Subvolume B

659 Pages·1982·41.005 MB·English

by  H. Gebrande (auth.), G. Angenheister (eds.)

Ref. p. 961 3.1 Elasticity of rocks and minerals 1
3 Elasticity and inelasticity - Elastizitiit und Inelastizitiit
3.1 Elastic wave velocities and constants of elasticity of rocks
and rock forming minerals - Geschwindigkeiten elastischer Wellen
und Elastizitiits-Konstanten von Gesteinen und gesteinsbildenden Mineralen
3.1.1 Introduction - Einleitung
3.1.1.1 Notation, units and abbreviations - Bezeichnungen,E inheiten und Abkiirzungen
The following notations are used throughout chap- Die folgenden Bezeichnungenw erden einheitlich im
ter 3. Some other notations are used in individual ganzen Kapitel 3 verwendet. Einige weitere Bezeich-
sections only and are explained there. nungen werden nur in einzelnen Abschnitten verwendet
und sind dort erlautert.
P CMPal pressure- Druck
Pe xt CMPal external (confining) pressure- HuBererD ruck (Umschliegungsdruck)
Pp ore CMPal pore fluid pressure- Druck der Porenfhissigkeit
T c”C,K l temperature - Temperatur
e Ckgm - 7 density - Dichte
[m s-l] velocity - Geschwindigkeit
V
[m s- ‘1 compressional wave velocity, longitudinal wave velocity, P wave velocity -
VP, VP
Kompressionswellen-Geschwindigkeit, Geschwindigkeit longitudinaler Wellen,
P-Wellen-Geschwindigkeit
usu, s [m s-l] shear wave velocity, transverse wave velocity, S wave velocity -
Scherwellen-Geschwindigkeit, Geschwindigkeit transversaler Wellen,
S-Wellen-Geschwindigkeit
K Wal bulk molulus - Kompressionsmodul
G (=A CGPal shear modulus - Scherungsmodul
E CG?al Young’s modulus - E-Modul
Poisson’s ratio - Poisson-Zahl
$(=1/K) [TPa-‘1 compressibility - Kompressibilitat
Cvo%l I porosity (volume %) - Porositat (Volumen- %)
A [%I velocity anisotropy - Geschwindigkeits-Anisotropie A = lOO(v,,, - v,Jti
fii mean atomic weight - mittleres Atomgewicht
C Ill” CGPal elastic stiffnesses- Elastizitatsmoduln (m, n = 1. ..6)
sI ll” [TPa-‘1 elastic compliances - Elastizitatskoeffizienten (m, n = 1.. .6)
I orthogonal to foliation or bedding - senkrecht zur Schichtung oder Schieferung
II parallel to foliation or bedding - parallel zur Schichtung oder Schieferung
Superscript symbols denote: Hochgestellte Symbole bedeuten:
arithmetic mean - arithmetrische Mittelung
V Voigt’s average- Mittelung nach Voigt
R Reuss’sa verage- Mittelung nach Reuss
VRH Voigt-Reuss-Hill average- Voigt-Reuss-Hill-Mittelung
The following abbreviations are used in the column In der Spalte ,,Notes“ werden folgendeA bktirzungen
“Notes”: verwendet:
3D(3S) mean values of 3 directions, measured on 3 different samples-
Werte sind gemittelt tiber 3 Richtungen, gemessena n 3 verschiedenenP roben
3oD(lS) mean values of 3 orthogonal directions, measured on the sames ample -
Werte sind gemittelt tiber 3 orthogonale Richtungen, gemessena n der gleichen Probe
lD@S) mean values of 4 different samples,m easuredi n the samed irection -
Werte sind gemittelt tiber 4 verschiedeneP roben, gemessenin der gleichen Richtung
Other combinations are to be understood accordingly! -
Andere Kombinationen sind analog zu verstehen!
dry dry sample - trockene Probe
wet wet sample - feuchte Probe
2 3.1 ElastizitIt von Gesteinen und Mineralen [Lit. S. 96
satw water-saturated sample - wassergesgttigteP robe
satb brine-saturated sample - SalzwassergesIttigteP robe
? questionable datum - Angabe unsicher
The modal composition of rocks is characterized Zur Charakterisierung des modalen Stoffbestands
by the following abbreviations: von Gesteinen werden folgende Abkiirzungen ver-
wendet :
ab albite fo forsterite opx orthopyroxene
am amphibole fsp feldspar or orthoclase
an anorthite w garnet phy phyllosilicates
ap apatite is! glass Pig plagioclase
augite hbl hornblende pump pumpellyite
El biotite hy hypersthene Px pyroxene
br bronzite kfsp alkali feldspar w quartz
ca calcite ke! kelyphite sau saussuritization
car carbonate ma magnetite sil sillimanite
chl chlorite mi mica serp serpentine
chr chromite mu muscovite vh sphene
cpx clinopyroxene ne nepheline vm symplectite
do dolomite olivine tit titanite
01
en enstatite om omphacite zeo zeolite
epidote oP opaque ZO zoisite
;: fayalite
Prefixed numbers specify the content (~01%)o f the Vorangestellte Zahlen geben den Gehalt des be-
respective minerals in the rock. An annexed capital treffenden Minerals im Gestein in ~01% an. Nach-
symbol characterizest he composition of solid solution gestellte groBgeschriebeneS ymbole mit Index charak-
series, the subscript indicating the mol% fraction terisieren die Zusammensetzung von Mischkristallen,
(weight % as exceptions) of the respective component. wobei der Index den Anteil der betreffenden Kompo-
For example: nente in mol % (ausnahmsweises uch in Gewichts “%)
angibt. Z. B. bedeuten:
35 serp stands for 35 vol ‘A serpentine 35 serp 35 ~01% Serpentin im Gestein
30 pig/An,, stands for 30 ~01% plagioclase 30 pig/An,, 30 ~01% Plagioklas mit 20 mol %
with 20 mol% anorthite. Anorthit.
The modal analyses have been simplified in some Der modale Stoffbestand ist z.T. in vereinfachter
casesF. or more detailed informations the reader should Form angegebenG. enauere Informationen sind der an-
refer to the quoted original literature. gegebenenO riginalliteratur zu entnehmen.
Values given in other units have been converted Zur Umrechnung von MeDwerten in SI-Einheiten
into !&units by means of the following identities: wurden folgende Relationen verwendet:
1 m = 39.37i n = 3.2808f t
1 MPa=lO bar=107 dyn/cm2=9.869 atm=145.04 psi (lbf/in2)
3.1.1.2 General remarks - Allgemeine Bemerkungen
By seismic methods the velocities of seismic waves Mit seismischenM ethoden k8nnen die Geschwin-
and their variation in the Earth’s interior can be digkeiten seismischerW ellen und deren Variation im
determined. To interpret these results in terms of Erdinnem bestimmt werden. Urn hieraus auf den Stoff-
composition and physical state,c omparative laboratory bestand und den physikalischen Zustand im Erdinnem
investigations of rocks and minerals under controlled schlieBenz u kiinnen, sind Vergleichsuntersuchungena n
conditions are required. This chapter summarizes Gesteinsproben und Mineralen unter kontrollierten
results of such laboratory measurements.R esults of Bedingungen im Laboratorium erforderlich. Der vor-
in-situ measurementsa re presentedi n Volume V/2. liegende Abschnitt enthIlt Ergebnissed erartiger Labor-
untersuchungen. Die Ergebnisse seismischer in-situ-
Messungen werden im Band V/2 dargestellt.
Seismic in-situ measurementsa re carried out in the Bei seismischen in-situ-Messungen liegen die Fre-
frequency range from about l...150Hz, laboratory quenzen etwa zwischen 1 und 150 Hz, bei Laborunter-
investigations, however, generally in the ultrasonic suchungen dagegen im allgemeinen im Ultraschall-
range of some 104...107H z. Fortunately, the elastic bereich zwischen etwa lo4 und lo7 Hz. Zum Gliick
Gebrande
Ref. p. 961 3.1 Elasticity of rocks and minerals 3
properties of rocks are practically frequency independent sind die elastischen Eigenschaftenv on Gesteinen prak-
[Ku54, Pe61]. (The theoretical possibility of dispersion tisch frequenzunabhiingig [Ku54, Pe61]. (Die theore-
in partially saturated high porosity rocks [Ge61, Do771 tische Moglichkeit einer Dispersion in partiell geslt-
seemsl ess important in practice.) If the wavelength is tigten hoch-porosen Gesteinen [Ge61, Do771 scheint
greater than about 3 times the diameter of the grains fur die Praxis weniger bedeutend.) Sofern die ver-
and the sample diameter is at least 5 times the wave- wendeten Wellenlangen mindestens3 mal gr6Ber als die
length, the velocities of ultrasonic elastic waves in Korndurchmesser und die Probendurchmesser min-
rock samplesc an be considered equal to the velocities destens5 mal grijDer als die Wellenlangen sind, kijnnen
of seismic body waves in large rock bodies [An68]. die Geschwindigkeiten von Ultraschallwellen in Ge-
However, systematic differences between statically steinsproben mit denen seismischer Raumwellen in
[zero frequency) and dynamically determined elastic ausgedehnten Gesteinskorpern gleichgesetzt werden
properties of rocks exist, especially at zero pressure [An68]. Systematische Unterschiede bestehen aller-
[see 3.1.3.1.8).I f not explicitely stated otherwise all dings, besonders bei Normaldruck, zwischen den sta-
elastic constants in this chapter have been dynamically tisch (Frequenz Null) und den dynamisch bestimmten
measured. elastischen Eigenschaftenv on Gesteinen (vgl. 3.1.3.1.8).
Sofern nicht anders vermerkt, sind die in diesem Ab-
schnitt angegebenene lastischenK onstanten dynamisch
bestimmt worden.
Several measuring methods are suited- for the Zur Bestimmung der elastischenE igenschaften von
determination of elastic properties of rocks and Gesteinen und Mineralen sind verschiedene Me&
minerals and have been summarized among others by methoden geeignet, die ua. in [Si65] und [An681 zu-
[Si65] and [An68]. More recently, the method of sammenfassendb eschrieben sind. Fur Minerale wird
Brillouin scattering has become available for minerals neuerdings zultzlich das Verfahren der Brillouin-
[An69a, We75]. Nowadays seismic wave velocities Streuung verwendet [An69a, We75]. Die seismischen
in rock samples are measured almost exclusively by Geschwindigkeiten in Gesteinsproben werden heute
different variations of the ultrasonic pulse-transmis- fast ausschliel3lich nach verschiedenen Varianten des
sion technique [Bi60, Si64a, Ke75]. These methods Ultraschall-Impuls-Verfahrens [Bi60, Si64a, Ke75] be-
are readily adaptable to measurementsa t high tem- stimmt. Es eignet sich insbesonderes uch zu Messungen
peratures and pressures.T he accuracy as quoted by bei erhohten Drucken und Temperaturen. Die absolute
most authors is 0.5 to 2 %; the relative precision within Genauigkeit des Verfahrens wird von den meisten
a single series of measurement may be much better Autoren mit 0.5...2 % angegeben;d ie relative Genauig-
[Ch74], which is important for the determination of keit innerhalb einzelner Megserien kann wesentlich
pressure and temperature derivatives (see 3.1.3 and bessers ein [Ch74], was fiir die Bestimmung der Druck-
3.1.4). und Temperaturabhlngigkeit von Bedeutung ist (vgl.
3.1.3u nd 3.1.4).
The elastic properties of rocks depend on a large Die elastischenE igenschaftenv on Gesteinenw erden
number of lithologic parameters (such as chemical and durch eine Vielzahl von lithologischen Parametern (wie
mineralogical composition, rock texture, porosity, z. B. chemischeu nd mineralogische Zusammensetzung,
pore geometry, pore content), on physical parameters Gesteinsgefuge, Porositat, Porengeometrie, Porenful-
(such as temperature, confining pressure, internal lung) und physikalischen Parametern (wie Temperatur,
stresses and strains) and eventually on the sample externer Druck, interner Spannungs- und Deforma-
history or the experimental conditions (see Fig. 2). tionszustand) beeinflul3t und hangen u.U. such von
The above-mentioned parameters are often known der tirgeschichte (vgl. Fig. 2), bzw. den experimentellen
insufficiently only and their influence may therefore Bedingungen ab. Die genannten Parameter sind oft nur
be difficult to assess.I t is hoped that the following unzureichend bekannt und ihr Einflul3 ist daher nur
tables and figures will not only be useful as reference schwer zu iiberblicken. Es ist zu hoffen, da13d ie nachfol-
for individual values which are widespread in the genden Tabellen und Abbildungen nicht nur das Auf-
literature, but will also facilitate the understanding finden konkreter, in der Literatur weit verstreuter MeD-
of the different factors influencing seismic velocities. werte ermoglichen, sondern such den Uberblick tiber
die verschiedenen Einflugfaktoren erleichtern konnen.
Older tables on elastic wave velocities and elastic Tabellen Blteren Datums tiber Geschwindigkeiten
constants of rocks may be found in [Bi60, Pr66] and elastischer Wellen und elastische Konstanten von Ge-
[An68]. Furthermore, extensive tables on elastic steinen sind in [Bi60, Pr66] und [An681 zu finden.
properties of crystals [He66, He69, Si71, He791 are Dariiber hinaus existieren umfangreiche Tabellen iiber
available. die elastischen Eigenschaften von Kristallen [He66,
He69, Si71, He79].
Whereas the literature up to 1966 has been almost Wahrend in [An681 die Literatur bis etwa 1966
completely covered in [An68], the number of published nahezu vollstandig erfal3t war, ist die Zahl der publi-
Gebrande
4 3.1 Elastizitlt von Gesteinen und Mineralen I-Lit. S. 96
measurements- especially at elevated pressures- has zierten Messungen - insbesonderes uch bei erhiihtem
increased in the meantime to such an extent that a Druck - inzwischen so sehr angewachsend, al3e ine voll-
complete presentation seems neither possible nor stlndige Wiedergabe weder miiglich noch sinnvoll
meaningful. scheint.
Velocity determinations on rocks of the same type Bei Normaldruck streuen die Schallgeschwindig-
at atmospheric pressure generally show large scatter keiten in gleichartigen Gesteinen meist sehr stark, so
and the significance of single values may be questioned. daD ein einzelner MeBwert nur wenig Aussagekrafth at.
Therefore mainly mean values and standard deviations Im Abschnitt 3.1.2.1 sind daher vorwiegend Mittel-
for different groups of rocks are presented in 3.1.2.1. werte und Streubereiche ftir verschiedene Gesteins-
Series of measurements on individual rock samples, gruppen angegeben.M eDserien an einzelnen Gesteins-
however, have been compiled in 3.1.3 for varying proben sind dagegen im Abschnitt 3.1.3 fiir variablen
pressuresa nd in subsection 3.1.4 for varying pressures Druck und im Abschnitt 3.1.4 ftir variablen Druck
and temperatures. u& variable Temperatur zusammengestellt.
3.1.1.3 Formulae and theoretical relations - Formeln und theoretische Zusammenhiinge
Many rocks behavee lnstid~ isotropic. The elastic- Viele Gesteine verhalten sich elastisch isotrop. Die
ity of isotropic bodies is fully described by two elastic Elastizitiit isotroper K6rper wird durch zwei elastische
constants. Different pairs of constants, however, are Konstanten vollstlndig beschrieben.E s sind allerdings
in use in the literature. They are summarized in Table 1 in der Literatur unterschiedliche elastischeK onstanten
together with their connecting identities. gebr$uchlich. Sie sind in Tab.1 mit den zugehijrigen
Verkniipfungen zusammengefaat.
Table 1. Elastic constants of isotropic media and their
connecting identities - Elastische Konstanten isotroper
Medien und ihre Verkniipfungen.
K bulk modulus (Kompressionsmodul)
G shear modulus (Scherungsmodul)
i. 1. Lam& constant (1. LamC’scheK onstante)
p( = G) 2. Lam& constant (2. LamC’scheK onstante)
E Young’s modulus (Elastizit$smodul)
a Poisson’s ratio (Poisson-Zahl)
K,G 1. u E. a
E
A+&1 -
3(1-2a)
E
G,P G
2+2a
Ea
I. K-$G 1
(l+a)(l-2a)
9KG 31.+2/1 E
E - -
3K+G p RSp
3K-2G 1
a
2(3K+G) 20,+/J) a
In geophysics, the constants K and G are mainly In der Geophysik wird meist das Konstanten-Paar
used. The wave velocities up and u, depend upon them K und G verwendet. Die Geschwindigkeiten up und u,
and on density Q according to Eqs.( la) and (1b ). htingen hiervon und von der Dichte Q gemID Gl. (1 a)
und (1 b) ab.
“p=(! y!?)’
G+
us= (- )
e
By using the relations listed in Table1 the wave Durch Verwendung der Verkniipfungen aus Tab.1
velocities can be expressedb y any other pair of elastic lassen sich die Wellengeschwindigkeiten such durch
constants. andere elastische Konstanten ausdriicken.
Gebrande
Ref. p. 961 3.1 Elasticity of rocks and minerals 5
1
Poisson’s ratio and the ratio of wave velocities Die Poisson-Zahl und das Verhaltnis der Wellen-
are unambiguously connected by: geschwindigkeiten sind eindeutig miteinander ver-
kntipft gemaD:
2-20
(q%)2 = ~ (24
l-2c7
1 (ybJ2 - 2
(2b)
O=2 (u,/u,)2-l
This relation is shown graphically in Fig. 1. Der Zusammenhang ist in Fig. 1 dargestellt.
T
b
Fig. 1. Interrelation betweent he u&-ratio and Poisson’s
ratio crf or isotropic media.
Another quantity often used is the seismic para- Eine weitere in der Seismik haufig verwendete
meter cp as defined by GroBe ist der Seismische Parameter q, der wie folgt
definiert ist :
(3)
Because of the small thermal conductivity of rocks Wegen der geringen Warmeleitfahigkeit der Gesteine
(see Chapter 4.1) elastic waves propagate practically (vgl. Kap. 4.1)e rfolgt die Ausbreitung elastischerW ellen
adiabatically. The dynamically measured elastic con- praktisch adiabatisch. Die dynamisch gemessenen
stants are therefore constants at constant entropy elastischen Konstanten werden daher such als Kon-
and are distinguished by the subscript S from the stanten bei konstanter Entropie bezeichnet und durch
elastic constants at constant temperature (subscript T). den Index S von den elastischen Konstanten bei kon-
With thermodynamics it follows that: stanter Temperatur (Index T) unterschieden. Theore-
tisch gilt der Zusammenhang:
K,=K,(l +a2 KTT*/ec,), (44
Gs=G, (49
u, T* and c, are the coefficient of thermal volume Dabei ist tl der thermische Volumen-Ausdehnungs-
expansion, absolute temperature and specific heat koefhzient, T* die absolute Temperatur und c, die
capacity at constant volume, respectively.T he difference spezifische Warme bei konstantem Volumen. Der
between isentropic and isothermal bulk modulus is Unterschied zwischen dem isentropen und dem iso-
about 0.5...1.3 % for rocks at room temperature and thermen Kompressionsmodul betrtigt fur Gesteine bei
can therefore be neglected for most applications. In Normaltemperatur etwa 0.5...1.3% und ist daher fur
the following, the dynamically measured elastic con- die meisten Anwendungen zu vernachllssigen. Im
stants will be written without the subscript S. weiteren Verlauf diesesK apitels werden die dynamisch
bestimmten Konstanten ohne den Index S geschrieben.
All minerals and many sedimentary and meta- Alle Minerale und such viele sedimentare und
morphic rocks behave elastically anisotropic. This also metamorphe Gesteine verhalten sich elastischa nisotrop
applies for the wave propagation. The elastic stiffnesses und dies gilt daher au& fur die Ausbreitungsgeschwin-
Cijkl of anisotropic media are defined by the generalized digkeiten. Die Elastizitatsmoduln eines anisotropen
Hooke’s law: Mediums sind durch das allgemeine Hookesche Gesetz
(i,j,k,1=1,2,3) (5)
zij= CijklEkl
where zij and sk, are stress and deformation tensors, definiert, wobei zij und ek, Spannungs- und Defor-
respectively, and the summation convention applies mationstensor bedeuten und nach der Summenkonven-
Gebrande
6 3.1 ElastizitZt von Gesteinen und Mineralen [Lit. S. 96
(products with the same subscript appearing twice tion iiber zweifach in einem Produkt erscheinende
are summed up). The stiffnesses Cijr, form a fourth- Indizes summiert wird. Die Cijr, bilden einen Tensor
rank tensor with a maximum of 21 independent 4. Stufe mit maximal 21 unabhgngigen Komponenten.
components. As usual (see [Ny57, He61, Tr69]) the In den folgenden Tabellen wird, wie allgemein iiblich,
contracted notation of Voigt [Vo28] die auf Voigt po28] zuriickgehende verkiirzte Schreib-
weise
cm”&” (n, m=1...6) (6)
7, =
is used in the following tables. Stressesa nd strains are verwendet (vgl. [Ny57, He61, Tr69]). Die Spannungen
written as column matrices and the stiffnesses as a und Deformationen sind hier in Form von Spalten-
6x6 matrix. The indices n and m are obtained from matrizen und die ElastizitItsmoduln als Matrix der
the ij and kl by the index transformation: Ordnung sechsg eschrieben.D ie n und m gehena us den
ij und kl durch die Indextransformation
The shear strains are transformed according to hervor. Die Scherdeformationen werden dabei gemgl3
En=2 Ek, (n>%
all other matrix elements are numerically identical to transformiert; die iibrigen Matrix-Elemente unter-
the tensor components in Eq. (5). Alternatively to scheiden sich dagegen numerisch nicht von den Ten-
Eq. (6) the strains may be expressedi n terms of stresses sorkomponenten in Gl. (5). Die Auflijsung von Gi. (6)
by the equation nach den Deformationen ergibt :
5n=Smn5, (n, m=1...6) (7)
where the constants S,, are the so-called compliance% Die hierbei auftretenden Konstanten S,, werden als
The C,, and S,, form symmetrical 6 x 6 matrices ElastizitHtskoeffizienten bezeichnet. Die C,, und S,,
with 21 independent elements in the general case of a bilden symmetrische 6x 6 Matrizen mit maximal 21
triclinic material. Symmetry properties of minerals unabhgngigen Elementen( triklines System).S ymmetrie-
or rocks lead to a reduction in the number of indepen- Eigenschaften der Minerale oder Gesteine ftihren zu
dent constants. Schemes for the different symmetry einer Verminderung der Zahl der unabhgngigen Kon-
classesa re shown in section 3.1.2.5,T able 6. stanten. Die Schemata sind jeweils bei den einzelnen
Symmetrieklasseni n 3.1.2.5,T ab. 6 angegeben.
Application of the matrix notation for anisotropic Die Anwendung der Matrix-Schreibweise ftir an-
media to the isotropic case gives the &-matrix: isotrope Medien auf den isotropen Fall ergibt die C,,-
Matrix:
Cl, Cl2C l, * . .
c,, Cl, c,, . * . \
C,,=K+jG
\ with C,,=K-?G
Cl2 Cl2 Cl, . . 1
. . -44. C,,=G
. . . . C . =o
\ . . . . .
If no preferred orientation of mineral grains and their Sofern keine bevorzugte Orientierung von Mineral-
crystallographic axes exists, polycrystalline aggregates kiirnern und ihrer kristallographischen Achsen vor-
of anisotropic minerals may behave isotropically. The handen ist, verhalten sich such polykristalline Mineral-
elastic constants of monomineral isotropic aggregates aggregate isotrop. Die elastischen Konstanten mono-
can be estimated from the single crystal properties mineralischer isotroper Aggregate kiinnen nach den
according to the averaging schemeso f Voigt [Vo28] Mittelungsverfahren von Voigt vo28] und Reuss
and Reuss [Re29]: [Re29] abgeschltzt werden:
&A-
3A=C,,+C,,+CJ3
3
3B=C23+C31+C12
Gv=A-B+3C
3c=c4,+c,,+c6,5 W
5
Gebrande
Ref. p. 961 3.1 Elasticity of rocks and minerals 7
1
p- 3a =S1,+S,,+S,, (94
3(a+2b)
3b =S,,+S,,+S,,
5
GR= 3c =s,,+s,,+s66 (W
4a-4b+3c
The superscripts V and R characterize the bulk and Die Indizes V und R kennzeichnen die nach Voigt
shear moduli as defined by Voigt and Reuss. The bzw. Reuss bestimmten Kompressions- und Scher-
Voigt- and Reuss-moduli arise from the assumption moduln. Die Voigt- und Reuss-Moduln ergeben sich
of homogeneous strain and homogeneous stress, aus den Annahmen homogener Deformation bzw.
respectively, throughout the aggregate. Hill [Hi521 homogener Spannung im Aggregat. Hill [Hi521 hat
has shown that the Voigt- and Reuss-moduli are upper gezeigt, da13d ie Voigt- und Reuss-Moduln obere und
and lower bounds of the effective moduli of an isotropic untere Schranken fur die effektiven Moduln eines
aggregate and has suggested using their arithmetic isotropen Aggregats darstellen und hat ihre arith-
meansa s better approximations. Thesem ean values are metischen Mittelwerte als bessere Naherungen vor-
widely known as Voigt-Reuss-Hill (VRH) averages. geschlagen. Sie werden meist als Voigt-Reuss-Hill-
They are tabulated for rock forming minerals in 3.1.2.5, Mittelwerte bezeichnet( VRH). Sie sind im 3.1.2.5T, ab. 9
Table 9. fur gesteinsbildende Minerale tabelliert.
A generalization of the Voigt and Reuss averaging Eine Verallgemeinerung der Voigt- und Reuss’schen
schemesfo r aggregatesc omposedo f different crystalline Mittelungsverfahren fur Aggregatea usm ehrerenk ristal-
components has been given by Hill [Hi631 (see also linen Komponenten ist von Hill [Hi631 angegeben
[Wa76]). Hashin and Shtrikman [Ha62, Ha62a] worden (vgl. such [Wa76]). Hashin und Shtrikman
have shown that the Voigt-Reuss bounds could be [Ha62, Ha62a] haben gezeigt, dal3 die Voigt-Reuss-
improved, and they have derived closer bounds for Schranken verscharft werden konnen und haben ent-
aggregateso f cubic minerals. Corresponding expressions sprechende Ausdriicke fur Aggregate aus kubischen
for hexagonal, trigonal and tetragonal minerals are Mineralen abgeleitet. Entsprechende Schranken fur
given in [Pe65] and [Me66]. For perfectly disordered hexagonale, trigonale und tetragonale Minerale sind
crystals Krijner [Kr67] has developed an averaging in [Pe65] und [Me661 angegeben.F ur vollstandig un-
method giving unambiguous values of effective ag- geordnete Kristallite hat Krijner [Kr67] eine Mit-
gregate moduli. Generally the differencest o the VRH- telungsmethode entwickelt, die eindeutige Werte fur
values are small. Even with best available data on die effektiven Moduln des Aggregats liefert. Die Unter-
single crystals and aggregatesa superiority of Kroner’s schiede zu den VRH-Mittelwerten sind in der Regel
averages over the VRH-averages cannot be clearly klein. Selbst mit den besten verfugbaren Daten fur
proven [Th72]. For most geophysical applications Einkristalle und Aggregatel agt sich eine Uberlegenheit
the accuracy of the VRH-averages seemsto be adequate. der Kriinerschen Mittelung nicht eindeutig nachweisen
[Th72]. Fiir die meisten geophysikalischen Anwen-
dungen diirfte die Genauigkeit der VRH-Mittelwerte
ausreichen.
Theories on the elasticity of heterogeneousm aterials Ein umfassender Uberblick tiber Theorien zur
are comprehensively summarized in [Wa76]. Elastizitat heterogener Materialien wird in ma761
gegeben.
If crystallographic axes or grain shapeso f minerals Sofern die kristallographischen Achsen und die
are not distributed statistically isotropically, the rock Kornformen der Minerale in einem Gestein nicht
becomesm acroscopically anisotropic. Anisotropy can statistisch isotrop verteilt sind, verhalt es sich makro-
also be produced by preferred orientations of pores or skopisch anisotrop. Eine bevorzugte Orientierung von
microcracks. For each direction in an anisotropic Poren und Mikrorissen kann ebenfalls Anisotropie be-
medium, three independent elastic waves may be dingen. In jeder Richtung eines anisotropen Mediums
propagated, their velocities u being given by the kijnnen sich drei unabhangige elastische Wellen aus-
solutions of the equation breiten. Ihre Geschwindigkeiten v sind durch die
Losungen der Gleichung
lL-eu2 r,2
r
12 r22-@"= r23 =o, (10)
r r
13 23 r33-d
where the & are the Christoffel stiffnesses given by bestimmt, wobei 4, die durch
& = aj a, Cijk, (11)
and the ai (i=l, 2,3) are the direction cosines of the gegebenenC hristoffel-Moduln und die ai (i = 1,2,3) die
normal to the wave front [He61]. One wave has quasi- Richtungskosines der Wellennormalen sind [He61].
Gebrande
8 3.1 Elastizittit von Gesteinen und Mineralen [Lit. S. 96
\
longitudinal and the other two have quasi-transversal Eine Welle ist quasi-longitudinal, die anderen beiden
polarization. Their displacementsa re mutually orthog- sind quasi-transversal polarisiert. Ihre Verriickungen
onal, but in general they are not parallel and orthog- sind paarweise zueinander senkrecht, aber im allge-
onal to the wave normal. There are, however, specific meinen sind sie nicht parallel und senkrechtz ur Wellen-
directions depending on the symmetry properties normalen. Es gibt allerdings spezielle,v on den Symme-
of the medium for which pure longitudinal and trans- trieeigenschaften des Mediums abhIngige Richtungen,
versew avesc an be propagated.E ven in thesed irections in denen sich rein longitudinale und transversale
the velocities of transversew avesw ith different polariza- Wellen ausbreiten k6nnen. Auch in diesen Richtungen
tions are different in general (seeT able 7). sind die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Trans-
versalwellen mit unterschiedlicher Polarisationsrich-
tung im allgemeinen verschieden( vgl. Tab. 7).
In most cases, sound-velocity measurements on Schallgeschwindigkeitsmessungena n anisotropen
anisotropic rock samples are carried out in such Gesteinsproben werden meist in solchen bevorzugten
specific directions. Many rocks behave transversely Richtungen durchgeftihrt. Weit verbreitet sind trans-
isotropic (hexagonal symmetry). In this case pure versa]-isotropeG esteine( hexagonaleS ymmetrie).R eine
longitudinal and transverse waves may be propagated Longitudinal- und Transversalwellen kannen sich darin
parallel and orthogonal to the hexagonal axis (z-axis). parallel und senkrechtz ur hexagonalen Achse (z-Achse)
Thereby the velocities of the transverse waves pro- ausbreiten. Die Geschwindigkeiten der Transversal-
pagating orthogonal to the z-axis are different for wellen senkrecht zur z-Achse sind dabei ftir die Polari-
polarization directions parallel and orthogonal to sationsrichtungen senkrecht und parallel zur z-Achse
the z-axis. In media with hexagonal or lower symmetry, verschieden. Geschwindigkeitsmessungenv on P- und
velocity measurementso f P- and S-waves along the S-Wellen in Richtung der Hauptachsen reichen zur
three principal axes are not sufficient for the deter- vollstiindigen Bestimmung der ElastizitItsmoduln von
mination of the complete set of stiffnesses; for this Medien mit hexagonaler oder geringerer Symmetrie
purpose, additional measurements oblique to the nicht aus; hierftir sind zusItzlich Messungen schrlg zu
principal axes have to be carried out. Only few rock den Hauptachsen erforderlich. Nur wenige Gesteins-
samplesh ave been studied accordingly, e.g. in [Ch’ll] proben sind bisher entsprechend untersucht worden,
and [Ba72]. Using velocity measurements parallel z.B. in [Ch71] und [Ba72]. Von den 5 unabhgngigen
and orthogonal to the principal axis of a transversely ElastizitItsmoduln einest ransversal-isotropen Gesteins
isotropic medium only 4 of its 5 stiffnesses can be kijnnen durch Geschwindigkeitsmessungen in den
determined; C,, remains undetermined. Hauptachsenrichtungen nur 4 bestimmt werden; C,,
bleibt unbestimmt.
In most casest ransversei sotropy of rocks is due to Transversal-Isotropie von Gesteinen wird meist
foliation or bedding. An additional lineation parallel durch Schieferung oder Schichtung verursacht. Eine
to the foliation produces orthorhombic anisotropy. zus%tzlichel ineare Geftigeregelung parallel zur Schie-
The superposition of different foliations may give rise ferung ergibt rhombische Symmetrie.D ie uberlagerung
to monoclinic or even triclinic anisotropy. Generalized mehrerer Schieferungenf iihrt im allgemeinen zu mono-
Voigt-Reuss schemes for the calculation of elastic kliner oder trikliner Anisotropie. Verallgemeinerte
constants and wave velocities of anisotropic rocks Voigt-Reuss-Methoden zur Berechnung der elasti-
from single crystal data and petrofabric measurements schen Konstanten und Wellengeschwindigkeiten an-
have beend escribedi n [K168, Cr71, Ba72] and [Ba72a]. isotroper Gesteine aus Einkristall-Daten und Geftige-
messungen sind in [Kl68, Cr71, Ba72] und [Ba72a]
beschrieben.
3.1.2 Elastic wave velocities and constants of elasticity at normal conditions -
Geschwindigkeiten elastischer Wellen und Elastizitiits-Konstanten
bei Normalbedingungen
3.1.2.1 Rocks- Gesteine
Elastic wave velocities measured at atmospheric Die Geschwindigkeiten elastischer Wellen bei
pressure on different samples of the same rock type Normaldruck in verschiedenen Proben desselbenG e-
generally show large scatter, even when made by a steins-Typs streuen im allgemeinen stark, such wenn
single method. They depend not only on petrological sie mit der gleichen Methode bestimmt werden. Sie
composition and rock fabric, but are influenced to a htingen nicht nur von der petrologischen Zusammen-
large degree by the presence,s ize and orientation of setzung und dem Gesteinsgeftigea b, sondern werden
pores and cracks, and by the presenceo r absenceo f dariiber hinaus in hohem MaDe durch die Existenz,
interstitial fluids. Without detailed information about Grijl3e und Orientierung von Poren und Rissen und
these factors elastic wave velocities in a rock of known durch das Vorhandensein oder Fehlen einer Poren-
Gebrande
8 3.1 Elastizittit von Gesteinen und Mineralen [Lit. S. 96
\
longitudinal and the other two have quasi-transversal Eine Welle ist quasi-longitudinal, die anderen beiden
polarization. Their displacementsa re mutually orthog- sind quasi-transversal polarisiert. Ihre Verriickungen
onal, but in general they are not parallel and orthog- sind paarweise zueinander senkrecht, aber im allge-
onal to the wave normal. There are, however, specific meinen sind sie nicht parallel und senkrechtz ur Wellen-
directions depending on the symmetry properties normalen. Es gibt allerdings spezielle,v on den Symme-
of the medium for which pure longitudinal and trans- trieeigenschaften des Mediums abhIngige Richtungen,
versew avesc an be propagated.E ven in thesed irections in denen sich rein longitudinale und transversale
the velocities of transversew avesw ith different polariza- Wellen ausbreiten k6nnen. Auch in diesen Richtungen
tions are different in general (seeT able 7). sind die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Trans-
versalwellen mit unterschiedlicher Polarisationsrich-
tung im allgemeinen verschieden( vgl. Tab. 7).
In most cases, sound-velocity measurements on Schallgeschwindigkeitsmessungena n anisotropen
anisotropic rock samples are carried out in such Gesteinsproben werden meist in solchen bevorzugten
specific directions. Many rocks behave transversely Richtungen durchgeftihrt. Weit verbreitet sind trans-
isotropic (hexagonal symmetry). In this case pure versa]-isotropeG esteine( hexagonaleS ymmetrie).R eine
longitudinal and transverse waves may be propagated Longitudinal- und Transversalwellen kannen sich darin
parallel and orthogonal to the hexagonal axis (z-axis). parallel und senkrechtz ur hexagonalen Achse (z-Achse)
Thereby the velocities of the transverse waves pro- ausbreiten. Die Geschwindigkeiten der Transversal-
pagating orthogonal to the z-axis are different for wellen senkrecht zur z-Achse sind dabei ftir die Polari-
polarization directions parallel and orthogonal to sationsrichtungen senkrecht und parallel zur z-Achse
the z-axis. In media with hexagonal or lower symmetry, verschieden. Geschwindigkeitsmessungenv on P- und
velocity measurementso f P- and S-waves along the S-Wellen in Richtung der Hauptachsen reichen zur
three principal axes are not sufficient for the deter- vollstiindigen Bestimmung der ElastizitItsmoduln von
mination of the complete set of stiffnesses; for this Medien mit hexagonaler oder geringerer Symmetrie
purpose, additional measurements oblique to the nicht aus; hierftir sind zusItzlich Messungen schrlg zu
principal axes have to be carried out. Only few rock den Hauptachsen erforderlich. Nur wenige Gesteins-
samplesh ave been studied accordingly, e.g. in [Ch’ll] proben sind bisher entsprechend untersucht worden,
and [Ba72]. Using velocity measurements parallel z.B. in [Ch71] und [Ba72]. Von den 5 unabhgngigen
and orthogonal to the principal axis of a transversely ElastizitItsmoduln einest ransversal-isotropen Gesteins
isotropic medium only 4 of its 5 stiffnesses can be kijnnen durch Geschwindigkeitsmessungen in den
determined; C,, remains undetermined. Hauptachsenrichtungen nur 4 bestimmt werden; C,,
bleibt unbestimmt.
In most casest ransversei sotropy of rocks is due to Transversal-Isotropie von Gesteinen wird meist
foliation or bedding. An additional lineation parallel durch Schieferung oder Schichtung verursacht. Eine
to the foliation produces orthorhombic anisotropy. zus%tzlichel ineare Geftigeregelung parallel zur Schie-
The superposition of different foliations may give rise ferung ergibt rhombische Symmetrie.D ie uberlagerung
to monoclinic or even triclinic anisotropy. Generalized mehrerer Schieferungenf iihrt im allgemeinen zu mono-
Voigt-Reuss schemes for the calculation of elastic kliner oder trikliner Anisotropie. Verallgemeinerte
constants and wave velocities of anisotropic rocks Voigt-Reuss-Methoden zur Berechnung der elasti-
from single crystal data and petrofabric measurements schen Konstanten und Wellengeschwindigkeiten an-
have beend escribedi n [K168, Cr71, Ba72] and [Ba72a]. isotroper Gesteine aus Einkristall-Daten und Geftige-
messungen sind in [Kl68, Cr71, Ba72] und [Ba72a]
beschrieben.
3.1.2 Elastic wave velocities and constants of elasticity at normal conditions -
Geschwindigkeiten elastischer Wellen und Elastizitiits-Konstanten
bei Normalbedingungen
3.1.2.1 Rocks- Gesteine
Elastic wave velocities measured at atmospheric Die Geschwindigkeiten elastischer Wellen bei
pressure on different samples of the same rock type Normaldruck in verschiedenen Proben desselbenG e-
generally show large scatter, even when made by a steins-Typs streuen im allgemeinen stark, such wenn
single method. They depend not only on petrological sie mit der gleichen Methode bestimmt werden. Sie
composition and rock fabric, but are influenced to a htingen nicht nur von der petrologischen Zusammen-
large degree by the presence,s ize and orientation of setzung und dem Gesteinsgeftigea b, sondern werden
pores and cracks, and by the presenceo r absenceo f dariiber hinaus in hohem MaDe durch die Existenz,
interstitial fluids. Without detailed information about Grijl3e und Orientierung von Poren und Rissen und
these factors elastic wave velocities in a rock of known durch das Vorhandensein oder Fehlen einer Poren-
Gebrande
Ref. p. 961 3.1 Elasticity of rocks and minerals 9
composition can hardly be predicted. Fig. 2 clearly fliissigkeit beeinfluBt. Ohne genaue Kenntnisse iiber
demonstratest hat wave velocities may not only depend diese Faktoren lassen sich die seismischenG eschwin-
on the actual conditions but also on the sample’s digkeiten in einem Gestein bekannter Zusammenset-
history. By heating a rock sample at atmospheric zung kaum voraussagen. Fig. 2 zeigt klar, da13d ie
pressure new microcracks may be formed due to Wellengeschwindigkeiten nicht nur von den momen-
inhomogeneous and anisotropic thermal expansion tanen Zustandsbedingungen sondern such von der
of mineral grains and an irreversible velocity decrease Geschichte der Probe abhangen konnen. Wegen der
remains after cooling to the original temperature uneinheitlichen und anisotropen thermischen Deh-
[Id37]. Probably this process can also take place nung von Mineralkijrnern konnen durch Erhitzen
under natural conditions; only by the simultaneous einer Gesteinsprobe bei Normaldruck neue Mikro-
application of rather high confining pressure can it risse entstehen,w as zu einer irreversiblen Geschwindig-
be avoided (see 3.1.4, Fig. 1). keitsabnahme nach Abkiihlung auf die Ausgangs-
temperatur fuhrt [Id37]. Sehr wahrscheinlich kann
dieser ProzeB such unter natiirlichen Bedingungen ab-
laufen; nur durch gleichzeitiges Aufbringen eines re-
lativ groljen UmschlieBungsdrucks kann er verhindert
werden (vgl. 3.1.4, Fig. 1).
6.0
km s’ Sudburv
2.5
b
Fig. 2. The effecto f thermalc ycling at atmosphericp ressure
on the elasticw ave velocity of rocks accordingt o [Id37];
2.01
the measuredv elocity is the rod velocity. 0 100 200 300 LOO 500 600 700" C8 00
T-
Since single velocity values are of questionable Da die Aussagekraft einzelner Geschwindigkeits-
significance, only mean values and ranges of velocity werte fragwiirdig ist, werden fur Normaldruck in
variation in the most common rock types at atmospheric Tabelle 2 nur Mittelwerte und Variationsbereiche der
pressure are presented in Table2. A Gauss standard Geschwindigkeiten fiir die wichtigsten Gesteinstypen
distribution law has been assumedf or the calculation angegeben.D ie 80 ‘A-Vertrauens-Grenzen wurden un-
of the 80x-confidence limits. Mean values and SO%- ter der Annahme einer GauDschenN ormal-Verteilung
confidence limits for the different rock types are also berechnet. Mittelwerte und 80 %-Vertrauens-Grenzen
shown graphically in Figs. 3 to 6. It is quite evident sind such graphisch in den Fig. 3...6 dargestellt. Aus
from thesef igures that the rock type cannot be predicted diesenA bbildungen ist klar, da13a us einem gemessenen
unambiguously from a measured pair of up and u, Paar von up- und v,-Geschwindigkeiten nicht eindeutig
velocities, even if the rock class (plutonic, volcanic, auf den Gesteinstyp geschlossenw erden kann, selbst
sedimentary or metamorphic) is known. Under in- wenn die Gesteinsklasse( plutonisch, vulkanisch, sedi-
situ conditions the overlapping ranges may be even mentar oder metamorph) bekannt ist. Unter in-situ-
broader, becauser ock samples for’ ultrasonic velocity Bedingungen diirften die Uberlappungsbereiche sogar
measurements are generally selected with regard to noch breiter sein, da Gesteinsproben fur Geschwindig-
maximum homogeneity and minimum defects such keitsbestimmungen im allgemeinen auf maximale Ho-
as void or cracks. mogenitat und minimale Stijrungen durch HohlrHume
und Risse hin ausgesucht werden.
Gebrande