Textes mathématiques de Suse

205 Pages·1961·7.991 MB·French

by  E. M. Bruins, M. Rutten

1'1 BIBLIOTHECA ORIENTALlS XXI N° 1/2, Januari-Maart 1964
f);ISS bei dem Vergleich der gnostischen Schriften mit 1961: ed. M. Malinine. H. eh. Puech, G. Qu:spd, \V.
.l'llen PlotIns in Zandees Untersuchung die 1. Schrift Till; S. VIII. Anm. 2). dass die Selten 59-62 der }bnd
l
d~s Codex Jung einen so auffälligen Sonderplatz ein schrift noch fehlen. Die vier inZWischen Im Kopuschen
nimmt, kommt - wenn ich recht sehe - nicht etv:a da l'vIuseum noch aufgefundenen und veröffentlichten Selten
h~r, dass der Verfasser eben seine spezielle Aufmerksam (leiderbeschädigt)stellen wahrscheinhch die Selten S3-S1
k~it dlesn unveröffentlichten Schrift zugewandt hätte. und sicher nie Selten 85-86 vor. während auf T;.d. 23-2b
S'llllkrn h:lt seinen sachlichen Grund vielmehr in dem bei Lablb die SeIlen 60, 59. 62 und 61 da Handschrtft
Ei~Jellch;uakter dieser Schrift. Die lakonische Bemer wieder~leg,~bL'nsind. In der Zuweisung der auf den T.l
kun~j: ..m<lking use of these writings [Na~J Hammadi feIn 27-16 bei Lablb abgebildeten Bruchstücke an dIe
FundI, p<trticularly of the 1th treatise of the Jung Co Seiten 63-70 der Handschrift stImmen Zandees Angaben
dex...." (S. 5) ist das einzige. was der Verfasser selbst grösstenteils mit denen von Tdl (Et'. Ver.. Suppl, S.
dazu sJgt. Daraus lässt sich leider nicht entnehmen, ob VIII. Anm. 1) überein. Nur sieht Tdl in TaL 27, 31, 33
sich bei seiner Untersuchung nun wirklich zugleich eine und 15 die Seite 63 und entsprechend in TaL 28,32. 31
spe:idle Eigenart der 4. Schrift des Codex Jung erge und 16 die Seite 6-1 der Handschrtft. Zandee dag.::~vn
hell hat. Noch viel wenIger findet sich eine Bemerkung umgekehrt in TaL 27 usw. dIe Seite 61 und in TaL 28
darüber, wie diese Eigenart gegebenenfalls zu werten usw. die Seite 63, Wenn man die Bruchstellen mit denen
\\';ire. Streng genommen gehört diese Frage natürlich der folgenden Seiten vergleicht. möchte man die Selten
III,ht mehr zu dem Thema, das der Verfasser sich ge so wie Till identifIzieren. Den Verlauf da Fasen'::lg, der
steilt hat. Aber gerade seine Stellungnahme dazu wäre die Frage wohl unmittelbar entscheiden könnte ka:;i1 ich
III.E. interessant. damit man für die weitere Forschung. in Labibs"Ausgabe nicht erkennen, und bei Krause-Labib
die sich ja u.a. auch mit der Feststellung des speziellen ist er für diese Seiten leider nicht angegeben, Bleibt der
Charakters der einzdnen Schriften des Nag Hammadi Text der heiden Selten. der über dIe Reihenfolge A,Jf
Fundes und ihrer Zuweisung an bestimmte gnostische schluss geben könnte. Bei dem Erhaltungs:ustand dieser
1~lchtun~ll'n beschäftigt. weiss, inwieweit die Untersu Seiten wage ich aber ohne ein~lehenderes Studium des
rhlln\! ,ks Verf. als Basis für Schlussfol~Jerungendieser ~l,lnzen Zusammenhanges keine Entscheidung in Jleser
Art vc·r'.....,·ndd werd,~n kann. Frilge, Doch Wird mim voraussetzen können, dol"~ Z,"l
Elwols zu LHghch schell1en lllir die An~1'lben. die der dee bei seiner Beschäftigung mit der 1. Schnft des Cudex
Vl'lLiSSer über die benutzten Quelkn macht. Ell1 kurzer Jung diese Identifizierung wohl überlegt hat. und s~e des
Hinweis darauf. welche Texte veröffentlicht (gegebenen halb nicht allein schon wegen des Verlaufes der Bruch
falls übersetzt) sind und in welchen Ausgaben. dürfte stellen ablehnen dürfen.
kaum Jemals überflüssiger Ballast sein. auch wenn man Heidelberg, August 1963 HA!':S QUECKE
I'on jedem Gnosis-Forscher und Koptologen erwarten
darf. dass er über den Stand der Edition der koptisch
gnostischen Schriften auf dem Laufenden ist. Bei der ASSYRIOLOGIE. MESOPOTA!\lL-\
vorliegenden Arbeit kommt noch hinzu, dass sie doch
Babylonische Mathematik
sicher auch den Plotin-Forscher interessieren wird, Kann
man für ihn dieselbe Sachkenntnis auf einem ihm frem E. M. BRUINS et M. RUTTEN. Textes Mathcmati
den Gebiet voraussetzen? Soll er sich selbst darüber in qtles cle Stlse. Paris, P. Geuthner 1961 (1°. XI. 136
=
formieren müssen. welche der zitierten Quellen veröffent pp.. XII. 39 planches) l'vtcmoires de la f\1ission
kht sind und wo, wenn er einmal einen Text nachprü Archeologique en Iran, Tome XXXIV. MlssiC)l1 de
kn oda in seinem Zusammenhang kennen lernen wdl? Susiane, sous Ja direction de MfvI. G, Conten3U et
VVer es vielleicht tatsächlich nicht wissen sollte, erfährt t R, de Mecquenem. Lwd. Mappe NF 70- 1)
aus Zandees Buch an keiner einzigen Stelle, dass er das I. Die nach ell1er vorläufigen ~!lttedung von E, ~l.
oft zitierte Apocryphon des Johilnnes in Tills Ausgabe Bruins - IYotll'e!les dCL'otlvertes stlr !.::s mJther7LlCiques
des P. Bero!. 8502 zu suchen hat. Das es von dieser babyloniennes. Paris 1952 - lange erwartete Ausgabe
Schrift noch weitere Versionen gibt (beim Erscheinen der bei den franzos:schen Ausgrabungen in Susa gefun
von Zandees Buch noch unveröffentlicht. inzwischen er denen mathematischen Texte aus al:babvlonischer Zelt
schienen), wird ebenfalls nicht erwähnt. Auch kein \Vort liegt nun endlich vor; widrige Umstande'h.:ltten Jas Er
darüber. ob der wichtigste Zeuge, die 4. Schrift des Co schemen des Bandes, dessen Vorwort 1957 geschneben
dex Jung, überhaupt veröffentlicht ist (die entsprechen wurde, stark verzögert. Nach dem Vorwort ist fo-tlle fo-1.
den Hinweise habe ich oben gegeben), Schliesslich Rutten für die Kopien verantwortlich und E. fv1. B~llins
möchte ich vermuten. dass in diesem Fall vielleicht selbst
für den mathematischen Kommentar. während die Üba
der Fachmann dankbar sein könnte, wenn die Identifizie setzungen in gemeinsamer ArbeIt erstellt wurden. Der
rung der hierher gehörendw Seiten der Labibschen Aus
Band bqlinnt mit einem Nachruf auf Roland de fo-!ecque
kabe kurz mitgeteilt wäre. Diese Angaben findet der dar
nem (1877-1957). der :uletzt die Ausgrabungen in Susa
an Interessierte auf S. 8 der eingangs genannten Ausgabe
leitete, und einem Vorwort von G, Contenau. Es folgen
von Krause-Labib; sie sind dort nach brieflichen MIttei
lungen von Zandee veröffentlicht! Schenkes Vermutung.
I) Die Schnftleitung der B,Or vaäffenthcht hier :wei dlls~uhr·
auf TaL 23-26 bei Labib seien die Seiten 83-86 der lichen Besprechungen der Tex!<:s .".farh.'m.Jt:qlle5 de SIl.<'·, cl:" \on
Handschrift wiedergegeben (Theol. Lit.-Ztg. 83 [1958] E, M, Brums und Maggie Rutten in 1961 als Band 31 der ~1,T10I'
-197). ist damit ebenso überholt wie die Behauptung der res de Ja MlSsion Arch..'ologique en Iran, pubh:lert wurd"n. 0... cji:,e,,
beiden Ra. das Thema gan: verschl"j"n b"hand"ln, m",n:
Herausgeber des SuppIementum zur Ausgabe des soge
Schriftleitung dadurch zur Verdeutlichung d",'Sa rvlatene bel'Jer:,,
nannten Evangelium Veritatis (Zürich und Stuttgart gen zu haben.
BOEKBESPREKINGEN ~ ASSYRIOLOGIE - MESOPOTAMIA 45
kurze Hinweise auf Herkunft und Datierung der Texte korrekt gebildete Verbalformen und falsche Kasusendun
und eine ausführliche Einleitung. die die Bedeutung der gen zu schreiben. wenn wir. wie sehr oft. WortzeJchen
neuen Texte für unsere Kenntnis der babylonischen Ma oder sumerische Verbalformen antreffen. Spätere Neu
thematik würdigt (So 1-21). Der Hauptteil enthält die bearbeitungen alleroder einzelner Texte werden die Um
Bearbeitung der 26 Tafeln mit nicht sehr zahlreichen schriften sorgfältig durchkorrigieren müssen. ebenso das
kurzen philologischen Anmerkungen und meist sehr ein Wörterverzeichnis am Schluss.
gehenden mathematischen Erläuterungen (S. 22-129). Nicht immer zuverlässig sind auch die Übersetzungen.
Es folgt ein Wörterverzeichnis. leider nur in recht knap weil sie ebenfalls auf die akkadische Gramm:.itik nicht
per Auswahl (So 131-34). Eingebunden in das Textheft überall die erforderliche RückslCht nehmen und bisweilen
sind 12 Tafeln mit Photographien von 12 Texten. Als auch zu den gewählten Transskriptionen im Text nicht
lose Tafeln sind die Kopien aller 26 Texte beigegeben. ganz passen. Ausserdem spiegelt sich in ihnen das Text
Beide Verfasser haben sich jahrelang intensiv mit den verständnis. das E. M. Brums in seinen Kommentaren
wegen der oft schlechten Erhaltung der Tafeln und un zu den Texten vertritt. DIeses aber ist keineswegs Immer
klarer Termini vielfach schwierigen Texten beschäftigt so gesichert. wie es auf den ersten BlIck erschemen könn
und verdienen für ihre mühsame und ertragreiche Arbeit te. Mehrfach entfernen sich die Rechnungen in den Kom
unser aller aufrichtigen Dank. mentaren nicht unbeträchtlich von den im )e\\eil:gen
Nach den grundlegenden Textausgaben und -bearbei Text gegebenen Ausrechnungen und können diese daher
tungen von O. Neugebauer (!v/athematische Keilschrift nicht wirklich erläutern. Die Auseinandersetzung mit die
Texte. 3 Bände, Berlin 1935-37) und F.Thureau-Dangin sen Kommentaren im einzelnen möchte ich den 1\13:he
(Textes !v!athematiques Babyloniens. Leiden 1938) so matikern überlassen und mich hier damit begnügen. das
wie der wichtigen ergänzenden Ausgabe von O. Neuge Verständnis des Wortlautes der Aufgaben soweIt. als es
bauer und A. Sachs (Mathematical Cuneiform Texts. mir heute möglich ist. zu fördern. Dafür ist es nicht not
New Hann 1945)1a) und einer beträchtlichen Zahl von wendig. alle kleineren UngenauigkeJten in den Überset
Textveröffentlichungen in Zeitschriften und anderswo zungen zu berichtigen. Ein nicht sprachkundiger Mathe
ist dieser Band die vierte grosse Edition mathematischer matIker. der sich mit den Texten beschäftigen wIll. ml;SS
Texte. Er konnte aus den bereits vorliegenden Arbeiten ohnehin die Hilfe eines mit ihnen vertrauten Assynolo
mannigfach Nutzen ziehen. wenn auch nicht oft auf sie gen sllcht'n. wenn er Irrtümer vermeiden \,:dl. StelJ.:n. dIe
Bezug genommen wird. Wenn wir sie mit den früheren ich nicht verstehe ~ sie smd bei den schlecht erhaltenen
Arbeiten vergleichen, so kann leider nicht verschwiegen Texten leider zahlreich -. übergehe ich. Das bedt'utet
werden, dass trotz mancher Fortschritte im einzelnen die aber nicht. dass ich Umschrift. Übersetzung und e\en
neue Ausgabe weniger zuverlässig ist als die älteren. tuelle Ergänzungen so. wie sie gegeben smd. überall für
Den. aufs Ganze gesehen. besten Eindruck machen die richtig halte.
Kopien von M. Rutten. Da, wo sie mit den Photogra
Nr. I (So 22 L) enthält auf der Vorderselte einen
phien verglichen werden können, findet man nur wenige
Kreis mit einem eingeschriebenen gleichseitigen Dreieck
Versehen. Eine unbedingte Zuverlässigkeit der Kopien
und Zahlenangaben. Die Rekonstruktion der tdv;eise
ist bei schlecht erhaltenen altbabylonischen Tafeln ja
abgebrochenen Zeichnung auf S. 23 lässt die Bezeich
nicht zu erreichen. und so werden Nachprüfungen vor
nung der Seite BD als BAR.TA = ?i!iptum ..Diagol1.11e"
alkm bei den Tafeln. deren Photographien nicht beige
weg. Die nicht ganz vollständig erhaltene Bezeichnung
\Jdll'11 wurden. sicher noch einige Verbesserungen erge der Seite Me wird auf S. 22 z.T. falsch ge'!c~en (elll Ad
bell. Voraussetzung dafür ist ein besseres Verständnis jektiv im rvbskulinum kann nicht Attnbut zu emern Fe
der Texte. Die Transskriptionen sind weit weniger ge
mininum sein!). Die nach KopIe und Photographie wahr
nilu. Die Irrtümer und Versehen. die für das Verständnis
scheinliche Lesung SAG.GU! "Trapez" wird zu
der Texte von Bedeutung sind und bereits erkannt wur =
SAG.Du! santakkum "Dreieck" zu emendieren sem,
den, sollen bei der Einzelbesprechung der Texte erwähnt
weil es unmöglich erscheint. die Zeichnung zu einem Tra
werden. Nicht korrigieren kann ich hier die zahlreichen
pez zu ergänzen. Die Zahl vor "vollständiges Dreieck"
schlechten Wortformen. die infolge Nichtbeachtung
kann ich leider nicht ergänzen. Herr Dr. Karl-Bernhard
der Regeln der altbabylonischen Grammatik in die Um
Gundlach. mit dem zusammen ich diesen und andere
schriften geraten sind. Gewiss. die Texte aus Susa sind
Texte in einer Seminarübung durchnahm. hat für die
nicht überall ganz so korrekt wie die aus Babylonien
Deutung der Zahlen der Rückseite. auf die der Kom
selbst: Da aber mindestens die Mehrzahl von ihnen von
mentar nicht eingeht. sehr ansprechende Vermutungen
Tafeln aus Babylonien selbst abgeschrieben sind ~
geäussert. Ich gebe diese im Folgenden in dem W ort
bei Übernahme gewisser orthographischer Gewohnheiten
laut wieder, in dem er sie selbst mir freundlIcherweise
der Schreiber von Susa wie vor allem der Lautwerte 53
zur Verfügung gestellt hat. lind danke Ihm für seine
und si ~, sind sprachliche Fehler in ihnen weitaus selte
Mitarbeit, die mir auch bei einigen anderen Aufgaben
ner anzutreffen als in den gleichzeitigen Urkunden aus
von grossem Nutzen war. sehr herzlich 2).
Susa. denen kürzlich E. Salonen eine reichbelegte Studie
"Nach der Stellung der Zahlen auf der Rückseite der
gewidmet hat (Untersuchungen zur Schrift und Sprache
Tafel zu urteilen. ist die Vorderseite in der Reproduktion
des AltbabLJlonischen vor Susa. Helsinki 1962. Studia
um 90° rechtsherum zu drehen. so dass die Spitze des
Orientalia XXVIII). Es besteht also kein Grund. un-
Dreiecks nach rechts zeigt. Bei dieser Stellung sind auch
'a) Diese Bücher werden hier wie üblich als MKT. TMB und %) Auf einige andere Fragen geht ein Aufsatz von ihm in Ab
MCf zitiert. handlungen des Math. Sem. der Univ. Hamburg (1963) ein.
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dic Ang<lben auf der Vorderseite am besten lesb<lr. Die Die Nr. I ähnliche Tafel Nr. II (S. 23 f.) zeigt auf
Z<lhlerl<lngabcn auf der Rückseite möchte ich wie folgt der Vorderseite ein in sechs gleichseitige Dreiecke getetl
rekonstruieren: tes Sechseck. auf der Rückseite eininsiebengleichschenk
lige Dreiccke geteiltes Siehcneck. Jeweils ist die Fläche
I. 33; 27.30 ist klar zu lesen
eines der Dreiecke zu berechnen. Da die Polygone als in
f4l8; 45 erscheint nach der Photographie mög
einen Kreis eingeschrieben gedacht waren. ging man für
lich
die Berechnung von der Fläche des Kreissektors aus. also
erscheint genau so gut möglich wie
22; 20 :7"r2 :7"r2
nach unserer Kreisberechnungsformel 3) ~ bzw. ---.
6 7
[I. I]f61; Jf51
Der Text nimmt an. dass die Fläche eines Teildreiecks
Die Grösscnordnung (die Stellung des Semikolons)ist
natürlich eine willkürliche Annahme. In diesem Falle er im Sechseck 7;fl der Fläche des entsprechenden Sektors
einnehme. die Fläche des Dreiecks im Siebeneck aber
::lcbcn sich einige bemerkenswerte Übereinstimmungen
mit Z<lhlen. die man bei Berechnung der Grössen für die 11 1~ des Sektors. Beide Bruchzahlen sind etwas :u hoch
angenommen. da die korrekten Zahlen. rund gerechnet.
Figur der Vorderseite erhält. Wählt man die Bezeich
nungen wie angegeben. so steht in der Figur 5/t) bzw. 1:1'1;' wären. Das Dreieck im Sechseck hat nach
unserem Text eine Seitenlänge von 0: 30 (sexagesimal).
Da diese Linge = r ist. wäre die Sektorfläche (bel ~ =,
3) 0: 7.30 und 7/8 davon 0: 6,33.45. Ebendiese Zahl ist
in das Dreieck eingeschrieben. Die wesentlich komplJ:ier
tere und sicher nur mit Näherungswerten durchgeführte
Rechnung beim Dreieck im Siebeneck hat der Text kurz
beschrieben. Der Anfang der Rechnung ist aber abge
brachen und das Ganze damit nicht "·erständlich. \Vas
nach dem ausgebrochenen Stück erhalten ist. lässt sich
etwas besser herstellen: [... -m]a 7 a-na -} te-,"[i?]-ip-ma
[5]i-in-5e-ra-ti ta-na-as-sa-ab-ma eqlum" ....... dann
multiplizierst du 7 mit 4 und ziehst mein Zwölfte] ab.
das ergibt die Fläche" 4). Die SeitenJänge (= r) ist hier
mit 0: 35 angenommen (wegen der Teilbarkeit durch 7);
a 50 c = 30 die Sektorfläche wäre dann 0: 8.45 und die Dreiecks
h 8;45 r = 31; 15 fläche 0: 8, 1, 15. Leider ist die Ergebnis:ahl nicht erhal
ten. Die in der Kopie rechts unten ge:elchnete Zahl 45
Setzt man voraus. dass das Dreieck mit den Seiten ist nach der Photographie. die auch noch Reste anschei
ängen nend getilgter Zahlen erkennen lässt. unsicher: für die
+
a. r h. c Linge der Siebenecksseite ist sie viel zu gross.
Text Nr. III (S. 25-34) ist eine fast vollständig erh,I!
:lcr Ausgangspunkt war, was wegen der Seitenverhält
tene Liste von Konstanten (igigtlbbüm), die man fur be
lisse
+ stimmte Grösscn, z.B. die Arbeitsleistung eines t-.L1l1nes
a : (r h) : c = 5 : 4 : 3
beim Ziegeltragen. in die Rechnungen ein:uset:en
laheliegt. so wäre. in Analogie zu anderen Aufgaben pflegte. Die bisher bekannten Listen dieser Art hat A.
(z.B. 13M 85194 MKT I S. 142 ff.)derBogen bund Draffkorn Kilmer in Or. NS 29. 273-308 mit ausführlI
,eine Höhe r - h zu bestimmen. Der Bogen ist näqe chen Registern zusammengestellt. Unser Text konnte
'ungsweise von ihr nur nach vorläufigen l\litteilungen von Bruins
b =7rr- 2h = 3r- 2h = J. 33; 45- 17; 30 unvollständig benutzt werden, diese Edition wiederum
den genannten Aufsatz nicht mehr benutzen. Einen wei
. Jci dem üblichen Ansatz 7r = 3. Subtraktion mit einem
teren. kleineren Text der gleichen Art. It-.I 49949. fand
3tellenwertfehler (0; 17,30 statt 17; 30) liefert merk
inzwischcn D. O. Edzard; er ist noch nicht H~röffent­
würdigerweise gerade
licht. Mathematisch sind diese Listen grossenteils ganz
1,33; 27,30 rätselhaft; warum haben z.B. die Metalle Kupfer. Bronze.
Silber. Gold die Zahlen I. 12; I. 20; I. 36; I. 48? Daher
Der richtige Wert ist
kann es zunächst nur um die möglichst korrekte Lesung
I, 16; 15
der Texte und um die Deutung der Begriffe gehen. Z. 1
Die Höhe des Bogen ist
r-h = 22; 30
3) Die Babyionier gingen anders als wir meist vom Durchmesser
I Die Umkehrung der Aufgabe, etwa a, r gegeben, führt dPeesripKhreeriisee.sBaeuis "u.n=d 3recishtnEd'iteenBedrieechFnläucnhgekaolrsre1k/1t2.des Quadrats der
luf
4) Für PilTalielstelien zum hier bezeugten GE'brauch von e,i'ru
vgl. "Hw. 252<1, unter GIb. In der nächsten Zeile ""ar~nd,e bCld,-n
Zdchen Si nicht 9anz gleich ge<chne!xn. E'IO" and...<" L."ung J't ,lI....
(r + 2h)r= (r + h)2_h2 =a2 _r2 nicht möglich. D,e Bruchzahl schelOt aus d~m St.a~s. si"kr,i! und
dem deklinIerten Fern. s,,,sNi!um kontaminiert. d... "lOe Pluralf"rrn
nit
+ nicht vorliegen kann (ähnlich ri·ba-ti S. 133 b). Das Zwölfttl wel
r 2h = 48; 45." cher Zahl ist gemeint?
BOEKBESPREKINGEN - ASSYRIOLOGIE - MESOPOTAMIA 47
hier ist zu lesen: IGLGUB 53 ml-lm-ma ka!-li-su (zweimal scheint die Form li-di "er möge ::eichnen" vor
"Konstanten jeglicher Art". In Z. 23 und 31 f. lies zukommen) vereinigt.
BAR.TAals Wortzeichen; nach sä steht der Genetiv! Besonders interessant ist Nr. V (S. 35-49). der lau~
Die z.T. unklaren Zeilen des unteren Randes (31-37) Unterschrift 262 Aufgaben ohne Ausrechnungen enthielt
sind leida nicht photographiert und daher nicht nach (vgl. ::UIl1 Typus dieser Aufgabensenen l'.lKT I JS3 H.).
prüfbar. In Z. 40 ist die sinnlose und ungrammatische Die ResultLlte aller Aufgaben lJssen sich aus den Um
Lesung ka-ru sicher falsch; wie wirklich zu lesen ist. kehrungen ablesen. in denen die Jewe:lige Unbekannte
konnte ich aber noch nicht herausbekommen. Z. 11 Si1 als eine der gegebenen Grössen erschelTlt. Der Text ist
libitti s,i-ba-a-ti "für Eckziegel" Z. 13 f. lies sä pil-ti dadurch bisher singulär. dass er Bruchzahlen als e1l1Llche
iq-ti (so richtig Or. NS 29. 290). Dunkel ist na-a.s-pa.-ak Zahkn schreibt. also etwa I 7 als 7. :!·I~ als 2. 7. 7. :!·77
i.i-al?-su-di-im Z. 49. Z. 61 ist schon in ABw. S. 354b als 2. 11.7 usw. Er gehört zu der nicht ganz kle:n.:r. Z,lhl
Z1I III/-fll-lIh-hi! verbessert. Z. 71 lies i-:a-ab-bi-if! "er von Textcn. die mit d.:n Zahlen 7 und 11. den niedngsten
tr,i\/-t" (\'\Jl~ Z. 12.46.69). Ocr Kommcntar bemüht sich irregubrcn Zahkn im Sexa~leslmalsystclll. unJ ,L-rc'n
11111 die Kliirullg der Ausdrücke für verschiedene Kreis Viclf<lchl'n experimentieren (\'gl. 13rulfls. S. 10). ~\llJere
se~JfJH·nte. von dencn GAN pa-na,-ak-ki "Drittelkreis Texte beziehen auch die 13 eIn. während Ich fllr die 17
Se~Jment" hier erstmalig bezeugt ist. Wenn die Deutung in ähnlichem Zus<lmmenhang nur ein Beispiel (Tr-..lB Nr.
dieses Ausdrucks zutrifft. würde als "Bumerang" 246) finden konnte. für 19.23 usw. aber keines. P;ach
(GIS.RU = tifpänum) in Z. 13-15 eine Figur von zwei meiner Überzeugung sollte den in den Tausc:nden von
solchen Segmenten bezeichnet werden (Winkel der bei Aufgaben bezeugten Zahlenkombinationen eme \\'eit
den Kreissehnen 1200 Die beiden Arme des babylo grössen~ Aufmerksamkeit gewidmet werden als das bis
).
nischen Bumerangs dürften also in einem stumpfen Win her meist geschehen ist. Die babylonischen l'.bthemati-
kel zueinander gestanden haben. Die angegebenen Kon .ker spürten bei ihren Rechnun~Jenoffenbar oft dc:n Ge
stanten passen zu dieser Deutung. Statt RI ist übrigens setzmässigkeiten von Zahlenfolgen und Zahlen\erhält
immer DAL zu lesen (akk. taIlum). In diesem Zusam nissen im Sexagesimalsystem nach. wobei sie \\Ie <luch
menhang möchte ich noch zu den vielen Zeichnungen sonst in Ihrer Wissenschaft nie versuchten. aus ihren
\ll'llll1etrischer Figurenkombinationen auf der von H. W. Beobachtungen formulierte Geset:e abzuleiten (\'gl. :ur
F. Saggs in RA 51.131-16 ergänzt herausgegebenen Struktur der babylonischen Wiss.:nschaft zulet:t mClflen
Tafel ein paar Bemerkungen machen. Auf ihr meint Vortrag Zweisprachigkeit in du geistigen Kultur Bdby
GAN !Jdqastim (S. 110 f. Text L.M.) offenbar eine aus loniens. Slt:ungsber. der Österr. Akad. d. WISS. Phd.
drei Bogen zusammeng~setzte. dem (Schiess-)Bogen Hist. KI. 13and 235i1. 1960). Wir können daher nur \er
ilhnliche Figur. wie sie entsteht. wenn man die Bogen suchen. aus den Zahlenfolgen zu erschliessen. was man
zweier Kreise durch den Bogen eines dritten verbindet, beobachtet hat. ein Unternehmen. das angölchts der
Lückenhaftigkeit der Überlieferung natürlich nur U!1\'oll
kommen gelingen kann. Zweifellos waren die Gedankc:n
.
, gänge der babylonischen Mathematiker im letzten wie bei
·
·· '., Pythagoras und Descartes auch durch theologische Über
· F ,, legungen bestimmt. Man machte sich sicher Gedanken
I,, .···· über die Stellung des Zahlensystems in der \'on den
,, Göttern gewollten Ordnung des Kosmos.
Die letzten Aufgabengruppen des von den Verfassern
_........./'
schon im Compte Rendu de la Troisieme Rencontre Ass.
(Leiden 1954) veröffentlichtc:n Textes sind von anderer
. Art. Die Aufgaben S. 45. 23 ff. ziehen von einem Recht
eck das Quadrat über der kleineren RechteckseIte ab (it
,\I: ba-al "es nahm weg" ist 3. Personi). DIe nicht \'ollstän
: dig erhaltene letzte Gruppe (§ 13) behandelt Quadrate.
I die konzentrisch in grässere eingeschrieben smd. Dabei
,/
wird die grössere Quadratseite ki-di-tum "äussere" ge
,/
_/ nannt. die kleinere qer!-bi'-tum "innere"8). Der Abstand
des inneren Quadrats vom äusseren heisst me-si-tum. ein
der beide berührt (vgl. Flg. 2 mit der Basis AEGD und
leider noch nicht sicher zu erklärendes Wort 7). In den
der Bogenlinie ABCD). Der in den Aufgaben XII und Q
aufgrund der Zeichnungen korrekt als "concave-sided
tetragon" übersetzte. aber nicht gelesene Ausdruck heisst 6) So ist anstatt des von mir in AHw. 253a leider au-:h llber
eqel basis sammim (GAN.GEsTU. gisZA.MI) "Leier nommenen e-$ur-tum zu lesen. Graphisch smd e-$ur- und q.:r-bi- In
Ohr-Fläche" (vgl. dazu Or. NS 29.2861)5). der Schrift dieses Textes nur schwer zu unterscheiden. sodass der
Irrtum verständlich ist. Der S,nn entscheicet aber elOceutlg :ugunsten
Unter Nr. IV sind eine Multiplikationstabelle (Grund
von qer-bi-tum (s. auch T1\lB Nr. 60. 11 und qer-bit neben ki-d,-it
zahl 25) und ein vorläufig unergiebiges Bruchstück in Leberomentexten. z.B. er 31. 35. 101.).
7) Es Ikgt (gegen S. 46') die Ableitung von einem Verbum e.;ü
~) Einige weitereVerbesseru.ngenzuRA54.131 H. (vgl.dazuauch nahe. doch kenne ich kem Verbum mit passender Bedeutung. D..ls
cer
OLZ 1962. 646): S. 138 E 5 lies ki!-di!-tam ..äussere". F 3 lies I Wort erinnert an altass. mc-si-tum/tim ..Magazin" (z.B. I
statt der altbab. unbekannten Abkürzung ana und in Z. '1 mi-it-ba 28 d 2; 38 b 14). das in hethitischen Texten als me-Si?:-et-ti. me-Se-di
ar-Iam! S. 139 IX 2 begegnet erstmalig der Plural zu 'jiliptum ..Dia usw. erscheint (s. S. Alp. Unten. Zu den Beamtennamen S. 1H.).
gonale" (s. CAD S 188) lies '1 ~i!-ilI-pa!-tuml Der Singular Bedeutet das Wort ..Mauerzwischenraum", was zu den MagazIn-
#!-ld-ipl-tum! findet sich auf S. HO in den Zeilen K '1 und L 3. grundrissen in Hattusas gut passen würde? .
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letzten Aufgaben wird sumo dal-ba-na "Zwischenraum" Der Text gibt nicht ..verschiedene Lösungen dersdben
offenbar als Lehnwort ii1S Akkadische übernommen (Z. Aufgabe" (S. 69), sondern wie auch sonst oft Z\\el Um
11 f. und 14 dal-ba-an dal-ba-ni "Abstand des Abstands" kehrungen der (nur in geringen Resten erhaltenen) er
(vgl. AHw. 128 und 154 zu biritu I und da/(a)banu so sten Aufgabe, in der nach dem Teil des grossen B,uders
wie CAD 049). - Die Aufgaben des Bruchstücks Nr. (x = 43. 45) gefragt war. Die 2. Aufgabe fragt nach
=
VI (5. 49-51) sind von derselben Art wie die des Haupt dem Anteil des kleinen Bruders (y 16. 15). während
teils von Nr. V. in der dritten, von der wieder nur ein Teil erhalten 1St.
Die je zwei erhaltenen Aufspben der Texte VII und wahrscheinlich nach beiden Anteilen gefragt war. \VLlt
VIII (S. 52-<i2; letzterer enthielt drei oder vier Aufga hin falsch gelesen ist Z. 6: 7-at! el-qc a-di 3Y! ,I-frA Ar'
hcn) nehiircn eng zusammen und sind leider noch weit mal-si' zitti ;;c~rirn-rna! "I 7 (Sc. der in Z. 5 gcn;lllnterl
hin unklar. Einige offensichtliche Schreibfehler veran Summe von I/:?IX und :?!J~Y) nahm ich und multIpltzierte
lassen die Verf. zu verschiedenen Emendationen, die mit 39. Wieviel (beträgt) der Anteil des Kleinen" I:-t
keineswegs immer überzeugen. Emendationen, die weder der Tat ist 16. 15 das 39-fache der genannten SUffir:Je.
sprachlich noch sachlich befriedigen. unterbleiben besser, während 43, 45 das 105-fache ist (der Faktor I. 45 cürfte
da sie die weitere Arbeit an den Texten nur belasten. in Aufgabe I zu ergänzen sein). In Z. 12 lies 7 fe-qe!
Nr. VII. Z. 4 und 22 fordern die Z~rlegungder als Pro ,,7 nimm!" (ergänze auch in Z. 34 [/e-qe~]). 01(' A1.:s
dukt von 5 und 7 gev;onnenen Zahl 35 in 30 und 5 (Z. gangsgleichung der 3. Aufgabe ist auf S. 72 korrekt an
4: 30 Li 5 be-e-er "lies aus!", S. AHw. 122b zu beru); der gegeben; zu korrigieren ist Z. 28 des Textes: u?? 27. 30'
Anlass zu dieser Operation ist noch nicht klar. Drei der zitti rabirn eli! zitti ~e~rim itrer (oder watrat. \Vort:ei
Aufgaben führen als Hilfsgrössen wa-~i-ibsiddim "Plus chen DIRI) "ausserdem(??), um 27. 30 übertrifft der
bktor zur .Linge·" und na-si-i~ pütim bzw. siddim ..Mi Anteil des Grossen den des Kleinen". f>.Ianche Ein:elhei
nusfaktor zur .Breite' bzw. ,Linge'" (dieser auch S. ten der Ausrechnungen bleiben auch bei Aufgabe 2 we
118,10) ein. Ein grosser Teil der Zahlen ist benannt gen der Textlücken unklar.
(\'gl. etwa 5 ZI ..die herausgezogene 5" in Z. 23 im Ge Nr. XI (S. 74-78, kein Photo) ist auch in vielem un
gen.<;;]tz zu 5 DIRI ..Zusatzz<lhl 5" in Z. 20 usw.), wobei klar. In Z. 1 ergänze am Ende wohl [usfjkif] .ich mul·
die vorliiuflge .Linge' als rechnerische Hilfsgrösse von tiplizierte"; wahrscheinlich fehlte aber noch mehr In Z
der endgültig errechneten terminologisch nicht unter 3 wird ein Hilfsfaktor 20 anscheinend mit den \Vort,'n
schieden wird. Nr. VII, Z. 2 ist die 11 des Textes als eingeführt: sä e-/i-ka! ta-[bu] "der dir beliebt" (entsrre
Produkt von 7 (l-su?) und 10 in 1. 10 zu korrigieren. chend in Z. 8 sä e-li-i[a] (oder k[a!]?) [tJa-cu); dIese
Nr. VIII. Z. 11 (ergänzt <luch Z. I) ist die sprachlich Wendung ist in mathematischen Texten ungewöhni'ch.
unmögliche Lesung a-na ki-ma e!i pütim sicher falsch; Die Umschrift lässt hier und weiterhin oft nicht erken
zur Gewinnung der korrekten Lesung wird eine KollJtion nen, dass die vorgeschlagenen Ergän::ungen wohl nur
notwendig sein. In Z. 13 \\:ird das Substantiv ta-Iu-ka einen Teil der fehlenden Zeilenenden ausfüllen. In Z 19
(das im mathematischen Sprachgebrauch noch unklare lies nach S. 79, 8 ka-a-a!-ma!-na! a-na 1. [40J ;;ib: dle \or
tMuku ..Gang" begegnet auch auf S. 118 f. in Z. 40 und ka-a-a-ma-na zu erwartende 1 stand wohl in Z. 18. Für
44) so übersetzt, als stände die Ve.rbalform sa talliku das Adjektiv kajjamäntz. dessen Bedeutung in mathe
da! matischen Texten noch nicht genau bestimmbar 1St. \9I.
Nicht weniger reich an Unklarheiten ist Nr. 9 (5.63 AHw. 5. 420a sub voce. In Z. 23 kann le-qe nicht richtlSJ
69); sie werden durch willkürliche Annahmen wie die sein; eine Kollation ist erwünscht (auch in 6. 6 am An
Beh<luptung auf S. 631, dass die Verben kamaru ..ad fang),
dieren" und sutäkufu ..multiplizieren" auswechselbJr (in
In dem sehr schwierig~n Text Nr. XII (S. 78·1;,1)
terchimge<lble) seien('!), auch nicht behoben. [hs drei
scheint es um ein unregelmässiges Viereck zu gehe:1. LeI
fache u-u! in Z. 3-5 kann wohl nur als "entweder - oder
der ist schon der Wortlaut der Aufgabe gan:: unklar: elLr
- oder" verstanden werden. obwohl ich das sachlich
auch rechnerisch nicht überall korrekte Kommf.'ntar B s
nicht deuten kann. Als ausserordentlich zählebig erweist
fördert hier wenig. Nicht sicher ::u deutf.'n is :un,ichst
sich die falsche Präscnsfnrm tata;;s.ab oder gar tatta
einmal der nur in diesem Band be::eugte Ausdruck rl.l
~{/h st;ltt trlss;]h "du addierst" (Z. 7 und öfter). DIe von na-at (Z. I und 4 f, vql. noch zu S. 91.7 und 117 2). ~\'Il·
O. NCuHch"uer und F. Thureau-DanSJin in sclcllkidl t<lktisch ist er wohl (ier 5tco:1<;(r. von dem Ja F~,-I.1t,\­
schell Texten irrlSJ nelesene Form h<lbe ich in Or. NS
satz mit dem Prädikat i-fa-ku <lhh;-;ngt. an,] x aJ.i/..l1 k,\r~~
16,74 f. in ta-tep'-pil korrigiert. tepiz tritt in der Spätzeit
hier nicht wie sonst ..multipli::ieren mit" bedeuten. da
andieStelle von wa,~jburn.i_~-tu an-ni-ki-a-am Z. 7 ..von
Faktoren immer beliebig verL:lUschbar sind. hier abe,
1'"'"1.1
hier an". Liegt in wu-~u-bi plltim (ri ...) "Summe von
na-at siddum a-na pütim i-la-ku und ma-na-at rü:um
,Breite' (und ...) ein neues Substantiv nach der Form
a-na siddim i-la-ku \'erschiedene Ausdrücke sein müssen.
purussii' (GAG § 560) vor?? Ohne eine durchgreifende
Von den vier Grundrechnungsarten würde nur die Divi
Neubearbeitung ist dieser Text nicht auswertbar und
sion hier sinnvoll sein. doch ist diese als eigene Rech
. gegen S. 681 kein Beweis für die Annahme, dass die Ba
nungsart in Babylonien nicht bezeugt; die beiden Al:s-
bylonier den negativen Wert einer Quadratwurzel ge
?
kannt hätten! drücke als bzw.-'- zu deuten, wird auch kaum angehen.
1 b '
Nr. X (S. 69-74) übt im Rahmen der auch sonst gut
bezeugten Erbteilungsaufgaben das Rechnen mit Sie Z. 3 lies wohl sa i-la <-kum> ..was dir herauskommt"
helltcln und DreizehnteIn (vgl. oben zu Nr. V). indem an Ende ustarn~irl-m.a. wenn richtig kopiert. Z. 1': ./((,1
es den Betrag von 1 Mine im Verhältnis von 35: 13 auf 2 ka-a-a-ma-na a~-na! [2.31. 10 ~ib] "du [addiere] 2.
teilt, was bei wirklichen Teilungen sicher nie geschah. die Konstante. zu [2,31. 40J'''. DUs wird hier in Z 10
BOEKBESPREKINGEN - ASSYRIOLOGIE - MESOPOTAl\lIA
wie S. 82, 10 und S. 101,2 mit DAU zusammengewor reicher und klarer. Daher möchte ich heute ähnlich CAD
fen; es muss derselbe, nicht sicher deutbare Terminus für eine Übersetzung "hineinstossen" eintreten. In RA
vorlIegen wie S. 50,9 und 64.40 (die Lesung pi!ru ist 54,131-1-1:0 meint ad-ku-us immer "ich ging nach innen",
unsicher). Ohne besser erhaltene Paralleltexte wird sich um ein Quadrat oder einen Kreis einzuschreIben. In
dieser Text kaum zuverlässig deuten lassen. Compte Rcndu de la lJc Rene. Ass. S. 31. 8 Iq. "IC H.
Sehr interessant ist Nr. XIII (S. 82 f.), der den Profit Hunger erkannte, 5 da!-ki!-is-ta-ka "deine (den Wall)
eines Kaufmans beim Handel mit Feinöl zu errechnen durchstossende Gerade" zu lesen; ed,iLstu (AHw. 185a)
aufgibt, Da K.-B. Gundlach den Text l.c. (s. S. 45) ist zu streichen. Hier scheint dikSu die Breite des Tür
neu bearbeitet, seien hier nur die verbesserten Lesungen durchbruchs zu meinen; leider ist das Veroum am Ende
kurz notiert: Z. 2 und 10 ak!-si-it; Z. 109 DUs! Z. 14 von Z. 1 nicht sicher zu ergänzen (etwa tir-ta?[-aJ-di]
Ende: 1 [, 10 asakkan 1 m]a!-na 10 siqil ka[spam!]. "ich fügte hinzu"?) und in Z. II verderbt (pa-na-am
,,1[,10 lege ich hin, I Mi]ne, 10 Sekel Si[lber]". Z. 15 heisst "das frühere"!), sodass für diksu hier keine rest
i-na 7 qata-am sä ta-pa!-as[-sä-ru samnum] "von den je lose Klarheit zu gewinnen ist. Auf die Belege in Omwa
7Qa. die du ver[kaufst, ist das Öl] (für 2/3 Minen Silber und medizinIschen Texten möchte ich hier nicht erneut
wieviel?)". eingehen.
Bisher einzigartig und wegen seiner unvollständigen Auch in Nr. XVI (S. 91-95) ist. z.T. wohl infolge von
Erhaltung daher noch nicht eindeutig zu interpretieren Schreibfehlern, manches unklar. und die in den Anmer
ist Nr. XIV (S. 84-88). der sich mit den Ausrnassen kungen vorgeschlagenen Emendationen smd ftir mIch
eines Kornspeichers (kariim) von gegebenem Rauminhalt nicht einleuchtend. Sicher falsch ist in Z. 7 hu-li "telle est
beschäftigt; die Deutung und die Zeichnung. die B. im .ma m~thode'"; bülu (s. AHw. 354b) ist ~ur ass)'mch
Kommentar gibt, sind mit dem gegebenen Rauminhalt und hat nicht die angenommene Bedeutung. VerG1utkh
nicht vereinbar. Die Zahl 14, 24 für den Rauminhalt steht ki!-il! "halte bereit!" da. Das oben zu Nr. XII be
könnte als 864 Kubikellen gedeutet werden, doch zeigt reits erwähnte ma-na-at erscheint hier WJe em A~Jsdr'J(J.;
die Einführung des ,Tiefe'-Faktors12inZ. 3, dass Raum für :1/4, doch passt das zu 2 ma-na-at S. 117,2 (Zusam
Musar gemeint sind (Länge und Breite 12 Ellen, Höhe menhang zerstört) nicht gut. In Z. 10 wäre zu prüfen.
I Elle). Es ist mir nicht gelungen, eine Gestalt des ob das A.RA der Kopie nicht doch richtig ist. Ga;1z un
Speichers herauszufinden, die zu den Angaben des Tex denkbar ist in Z. 16 ta-wi-ih statt tumuh (sic:) ..er
tes passt. Erschwerend kommt dazu, dass q!kaqqadum greife!". Da die Zahl 15 anschliessend in 1-0 und 5 zer
"Kopf" als geometrischer Terminus noch unklar ist. Zum legt wird. wiire zu prüfen, ob nicht sti!-pi-ib "löse aufi"
Rauminhalt würde am besten ein Würfel von 12:1 Ellen dasteht, auch wenn das Verbum in mathematischen Tex
= 1728 Kubikellen mit einer daraufgesetzten Pyramide ten bisher m.W. nicht bezeugt ist.
(Höhe 18-12 = 6 Ellen) und einem würfelförmigen In Nr. XVII (S. 95-97) ist nur das ki-a-am ma-iJk-~a­
.Kopf' auf der Spitze der Pyramide als Einfüllöffnung ar-su Rs. 9 interessant, weil es die Bedeutung "Berech
(Seitenlänge nach Z. 14 4 Ellen?) passen; exakt wäre nung" für dieses Wort (s. dazu MCT 551~:!) Sichert; Rs.
die Rechnung dann jedoch nicht, sondern bliebe bei Nä 8 eqlim watrim! In dem Bruchstück Nr. XVIII (S. 97
herungswenen stehen. Z. 2 f. lies ka-aq-qa-da! mi-na 101), dass der Kommentar recht kühn ausdeutet. erregt
asakkan. Z. 6: 9 a-na 3 me-le-e te-er-ma; turrum muss in Z. 2 die Lesung a-na Anstoss, weil sutamburu ebenso
hier "multiplizieren" bedeuten, was sonst m.W. noch wie sutäkulu "multiplizieren" mit iui konstruiert WIrd.
nicht bezeugt ist. Unklar und der Kollation bedürftig ist Waluscheinlich ist zu lesen eqlam elaa! itti! eqlim SJrlii!
Z. 7 f. i-na 1 A.RA ka-a-a-ma-ni 20 eperi sä-lu-us-ti 58? ustamhir.
b-a-a-ma-ni eperi!? tu!-u~!-~a-bu usub. Der Satz lässt Recht gut erhalten ist Nr. XIX (S. 101-105). In Z. 2
sich so, wie er kopiert ist, grammatisch nicht einwandfrei ist statt DAlj wieder DU~ zu lesen (s. oben zu Nr. XII.
konstruieren (wovon hängt der Subjunktiv tu-uj-~a-bu Z. 10). In der zweiten Aufgabe begegnenZahknmit;lcht
,,(was) du addierst" ab?); alles was zwischen 20 und Sexagesimalstellen als Quadratzahkn. die für UllS 11l der
IISIIG steht, erläutert wohl die 20. Z. 15 :[as-s]um i-na Grössenordnung von Billionen (10L1) liegen; ob es auch
dlll-lIld-at am-ma-a[t i-ku-lu] "weil er je Elle 1 Elle dafür Tabellen gab? Z. 12 zeigt deutlich, dass dIe Deu
[sich verjüngt hat]" (vgl. für den St.absol. ammM GAG tung von takileum als "mit sich selbst multipliZierte Zahl"
§62 e und für akalu in Ausdrücken für den Böschungs (so S. 134a nach TMB S. 226) nicht zutrIfft. sondern
wert TMB S. 215); mindestens ein Teil des karii hat also dass mit L. Oppenheim in JNES 6. 127 (zu I\ICT S.
eine Böschung von 45°. Die Ergänzung von Rs. 1 ist 130a) "bereitgestellte Zahl" zu übersetzen ist (unser
falsch, weil me-la-a-am ein Akkusativ ist. Die letzten Text erläutert das Wort durch sä ri-is-ka ti-ki-lu, das auf
Zeilen setzen den Rauminhalt des karii in Beziehung zu Z. 3 zurückweist); weitere Belege S. 108, 16; I18. 18;
den in ihm zu lagernden Kornmengen; die erhaltenen Sumer 6,134.9.
Zahlen sind mir unklar. Die Bruchstücke Nr. XX und XXI (S. 105-111) be
Ebenfalls schwierig ul:1d kollationsbedürftig ist Nr. schäftigen sich mit Berechnungen der Figur iJbir(u)
XV (S. 88-91). B, im Kommentar hält die Tafel für eine sammikku. einem Trapez oder Trapezoid (s. dazu AHw.
z.T. missglückte Schülerübung, die der Schreiber stellen 6Ia). Mit den dürftigen Resten von Nr. XX ist wc'I\19
weise durchstrichen habe. Als sinnvoll lassen sich die anzufangen. Nr. XXI verwendet einen noch unkbrc'\l
Hechllllngen in der Tat schwer verstehen. Statt des un Begriff mi-i?-?i-talti. wenn richtig gel..:sen. der llut 11IL'
llIö~llichcn BA daltu-sulSi ist in Z. 1-3 natürlich di!-ik sil-turn (s. dazu oben zu Nr. V) gegen S. 110 nichts zu
~u!si zu lesen. dakäsu mit Ableitungen wird in CAD und tun hat (die Übersetzung accrolsscment ebd. ist auch
Allw, verschieden übersetzt und etymologisch ange sachlich nicht zwingend). Eine Ableitung und befndl
schlossen. Die mathematischen Belege sind heute zahl- gende Erklärung des merkwürdig gebildeten Wortes
50 BIBLIOTHECA ORIENTALlS XXI N° 1/2. Januari-Maart 1964
habe ich noch nicht gefunden. Z. 14 und 27 f. lies ;;ib! belegt) und setze dafür sa~<1tu "Ecke" ein' S. 132:
Nr. XXII (5. 111-114) enthält zwei Aufgaben aus Streiche ~ülu (s. zu Nr. XVI) und lies Qulul]hu' Zu
dem Bereich der Zinseszinsrechnung. die ohne Benut kajjamänu vgl. AHw. 120. ka.sä.tu ist statt aqsit (5.
zung von die Rechnung vereinbchenden formeln gelöst 131) einzufügen. Bei ka';o<1ru ist mak~aru "Berechnung"
werden. Unklar ist in Z. 19 das Wort ma-sä-lu. wenn für sich zu stellen und auf NI'. XXV Rs. 1 und 3 :u YCr
richtig gelesen: sollte ein Wort für "Frage" vorliegen?? weisen. Auf 5.133 füge mi;;;;ztu(?) ein (Nr. XXI) und
Interessant ist hier wieder die Rechnung mit Siebenteln. lies mesztu. nasuhu ist zu streichen und nasihu zu niisihu
Die Wirtschaft wird kaum mit einem Zinsfuss von 3/7 zu stellen (auch VIII 4.6.9 belegt). ribilti i~t akkadls~h
gerechnet haben. und RI.BA.NA durch DAL.BA.NA zu ersetzen. SAI~
In dem Fragmcnt Nr. XXIII (5. 111-117) ist der Aus sa'am ist zu streichen (dafür sAR. akkadische Lesung
druck IM.GIG.DA ungewöhnlich und aus dem zerstör Nr. III 30 unklar). S. 134; Streiche unter ;;!liptu die Be
ten Zusammenhang nicht zu erklären. RI kann nicht ;;i lege. mit Wortzeichen RI. das Verbum tamäbu (vgl. oben
li[JtulIl gelesen werden (Z. 13). da BAR.TA dafür als zur Stelle). das vermeintliche Wort:eichen u.UL (dafür
Wortzeichen dient. Gemeint ist wohl DAL = tallum. ul "oder"). ullü und e;;epu unter dem Partizip Il'J;;ii'u.
Nr. XXIV (5.117-122) ist das Bruchstück eines recht takiltu begegnet auch S. 78. 14: 103. 12; 108. 16; 1/S. 18:
umfangreichen Textes. der verschiedene unklare oder täluku findet sich noch S. 58. 13; 119.44. Für TUH \Cjl.
schwierige Ausdrücke enthält. Da die Aufgaben selbst oben zu NI'. XII. - .
nicht erhalten sind und die vielen Lücken eine Rekon Es ist zu hoffen, dass die reichhaltige Edition trotz
struktion der Rechnung nicht gestatten, müssen die der Schwierigkeit vieler Texte der Beschäftigung mit der
meisten Fragen offen bleiben. Umschrift und Überset geistesgeschichtlich so bedeutsamen babylonischen r--la
zung sind öfte.r ungenau; lies z.B. in Z. 16. 18 und 22 thematik neuen Auftrieb gibt. Die langjährige ArbeIt
$ib statt kumur. in Z. 20 und 48 luskun statt tasakkan. in beider Verfasser würde damit gewiss am besten belohnt!
Z. 25 und 35 kumur statt kimirtu usw. si-ra-ti in Z. 11
Münster. April 1963 WOLFRAM VON SODEN
(dazu wohl 'l.~'-.si-ra-tiin Z. 46: welche Lesung ist rich
tig?) kann keinesfalls für ;;ir;jti stehen (so Anm. I). Zu
"a/akku vgl. AHw. 423b (kalJUu I I). 11, I. Eröffnet wird dIese sowohl inhaltlich wie druck
Wieder recht schlecht erhalten ist der in mimchem un technisch sehr sorgfältig behandelte Ausgabe mit e1l1;:m
gewöhnlIche Text Nr. XXV (5. 122-/21), dessen erste Nachruf auf den verdienstvollen Archäologen Robnd dl'
Aufgabe es mit Kanalarbeiten und den dafür benötigten Mecquenem (1877-1957). der (mit Unterbrechun;Fni
Leuten zu tun hat. Da in Rs. 1 und 3 nicht gut das Wort seit 1902 im Iran arbeitete und die Mission als der eIne
akbaru "Sprlllgmaus" vorliegen kann, ist wohl zu lesen ihrer beiden Direktoren in den Jahren 1912 bis 1946 1;::
in Z. 1 [sä i-na a]pim u qistim ak-su!-ru ,,[was ich im] tete.
Röhricht und im \Vald errichtete". und in Z. 3 eper ak In der Einführung erfahren wir über Herkunft und Da
$u!-r[u!] "das Erdwerk, das ich errichtete". S. 1231 tierung der hier herausgegebenen Texte folgendes: S:e
ignoriert die Wurzelvokale der Verben. wurden 1933 an der Baustelle I der eIamitischen Köni,J5
Teilungsaufgaben enthält das Bruchstück Nr. XXVI stadt unter einer grossen Steinplatte gefunden. in de;en
(S. 124-129). das dringend der Kollation bedarf. In Z. Umgebung auch ein grosseI' Löwe, das Bruchstück eines
10 scheint zu stehen 50 DAL qablim!? sutflkil (ebenso in Löwen und zwei Löwenjunge 'wieder ans Tageslicht c;e
Z. 7 und 8 DAL qablim statt des grammatisch falschen kommen waren. Alles deutet darauf hin. dass sich in der
ri-i.~?). Vermutlich handelt es SIch um eine Dreieckstei Nähe ein Tempel-Eingang befand: eine Fliese in l:cr
lung wie in Nr. XXVIII. Z. 1I ist su-du-rir ganz frag Umgebung trägt den Namen SU-Sin. eine Kanne den
lich: die Kopie lüsst eher an ka-bi-is denken. doch be Namen Adda-Paksu. der et\\as vor t-lammurapl "n:u
friedigt auch das nicht. Rätselhaft ist auf der l~s; der setzen ist. Die fraglichen Texte sind wohl etwas jünger;
mehrfach begegnende Terminus KA.LUM.RI.NA (Le sie dürften gegen Ende der ersten Dynast!€' entstand;::]
sung richtig?). Rs. 8 liegt DIttographie von Ku vor sein und stammen von verschiedenen Schreibern mit ähn
(Anm. 1 ist wieder ganz abwegig). Rs. 14 und 16 ist licheOJ Schriftduktus: sie bestätigen den schon früher
BAR.ZU? für "Hälfte" ganz ungewöhnlich; Rs. 16 er festgestellten Einfluss der Babyionier auf die Elamiter.
giin:e zu 26. [2-1]. der Hälfte von 52. 48!
Ocr Index erfordert kntische Benutzer und viele Er 2. Im I. Kapitel wird zunächst ein allgemeiner Clber
gänzungen. Nur wenige Korrekturen können hier gege blick über unser heutiges Wissen von der babylonischen
ben werden (vgl. die Bemerkungen zu den einzelnen Mathematik gegeben. das durch diese Texte wesentlich
Texten). S. 131a sind die Bedeutungsangaben zu ablu bereichert worden ist. Hier wird auf wichtige Bemerkun
weitgehend unkorrekt. da "ajouter" falsch ist und "mul gen von Fr. Thureau-Dangin 1) hingewiesen. die sich
tiplier" zum St-Stamm gehört; die St-Formen werden auf nunmehr erneut bestätigen. so etwa, dass die Babyloni;:r
S. 132b unter kLVI gebucht. eine schon früher gegebene zwar mit Vielfachen (auch von regulären Brüchen) rech
Ableitung. die sich nicht eindeutig widerlegen lässt, die neten. nicht aber mit Proportionen. oder dass sie noch
aber nach der sumerischen Entsprechung ku unwahr kein Wort zur Bezeichnung von Winkeln hatten. oder
scheinlich ist. alSudu ist wohl durch saIsudu zu ersetzen. dass sie zwar mit dem ursprünglich aus der Bautechn:k
aTTlam bedeutet "Ziegelhaufen" (s. AHw. 40b). Statt entnommenen Begriff des Lotes vertraut waren. aber das
bitiktu lies pitirztu. d.altu ist zu streichen und diksu (5. Parallelsein von Loten zur nämlichen Grundlinie noch
88. 1-3) einzufügen. e~urtu ist zu streichen (dafür qer nicht ausdrücken konnten. Ober derartige Fragen hat
bill!. s. zu Nr. V). GIs.RU ist nicht qiLStu. sondern til
piinu "Bumerang". Streiche bätu (das Wort ist nirgends 1) TcxtC$ Mathematique$ Babylonitrts. uidtn 1938.
BOEKBESPREKINGEN - ASSYRIOLOGIE ~ MESOPOTAMIA 51
Herr Bruins'schon seit 1950 an verschiedenen Stt:lkn b) Der freilich in der Bezeichnung noch nicht voll ge
eingehend berichtet 2). da sich die Drucklegung der vor
glückte Versuch. Brüche der Art P- im Fall irregulärer
liegenden Ausgabe bedauerlicherweise sehr hinausge
q
zögert hat. Nenner auszudrücken (Texte V und VI B)).
Als interessantes Beispiel für das Vermeiden von Pro~
portionen wird die Halbiaung eines Vierecks mit den cl Bei Behandlung eingekleideter Gleichungen (Aufg:!
Seiten a, b. c. d angeführt. dessen Inhalt durch die (nur ben ersten Grades) werden sowohl Lösungen durch Err;:l
im fall des Rechtecks a = c. b = d richtige. sonst aber ten wie solche durch Rechnungen gegeben. die festen al
gebraischen Regeln folgen (Texte VI!. XVI). BcsonJc're
. a+c b+d
stets zu grosse Werte IJefernde) Formel F =-2--' --:f- Kunstfertigkeit zeigt die Lösung im Fall des Textes X:
(~_~_+~_I)
angenähert wird. Unter dieser Annahme ergibt sich die x+y =1. 7I ' 3' 7 3 .13 . 66= X-)'. Sie lässt
Länge einer die Fläche halbierenden Transversalen t.
von der die Seiten bund d geschnitten werden, ver erkennen, dass die Aufgabe (wie häufig auch sonst) von
möge 3) 2t:l = a:l + c2. Dabei wird auch das merkwür rückwärts gestellt wurde. wobei x = 35t. Y = 13t, x - Y
= = =
dige Beispiel a 17. b 290. c 7. d = 310 erwähnt. = 22t im Spiel war. Um die irregulären Nenner zu ver
=
das t = 13 und F 3600 liefert 4). Diese Transversalen meiden, wird bei der Durchführung zunächst ll1 Teden
foroel ist zwar am allgemeinen Viereck falsch, jedoch am des Hauptnenners 7.7.13 gerechnet.
Trapez richtig. falls die Transversale zur Grund- und
Decklinie parallel ist 5). In der Umbildung zu t2 = d) In Text IX geht es um die Auflösung von xy ~ x
+
y = 1 in Verbindung mit einer linearen Beziehung
= (a-+}.c--)2 + (2a--c) 2kannsI.ezur Herstellung Pythago- zwischen x und y. Der Rechner wendet das "akkadische
Verfahren" an 9). indem er x + I = X, Y ~ 1 = Y
reischer Zahlentripel (also ganzzahliger oder rationaler setzt, also XY = 2 erhält. Bei dieser Gelegenheit er
Lösungen der Gleichung x2 + y2 = z2) dienen 6). Nä~ scheint auch die quadratische Gleichung t2 - 32~.t +
here Einzelheiten erfahren wir aus Text XXIII. Hier + 126 = O. Ob hier wirklich von der bi?wussti?n Herstel
wird auch eine Beziehung verwendet. die in algebraischer lung zweier Lösungen, nämlich 28 und 41. gesprochen
Fassung auf die Identität (a:l + b2) (p2 + q2) werden darf. wie Herr Brutns es will. oder ob man auf
= (ap + bq)2 + (aq - bp):l hinausläuft. Grund der Rechnung auf das System x - y = 321,
xy = 126 zurückgreifen muss, wie es Herr Vogel tut 1(1).
3. An weiteren neuen Ergebnissen. die sich über das muss noch offen bleiben. Der Entscheid könnte erst auf
bisherige hinaus aus den Susa-Texten ergeben. seien die Grund weiteren Materials mit eingehenderer Bi?s(h~ci­
folgenden hervorgehoben: bung gefällt werden.
a) Das Auftreten des Ergebnisses Null. "weil das Korn e) Eine erstaunliche Angelegenheit ist dass Auftretl'n
erschöpft ist" (Text XXII 7)). über einander geschichteter quadratischer Glclchun~;en
von folgender Art: Die Ausgangsgleichung habe die lö
tI Erwähnt seien: Quelques textes mathematiques de Suse. in sungen a und b. sodass x~ - (a + b)x , ab = O. Aus
=
Proc. Akad. Wet. 53. 1025-1033 Indog. math. 12. 369-377 (1950) ihren Koeffizienten entstehen die Lösungen a .~ b und ab
= Br 1. = einer zugeordneten Gleichung y:l - (ab + a - b)y +
On Babylonian Geometry. in Proc. 58. 16-23 (1955) Br 2. + +
ab(a b) = O. Aus deren Koeffizienten werden als-
Neuere Ergebnisse zur Babylonischen Arithmetik. in Praxis der
=
Mathematik I. 89-95 (1959) Br 3. + +
I'huere Ergebnisse zur Babylonischen Geometrie. ebda I. 201-207 dann die Lösungen 2(ab a b) und ab(a+b) einer
= 2
(1959) Br 4.
Neuere Ergebnisse über Babylonische Algebra. ebda 2. 147-152 dritten darübergeschichteten Gleichung ;:2 .... = 0 zu
(1960) = Br 5. sammengesetzt. Deren Koeffizienten sind gegeben: es
The Geometry 0/ the Plummet. in Simon Stevin 33. 38-60 (1959) entsteht schliesslich a = 30. b = 20. Was zum Aufbau
= Br 6.
dieser merkwürdigen "Kaskade" geführt hat. ist mangels
RL',>juldr Polygons in Babylonian and Greek IHathematics. in Janus
18.5-23 (1959) = Br 7. anderer zum Vergleich verwendbarer Texte noch unge
und schhesslich die zusammedassende Darstellung unter Mitver klärt,
"rbeltung des gesamten bisher bekannten M"terials: Interpretation
0/ CUrie/form Mathematics. in Physis 4. 277-311 (1962) = Br 8. DIe
4. Das Merkwürdigste. was diese Texk zu bieten
Wichtigsten älteren dieser l\1itteilungen sind mitverarbeitet in dervor
zughchen Überschau von K. Vogel: Vorgriechische Mäthematik 11: haben. sind die von ersichtlich theoretischen Gesichts
Die Mathematik der Babyionier. Hannover-Paderborn 1959 (Mathe punkten beherrschten Näherungsrechnungen an gl:?ome
=
matische Studienhefte 2) Vg. trischen Figuren. denen das 2. Kapitel gewidmet ist 11).
3) Unterlage: O. Neugebauer-A. Sachs: f..fathematical Cuneiform
Textes. New Haven 1945 (= MCT) S. 45; Deutung in Br 2. Wie
dergabe in V9 70. b) Vgl. Vg 18. Fussnote 6.
4) Über dieses Beispiel vgl. auch Vg 70-71. U) Vgl. Br 5. 151-152; Vg 47.
5) Br 3. 90; Vg 71-72. 10) Geometrische Deutung: Inhalt und Seitensumme elUes Recht
6) Gegenuber der älteren Erklärung in den MCT ziehe ich die ecks sind bekdnnt: gesucht ist die Seite. Vgl. V.'l 52 unter Ru,kwr
von Herrn Bruins gegebene vor: On Plimpton 322: Pythagorean weis auf den Aufsatz: Zur Baechnllrlg der quadratischen Glci~'h"rly
rlumbers in Babylonian Mathematics. in Proc. Akad. Wet. 52. 629 bei den Babliloniern. in Unternchtsblatter fur MathematIk L:nd Natur
632 (19-19). vgi. ferner Br 3. 90-95 mit interessanter methodischer wissenschaften 39, 75-81 (1933). In Vg 63 wird bei Zusammenfas
Weiterbehandlung und Vg 37-41. ausserdem A. A. Waiman: Pytha sung der algebraischen Leistungen der Babyionier nochmals dL"t>t1ich
goreische Zahlen. in Ist. mat. iss1edovanija 10.583-591 (1957) (rus hervorgehoben. dass die DOPPL"lwurzel der quadratischen Gleicht>ng
sisch). im babylonischen Bereich noch nicht auftritt.
7) Vgl. Vg 61. 11) Vgl. Br 4. 204-207; Vg 68-70.
52 BIBLIOTHECA ORIENTALIS XXI N° 112. Januari-Maart 1964
Hfoilegrensedteznt dGanesnicahutcshpudniekteeinge<nltulfigcehbe<lEudtitiisot:nZeiune,rdsite lneascehn 3 y'3- 3-1. 7 • aIso f6 =
wir eine kurze Einführung in die Fragestellung: dann
folgt die verb;de Tr'lllskriptioll, hierauf die wortgetreue
französiche Obersetzung. alsdann die mathematische
Ausdeutullfl. Die Texte werden in photogrilphischer
Wiederq:lhe des Origin:ds vorgelegt. d<lnn in Umschrift
?
auf d,'n gesondert hei~lcfiisltcnT:lfcln. = = ~~ >
[72 2·i 3 3A,\ .
<l) Wir heginncn mit Text 1: Gegeben ist ein gleich
schenkliges Dreieck (Grundlinie 60, Schenkel 50): ge Die Abweichung ist 0 - Ur = r;o= "3"1\Z'f' macht .1150
sucht ist der Iblblllesser x des Umkreises. Die Figur ist mehr als eine Einheit der ersten Sexa~esimale aus. Sie
nur in einem Bruchstück erhalten: zum Glück sind die kann auf doppelte Weise erklärt werden: entweder sum
entscheidenden Masszahlen an den Seiten noch erkenn marisch. indem man von der Annahme ausgeht. dass der
bar. Das Dreieck ist also zusammengesetzt aus zwei sym
Rechner im Wissen um die Be::iehung \110 = \!3~ -'- I
metrischen Pythagoreischen Dreiecken. Die weiteren < 3 -+- idurch Verringern aus::ugleichen bestrebt ~-ar.
angefügten Masszahlen müssen aus folgender Rechnung
hervorgegilngen sein: x:! = (40 - x)2 + 30:!. also x oder durch Mitverwenden des Näherungswertes
311. wie wirklich an der Figur zu lesen steht. /f .2 y'10 = i y'490 > 2l = 3§. Dann ist nämlich H
beinahe gleich dem Mittelwert 4(*+ H) = H - rih-·
b) Text II bezieht sich auf ein regelmässiges Sechseck
4
von der Seitenlänge 30, das in 6 gleichseitige Dreiecke d) Schliesslich sei auf den Tabellenwert lf . H für:.:.
aufgeteilt ist. Die Fläche eines dieser Dreiecke trägt die
Zahl 39=3:-1. Hier ist also der Näherungswert y3 = hingewiesen. der auf die Annäherung 7[ = 3k (statt wie
"': V2:! 1 - 2 - ! = i verwendet, dert wir auch aus üblich 7:' = 3) führt 14}.
Heran kennen 1:!). Auf der anderen Seite des Täfelchens Die sonstigen Susa-Texte bestätigen durchwegs. was
befindet sich die Ski::ze eines regelmässigen Siebenecks wir schon aus früheren Quellen über die babylonische
mit den 7 eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecken, Mathematik wissen.
jedoch ohlle den Umkreis. An der Seite steht die Zahl 30.
,ln einem Schenkel der gleichschenkligen Dreiecke die 5. Zusammenfassend: Aus diesen Texten erfahren
Zahl 35. Hier liegt wohl das Zusammenspiel mit der wir eine Reihe wichtiger neuer Eir.::elheiten über Auffil5
lImfilngshcrechnung des Umkreises vor: 7.30 - 6.35. sung und Behandlung mathemCltischer Fragen im :,um€'
risch-hi1bylonischen Kulturkreis. Un::weifelhaft steht
cl N;iheren Aufschluss über diese Angelegenheit dürf fest. dass nehen rein praktischen auch richtl~lgl'h('nlk
ten wir ,HIS einer Tabelle des Textes III erhalten. der (bs theorctische Interessen vorlagen. Sie bezogen sich auf
3. Kd[litcl der Ausgilbe einleitet. Wir finden dort eine algebraische Fragen. die der Gleichungsurnformun9 und
Zu~arnrnenstellungvon Konstanten. und darunter Nähe Gleichungsauflösung angehören. und auf Rechnungen an
rungszahlen für die Flächen L;, fr,. f der zugehörigen geometrischen Gebilden. wie dem regelmässigen Fünf
7
regelmässigen n-Ecke. falls die Seite gleich 1 geset::t und Siebeneck, die bereits um ihrer selbst willen unter
wird: f = q. f = 2~, f = 3H. Diese Näherungszah sucht worden sein mögen. Manches weist darauf hin.
5 6 7
Jen lassen sich einheitlich erklären. wenn man annimmt. dass wir es in Susa mit einem richtigen Schulbetrieb (für
dass der Halbmesser r des zugehörigen Umkreises aus "gehobene" Schreiber) zu tun haben. Wie nicht anders
n
der vorhin erwähnten Umfangsnäherung entnommen zu erwarten, spielt die unmittelbare Anschauung ell1e
grosse Rolle. Ob sich aus dieser Betrachtungsweise auch
-g-.
wurde 13): n = 6rn liefert rn = also für den Inkr;is- Keimlinge echter Beweise ent\\'ickelt haben. die vielleicht
miindfich weitergegeben wurden. lässt sich aus dem vor
halbmesser Pn = t y'nZ-=-32 und für die Fläche fn = liegenden Material ZWClr I'ermuten. jedoch nicht (,(lI'ei
-n--yn - sen. Auf jeden Fall kommt den Susa-Tcxten hohe Be
2 - 3:!. deutung zu. Wir wissen den Bearbeitern ~rossen D;lnk
12
----- -- 5 für die selbstlose Hingabe. mit der sie sich der Ent::lfk
Im Fall n 5 ist \!5:! - 3:! = 4. also f:; =12 .-1 = 1~. runR und der di1mit ffClnd in Hand gehenden Deutung
der Texte gewidmet haben und die an manchen Stellen
auch zur Fixierung einzelner bisher noch unsicherer oder
sogar unbekannter Worte und Redewendungen gefehrt
I~) Dieser Näherungswert wird etwa in der Vermessung,lehrc haben. Darüber belehrt uns das sorgfältig zusammenge
verwendet: Opera III. griech.-dtsch. ed. H. Schöne. Leip:ig 1903.
stellte Wortregister am Ende der Ausgabe.
S. 54-57 (bei Behimdlung des regelm;;ssigen Siebenecks). Vgl. auch
Er 7, ferner Er S. 331-335. 337-339. Herr Bruins ist gerilde d"bei. Ichenhausen (Bayern). J. E. HOFMANN
eine neue Heran-Ausgabe zu veröffentlichen. bei der die Abh;;nqig
keit von bitbyloni,chen Vorbildern deutlich ins Licht gestellt werden September 1963
",lI. •
1:1) Er 4, 205-206. Auf die dort ,mschliessende N;;hen:ng vermit
(ei, d," DI<'\l,)l1.ds;\t:es ilm gleichschenkligen Trilpe: (S. 206-207)
wll hier nicht weita eingcg;lOgen werden. weil die Angelegenheit in
diesem Sinne "rn Siebeneck noch keineswegs hinreiche"d geklärt er 14) Dieser N;;herung~wert wird also in MeT. 59 von H"rrn
scheint. Vgl. ferner V9 68-70. Neugebauer zu Unrecht als unannehmbar bezeichnet.
MÉMOIRES
TOME XXXIV
MISSION DE SUSIANE
TEXTES MATHEMATIQUES DE SUSE