Systèmes dynamiques : Une introduction

292 Pages·2003·45.58 MB·French

by  Charles-Michel Marle

,
MATHEMATIQUES
2ecycle
s et exercices corriges

2E
MATHEMATIQUES POUR LE CYCLE
Collection dirigee par Charles-Michel MARLE et Philippe PILIBOSSIAN
SYSTEMES
DYNAMIQUES
U ne introduction
Charles-Michel MARLE
Professeur emerite
Universite Pierre et Marie Curie
Dans la meme collection Mathematlques pour le ae cycle
..,. Algebre et theorie des nombres. Cryptographie - Primalite, Sabah Al Fakir,
288 pages .
..,. Algebre lineaire, Francette Bories-Longuet, 160 pages .
..,. Algebre lineaire numerique. Cours et exercices, Gregoire Allaire et Sidi Mahmoud
Kaber, 256 pages .
..,. Analyse complexe et distributions, Alain Yger, 400 pages .
..,. Calcul differentiel, Gilles Christo!, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 224 pages .
..,. Cours d'algebre, Renee Elkik, 192 pages .
..,. Cours de calcul formel. Algorithmes fondamentaux, Philippe Saux Picart, 192 pages .
..,. Cours de calcul formel. Corps finis -Systemes polynomiaux -Applications, Philippe
Saux Picart et Eric Rannou, 224 pages .
..,. Distributions - Espaces de Sobolev, Applications, Marie-Therese Lacroix-Sonrier,
160 pages .
..,. Elements d'analyse convexe et variationnelle, Dominique Aze, 240 pages .
..,. Elements d'integration et d'analyse fonctionnelle, Aziz El Kacimi Alaoui, 256 pages .
..,. Geometrie differentielle avec 80 figures, Catherine Doss-Bachelet, Jean-Pierre
Fran~oise et Claude Piguet, 208 pages .
..,. Integration et theorie de la mesure - Une approche geometrique, Paul Kree,
240 pages .
a
..,. Introduction Scilab. Exercices pratiques corriges d'algebre lineaire, Gregoire
Allaire et Sidi Mahmoud Kaber, 240 pages .
..,. Les groupes finis et leurs representations, Gerard Rauch, 192 pages .
..,. Logique, ensemble, categories. Le point de vue constructif, Pierre Ageron, 128 pages .
..,. Precis d'analyse reelle. Topologie - Calcul differentiel -Methodes d'approximations,
vol. 1, Vilmos Komornik, 208 pages .
..,. Precis d'analyse reelle. Analyse fonctionnelle -Integrate de Lebesgue -Espaces
fonctionnels, vol. 2, Vilmos Komornik, 256 pages .
..,. Quelques aspects des mathematiques actuelles, ouvrage collectif, 256 pages .
..,. Systemes dynamiques. Une introduction, Charles-Michel Marie, 288 pages .
..,. Theorie de Galois, Ivan Gozard, 224 pages .
..,. Topologie, Gilles Christal, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 192 pages .
a
..,. Une introduction la geometrie projective, Daniel Lehmann, 128 pages.
Ouvrages du meme auteur
• Les ecoulements polyphasiques en milieu poreux, (premiere edition 175 pages, seconde
edition augmentee 300 pages). Technip, Paris, 1965 et 1972.
• Mesures et probabilites (474 pages), Hermann, Paris, 1974.
• Symplectic Geometry and Analytical Mechanics (526 pages, avec Paulette Libermann),
D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1987.
• Topologie (192 pages, avec Gilles Christal et Anne Cot), Ellipses I editions marketing
S.A.,Paris, 1997.
• Calcul differentiel (224 pages, avec Gilles Christal et Anne Cot), Ellipses I editions
marketing S.A., Paris, 1997.
®
ISBN 2-7298-1530-9
DANGER
© Ellipses Edition Marketing S.A., 2003 P!IOIOCOPIUAGE
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 TUELEUVRE
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but d'exemple et d'illustration, « toute representation au reproduction integrale ou partielle faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause esl illicile » (Ari. L.122·4).
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sanctionnee par Jes articles L. 335·2 et suivants du Code de la proprie1e intellectuelle.
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Presentation de la Collection
Mathematiques pour le deuxieme cycle
a
Cette collection se propose de mettre la disposition des etudiants de licence et
de maitrise de mathematiques des ouvrages couvrant J'essentiel des programmes
actuels des universites franqaises. Certains de ces ouvrages pourront etre utiles
aussi aux etudiants qui preparent le CAPES ou J'agregation, ainsi qu'aux eleves
des grandes ecoles.
a
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles tous : les sujets traites sont
presentes de maniere simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement
la rigueur mathematique. Chaque volume comporte un expose du cours avec des
demonstrations detaillees de tous les resultats essentiels, et de nombreux exercices
corriges.
Charles-Michel Marle Philippe Pilibossian

Avant-propos
Ce livre est issu d'un cours que j'ai professe pendant plusieurs annees a l'Universite
Pierre et Marie Curie. J' avais auparavant enseigne le Calcul differentiel comme on le fait
traditionnellement dans les universites fran~aises (l'ouvrage [18] de la meme collection
est, en partie, issu de cet enseignement), c'est-a-dire en me limitant, faute de temps, a
la presentation des principales definitions et a la preuve des grands theoremes (inversion
locale, fonctions implicites, existence et unicite des solutions maximales des equations
differentielles sous les hypotheses de Cauchy-Lipschitz, differentiabilite par rapport aux
donnees de Cauchy). Je m'etais aper~u du fait que cet enseignement etait trop abstrait pour
faire sentir aux etudiants !'importance et l'interet du sujet. Je souhaitais leur presenter, a
la suite du cours de Calcul differentiel, un enseignement ne necessitant pas beaucoup de
connaissances prealables autres que celles normalement acquises dans ce cours, illustrant
I' utilisation de ces grands theoremes pour des applications precises, et ouvert sur des sujets
de recherche actuels. La theorie des systemes dynamiques m'a semble satisfaire tous ces
criteres.
Certes, j 'ai dO me limiter, dans ce livre de niveau second cycle, aux aspects relativement
elementaires de la theorie. Pour l'etude des aspects plus avances, les ouvrages (princi
palement en langue anglaise) ne manquent pas; le lecteur pourra consulter les conseils de
lecture et la liste bibliographique figurant a la fin du present ouvrage.
J' aid' abord songe a commencer cet ouvrage par un chapitre de geometrie differentielle, car
les varietes differentiables constituent le cadre naturel pour I' etude globale des systemes
dynamiques differentiables. Quelques discussions avec des collegues m' en ont dissuade : la
presentation, des le premier chapitre, de notions nouvelles relativement abstraites (varietes
differentiables, espaces et fibres tangents et cotangents) risquait de decourager certains
lecteurs. C'est pourquoij'ai choisi d'exposer d'abord la theorie dans le cadre des espaces
affines de dimension finie. Cela suffit pour la presentation et l'etude de la plupart des
notions ayant un caractere local.
Cependant, la notion de variete differentiable apparait inevitablement, meme lorsque les
systemes dynamiques consideres sont definis sur un ouvert d'un espace affine (ne serait
ce que sous forme de varietes stable et instable d'un point d'equilibre hyperbolique).
J' ai done presente les quelques notions de geometrie differentielle necessaires pour la
comprehension de ce livre dans un dernier chapitre, avec d' autres complements. Le lecteur
n'en aura pas besoin avant le chapitre V; aguerri par l'etude des quatre premiers chapitres
il pourra, lorsqu'il en en eprouvera le besoin, se reporter au chapitre VII oil il trouvera un
expose bref, mais rigoureux et complet, de toutes ces notions.
II m'a semble utile aussi d'inclure dans le present livre les preuves de certains resultats de
Topologie rarement donnees dans les cours de ce niveau. Le lecteur trouvera par exemple,
au chapitre VII, une preuve du theoreme de Jordan, ainsi qu'une preuve elementaire de la
simple connexite de l'interieur d'une courbe de Jordan (ce dernier resultat est en general
enseigne a un niveau plus eleve, une fois acquise la theorie de l'homologie). Ces resultats
vi Avant-propos
sont utilises au chapitre IV pour la demonstration du theoreme de Poincare-Bendixson, et
au chapitre VI pour la theorie de l'indice.
a a
J'ai voulu eviter au lecteur d'avoir se reporter trop souvent d'autres parties eloignees du
texte. C'est pourquoi le reperage des formules, par des signes tels que ( *) , (* *) ou ( *** ),
a
est le plus souvent local; il n'a de valeur que dans le paragraphe courant. Les renvois
d'autres parties du texte se font par le numero de chapitre en chiffres romains, suivi des
numeros de paragraphe et de sous-paragraphe et, eventuellement, de la lettre reperant le
sous-sous-paragraphe. Exemples : V.6.3 designe le theoreme de Hartman et Grohman pour
un systeme dynamique a temps continu. A l'interieur d'un meme chapitre, le numero de
chapitre est omis.
J'ai ete beaucoup encourage par les etudiants qui ont suivi mon cours et ont manifeste un
reel interet pour les sujets traites. Je les remercie tous chaleureusement. Mes remerciements
a
s'adressent aussi aux collegues qui se sont interesses ce cours, parfois en participant
a
son enseignement: Dominique Bernardi, Jacky Cresson, Jean-Charles Moreau, Daniel
Pecker, Bertrand Schuman, Bruno Vallet.
a
Je remercie mon collegue et ami Paul Kree, qui a participe l'enseignement dont est
issu ce livre et m'a fait nombre de suggestions judicieuses : alors que je traitais des
systemes dynamiques differentiables, il presentait aux etudiants les aspects probabilistes
a
de la theorie. Nous avions songe tirer de notre cours un livre commun, mais nos sujets
d'interet ayant diverge, ce projet n'a pas abouti, ou plut6t s'est transforme pour aboutir
a
d'une part l'ouvrage [38] de Paul Kree dans la meme collection, d'autre part au present
livre.
Paulette Libermann et Tadashi Tokieda ont lu, l'une la totalite, l'autre les quatre
premiers chapitres du manuscrit, et m'ont permis de faire de nombreuses corrections
et ameliorations. Je leur exprime toute ma reconnaissance pour leur aide et pour l'interet
qu'ils ont temoigne pour mon travail, en precisant que je reste seul responsable des
imperfections qui peuvent subsister dans ce livre.
La realisation de ce livre n'aurait pas ete possible sans les logiciels TEX et METAFONT,
a
dus Donald Knuth, utilises pour sa typographie, et le logiciel MetaPost (derive de META
a
FONT) du John Hobby, que j' ai employe pour faire les figures qui l'illustrent. Je me joins
a
toute la communaute mathematique pour remercier les createurs de ces logiciels de les
a
avoir genereusement mis gratuitement la disposition de tous. Une attitude qui contraste
singulierement avec celle du plus grand nombre, de nos jours ou l' esprit mercantile est
glorifie!
Je remercie mon co-directeur de collection Philippe Pilibossian, ainsi que Corinne Baud,
des Editions Ellipses, pour leur aide patiente et attentive.
Paris, fevrier 2003
Charles-Michel Marie
Table des matieres
Chapitre premier. Generalites sur Jes systemes dynamiques .
1. La notion de systeme dynamique . . . . . . . . . 1
2. Trajectoires, orbites et ensembles limites . . . . . 5
3. Generateur (infinitesimal) d'un systeme dynamique 7
4. Exemples de systemes dynamiques 9
5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapitre II. Rappels sur Jes equations differentielles 18
1. Equations differentielles sous forme canonique 18
2. Le theoreme d'existence et d'unicite 19
3. Bouts d'une solution maximale . . . 22
4. Le flot d'une equation differentielle . 25
5. Transformation par diffeomorphisme 31
6. Exercices . . . . . . . . . . . . . 33
7. Solutions . . . . . . . . . . . . . 34
Chapitre III. Points d'equilibre d'un systeme dynamique 39
1. Generalites sur les points d'equiliLre . . 39
2. Stabilite d'un point d'equilibre . . . . . 42
3. Bassin d'attraction d'un point d'equilibre 50
4. Points d'equilibre instables . . . . . . 52
5. Points d'equilibre des champs lineaires en dimension 2 54
6. Le flot d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point d'equilibre 58
7. Cas d'un champ de vecteurs dans le plan 68
8. Exercices . . . . . . . . . . . 88
9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . 89
Chapitre IV. Orbites periodiques .... 93
1. Generalites sur les orbites periodiques 93
2. Temps de transit et application de Poincare 95
3. Orbites periodiques attractives . . . . 107
4. Un exemple: !'equation de Van der Pol 108
5. Le theoreme de Poincare-Bendixson 121
6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . 129
7. Solutions . . . . . . . . . . . . . . 130
Chapitre V. Linearisation et conjugaison 136
1. Linearisation au voisinage d' un point d' equilibre 136
2. Conjugaison topologique ou differentiable 138
a
3. Obstacles la conjugaison . . . . . . . . . 142
4. Quelques resultats preliminaires . . . . . . 144
5. Cas d'un systeme dynamique at emps discret 150
a
6. Cas d'un systeme dynamique temps continu 157
7. Varietes stable et instable d'un point hyperbolique 159
8. Conjugaison differentiable . . . . . . . . . . . 173
viii Table des matieres
9. Application aux orbites periodiques 174
10. Exercices .......... . 175
11. Solutions . . . . . . . . . . . . . 175
Chapitre VI. La theorie de l'indice .. 177
1. Le degre d'une application du cercle dans lui-meme 177
2. Courbes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 183
a
3. lndice d'une courbe de Jordan relativement un champ de vecteurs 188
4. lndice d'un point d'equilibre isole ..... . 196
5. Le theoreme de Poincare-Hopf ....... . 198
6. Variantes et extensions de la theorie de l'indice 204
7. Exercices . . . . . . . . 206
8. Solutions . . . . . . . . . . . 206
Chapitre VII. Complements . . . 208
1. Complements d' algebre lineaire 208
2. Complements au theoreme du point fixe 222
3. Le theoreme de Jordan . . . . . . 226
4. Notions de geometrie differentielle 247
5. Les fibres tangent et cotangent 253
6. Orientation 262
7. Exercices . 265
8. Solutions . 266
Bibliographie . 273
I . Conseils de lecture 273
2. References 274
Index ........ . 277