:87)(cid:75)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:75)(cid:17)(cid:86)(cid:17)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:74)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:75)(cid:17)(cid:17)(cid:68)(cid:68)(cid:70)(cid:70)(cid:17)(cid:17)(cid:76)(cid:88)(cid:79)(cid:78) (cid:36)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:68)
(cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:88)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:17)(cid:93)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:17)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:68)(cid:87)
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:75)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:71)(cid:17)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:78)(cid:35)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:68)(cid:87)
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:21)(cid:51)(cid:27)(cid:85)(cid:76)(cid:36)(cid:80)(cid:27)(cid:68)(cid:19)(cid:85)(cid:15)(cid:92)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:23)(cid:19)(cid:25)(cid:42)(cid:38)(cid:22)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:15)(cid:22)(cid:3)(cid:23)(cid:20)(cid:26)(cid:38)(cid:37)(cid:23)(cid:24)(cid:24)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:30)(cid:23)(cid:3)(cid:54)(cid:21)(cid:72)(cid:38)(cid:70)(cid:23)(cid:82)(cid:19)(cid:81)(cid:15)(cid:71)(cid:3)(cid:23)(cid:68)(cid:23)(cid:85)(cid:92)(cid:36)(cid:3)(cid:22)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:47)(cid:15)(cid:3)(cid:25)(cid:19)(cid:21)(cid:24)(cid:48)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:23)(cid:26)(cid:19)(cid:36)(cid:15)(cid:3)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:15)(cid:49)(cid:3)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:19)(cid:36)(cid:26)(cid:24)
(cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:44)(cid:51)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:82)(cid:74)(cid:88)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:58)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:39)(cid:17)(cid:38)(cid:17)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:192)(cid:3)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:31)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:71)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:17)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:27)(cid:20)(cid:26)(cid:24)(cid:16)(cid:16)(cid:25)(cid:28)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:178)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:178)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:192)(cid:3)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)
(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:69)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:5)(cid:7)(cid:17)(cid:19)(cid:1)(cid:15)(cid:11)(cid:1)(cid:6)(cid:16)(cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:12)(cid:10)(cid:17)(cid:1)(cid:6)(cid:8)(cid:13)(cid:10)(cid:14)(cid:8)(cid:10)(cid:2)(cid:3)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:18)(cid:18)(cid:1)(cid:4)(cid:10)(cid:9)(cid:13)(cid:7)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:39)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:20)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:16)(cid:16)(cid:28)(cid:25)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:27)(cid:20)(cid:27)(cid:25)(cid:16)(cid:16)(cid:23)(cid:26)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:24)(cid:27)(cid:20)(cid:26)(cid:24)(cid:16)(cid:16)(cid:23)(cid:26)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Editorial Introduction .................................................... ix
R. Abreu-Blaya, J. Bory-Reyes and T. Moreno-Garc´ıa
Teodorescu Transform Decomposition of Multivector Fields
on Fractal Hypersurfaces
1. Introduction ......................................................... 1
2. Preliminaries ........................................................ 3
2.1. Clifford algebras and multivectors .............................. 3
2.2. Clifford analysis and harmonic multivector fields ................ 4
2.3. Fractal dimensions and Whitney extension theorem ............. 5
3. Jump problem and monogenic extensions ............................ 6
4. K-Multivectorial case. Dynkin problem and harmonic extension ...... 9
5. Example ............................................................. 10
5.1. The curve of B. Kats ........................................... 11
5.2. The surface Γ∗ ................................................. 11
5.3. The function u∗ ................................................ 13
5.4. Proof of properties a)···e) ..................................... 13
References ........................................................... 15
F. Brackx, N. De Schepper and F. Sommen
Metric Dependent Clifford Analysis with Applications to Wavelet Analysis
1. Introduction ......................................................... 17
2. The metric dependent Clifford toolbox ............................... 21
2.1. Tensors ......................................................... 21
2.2. From Grassmann to Clifford .................................... 24
2.3. Embeddings of Rm ............................................. 30
2.4. Fischer duality and Fischer decomposition ...................... 32
2.5. The Euler and angular Dirac operators ......................... 36
2.6. Solid g-sphericalharmonics ..................................... 43
2.7. The g-Fourier transform ........................................ 45
3. Metric invariant integration theory .................................. 49
3.1. The basic language of Clifford differential forms ................ 49
vi Contents
3.2. Orthogonalspherical monogenics ............................... 55
3.2.1. The Cauchy-Pompeiu formula ................................ 55
3.2.2. Spherical monogenics ........................................ 57
4. The radial g-Clifford-Hermite polynomials
and associated CCWT ............................................... 59
4.1. The radial g-Clifford-Hermite polynomials ...................... 59
4.2. The g-Clifford-Hermite wavelets ................................ 62
4.3. The g-Clifford-Hermite Continuous Wavelet Transform .......... 63
References ........................................................... 66
P. Dewilde and Sh. Chandrasekaran
A Hierarchical Semi-Separable Moore-PenroseEquation Solver
1. Introduction ......................................................... 69
2. HSS representations ................................................. 71
3. Preliminaries ........................................................ 73
4. HSS row absorption procedure ....................................... 76
Complexity calculation ......................................... 78
5. An HSS Moore-Penrosereduction method ........................... 79
6. Discussion and conclusions ........................................... 83
Acknowledgements .................................................. 84
References ........................................................... 84
D.E. Dutkay and P.E.T. Jorgensen
Methods from Multiscale Theory and Wavelets Applied to Nonlinear Dynamics
1. Introduction ......................................................... 87
2. Connection to signal processing and wavelets ........................ 88
3. Motivating examples, nonlinearity ................................... 90
MRAs in geometry and operator theory ........................ 92
3.1. Spectrum and geometry: wavelets, tight frames, and
Hilbert spaces on Julia sets ..................................... 92
3.1.1. Background .................................................. 92
3.1.2. Wavelet filters in nonlinear models ........................... 95
3.2. Multiresolution analysis (MRA) ................................ 96
3.2.1. Pyramid algorithms and geometry............................ 98
3.3. Julia sets from complex dynamics .............................. 99
4. Main results ......................................................... 100
4.1. Spectral decomposition of covariant representations:
projective limits ................................................ 107
5. Remarks on other applications ....................................... 111
Acknowledgements .................................................. 122
References ........................................................... 122
Contents vii
K. Gustafson
Noncommutative Trigonometry
1. Introduction ......................................................... 127
2. The first (active) period 1966–1972 .................................. 128
3. The second (intermittent) period 1973–1993 ......................... 131
4. The third (most active) period 1994–2005 ............................ 133
5. Related work: Discussion ............................................ 140
6. Noncommutative trigonometry: Outlook ............................. 142
6.1. Extensions to matrix and operator algebras ..................... 143
6.2. Multiscale system theory, wavelets, iterative methods ........... 146
6.3. Quantum mechanics ............................................ 148
References ........................................................... 150
H. Heyer
Stationary Random Fields over Graphs and Related Structures
1. Introduction ......................................................... 157
2. Second-order random fields .......................................... 158
2.1. Basic notions ................................................... 158
2.2. Spatial random fields with orthogonalincrements ............... 159
2.3. The Karhunen representation ................................... 161
3. Stationarity of random fields ......................................... 163
3.1. Graphs, buildings and their associated polynomial structures ... 163
3.1.1. Distance-transitive graphs and Cartier polynomials ........... 163
3.1.2. Triangle buildings and Cartwright polynomials ............... 164
3.2. Stationary random fields over hypergroups ...................... 165
3.3. Arnaud-Letac stationarity ...................................... 168
References ........................................................... 171
M.W. Wong and H. Zhu
Matrix Representations and Numerical Computations of Wavelet Multipliers
1. Wavelet multipliers .................................................. 173
2. The Landau-Pollak-Slepianoperator ................................. 175
3. Frames in Hilbert spaces ............................................. 176
4. Matrix representations of wavelet multipliers ......................... 179
5. Numerical computations of wavelet multipliers ....................... 180
References ........................................................... 182
viii Contents
J. Zhao and L. Peng
Clifford Algebra-valued Admissible Wavelets Associated to More
than 2-dimensional Euclidean Group with Dilations
1. Introduction ......................................................... 183
2. Clifford algebra-valued admissible wavelet transform ................. 184
3. Examples of Clifford algebra-valued admissible wavelets .............. 188
Acknowledgement ................................................... 189
References ........................................................... 189
Quand sur l’Arbrede la Connaissance
une id´eeest assez muˆre, quelle volupt´e
de s’y insinuer, d’y agir en larve,
et d’en pr´ecipiter la chute!
(Cioran, Syllogismes de l’amertume,
[11, p. 145])
Editorial Introduction
Daniel Alpay
This volume contains a selection of papers on the topics of Clifford analysis and
waveletsandmultiscaleanalysis,thelatterbeingunderstoodinaverywidesense.
That these two topics become more and more related is illustrated for instance
by the book of Marius Mitrea [19]. The papers considering connections between
Clifford analysis and multiscale analysis constitute more than half of the present
volume. This is maybe the specificity of this collection of articles, in comparison
with, for instance, the volumes [12], [7], [13] or [18].
The theory of wavelets is mathematically rich and has many practicalappli-
cations. From a mathematical point of view it is fascinating to realize that most,
if not all, of the notions arising from the theory of analytic functions in the open
unit disk (in another language, the theory of discrete time systems) have coun-
terparts when one replaces the integers by the nodes of a homogeneous tree. For
a review of the mathematics involved we recommand the paper of G. Letac [16].
More recently, and motivated by the works of Basseville, Benveniste, Nikoukhah
and Willsky (see [6], [8], [5]) the editor of this volume together with Dan Volok
showedthat one can replace the complex numbers by a C∗-algebrabuilt fromthe
structure of the tree, and defined point evaluations with values in this C∗-algebra
and a corresponding “Hardy space” in which Cauchy’s formula holds. The point
evaluation could be used to define in this context the counterpart of classical no-
tions such as Blaschke factors. See [3], [2]. Applications include for instance the
FBI fingerprint database, as explained in [15] and recalled in the introduction of
the paper of Duktay and Jorgensen in the present volume, and the JPEG2000
image compression standard.
It is also fascinating to realize that a whole function theory, different from
the classical theory of several complex variables, can be developed when (say,
in the quaternionic context) one considers the hypercomplex variables and the
FueterpolynomialsandtheCauchy–Kovalevskayaproduct,inplaceoftheclassical
polynomials inthree independent variables;see [10],[14].Still, a lotof inspiration
can be drawn from the classical case, as illustrated in [1].
x D. Alpay
The volume consists of eight papers, and we now review their contents:
Classical theory: The theory of second order stationary processes indexed by the
nodes of a tree involves deep tools from harmonic analysis; see [4], [9]. Some of
these aspects are considered in the paper of H. Heyer, Stationary random fields
overgraphsandrelatedstructures.TheauthorconsidersinparticularKarhunen–
type representations for stationary random fields over quotient spaces of various
kinds.
Nonlinearaspects:Inthe paperTeodorescutransformdecompositionofmultivec-
torfields onfractal hypersurfacesR.Abreu-Blaya,J.Bory-ReyesandT.Moreno-
Garc´ıa consider Jordan domains with fractal boundaries. Clifford analysis tools
play a central role in the arguments. In Methods from multiscale theory and
wavelets applied to nonlinear dynamics by D. Dutkay and P.Jorgensensome new
applications of multiscale analysis are given to a nonlinear setting.
Numerical computational aspects: In the paper A Hierarchical semi-separable
Moore–Penroseequationsolver,PatrickDewilde andShivkumarChandrasekaran
consider operators with hierarchical semi-separable (HSS) structure and consider
theirMoore–Penroserepresentation.TheHSSformsareclosetothetheoryofsys-
tems on trees, but here the multiresolution really represents computation states.
In the paper Matrix representations and numerical computations of wavelet mul-
tipliers, M.W. Wong and Hongmei Zhu use Weyl–Heisenberg frames to obtain
matrix representations of wavelet multipliers. Numerical examples are presented.
Connections with Clifford analysis: Such connections are studied in the paper
Metric Dependent Clifford Analysis with Applications to Wavelet Analysis by F.
Brackx, N. De Scheppe and F. Sommen and in the paper Clifford algebra-valued
AdmissibleWaveletsAssociatedtomorethan2-dimensionalEuclideanGroupwith
Dilations by J. Zhao and L. Peng, the authors study continuous Clifford algebra
wavelet transforms, and they extend to this case the classical reproducing kernel
property of wavelet transforms; see, e.g., [17, p. 73] for the latter.
Connections with operator theory: G. Gustafson, in noncommutative trigonome-
try, gives an account of noncommutative operator geometry and its applications
to the theory of wavelets.
References
[1] D.Alpay,M.Shapiro,andD.Volok.Rationalhyperholomorphicfunctionsin R4.J.
Funct. Anal.,221(1):122–149, 2005.
[2] D.AlpayandD.Volok.InterpolationetespacedeHardysurl’arbredyadique:lecas
stationnaire. C.R. Math. Acad. Sci. Paris, 336:293–298, 2003.
[3] D. Alpay and D. Volok. Point evaluation and Hardy space on a homogeneous tree.
Integral Equations Operator Theory, 53:1–22, 2005.
[4] J.P. Arnaud. Stationary processes indexed by a homogeneous tree. Ann. Probab.,
22(1):195–218, 1994.
Editorial Introduction xi
[5] M. Basseville, A. Benveniste, and A. Willsky. Multiscale autoregressive processes.
Rapport deRecherche1206, INRIA,Avril1990.
[6] M.Basseville,A.Benveniste,andA.Willsky.Multiscalestatisticalsignalprocessing.
InWaveletsandapplications(Marseille,1989),volume20ofRMARes.NotesAppl.
Math., pages 354–367. Masson, Paris, 1992.
[7] J. Benedetto and A. Zayed, editors. Sampling, wavelets, and tomography. Applied
and Numerical Harmonic Analysis. Birkh¨auser Boston Inc., Boston, MA, 2004.
[8] A.Benveniste,R.Nikoukhah,andA.Willsky.Multiscalesystemtheory.IEEETrans.
Circuits Systems I Fund. Theory Appl., 41(1):2–15, 1994.
[9] W.BloomandH.Heyer.Harmonic analysis of probability measures onhypergroups,
volume20 of de Gruyter Studies in Mathematics. Walter deGruyter & Co., Berlin,
1995.
[10] F. Brackx, R. Delanghe, and F. Sommen. Clifford analysis, volume 76. Pitman re-
search notes, 1982.
[11] E.M. Cioran. Syllogismes de l’amertume. Collection id´ees. Gallimard, 1976. First
published in 1952.
[12] C.E. D’Attellis and E.M. Fern´andez-Berdaguer, editors. Wavelet theory and har-
monic analysis in applied sciences. Applied and Numerical Harmonic Analysis.
Birkha¨userBostonInc.,Boston,MA,1997.Papersfromthe1stLatinamericanCon-
ference on Mathematics in Industry and Medicine held in Buenos Aires, November
27–December 1, 1995.
[13] L. Debnath. Wavelet transforms and their applications. Birkh¨auser Boston Inc.,
Boston, MA,2002.
[14] R. Delanghe, F. Sommen, and V. Sou˘cek. Clifford algebra and spinor valued func-
tions, volume 53 of Mathematics and its applications. Kluwer Academic Publishers,
1992.
[15] M.W. Frazier. An introduction to wavelets through linear algebra. Undergraduate
Textsin Mathematics. Springer-Verlag, New York,1999.
[16] G.Letac.Probl`emesclassiquesdeprobabilit´esuruncoupledeGel(cid:1)fand.InAnalytical
methods in probability theory (Oberwolfach, 1980), volume 861 of Lecture Notes in
Math., pages 93–120. Springer,Berlin, 1981.
[17] S. Mallat. Une exploration des signaux en ondelettes. Les ´editions de l’E´cole Poly-
technique,2000.
[18] Y.Meyer,editor. Wavelets and applications, volume20 of RMA: Research Notes in
Applied Mathematics, Paris, 1992. Masson.
[19] M. Mitrea. Clifford wavelets, singular integrals, and Hardy spaces, volume 1575 of
Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1994.
Daniel Alpay
Department of Mathematics
Ben–Gurion Universityof theNegev
POB 653
Beer-Sheva84105, Israel
e-mail: dany@math.bgu.ac.il
