Spectral Element Approximation of the Incompressible Navier-Stokes Equations in a Moving ...

176 Pages·2009·4.85 MB·English

Spectral Element Approximation of the Incompressible
Navier-Stokes Equations in a Moving Domain and
Applications
THÈSE NO 4529 (2009)
PRÉSENTÉE LE 27 NOvEMBRE 2009
À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE
CHAIRE DE MODÉLISATION ET CALCUL SCIENTIFIQUE
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
Gonçalo PENA
acceptée sur proposition du jury:
Prof. B. Dacorogna, président du jury
Prof. A. Quarteroni, directeur de thèse
Prof. M. Deville, rapporteur
Prof. M. P. Oliveira, rapporteur
Prof. C. Prud'Homme, rapporteur
Suisse
2009

Tomyparents

Abstract
In this thesis we address the numerical approximation of the incompressible Navier-
Stokesequationsevolvinginamovingdomainwiththespectralelementmethodandhigh
ordertimeintegrators.
First, we present the spectral element method and the basic tools to perform spec-
tral discretizations of the Galerkin or Galerkin with Numerical Integration (G-NI) type.
We cover a large range of possibilities regarding the reference elements, basis functions,
interpolationpointsandquadraturepoints. Inthisapproach,theintegrationanddifferen-
tiationofthepolynomialfunctionsisdonenumericallythroughthehelpofsuitablepoint
sets. Regardingthedifferentiation,wepresentadetailednumericalstudyofwhichpoints
shouldbeusedtoattainbetterstability(amongthechoiceswepresent).
Second, we introduce the incompressible steady/unsteady Stokes and Navier-Stokes
equations and their spectral approximation. In the unsteady case, we introduce a com-
bination of Backward Differentiation Formulas and an extrapolation formula of the same
orderforthetimeintegration. Oncetheequationsarediscretized,alinearsystemmustbe
solvedtoobtaintheapproximatesolution. Inthiscontext,weconsiderthesolutionofthe
wholesystemofequationscombinedwithablocktypepreconditioner. Thepreconditioner
is shown to be optimal in terms of number of iterations used by the GMRES method in
thesteadycase,butnotintheunsteadyone. Anotheralternativepresentedistousealge-
braicfactorizationmethodsoftheYosidatypeanddecouplethecalculationofvelocityand
pressure. Abenchmarkisalsopresentedtoaccessthenumericalconvergencepropertiesof
thistypeofmethodsinourcontext.
Third, we extend the algorithms developed in the fixed domain case to the Arbitrary
LagrangianEulerianframework. TheissueofdefiningahighorderALEmapisaddressed.
Thisallowstoconstructacomputationaldomainthatisdescribedwithcurvedelements.
AbenchmarkusingadirectmethodtosolvethelinearsystemortheYosida-q methodsis
presentedtoshowtheconvergenceordersofthemethodproposed.
Finally,weapplythedevelopedmethodwithanimplicitfullycoupledandsemi-implicit
approach, to solve a fluid-structure interaction problem for a simple 2D hemodynamics
example.
Keywords: spectralelementmethod,incompressibleNavier-Stokesequations,precon-
ditioning,algebraicfactorizationmethod,fluid-structureinteraction,hemodynamics
v

Resum´e
Dans cette th`ese nous nous int´eressons `a l’approximation num´erique des ´equations
incompressiblesdeNavier-Stokes´evoluantdansundomaineenmouvementparlam´ethode
des´el´ementsspectrauxetdesint´egrateursentempsd’ordre´elev´e.
Dans une premi`ere phase, nous pr´esentons la m´ethode des ´el´ements spectraux et les
outils de base pour effectuer des discr´etisations spectrales du type Galerkin ou Galerkin
avec int´egration num´erique (G-NI). Nous couvrons un large ´eventail de possibilit´es con-
cernant les ´el´ements de reference, fonctions de base, points d’interpolation et points de
quadrature. Dans cette approche, l’int´egration et la diff´erentiation des fonctions polyno-
mialesestfaitenum´eriquementgrˆace`al’aided’ensemblesdepointsconvenables. Encequi
concerne la diff´erenciation, nous pr´esentons une ´etude num´erique des points qui doivent
ˆetre utilis´es pour atteindre une meilleure stabilit´e num´erique (parmi les choix que nous
avonsactuellement).
Deuxi`emement, nous introduisons les ´equations incompressibles stationnaires et non-
stationnaires de Stokes et de Navier-Stokes et son approximation spectrale. Dans le cas
non-stationnaire,nousintroduisonsunecombinaisondelam´ethodeBackwardDifferentia-
tionFormula (BDF)etuneformuled’extrapolationdumˆemeordrepourl’int´egrationpar
rapportautemps. Unefoisles´equationsdiscr´etis´ees,unsyst`emelin´eairedoitˆetrer´esolu
pour obtenir la solution approch´ee. Dans ce contexte, nous r´esolvons cesyst`eme avec un
pr´econditionneur par blocs. Nous montrons que le pr´econditionneur est optimal par rap-
portaunombred’it´erationsutilis´eesparlam´ethodeGMRESdanslecasstationnaire,mais
pasdanslecasnon-stationnaire. Uneautrealternativeestd’utiliserlesm´ethodesdefac-
torizationalgebriquedetypeYosidaetseparerlecalculdelavitesseetdelapression. Un
castestestpr´esent´epourdeterminerlespropriet´esdeconvergencedecetypedem´ethodes
dansnotrecontexte.
Troisi`emement, nous ´etendons les algorithmes d´evelopp´es dans le cas ou` le domaine
est fix´e au cadre de la formulation Arbitraire Lagrange-Euler (ALE). La question de la
d´efinitiond’unecarteALEd’ordre´elev´eestabord´ee. Celapermetdeconstruireundomaine
decalculquiestd´ecritavecdes´el´ementscourbes. Uncastestutilisantunem´ethodedirecte
et les m´ethodes Yosida-q pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire est pr´esent´e pour montrer les
ordresdeconvergencedelam´ethodepropos´ee.
Finalement, nous appliquons la m´ethode d´evelopp´ee pour r´esoudre une un probl`eme
d’interaction fluide-structure pour un exemple simple bidimensionnel d’h´emodynamique.
Nousconsid´eronsdeuxapproches: uneimpliciteenti`erementcoupl´eeetunesemi-implicite.
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Motscl´es: m´ethodedes´el´ementsspectraux,´equationsincompressiblesNavier-Stokes,
preconditionnement,m´ethodedefactorisationalg´ebrique,interactionfluide-structure,h´e-
modynamique