Some Aspects of Strain Vorticity and Material Element Dynamics as Measured with 3D Particle Tracking Velocimetry in a Turbulent Flow

136 Pages·2002·11.697 MB·English

by  Lüthi B.

1
Diss. ETH No.: 14893
Some Aspects of Strain, Vorticity and
Material Element Dynamics as Measured with
3D Particle Tracking Velocimetry
in a Turbulent Flow
A dissertation submitted
to the
Swiss Federal Institute of Technology Zürich
for the degree of
Doctor of Technical Sciences
presented by
Beat Lüthi
Dipl. Masch.-Ing. ETH Zürich
born on April 30, 1971
citizen of Zürich (ZH)
examination committee:
Prof. Dr. Wolfgang Kinzelbach, examiner
Prof. Dr. Thomas Rösgen, co-examiner
Prof. Dr. Arkady Tsinober, co-examiner
Dr. Ulrich Burr, co-examiner
2002
2
Abstract
Thefullsetofvelocityderivatives,U =∂u /∂x ,ismeasuredexperimentallyinaLagrangian
ij i j
wayalongparticletrajectoriesinaturbulentflow. Thisisachievedbyproducingasuitableturbu-
lentflowthatiscontinuouslyforcedelectromagneticallyandbyapplyingandfurtherdevelopinga
3DParticleTrackingVelocimetry(3D-PTV)technique. Thecriticalstepsthatallowedtogofrom
3D-PTV measurements of velocity to measurements of velocity derivatives are (i) an increased
rate of image recording, from 30Hz to 60Hz, (ii) an improved ’spatio-temporal’ particle track-
ing algorithm and (iii) a weighted polynomial fitting procedure, applied to interpolated velocity
derivative signals along particle trajectories, using relative divergence obtained from ∂u /∂x as
i i
a criterion to choose proper weights for each particle’s contribution to the fit. The quality of in-
terpolated∂u /∂x isestimatedaccordingtorelativedivergenceforthreereasons: (i)divergence
i j
reflects incompressibility of water - a physical property which otherwise is not used in any of
the procedures, (ii) it treats flow situations with small and large ∂u /∂x in an equally fair way
i i
and (iii) it has no singularities, contrary to some other kinematic measures. It is demonstrated
that the use of weighted polynomials clearly enhances the quality of the measured and interpo-
lated components of ∂u /∂x . The proceduretoobtain the spatial velocityderivatives, ∂u /∂x ,
i j i j
involves a chain consisting of measurements, image processing, linear interpolations and polyno-
mial fitting. Therefore, a number of checks which are based on precise kinematic relations are
performed. Theyshowthatonaqualitativelevelthe3D-PTVmeasurementsarecorrectandthat
thestatisticalsetof datathat’survived’processingandtheapplied qualitycheck, basedon rela-
tivedivergence,arerepresentativeoftheactualphysicalflow. Inastudyonenstrophyandstrain
andontheself-amplifyingnatureoftheirdynamics,knowncharacteristicpropertiesofturbulent
flows are reproduced; most of which are not observed in a Gaussian flow field, i.e. are specific of
genuine fluid turbulence. These are the positive skewness of the intermediate eigenvalue of the
rate of strain tensor, s , Λ > 0, the predominance of vortex stretching over vortex compres-
ij 2
h i
sion, ω ω s >0,apredominantalignmentofvorticity,ω,withtheintermediateprincipalaxis
i j ij
h i
of strain, λ and the fact that regions in a turbulent flow with intense strain, s2 = s s , and
2 ij ij
moresoregionswithintenseenstrophy,ω2,occupyonlyarelativelysmallportionofthedomain,
which is reflecting the intermittent nature of strain and enstrophy. With the use of a new repre-
sentation of ∂u /∂x in the space spanned by Q,ω ω s ,s s s a mean cyclic evolution is
i j i j ij ij jk ki
{ }
observed consisting of intense events of strain, enstrophy production, concentrated vorticity and
enstrophy destruction, along with strain production. These findings are a first indication that
turbulence is more likely to be understood if it is looked at not as a cascade but as a succession
of strong stretching and folding processes of fluid blobs. Lagrangian measurements of Dω2/Dt
reveal that there is no direct relation between ω ω s and 1/2 Dω2/Dt. In the context of the
i j ij
concept of an ’energy cascade in physical space’, this finding questions the argument commonly
brought forward that vortex stretching is the primary mechanism producing smaller scales, and
hence is responsible for the cascade. The role played by viscosity in enstrophy changes, 1Dω2,
2 Dt
is found to be just as important as vortex stretching, ω ω s . These viscous effects might be
i j ij
related to vortex reconnection which has the capability to change the topology of a turbulent
flow. Wearriveattheconjecturethatwhereasviscosityincombinationwithstrainisresponsible
for dissipation, viscosity in combination with vorticity is associated with continuous change of
the topology of turbulent flow by means of vortex reconnection. After these investigations on
enstrophy and strain dynamics, which are related to the dissipative nature of turbulence, the
stretching and folding of material elements, which in turn are related to the diffusive charac-
teristics of turbulent flows, are studied. Results on the evolution in time of material lines, l,
as compared to vortex lines, ω, are presented. In agreement with literature it is found that
the mean stretching rates of material lines are well above the mean stretching rates of vorticity.
Material linegrowth is governed bystretching, whereas growth of enstrophyis a combined effect
of vortex stretching and viscous effects. Further, material lines have a strong tendency to align
with the most positive principal axis of strain, λ , in contrast to vorticity which tends to align
1
with the intermediate principal axis, for which there are indications that viscosity is primarily
responsible. Special material lines which at some time, t , are perfectly aligned with vorticity,
0
l = ω , appear ’reluctant’ to act like ’proper’ material lines, in the sense that their initial λ -
0 0 2
alignment is persistent over a considerable time of τ 7 and the λ -alignment develops only
η 1
∼
very slowly. Two effects that might be partly responsible for this persistence are identified: The
3
’Λ cos(l,λ ) > Λ cos(l,λ )’ effect which is found to be active in high strain regions and when
2 2 1 1
l is in the proximity of the intermediate eigenvector, λ , and the effect of vorticity ’acting back’
2
on the flow which is observed to be correlated to enstrophy, ω2. Regarding material surfaces, it
is found that material surface normals, N, after a period of transition of τ 2 align with the
η
∼
most compressing principal strain axis, λ . The mean stretching rates for material surfaces are
3
measuredtobeonlyslightlyhigherthanthoseformateriallinesandwenotethatafteratimeof
τ 7 both, material lines and surfaces, have roughly doubled their magnitude. It is concluded
η
∼
that due to the observed behavior of material elements, diffusivity across material surfaces is
significantly increased. To study the rotation of material surfaces, the rotation of their carriers,
namely the rotation of material volumes, defined by the eigenvectors, w , of the Cauchy-Green
i
tensor W, is measured. The rotation, ω2w, of material volumes is obtained by looking at the
rotation of the eigen-frame, w . It is found that the magnitude of ω2 is comparable to the
1,2,3 w
magnitude of enstrophy, ω2, and that ω2 can be related in some ways with Q = 1 ω2 2s2 .
w 4 −
When surface stretching is of low intensity, surfaces are re-oriented via rotation of their carriers
¡ ¢
- the infinitesimal material volumes. This presumably results in material volume folding. The
two processes of stretching and folding are important for turbulent diffusivity. They are driven
by the combined effects of enstrophy and strain and their processes of self-amplification.
4
Zusammenfassung
Der volle Tensor der Geschwindigkeits-Ableitungen, U = ∂u /∂x , wird experimentel und auf La-
ij i j
grange’scheArtentlangvonPartikelbahnkurvenineinerturbulentenStrömunggemessen. Diesgelingtdurch
Erzeugung einer geeigneten Strömung mittels kontinuierlicher, elektro-magnetischer Krafteinleitung in die
Strömung und durch Anwendung und Weiterentwicklung einer 3D-Particle-Tracking-Velocimetry (3D-PTV)
Messtechnik. DieentscheidendenSchritte,dieeserlauben,voneinerreinenGeschwindigkeitsmessungzueiner
Geschwindigkeitsableitungs-Messungüberzugehen, sind(i)eineerhöhteBildaufzeichnungsratevon30Hz auf
60Hz, (ii) ein verbesserter spatio-temporal particle tracking Algorithmus und (iii) eine gewichtete ’polyno-
mialfitting’Prozedur,welcheaufdieinterpoliertenGeschwindigkeitsableitungs-SignaleentlangderBahnkur-
ven angewendet wird. Zur Bestimmung der einzelnen Partikelbeiträge zum fitting wird ein Kriterium der
relativen Divergenz, gebildet aus ∂u /∂x , benutzt. Die Qualitätsbestimmung der interpolierten ∂u /∂x
i i i j
mit Hilfe der relativen Divergenz geschieht hauptsächlich aus drei Gründen: (i) Die Inkompressibilität des
Wassers wird in der Divergenzfreiheit wiederspiegelt - eine physikalische Eigenschaft, die sonst in keiner
der Prozeduren genutzt würde. (ii) Strömungssituation mit grossen und kleinen ∂u /∂x werden gleich fair
i i
behandelt, und (iii) im Gegensatz zu anderen kinematischen Qualitätsmassen, weist die relative Divergenz
keine Singularitäten auf. Es wird gezeigt, dass die gewichtete ’polynomial fitting’ Prozedur die Qualität
der gemessenen und interpolierten Komponenten von ∂u /∂x eindeutig verbessert. Die notwendige Proze-
i j
dur, um Geschwindigkeitsableitungen, ∂u /∂x , mit der gewünschten Genauigkeit zu erhalten, ist eine lange
i j
Verkettung von Messung, Bildverarbeitung, linearer Interpolation und ’polynomial fitting’. Deshalb wer-
den eine Reihe von Kontrollen durchgeführt, die auf exakten, kinematischen Gleichungen beruhen. Diese
Kontrollen zeigen, dass die 3D-PTV Messungen qualitativ korrekt sind und weiter, dass das Set der statis-
tischen Daten, welches alle Prozeduren und den Qualitätscheck überlebt hat, die eigentliche physikalische
Strömung immer noch repräsentiert. In einer Studie über enstrophy und strain und über die Natur ihrer
selbstverstärkenden Dynamik werden bekannte charakteristische Eigenschaften turbulenter Strömungen re-
produziert. Es handelt sich dabei umEigenschaften, dieausschliesslich in der Turbulenz auftreten und die in
einer Gauss’schen Strömung nicht zu beobachten sind. Es sind dies (i) der positive Mittelwert des mittleren
Eigenwerts, Λ > 0, des Spannungsraten-Tensors, s = 1(∂u /∂x +∂u /∂x ), (ii) die Dominanz der
h 2i ij 2 i j j i
WirbelstreckungüberWirbelkompression, ω ω s >0, (iii)eineAusrichtungvonvorticity, ω, vorwiegend
i j ij
h i
mit dem mittleren Eigenvektor, λ , des Tensors s und (iv) die Tatsache, dass in turbulenten Strömungen
2 ij
Gebietemit intensivem strain, s2 =s s , und - sogarnoch ausgeprägter - mit intensiver enstrophy, ω2, nur
ij ij
einen relativ kleinen Anteil der gesamten Domäne ausmachen. Dies wiederspiegelt die Tatsache, dass strain
und enstrophy von intermittierender Natur sind. Mit Hilfe einer neuen Darstellung von ∂u /∂x in einem
i j
Q,ω ω s ,s s s -RaumkanneineimMittelzyklischeAbfolgevonspeziellen∂u /∂x -Zuständenüber
i j ij ij jk ki i j
{ }
verschiedene Stadien hinweg beobachtet werden. Diese Zustände sind der Reihe nach: intensiver strain, Pro-
duktion von enstrophy, konzentrierte vorticity, Zerstörung von enstrophy und Produktion von strain. Das ist
einersterHinweisdarauf,dassdieTurbulenzwohleherverstandenwird,wennmansienichtalseineKaskade,
sondern mehr als eine Abfolge von starken Streckungs- und Faltungs-Erscheinungen von Flüssigkeitsballen
betrachtet. Lagrange’sche Messungen von Dω2/Dt zeigen, dass es keinen direkten Zusammenhang zwischen
ω ω s und 1/2 Dω2/Dt gibt. Im Kontext des Konzepts einer Energie-Kaskade im physikalischen Raum
i j ij
stellendieseResultatedasgemeinhinvorgebrachteArgumentinFrage,dassWirbelstreckungderHauptmech-
anismus zur Erzeugung von kleinen Skalen - und also auch einer Kaskade - sei. Es zeigt sich, dass die Rolle
der Viskosität in der Änderungen von enstrophy, 1Dω2, mindestens so wichtig ist, wie diejenige der Wirbel-
2 Dt
streckung. Diese viskosen Effekte können mit dem Phänomen der vortex reconnection zusammenhängen,
welches die Möglichkeit besitzt, die Topologie einer turbulenten Strömung zu verändern. Wir gelangen zur
Vermutung, dass Viskosität, die in Kombination mit strain für Dissipation verantwortlich ist, in Kombina-
tion mit vorticity dafür verantwortlich sein kann, der Turbulenz ihren drei-dimensionalen Rahmen zu geben;
einen Rahmen, der die Möglichkeit besitzt durch vortex reconnection seine Gestalt fortlaufend zu verändern.
NachdiesenUntersuchungenüberdieDynamikvonenstrophy andstrain imZusammenhangmitderdissipa-
tiven Eigenschaft der Turbulenz, werden das Strecken und Falten von Materialelementen untersucht, welche
5
mehrmitderdiffusiven NaturturbulenterStrömungenimZusammenhangstehen. EswerdenResultateüber
die zeitliche Entwicklung von Materiallinien, l, gezeigt und verglichen mit derjenigen von Wirbellinien, ω.
In Übereinstimmung mit Resultaten aus der Literatur wird festgestellt, dass die mittleren Streckungsraten
von Materiallinien leicht höher sind als diejenigen von Wirbellinien. Das Wachstum von Materiallinien ist
bestimmt durch Streckung, im Gegensatz zu Wirbellinien, deren Veränderungen aus der Kombination von
Wirbelstreckung und viskosen Effekten hervorgeht. Materiallinien weisen eine starke Tendenz auf, sich mit
der Achse der grössten Hauptspannung, λ , des Tensors s auszurichten, im Gegensatz zu vorticity, welche
1 ij
sich vornehmlich mit der mittlerern Hauptspannungsachse, λ , ausrichtet. Es gibt Hinweise dafür, dass dies
2
hauptsächlich der Viskosität zuzuschreiben ist. Spezielle Materiallinien, welche zu einem bestimmten Zeit-
punkt t perfekt mit vorticity ausgerichtet sind, l = ω , scheinen sich nur sehr zögerlich wie ’richtige’
0 0 0
Materiallinien zu verhalten. Wir beobachten, wie sich die ursprüngliche λ -Ausrichtung ’hartnäckig’ über
2
einen Zeitraum von τ 7 zu halten vermag, und wie sich eine λ -Ausrichtung nur sehr langsam einstellt.
η 1
∼
Zwei Effekte werden identifiziert, die wohl zum Teil für diese ’Hartnäckigkeit’ verantwortlich sind. Es sind
dieszumeinender’Λ cos(l,λ )>Λ cos(l,λ )’-Effekt,hauptsächlichaktivinGebietenmitstarkemstrain
2 2 1 1
und starker l λ -Ausrichtung, und - stark korreliert mit enstrophy - die Rückwirkung von vorticity auf die
2
−
sie umgebende Strömung. Betreffend Materialflächen wird festgestellt, dass sich Flächennormalen, N, nach
einer Übergangszeit von τ 2 mit der grössten komprimierenden Hauptspannungsachse, λ , des Tensors
η 3
∼
s ausrichten. Die mittlere Streckungsrate von Materialflächen ist nur leicht grösser als diejenige der Mate-
ij
riallinien und wir stellen fest, dass nach einer Zeit von τ 7 sowohl Materiallinien als auch Materialflächen
η
∼
ihre Grösse ungefähr verdoppeln. Wir ziehen unter anderem daraus den Schluss, dass durch das beobachtete
Verhalten von Materialelementen die Diffusion über Materialflächen entscheidend verstärkt wird. Um die
RotationvonMaterialflächenzuuntersuchenwirddieRotationihrerTräger,derMaterialvolumen,gemessen.
Materialvolumen sind definiert durch den Raum, den die Eigenvektoren, w , des Cauchy-Green Tensors, W,
i
aufspannen. Die Rotation, ω2, eines Materialvolumens wird bestimmt, indem die Rotation des Eigenrah-
w
mens, w , gemessen wird. Es wird festgestellt, dass Grösse und Verteilung von ω2 sehr vergleichbar mit
1,2,3 w
denjenigen von enstrophy sind, und dass ω2 zu einem gewissen Grad mit Q= 1 ω2 2s2 im Zusammen-
w 4 −
hangsteht. Hauptsächlichdann,wenndieStreckungvonMaterialflächengeringist,werdengrosseRotationen
¡ ¢
vonMaterialvolumenbeobachtet. DieseRotationenführenvermutlichzurFaltungvonMaterialvolumen. Die
zwei beobachteten Prozesse, Streckung und Faltung, sind wichtig für die turbulente Diffusion und resultieren
aus den kombinierten Effekten von enstrophy und strain und deren selbstverstärkenden Prozessen.
6
People
After I finished writing this thesis I felt it to be appropriate to put a list of those people at the
beginning of the text, that are responsible - in one way or another - that I might be getting the
degree of a Ph.D. sometime soon. I feel deeply thankful to all of them.
In order of probable appearance in the sequence of events:
Margrit Lüthi
Jürgen Lüthi
Hans Asper
Erdal Karamuk
George Raeber
Joël Schlinger
Michael Hauser
Matthias Machacek
Roland Reber
Rösgen Thomas
Carlos Härtel
Petros Koumoutsakos
Kleiser Leonard
Albert Gyr
Wolfgang Kinzelbach
Arkady Tsinober
Ulrich Burr
Barbara Tänzler
ALL of IHW team
Hannes Bühler
Thomy Keller
Toni Blunschi
Xaver Studerus
René Weber
Jochen Willneff
Schneuwly Bruno
Tony Leonard
Contents
1 Introduction 19
1.1 Velocity derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Material elements and Lagrangian description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Overview of previous Lagrangian studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Numerical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Method 25
2.1 Experimental setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 First experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Second experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 3D Particle Tracking Velocimetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Trajectory processing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Velocity derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Spatial velocity derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2 Temporal velocity derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3 Velocity derivatives along trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Checks and verification of procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Statistical checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2 Single Point Checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.3 Multi Point Checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.4 Checks along trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.5 Influence of trajectory length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.6 Summary on checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Results 63
3.1 Governing equations and relevant scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Overview on vorticity and strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Some universal features of vorticity and strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Q ω ω s s s s probability orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
i j ij ij jk ki
− −
3.4.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.3 Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.4 Enstrophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Cyclic mean process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Enstrophy dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Strain dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Material Elements - Integrated rate of strain tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7
8 CONTENTS
3.9 Randomly oriented material lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.10 Differences between material and vortex lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.10.1 λ -alignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2
3.10.2 Viscous change of enstrophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.11 Evolution of material surfaces and volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.11.1 Stretching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.11.2 Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Conclusion 129
5 Bibliography 131
List of Figures
2.1 Schematicoftheexperimentalfacilityandcoordinatesystem(x,y,z). Electromagnetic
forcing from two opposite walls produces swirls over each magnet. At short distances
of the walls the flow becomes three dimensional and towards the observation volume
fully turbulent. The flow is recorded by four CCD cameras at recording rates of first
30Hz and - in a later stage - at 60Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Schematic of electromagnetic forcing. A current density field (arrows, top left) inter-
acts over each magnet with the magnetic field (arrows, top right) producing Lorentz
forces (gray scale, top left). This forcing results in torus-like swirls over each magnet. 27
2.3 The first experimental facility is set up inside a 50` tank. For forcing two walls, each
with a 4 4 permanent magnet array, are facing each other at a distance of 17cm. A
×
DC electric current of 7A is a applied to two copper plates which cover the magnet
arrays (not shown here), resulting in a current density of 70 A/m2. As a calibration
∼
target a regular array of 7 9 points with a grid distance of 2mm is used. . . . . . . 28
×
2.4 The flow is recorded with four JAI M10 1/2 CCD progressive scan monochrome
00
cameras with 8bit/pixel resolution. The pixel resolution is 640 480. The cameras
×
are positioned manually. Each camera is mounted on a linear stage with a travel
range of 20mm. The stages are used to focus the macro lenses onto the observation
volume. To align the camera axis the linear stages are mounted on ball bearings. . . 29
2.5 The setup of the second and final experiment is shown. The flow is again produced
with electromagnetic forcing as schematically shown in figure 2.1, but now in a much
smaller volume of 120 120 140 mm3. The observation volume is illuminated with a
× ×
continuous Argon-Ion laser. Before entering the flow through the bottom of the tank
the laser beam is expanded by two cylindrical lenses and reflected by a mirror. In the
back the four recoding CCD cameras, mounted on linear stages and ball bearings,
can be seen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Aschematicofthecalibrationblock,wherex,y arethepositionsandω,ϕtherotation
angles of each camera, as determined from the calibration procedure for the second
experiment, are shown. z , the distance of the cameras from the tank is between
59mm and 63mm. The rotations, κ, around the z-axis are between 2 to 4 . . . . . . 33
◦ ◦
2.7 At a recording rate of 60Hz the signal from camera to frame grabber is transmitted
through two cables. As a negative effect this results in different signal magnitudes
for even and odd image lines. This deficiency is corrected by mapping each grayscale
valuefromoddlineswiththecorrespondingmeanofupperandlowerevenlinevalues.
Here the effect of grayscale-correction is shown for one examplary image, before and
after the procedure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 To get a qualitative idea of the flow as obtained from 3D-PTV some trajectories of
the second experiment are shown. The selected trajectories begin within the first
second of recording and can be tracked over 0.3s or longer. . . . . . . . . . . . . . . 37
9
10 LIST OF FIGURES
2.9 The frequency response of the ’moving’ cubic spline procedure - used to filter the
position- and thus also the velocity- and acceleration-signals along a particle trajec-
tory - is shown. The procedure effectively acts as a low pass filter, with a cut-off
frequency for velocity and acceleration signals of 10Hz and 7Hz respectively.
∼ ∼
The response for signal frequencies up to 5Hz is above 0.95. Damping is maximal at
the Nyquist frequency of 30Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 The effect of the ’moving-spline’ procedure is demonstrated on a qualitative level.
Two renderings of an arbitrarily selected trajectory from the second experiment are
shown. For this trajectory a particle is tracked through 80 time steps. The arrows
represent Lagrangian acceleration, a. The trajectory on the left (blue) has been
processed with the ’moving-spline’ procedure while a of the trajectory on the right
(red) is obtained using a central approximation only. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 Velocity and acceleration components u ,u (a) and a , a (b) of the same trajectories
i i i i
as shown in figure 2.10 are plotted over time. Black lines are used for the components
asobtainedfromcentralapproximationsandredlinesforthecomponentsasobtained
b b
from the low pass filtering ’moving-spline’ procedure. The necessity for filtering be-
comes especially clear in b) where the unprocessed acceleration fluctuations appear
completely uncorrelated in time. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Thequalitativeeffectofdifferentprocedurestoobtainvelocityderivativesalongapar-
ticle trajectory is shown. In (a) for exemple the behavior of the component ∂u /∂x
3 3
along the same trajectory that is used above for figures 2.10 and 2.11 is shown.
The inset in (a) shows the weight, w , as a function of relative divergence. Figure
i
(b) shows the relative divergences as obtained from the different procedures along
the corresponding trajectory. Only the procedure with ’moving-spline’ and weighted
polynomial fitting produces qualitatively acceptable results. . . . . . . . . . . . . . . 45
2.13 The number of trajectories of a certain length, the number of points belonging to a
certain trajectory length and the summation of points with a trajectory length equal
to or greater than a specific trajectory length are shown for experiment 30Hz and
60Hz.The60Hz setisalwaysatleasttwiceaslargeasthe30Hz set. Withincreasing
trajectory length tracking becomes more difficult. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.14 The mean kinetic energy, < k >= 1u u (a), and the mean square of Lagrangian
2 i i
acceleration, < a2 >= a a (b), are conditioned on their trajectory length. The
i i
mean of both quantities decreases with increasing trajectories lengths, indicating
that trackability is sensitive especially to a2. The polynomial fitting and the selection
according to relative divergence have a neglectable influence. . . . . . . . . . . . . . 49
2.15 The PDFs of kinetic enrgy, k (a), and squared Lagrangian acceleration, a2 (b), for
trajectory lengths of τ =1 and τ =4 are shwon. Apparently mainly the pdf for a2
η η
is affected by longer trajectories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.16 ThejointPDFsof ∂ui versus ∂uj+∂uk (herenosummationoveri,j,k)forthreecases,
∂xi ∂xj ∂xk
60Hz withfullnumericalprocessing,60Hz,notusingthepolynomialsand30Hz with
full numerical processing. The superior behaviour of the 60Hz experiment with full
numerical processing can be seen both in amount of data - as compared to 30Hz -
and alignment to the diagonal - as compared to 60Hz, not using the polynomials.. . 52
2.17 The expression Dui = ∂ui +u ∂ui is checked for each component with joint PDFs of
Dt ∂t j∂xj
a versusa +a forthethreecases60Hz, 60Hz nopolynomialand30Hz. Itreveals
i l,i c,i
the strong increase of accuracy due to the weighted polynomials. . . . . . . . . . . . 53