Tietotekninen algebra [lecture notes]

82 Pages·2012·0.519 MB·Finnish

by  Vesa Halava

Tietotekninen algebra
Vesa Halava
Luentomoniste
Turun yliopisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
20014 Turku
2012
Sis(cid:228)lt(cid:246)
1 Kertausta: matriisit ja lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t 1
1.1 Matriisit ja niiden operaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Elementaariset vaakarivioperaatiot . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 K(cid:228)(cid:228)nteismatriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Determinantit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Matriisit Matlab-ohjelmalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Vektoriavaruudet 17
2.1 Vektoriavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 n-ulotteinen reaaliavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Aliavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Lineaarikombinaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Lineaarinen riippumattomuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Vektoriavaruuden kanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Matriisin aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Kannanvaihto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Vektorijoukon ortogonalisointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Ominaisarvot ja lineaarikuvaukset 43
3.1 Ominaisarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Lineaarikuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Lineaarikuvauksen matriisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Similaariset matriisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Matriisien diagonalisointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Ryhm(cid:228)teoriaa 62
4.1 Ryhm(cid:228)n m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) ja esimerkkej(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Kokonaisluvut ja j(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)sluokat . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Aliryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Ryhm(cid:228)n generointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Aliryhm(cid:228)n sivuluokat ja Lagrangen lause . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Normaali aliryhm(cid:228) ja tekij(cid:228)ryhm(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . 78
Alkusanat
T(cid:228)ll(cid:228) kurssilla k(cid:228)sitell(cid:228)(cid:228)n abstraktin algebran perusasioita. Tarkastelussa
p(cid:228)(cid:228)paino on lineaarialgebran eli vektoriavaruuksien teorialla sek(cid:228) matriisien
teorialla. Lis(cid:228)ksi k(cid:228)sitell(cid:228)(cid:228)n ryhm(cid:228)teorian alkeita ja t(cid:228)ss(cid:228) yhteydess(cid:228) my(cid:246)s
lukuteorian perusasioita.
Abstraktin algebran rakenteilla on monia sovelluksia nykyaikaisessa ti-
etotekniikassa. Jo pelk(cid:228)st(cid:228)(cid:228)n matriisit ja vektorit ovat osa algoritmien, ni-
iden suunnittelun ja implementoinnin perusk(cid:228)sitteist(cid:246)(cid:228). Esimerkiksi graa(cid:28)-
sissa sovelluksissa ns. vektoriavaruuksien ominaisuudet kuten kanta ja niihin
liittyv(cid:228)t kannanvaihtomatriisit ovat k(cid:228)yt(cid:246)ss(cid:228). Ryhm(cid:228)teorialla taas on sovel-
luksia esimerkiksi kryptogra(cid:28)assa.
T(cid:228)h(cid:228)n vuoden 2012 versioon lis(cid:228)tty osioita, joissa k(cid:228)sitell(cid:228)(cid:228)n laskemista
Matlab-ohjelman avulla.
Kirjallisuutta (kurssin tueksi [t] tai jatkoksi [j]):
F. R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Chelsea Publishing, 1959.
[t/j]
J.vonzurGathen,J.Gerhard,Modern Computer Algebra,Cambridge,
2003. [j]
W. H. Greub, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1974. [t/j]
E. Jurvanen, Tietotekninen algebra, Turun yliopisto, 2006. [t]
M. Koppinen, Lineaarialgebra, osat 1 ja 2, Turun yliopisto, 2006. [t]
S. Lang, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1971. [t/j]
T.M(cid:228)kel(cid:228),Matlab,https://sites.google.com/site/laskenta/matlab.
E.Neuman,UsingMatlabinLinearAlgebra,http://www.math.siu.edu
/matlab/tutorial3.pdf
1
1 Kertausta: matriisit ja lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t
1.1 Matriisit ja niiden operaatiot
Kerrataan aluksi matriisin m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228).
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.1. Kaaviota
 
a a ... a
11 12 1n
 a21 a22 ... a2n 
A =  .. .. .. ,
 . . . 
a a ... a
m1 m2 mn
jossa on m vaakarivi(cid:228) ja n pystyrivi(cid:228), kutsutaan m × n -matriisiksi tai
tyyppi(cid:228) m×n olevaksi matriisiksi. Jos matriisin alkiot a ∈ R kaikilla
ij
1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n, niin matriisia A kutsutaan my(cid:246)s reaalimatriisiksi.
T(cid:228)ll(cid:228)kurssillatarkastellaanreaalimatriisienlis(cid:228)ksimy(cid:246)s(ominaisarvojen
yhteydess(cid:228)) kompleksilukumatriiseja , joiden alkiot ovat luonnollisesti
kompleksilukuja.
Matriisin i:nnen vaakarivin j:s alkio a on matriisin A kohdassa (i,j)
ij
oleva alkio. Matriisi A kirjoittetaan joskus my(cid:246)s muodossa
A = (a ) = A = (a ) .
ij m×n ij m×n
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.2. Matriisia, jossa m = n, siis vaakarivej(cid:228) ja pystyrivej(cid:228) on
yht(cid:228) monta, kutsutaan neli(cid:246)matriisiksi. Olkoon A = (a ) .
ij n×n
1. Neli(cid:246)matriisin alkiot a , ..., a , ovat ns. diagonaalialkiot.
11 nn
2. Neli(cid:246)matriisi on yl(cid:228)kolmiomatriisi, jos a = 0 kun i > j (diago-
ij
naalin alapuolella pelkki(cid:228) nollia).
3. Neli(cid:246)matriisia I = (a ), miss(cid:228)
ij
(cid:40)
1, jos i = j,
a =
ij
0, muulloin,
kutsutaan identiteettimatriisiksi.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.3. Nollamatriisi 0 on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat
nollia, ts. 0 = (0)
m×n
Palautetaan seuraavaksi mieleen matriisien keskeiset operaatiot.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.4. Matriisin A = (a ) transpoosi on matriisi AT =
ij m×n
(a ) .Ts.matriisintranspoosisaadaanmatriisistavaihtamallavaakarivit
ji n×m
pystyriveiksi,j(cid:228)rjestyss(cid:228)ilytt(cid:228)en.Tyyppi(cid:228)m×nolevanmatriisintranspoosi
on siis tyyppi(cid:228) n×m.
1.1 Matriisit ja niiden operaatiot 2
Seuraavaksi m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n matriisien summa, erotus ja reaaliluvulla ker-
tominen. Huomaa, ett(cid:228) matriisien summassa ja erotuksessa matriisien pit(cid:228)(cid:228)
olla samaa tyyppi(cid:228).
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.5. Olkoon A = (a ) ja B = (b ) , ja r ∈ R.
ij m×n ij m×n
1. A+B = (a +b ) ,
ij ij m×n
2. A−B = (a −b ) , ja
ij ij m×n
3. rA = Ar = (ra ) .
ij m×n
Matriisientulossataasensimm(cid:228)isenmatriisinpystyrivinlukum(cid:228)(cid:228)r(cid:228)npit(cid:228)(cid:228)
olla sama kuin toisen matriisin vaakarivien lukum(cid:228)(cid:228)r(cid:228)n.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.6. Olkoon A = (a ) ja B = (b ) . Matriisien A ja
ij m×n ij n×p
B tulo A·B = AB = (c ) , miss(cid:228)
ij m×p
n
(cid:88)
c = a b
ij ik kj
k=1
= a b +a b +...+a b .
i1 1j i2 2j in nj
Tulomatriisin AB kohdan (i,j) alkio saadaan siis kertomalla matriisin
A i:nnen vaakarivin alkiot matriisin B j:nnen pystyrivin vastaavilla alkioilla
ja laskemalla saadut tulot yhteen. Huomaataan my(cid:246)s, ett(cid:228) tyyppi(cid:228) m×n ja
n×p olevien matriien tulomatriisi on tyyppi(cid:228) m×p.
Esimerkki 1.7. Merkit(cid:228)(cid:228)n
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
3 −1 1 0 1 −1 1 −1
A = , B = , C = .
1 0 2 2 0 1 2 0
Nyt summa A+C ei ole m(cid:228)(cid:228)ritelty, kuten ei my(cid:246)sk(cid:228)(cid:228)n tulo AC. Seuraavat
matriisit taas ovat m(cid:228)(cid:228)riteltyj(cid:228):
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
3 0 0 3 −3
A+B = , 3C = ,
3 0 3 6 0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 −1 −1 1 2
CA = , CT = .
6 −2 2 −1 0
Seuraavassalauseessakerrataanmatriisienperuslaskutoimitustenkeskeiset
laskulait.
Lause 1.8. Matriisilaskutoimituksille ovat voimassa mm. seuraavat lasku-
s(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)t:
1. A+B = B+A,
2. (A+B)+C = A+(B+C),
1.2 Elementaariset vaakarivioperaatiot 3
3. A(BC) = (AB)C,
4. A(B+C) = AB+AC,
5. (A+B)C = AC+BC,
6. (rs)A = r(sA),
7. r(AB) = (rA)B = A(rB),
8. (r+s)A = rA+sA,
9. r(A+B) = rA+rB,
miss(cid:228) A, B, C ovat kussakin kohdassa sellaisia matriiseja, ett(cid:228) laskutoimi-
tukset ovat m(cid:228)(cid:228)riteltyj(cid:228), ja r, s ∈ R.
Todistus. Sivuutetaan.
Huomautus 1.9. Yleens(cid:228) AB (cid:54)= BA; ts. matriisitulo ei kommutoi.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.10. Neli(cid:246)matriisilleAm(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)npositiivisetpotenssitAn
(n ≥ 0) luonnollisella tavalla:
A0 = I, A1 = A, Ak+1 = AkA (k ≥ 1).
1.2 Elementaariset vaakarivioperaatiot
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.11. Tyyppi(cid:228) m × n olevaa matriisia P sanotaan redu-
soiduksi porrasmatriisiksi (lyh. RPM), jos jollakin luvulla r (0 ≤ r ≤ m)
seuraavat ehdot ovat voimassa.
1. Jokaisella r ensimm(cid:228)ist(cid:228) vaakarivist(cid:228) on ainakin yksi nollasta poikkea-
va alkio, ja viimeiset m−r vaakarivi(cid:228) koostuvat pelk(cid:228)st(cid:228)(cid:228)n nollista.
2. Jokaisella r ensimm(cid:228)ist(cid:228) vaakarivist(cid:228) vasemmalta ensimm(cid:228)inen nol-
lasta poikkeava alkio on 1. T(cid:228)t(cid:228) ykk(cid:246)st(cid:228) sanotaan rivin johtavaksi
ykk(cid:246)seksi.
3. Jos vaakarivin i johtava ykk(cid:246)nen on kohdassa (i,j ), niin j < j <
i 1 2
... < j .
r
4. Johtavien ykk(cid:246)sten yl(cid:228)- ja alapuolella on pelk(cid:228)st(cid:228)(cid:228)n nollia.
Esimerkki 1.12. Matriisi
 
0 1 0 0 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗
 0 0 1 0 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 
 
 0 0 0 1 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 
 
 0 0 0 0 0 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 
 
 0 0 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.3 Lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t 4
on tyyppi(cid:228) 7×12 oleva redusoitu porrasmatriisi, miss(cid:228) r = 6. (Symboli ∗
voidaan korvata mill(cid:228) tahansa luvulla.)
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.13. Matriisin elementaariset vaakarivioperaatiot ovat
seuraavat.
1. Vaihdetaan kahden vaakarivin paikkaa.
2. Kerrotaan jonkin vaakarivin kaikki alkiot nollasta poikkeavalla vakiol-
la.
3. Lis(cid:228)t(cid:228)(cid:228)njokinvaakarivivakiollakerrottunajohonkintoiseenvaakarivi-
in.
Elementaarisetvaakarivioperaatioden-menetelm(cid:228)oneritt(cid:228)ink(cid:228)ytt(cid:246)kelpoinen
matriisien muunnosmenetelm(cid:228) kuten kurssin kuluessa tullaan huomaamaan.
JosmatriisistaAvoidaanelementaaristenvaakarivioperaatioidenavullamuun-
taan matriisiksi B (ja toisin p(cid:228)in) sanotaan, ett(cid:228) matriisit A ja B ovat
vaakariviekvivalentit, ja merkit(cid:228)(cid:228)n A ∼ B.
Lause 1.14. Jokainen matriisi voidaan elementaarisilla vaakarivioperaa-
tioilla muuntaa redusoiduksi porrasmatriisiksi.
Todistus. Sivuutetaan.
Seuraus 1.15. Jokainen neli(cid:246)matriisi voidaan elementaarisilla vaakarivi-
operaatioilla muuntaa 1) identiteettimatriisiksi tai 2) matriisiksi, jonka alin
vaakarivi on nollarivi.
Todistus. V(cid:228)iteseuraaedellisest(cid:228)lauseesta.Josr = n,niinjokaisellavaakariv-
ill(cid:228)onjohtavaykk(cid:246)nen,jotenRPMonidentiteettimatriisi.MuulloinRPM:ss(cid:228)
on selv(cid:228)sti nollarivi.
 
3 1 1 0
Esimerkki 1.16. Muunnetaan matriisi  2 2 2 2 elementaarisilla
−2 4 3 1
vaakarivioperaatioilla RPM:ksi.
1.3 Lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.17. Lineaarisessa yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228) on joukko yht(cid:228)l(cid:246)it(cid:228)

a x + a x + ... + a x = b
 11 1 12 2 1n n 1

 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
 .


 a x + a x + ... + a x = b
m1 1 m2 2 mn n m
1.3 Lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t 5
miss(cid:228)a ∈ Rjab ∈ Rovatvakioita(siislukuja)jatermitx ovatmuuttujia,
ij i j
kun 1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n. Merkit(cid:228)(cid:228)n
     
a ... a x b
11 1n 1 1
A = (a ) =  .. .. , X =  .. , B =  .. .
ij m×n  . .   .   . 
a ... a x b
m1 mn n m
Edellinen yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228) voidaan nyt esitt(cid:228)(cid:228) matriisitulon avulla muodossa
AX = B.
Luvut c ,c ,...,c ovat lineaarisen yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)n ratkaisu, jos sijoitus x =
1 2 n 1
c , x = c , ..., x = c toteuttaa yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)n, ts.
1 2 2 n n
 
c
1
A ..  = B.
 . 
c
n
Lineaarista yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)(cid:228) ratkaistaessa riitt(cid:228)(cid:228) k(cid:228)ytt(cid:228)(cid:228) seuraavia kolmea
operaatiota, jotka eiv(cid:228)t muuta ratkaisua.
1. Vaihdetaan kahden yht(cid:228)l(cid:246)n paikkaa.
2. Kerrotaan jokin yht(cid:228)l(cid:246) nollasta eroavalla vakiolla.
3. Lis(cid:228)t(cid:228)(cid:228)n jokin yht(cid:228)l(cid:246) vakiolla kerrottuna johonkin toiseen yht(cid:228)l(cid:246)(cid:246)n.
Huomaa, ett(cid:228) vastaavat operaatiot matriiseilla ovat juuri elementaariset
vaakarivioperaatiot.Yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)AX = Bvoidaankinratkaistaansiten,et-
t(cid:228) se esitet(cid:228)(cid:228)n matriisimuodossa (A B), joka muunnetaan redusoiduksi por-
rasmatriisiksi. Redusoidusta porrasmatriisi muodosta yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)nratkaisu
onhelppolukea.N(cid:228)inkuvattuaratkaisualgoritmiakutsutaanGaussinelim-
inointimenetelm(cid:228)ksi.
Esimerkki 1.18. Ratkaistaan yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)

− x − x + x = 0
 2 3 4

 x + x + x + x = 6
1 2 3 4 .
3x + x − 2x + 2x = 3
 1 2 3 4

 2x + 4x + x − 2x = −1
1 2 3 4
Esitet(cid:228)(cid:228)n yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228) matriisimuodossa AX = B ja muodostetaan ma-
triisi
 
0 −1 −1 1 0
 1 1 1 1 6 
(A B) =  .
 3 1 −2 2 3 
2 4 1 −2 −1
1.3 Lineaariset yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)t 6
Vaihdetaan ensin kahden ensimm(cid:228)isen vaakarivin paikkaa, jolloin saadaan
matriisi
   
0 −1 −1 1 0 1 1 1 1 6
 1 1 1 1 6   0 −1 −1 1 0 
  ∼ ,
 3 1 −2 2 3   3 1 −2 2 3 
2 4 1 −2 −1 2 4 1 −2 −1
jossa on kohdassa (1,1) nollasta poikkeava alkio. Kertomalla tarvittaessa
sopivalla vakiolla saadaan t(cid:228)h(cid:228)n kohtaan aina ykk(cid:246)nen. Lis(cid:228)(cid:228)m(cid:228)ll(cid:228) ensim-
m(cid:228)inenvaakarivisopivillavakioillakerrottunamuihinvaakariveihin,saadaan
ensimm(cid:228)isen pystyrivin muiksi alkioiksi nollat:
   
1 1 1 1 6 1 1 1 1 6
 0 −1 −1 1 0   0 −1 −1 1 0 
  ∼ .
 3 1 −2 2 3   0 −2 −5 −1 −15 
2 4 1 −2 −1 0 2 −1 −4 −13
Kerrotaantoinenvaakariviluvulla−1jalis(cid:228)t(cid:228)(cid:228)nsesopivillavakioillakerrot-
tunamuihinvaakariveihin,niinett(cid:228)saadaantoisenpystyrivinmuiksialkioik-
si nollat:
     
1 1 1 1 6 1 1 1 1 6 1 0 0 2 6
 0 −1 −1 1 0   0 1 1 −1 0   0 1 1 −1 0 
  ∼  ∼ .
 0 −2 −5 −1 −15   0 −2 −5 −1 −15   0 0 −3 −3 −15 
0 2 −1 −4 −13 0 2 −1 −4 −13 0 0 −3 −2 −13
Jakamallakolmasvaakarivillaluvulla−3jalis(cid:228)(cid:228)m(cid:228)ll(cid:228)saatuvaakarivij(cid:228)lleen
muihin vaakariveihin sopivilla vakioilla kerrottuna saadaan
     
1 0 0 2 6 1 0 0 2 6 1 0 0 2 6
 0 1 1 −1 0   0 1 1 −1 0   0 1 0 −2 −5 
  ∼  ∼ .
 0 0 −3 −3 −15   0 0 1 1 5   0 0 1 1 5 
0 0 −3 −2 −13 0 0 −3 −2 −13 0 0 0 1 2
Lis(cid:228)(cid:228)m(cid:228)ll(cid:228) lopuksi viimeinen vaakarivi sopivilla vakioilla kerrottuna muihin
saadaan matriisi
   
1 0 0 2 6 1 0 0 0 2
 0 1 0 −2 −5   0 1 0 0 −1 
  ∼ ,
 0 0 1 1 5   0 0 1 0 3 
0 0 0 1 2 0 0 0 1 2
mist(cid:228) ratkaisu x = 2, x = −1, x = 3, x = 2 on helppo lukea.
1 2 3 4
Lause 1.19. Jos homogeenisessa lineaarisessa yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)ss(cid:228)

a x + a x + ... + a x = 0
 11 1 12 2 1n n

 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.
.
 .


 a x + a x + ... + a x = 0
m1 1 m2 2 mn n
on v(cid:228)hemm(cid:228)n yht(cid:228)l(cid:246)it(cid:228) kuin tuntemattomia, ts. m < n, niin yht(cid:228)l(cid:246)ll(cid:228) on
aina my(cid:246)s ep(cid:228)triviaali ratkaisu (x ,...,x ) (cid:54)= (0,0,...,0).
1 n
1.4 K(cid:228)(cid:228)nteismatriisi 7
Todistus. Muunnetaan yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)n kertoimien matriisi RPM:ksi. Koska
m < n, on t(cid:228)ss(cid:228) RPM:ss(cid:228) johtavia ykk(cid:246)si(cid:228) v(cid:228)hemm(cid:228)n kuin tuntematto-
mia. Siis jotakin muuttujaa vastaavalla pystyrivill(cid:228) ei ole johtavaa ykk(cid:246)st(cid:228).
T(cid:228)llaista pystyrivi(cid:228) vastaavan muuttujan arvo voidaan valita vapaasti.
Esimerkki 1.20. Ratkaistaan yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)
(cid:26)
x − x + 2x = 0
1 2 3 .
3x + x + 4x = 0
1 2 3
1.4 K(cid:228)(cid:228)nteismatriisi
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.21. Neli(cid:246)matriisin A k(cid:228)(cid:228)nteismatriisilla tarkoitetaan
sellaista matriisia B, ett(cid:228)
AB = I = BA.
Jos k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi on olemassa, siit(cid:228) k(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n merkint(cid:228)(cid:228) A−1(= B). Jos
matriisilla A on k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi, niin sanotaan, ett(cid:228) A on s(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)llinen tai
k(cid:228)(cid:228)ntyv(cid:228).
On selv(cid:228)(cid:228), ett(cid:228) jos A on tyyppi(cid:228) n×n oleva s(cid:228)(cid:228)nn(cid:246)llinen matriisi, niin
sen k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi A−1 on tyyppi(cid:228) n×n.
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 5 3 −5
Esimerkki 1.22. Matriisin k(cid:228)(cid:228)nteismatriision ,sil-
1 3 −1 2
l(cid:228)
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
2 5 3 −5 1 0 3 −5 2 5
= = .
1 3 −1 2 0 1 −1 2 1 3
Esimerkki 1.23. Olkoon A neli(cid:246)matriisi, jonka yksi pystyrivi on nollar-
ivi. T(cid:228)ll(cid:246)in matriisilla A ei ole k(cid:228)(cid:228)nteismatriisia. Nimitt(cid:228)in, olipa B mik(cid:228)
tahansa matriisi, matriisitulossa BA yksi pystyrivi on nollarivi, joten t(cid:228)m(cid:228)
tulomatriisi ei voi olla identiteettimatriisi mill(cid:228)(cid:228)n matriisilla B. Vastaava
p(cid:228)(cid:228)ttely voidaan tehd(cid:228) my(cid:246)s matriiseille, joissa yksi vaakarivi on nollarivi.
Esimerkki 1.24. Tarkastellaan m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)n 1.17 lineaarista yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228)(cid:228)
AX = B, kun m = n. Jos matriisilla A on k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi ja matriisi A−1
tunnetaan, voidaan yht(cid:228)l(cid:246)ryhm(cid:228) ratkaista matriisikertolaskulla:
X = IX = (A−1A)X = A−1(AX) = A−1B.
Lause 1.25. Jos A ja B ovat matriiseja, joilla on k(cid:228)(cid:228)nteismatriisit A−1 ja
B−1, niin my(cid:246)s matriisilla AB on k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi, nimitt(cid:228)in B−1A−1.
Yleisemmin, jos A (i = 1,...,k) ovat matriiseja, joilla on k(cid:228)(cid:228)nteisma-
i
triisit A−1, niin my(cid:246)s matriisilla A ...A on k(cid:228)(cid:228)nteismatriisi, nimitt(cid:228)in
i 1 k
matriisi A−1...A−1.
k 1