Spectral Element Approximation of the Incompressible Navier-Stokes Equations in a Moving ... PDF
Preview Spectral Element Approximation of the Incompressible Navier-Stokes Equations in a Moving ...
Spectral Element Approximation of the Incompressible Navier-Stokes Equations in a Moving Domain and Applications THÈSE NO 4529 (2009) PRÉSENTÉE LE 27 NOvEMBRE 2009 À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE CHAIRE DE MODÉLISATION ET CALCUL SCIENTIFIQUE PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES PAR Gonçalo PENA acceptée sur proposition du jury: Prof. B. Dacorogna, président du jury Prof. A. Quarteroni, directeur de thèse Prof. M. Deville, rapporteur Prof. M. P. Oliveira, rapporteur Prof. C. Prud'Homme, rapporteur Suisse 2009 Tomyparents Abstract In this thesis we address the numerical approximation of the incompressible Navier- Stokesequationsevolvinginamovingdomainwiththespectralelementmethodandhigh ordertimeintegrators. First, we present the spectral element method and the basic tools to perform spec- tral discretizations of the Galerkin or Galerkin with Numerical Integration (G-NI) type. We cover a large range of possibilities regarding the reference elements, basis functions, interpolationpointsandquadraturepoints. Inthisapproach,theintegrationanddifferen- tiationofthepolynomialfunctionsisdonenumericallythroughthehelpofsuitablepoint sets. Regardingthedifferentiation,wepresentadetailednumericalstudyofwhichpoints shouldbeusedtoattainbetterstability(amongthechoiceswepresent). Second, we introduce the incompressible steady/unsteady Stokes and Navier-Stokes equations and their spectral approximation. In the unsteady case, we introduce a com- bination of Backward Differentiation Formulas and an extrapolation formula of the same orderforthetimeintegration. Oncetheequationsarediscretized,alinearsystemmustbe solvedtoobtaintheapproximatesolution. Inthiscontext,weconsiderthesolutionofthe wholesystemofequationscombinedwithablocktypepreconditioner. Thepreconditioner is shown to be optimal in terms of number of iterations used by the GMRES method in thesteadycase,butnotintheunsteadyone. Anotheralternativepresentedistousealge- braicfactorizationmethodsoftheYosidatypeanddecouplethecalculationofvelocityand pressure. Abenchmarkisalsopresentedtoaccessthenumericalconvergencepropertiesof thistypeofmethodsinourcontext. Third, we extend the algorithms developed in the fixed domain case to the Arbitrary LagrangianEulerianframework. TheissueofdefiningahighorderALEmapisaddressed. Thisallowstoconstructacomputationaldomainthatisdescribedwithcurvedelements. AbenchmarkusingadirectmethodtosolvethelinearsystemortheYosida-q methodsis presentedtoshowtheconvergenceordersofthemethodproposed. Finally,weapplythedevelopedmethodwithanimplicitfullycoupledandsemi-implicit approach, to solve a fluid-structure interaction problem for a simple 2D hemodynamics example. Keywords: spectralelementmethod,incompressibleNavier-Stokesequations,precon- ditioning,algebraicfactorizationmethod,fluid-structureinteraction,hemodynamics v Resum´e Dans cette th`ese nous nous int´eressons `a l’approximation num´erique des ´equations incompressiblesdeNavier-Stokes´evoluantdansundomaineenmouvementparlam´ethode des´el´ementsspectrauxetdesint´egrateursentempsd’ordre´elev´e. Dans une premi`ere phase, nous pr´esentons la m´ethode des ´el´ements spectraux et les outils de base pour effectuer des discr´etisations spectrales du type Galerkin ou Galerkin avec int´egration num´erique (G-NI). Nous couvrons un large ´eventail de possibilit´es con- cernant les ´el´ements de reference, fonctions de base, points d’interpolation et points de quadrature. Dans cette approche, l’int´egration et la diff´erentiation des fonctions polyno- mialesestfaitenum´eriquementgrˆace`al’aided’ensemblesdepointsconvenables. Encequi concerne la diff´erenciation, nous pr´esentons une ´etude num´erique des points qui doivent ˆetre utilis´es pour atteindre une meilleure stabilit´e num´erique (parmi les choix que nous avonsactuellement). Deuxi`emement, nous introduisons les ´equations incompressibles stationnaires et non- stationnaires de Stokes et de Navier-Stokes et son approximation spectrale. Dans le cas non-stationnaire,nousintroduisonsunecombinaisondelam´ethodeBackwardDifferentia- tionFormula (BDF)etuneformuled’extrapolationdumˆemeordrepourl’int´egrationpar rapportautemps. Unefoisles´equationsdiscr´etis´ees,unsyst`emelin´eairedoitˆetrer´esolu pour obtenir la solution approch´ee. Dans ce contexte, nous r´esolvons cesyst`eme avec un pr´econditionneur par blocs. Nous montrons que le pr´econditionneur est optimal par rap- portaunombred’it´erationsutilis´eesparlam´ethodeGMRESdanslecasstationnaire,mais pasdanslecasnon-stationnaire. Uneautrealternativeestd’utiliserlesm´ethodesdefac- torizationalgebriquedetypeYosidaetseparerlecalculdelavitesseetdelapression. Un castestestpr´esent´epourdeterminerlespropriet´esdeconvergencedecetypedem´ethodes dansnotrecontexte. Troisi`emement, nous ´etendons les algorithmes d´evelopp´es dans le cas ou` le domaine est fix´e au cadre de la formulation Arbitraire Lagrange-Euler (ALE). La question de la d´efinitiond’unecarteALEd’ordre´elev´eestabord´ee. Celapermetdeconstruireundomaine decalculquiestd´ecritavecdes´el´ementscourbes. Uncastestutilisantunem´ethodedirecte et les m´ethodes Yosida-q pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire est pr´esent´e pour montrer les ordresdeconvergencedelam´ethodepropos´ee. Finalement, nous appliquons la m´ethode d´evelopp´ee pour r´esoudre une un probl`eme d’interaction fluide-structure pour un exemple simple bidimensionnel d’h´emodynamique. Nousconsid´eronsdeuxapproches: uneimpliciteenti`erementcoupl´eeetunesemi-implicite. vii viii Motscl´es: m´ethodedes´el´ementsspectraux,´equationsincompressiblesNavier-Stokes, preconditionnement,m´ethodedefactorisationalg´ebrique,interactionfluide-structure,h´e- modynamique
Description:The list of books you might like
