Table Of Content

l l - ecto GGaabbrriieell VVeerraa BBoottíí e ibris Vaarriiaabbllee Ccoommpplleejjaa problleemmaass yy ccoommpplleemmeennttooss s o i r a s t a i s c r i et á v m i n e u t a s m o t x e t 3 Gabriel Vera Botí Últimos títulos publicados en esta serie hasido catedrático deanálisis matemático en 1. B. Cascales, J.M. Mira, J. Orihuela, la Universidad deMurcia. En M. Raja 1972 se doctoró en Ciencias Análisis funcional (Sección deMatemáticas) por la Universidad Complutense, 2. V. Calvo, A.Peris, F. Rodenas dondepermaneció desde 1968 Diagonalización y cálculo hasta 1976. Su labor docente multivariable con Mathematica se inició en este periodo del queproceden los tres volúmenesde la obra Problemas de análisis matemático quepublicó en colaboración con F. Bombal y L. Rodriguez. En Septiembrede 1976 se incorporó a la Universidad deMurcia y comenzó a dirigir proyectosde investigación financiados porel Estado Español. Susprincipales investigaciones se han centrado en la integración vectorial y su relación con los espacios de Banach. En este campo ha publicadotrabajos originales y dirigido varias tesis doctorales. Durantesu larga trayectoria docente se haocupado, entreotras, de las enseñanzas deanálisis complejo y análisis matemático II. En Open Course Ware, (ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii) ha publicadoLecciones de análisis matemático II yen su página personal (webs.um.es/gvb/) ha difundidodiverso material docentesobre análisis complejo y topología. Su dirección electrónica es [email protected]. Primera edición l - ecto e ibris Comité editorial de la Real Sociedad Matemática Española Guillermo Curbera, Miguel Ángel Revilla (directores), Manuel Abellanas, Sergio Amat, David Arcoya,José Bonet, Rafael Crespo, Guadalupe Gómez, Clara Grima, Elvira Mayordomo,Vicente Muñoz, Rafael Sendra y Elena Vázquez Editor por Ediciones e-LectoLibris Bernardo Cascales A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010): 30-01, 30Axx, 30Bxx, 30Cxx, 30Dxx, 30Exx Código IBIC: PBKD Código CDU: 517, 515.1 Diseño de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval, Ana Martínez Martínez y Ediciones Electolibris S.L. Diseño y composición: Ediciones Electolibris S.L. Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern Fonts, Lucida Handwriting, y Helvetica c Gabriel Vera Botí (cid:13) c Ediciones Electolibris, S. L. (2013) (cid:13) C.I.F. B-73749186 Pablo Neruda, 7 30820 Murcia (España) www.electolibris.es c Real Sociedad Matemática Española (R.S.M.E.) (cid:13) C.I.F. G-28833523 Todos los derechos reservados. Queda prohibida,salvoexcepción previstaen la Ley, sin la autorizaciónpor escrito delostitularesdeloscorrespondientesderechosdelapropiedadintelectualodesus cesionarios,cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y modificación, parcial o total, en cualquier tipo de soporte o medio de esta obra. No obstante, los propietarios del Copyright de este libro digital autorizan a los compradores individuales del mismo a realizar copias impresas de él para su uso personal. e-ISBN: 978-84-940688-4-3 Depósito legal: MU 965-2013 LosdosproductosidentificadosporsusrespectivosISBNmásabajo,publicados por Ediciones Electolibris S.L., tienen por título Variable compleja: problemas y complementos y autor Gabriel Vera Botí. ISBN: 978-84-940688-3-6 Versión en papel: libro de problemas, con introduc- ciones teóricas y problemas resueltos. eISBN: 978-84-940688-4-3 Versión en formato digital PDF con una pequeña parte de los problemas de 978-84-940688-3-6resueltos y: sistema de navegación interno e hipervínculos internos para referencias cru- zadas, índices y lista bibliográfica; hiperenlaces de acceso para lectura complementaria en internet (requiere acceso a internet); hiperenlacesdeaccesoparalassolucionesdetodoslosproblemasresueltosen 978-84-940688-3-6 a travésde aplicación web (requiereacceso a internet). trescapítulos no incluidosen 978-84-940688-3-6, con susrespectivos resúme- nesteóricosyproblemasresueltosatravésdeaplicación web(requiereacceso a internet). Ediciones Electolibris S.L. no posee el Copyright de algunas de las imágenes queaparecenenestaobra.Hemosutilizadotodosnuestrosmediosparaasegurarnos más allá de la duda razonable que estas imágenes son de dominio público. Si cree que usted tiene derechos sobre alguna de dichas imágenes, por favor, contacte con [email protected] trataremosde eliminarlao de referir la fuente adecuada- mente. Imágenes incluidas: Cubierta: http://groups.csail.mit.edu/medg/people/doyle/gallery/cauchy/ Iconosolución: Jana Jakeschov, http://openclipart.org/detail/2263/write-by-machovka Iconoaltavoz: Lemmling, openclipart.org/detail/17685/cartoon-speaker-by-lemmlin Puede obtener información adicional sobre esta obra y otras publicadas por Ediciones Electolibris S.L. en Acceso a la página web de la r.s.m.e. La solución Acceso a la incluyeuna solución de un grabación devoz ejercicio Información e-LectoLibris sobre nuevas en facebook versiones dela obra Acceso al correo e-LectoLibris en electrónico twitter Acceso a la página web de e-LectoLibris Pestañasde accesoa capítulos:en colorintenso elcapítulo actual 1. Espacios de Hilb 1. EspaciosdeHilbert 1 os 11..12..111...132EE... EEEsssjsppeppmaaaaccpiilooccosssiidnoodeoerssBmesaapdnndaaoceocsihordÍs.enmd.dde.iimBac.aeedn.nasg.oicóhe.nsn..fie..nri..ata..l...co...n... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11481 Hiperivíntnecrunlos 1.3. Ejemplos de hipervínculosinternos Laurent Schwartz (1915–2002) brillante matemático francés Laurent Schwartz (1915–2002) dialmentecborilnlanotecmidatoempátiocorfrancés Índice decapítuloscon dialmenteconocidoporhab ría de distrríaibdeudcisitoribnueciosn,es,[1[133 hipervínculosinternos y [62]. La idea de derivada y [62]. Lavéiadsee(1a.23)d,equedyaeerstiavbaada Sobolev,encuentrasumarco véase (1.23), que ya estaba espaciosdelasdistribuciones Sobolev, enquceuseednefitnreancosmuoemspaacirosco situaciones adecuapadcioasdsefcunocionnedsiunficnietanmen espacios deconlaunsacdieirtsattropibolougíca.iones distribuciones le supustroabaajarcSoncdherivadasgeneralizadas trarsolucionesdébilesparaalgunasecuaciones la MedquaelenlasituFaciioenelsdadsecu(a1da9sc5on0d)uc;enasoluciones dedistribucioneslesupusoaSchwartzelpremio págmiantemaátwicaseqbueedsleaMleadalIlanFtieeldrsn(19a50t);icoomnoagllosa leerenlapáginawebdelaInternationalMathematical otorogrgaanizlaaciósnqmueeotdorgaallalsamsed,alllaos,losisigguuienitee:n“Schwartz ofdistributions,anewnotionofgeneralize 1.1. Espacios1d.1.eEsBpacaionsdaecBanach distributionst,heaDirancedewlta-funncotiotnioofntheoorefticalphysics”. 1.2. Espaciosnormadosdedimensión 1.2. Espacios1n.3.oErjemmpalosddoeesspaciosdeBanac delta-function of theorHeiptiecrenlaceexternos 1.4. EspaciosdeHilbert 1.3. Ejemplos de espacios 1.5. Mejoraproximación.Teorema 1.4. Espacios de Hilb Ejercicio1.15. sumDemauebstreleque;si J es numerable quivalentes: a) j∈Jzj essumable; c0.c.0.................... b+) !∞n=1|zσ(.n)|<+∞. ......................1....4..3.......124c8300cd.0(0.x,..S...)...................... .......28 d(x,S)... ! ...............28 spanA......... Ejercicio1.16. Sea{∞znk:(n,k)∈N×N}⊂ Cuna ..................................22..88........23s80pa(HnDA()D.)............A... ................14 ................30 aglomeración,pun ...............38 aplicaciónlineal Accesoa la soluciónde un problema enla web Índice terminológicocon hipervínculosa páginas En un verso de ocho sílabas ¿qué no cabrá, si en una y tan sólo en ella cabe el mar? Ocho sílabas son muchas para cantar. Me basta una que tenga por dentro el mar. Rafael Alberti. Dedicado a Marisa, Marcos y María, que también llevan dentro el mar. Prólogo 1 Cómo hacerlo 5 1. Los números complejos 13 1.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Módulo, argumento y conjugado, 14. — Exponenciales, logaritmos yraíces,15.—Sumacióndefamiliasnumerablesyseriesdobles,16. — Complementos sobre familias sumables, 18. 1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Sobre módulo, argumento y conjugado, 22. — Ejercicios con poli- nomios complejos, 23. — Sobre familias sumables, 24. 1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2. Topología y geometría en el plano complejo 30 2.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Compacidad y conexión, 31. — Transformaciones de Möbius, 34. — Representaciones gráficas, 36. 2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Geometría analítica con coordenadas complejas conjugadas, 37. — Transformaciones de Möbius y geometría, 42. — Otras transformaciones. La transformación de Joukowski, 45. — Complementos sobrelaesferadeRiemann,48.—Complementossobrecompacidad y conexión, 50. 2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 vii viii Índice general 3. Funciones de variable compleja 55 3.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Lasfuncioneselementales,56.—Multifuncionesyladeterminación desusramas,58.—Funcionesholomorfas,60.—Transformaciones conformes, 64. 3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sobrela determinaciónde ramas,68. — Propiedadesde lasfuncio- nes elementales, 73. — Funciones holomorfas y transformaciones conformes, 76. — Complementos, 80. 3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4. Series de potencias 83 4.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Convergenciauniforme,84.—Seriesdepotencias,85.—Funciones analíticas. Ceros y principio de identidad, 91. 4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones, 93. — Conver- gencia uniforme de series de potencias, 94. — Desarrollos de funciones concretas, 98. — Funciones definidas por series de potencias,105.— Cerosyprincipiodeidentidad,107.— Complementos sobrefunciones analíticas,108. — Complementossobrepuntossin- gulares, 111. 4.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. Versión elemental de los teoremas de Cauchy 115 5.1. Preliminares teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Integralde camino,116.— LosteoremasdeCauchyenversiónele- mental, 119. — Las primeras consecuencias. Teoremas de Morera, Liouville y Weierstrass, 121. 5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Ejercicios con la integral de camino, 124. — Cálculo de integra- les con desarrollos de Laurent, 125. — Aplicaciones de los teoremas de Cauchy, 128. — Ejercicios que usan la fórmula integral de Cauchy, 132. — Desigualdades de Cauchy y teorema de Liouvi- lle, 137. — Complementos sobre funciones definidas por integra- les, 140.