Signalverarbeitung: Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter

334 Pages·2014·2.89 MB·German

by  Martin Meyer (auth.)

Signalverarbeitung
Martin Meyer
Signalverarbeitung
Analoge und digitale Signale,
Systeme und Filter
7., verbesserte Aufl age
Mit 161 Abbildungen und 20 Tabellen
Prof. Dr. Martin Meyer
Fachhochschule Nordwestschweiz
Hochschule für Technik
Windisch, Schweiz
ISBN 978-3-658-02611-0 ISBN 978-3-658-02612-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-02612-7
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V

Vorwort

Dieses Buch behandelt auf Hochschulniveau die Grundlagen der analogen und digitalen
Signalverarbeitung, wie sie für Anwendungen in der Nachrichten-, Regelungs- und Mess-
technik benötigt werden. Das Buch entstand aus meiner Tätigkeit als Dozent an der Fachhoch-
schule Nordwestschweiz (FHNW).
Die Signalverarbeitung befasst sich mit der mathematischen Darstellung von Signalen sowie
von Algorithmen (z.B. Filterung), die von Systemen ausgeführt werden. In diesem einführen-
den Buch wird die klassische Theorie der Signalverarbeitung behandelt. Aus mehreren Grün-
den wird eine abstrakte, „theorielastige“ Darstellung benutzt:
• Abstrakte Betrachtungen sind universeller, also breiter anwendbar.
• Die Theorie lässt sich dadurch mit Analogien aufgrund vorhergehender Kapitel auf-
bauen, sie wird somit kompakter.
• Die Theorie veraltet viel weniger schnell als die Praxis. Unter „Praxis“ verstehe ich
hier die Implementierung eines Systems, z.B. mit einem digitalen Signalprozessor.
Diese Implementierung und die dazu benutzten Hilfsmittel werden darum nur knapp
besprochen.

Heute stehen natürlich die digitalen Konzepte im Vordergrund, sie werden im Folgenden auch
speziell betont. Trotzdem finden sich noch Kapitel über analoge Signale und Systeme. Aus
deren theoretischem Fundament wächst nämlich die Theorie der digitalen Signale und Systeme
heraus. Der Aufwand verdoppelt sich also keineswegs durch die Behandlung beider Welten.
Zudem werden immer noch beide Theorien benötigt: digitale Rekursivfilter beispielsweise
werden häufig aufgrund ihrer analogen Vorbilder dimensioniert, und sehr oft verarbeitet man
ursprünglich analoge Signale mit digitalen Systemen.
Das Buch umfasst einen „analogen Teil“ (Kapitel 2, 3 und 4) und einen „digitalen Teil“ (Kapi-
tel 5, 6 und 7), welche in sich gleich aufgebaut sind: Signale - Systeme - Filter. Man kann das
Buch auf zwei Arten durcharbeiteten: entweder entsprechend der Nummerierung der Kapitel
oder aber analoge und digitale Teile quasi parallel, d.h. Kapitel 2, 5, 3, 6, 4, 7.
Als Voraussetzung zum Verständnis dieses Buches braucht der Leser Kenntnisse der Mathe-
matik, wie sie in jedem technischen oder naturwissenschaftlichen Grundstudium angeboten
werden. Konkret bedeutet dies den Umgang mit komplexen Zahlen, Funktionen, Reihen (ins-
besondere Fourier-Reihen) sowie der Differential- und Integralrechnung. Kenntnisse der
Elektrotechnik, Elektronik und Digitaltechnik sind nützlich, aber nicht unbedingt erforderlich.
Die Entwicklung eines Systems für die Signalverarbeitung erfolgt heute mit Hilfe des Compu-
ters. Dies bedeutet aber nicht, dass fundierte Kenntnisse der Theorie durch Mausklicks ersetzt
werden können. Oft lässt sich nämlich eine Aufgabe nur näherungsweise lösen. Der Ingenieur
muss deshalb die Vor- und Nachteile der verschiedenen Verfahren sowie die theoretischen
Grenzen kennen, um den für seine Anwendung günstigsten Kompromiss zu finden und seine
Systeme zu optimieren. Die eigentliche Rechenarbeit überlässt man natürlich dem Computer.
Dazu sind leistungsstarke Softwarepakete erhältlich, die es auch gestatten, die Theorie zu visu-
alisieren und zu überprüfen. Im vorliegenden Buch arbeite ich mit MATLAB. Ich empfehle
dringendst, dieses Buch zusammen mit einem Softwaretool durchzuarbeiten, sei es MATLAB
oder irgend eines der Konkurrenzprodukte. Der Gewinn liegt erstens im tieferen und anschau-
VI

licheren Verständnis der Theorie und zweitens verfügt der Leser danach über ein wirklich
starkes Werkzeug zur Behandlung neuer Aufgabenstellungen.
Im Hinblick auf einen für Studierende erträglichen Verkaufspreis achtete ich auf einen be-
grenzten Umfang. Es war darum nicht möglich, alle wünschbaren Rechenbeispiele in den Text
einzufügen. Zusätzliche Beispiele und einige Abschnitte der Theorie sind deshalb in einen
Anhang ausgelagert, der auf der Verlags-Webplattform unter www.springer-vieweg.de erhält-
lich ist (beim Buchtitel unter der Rubrik „zusätzliche Informationen“). Ebenfalls dort finden
sich Hinweise zum Einsatz von MATLAB in der Signalverarbeitung sowie einige nützliche
MATLAB-Routinen.
Es freut mich sehr, dass dieses Buch bereits in der 7. Auflage erscheint. Gegenüber der 6. Auf-
lage sind an diversen Stellen Korrekturen und Verfeinerungen eingeflossen.
Bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer Vieweg Verlages bedanke ich mich für
die stets angenehme Zusammenarbeit.

Hausen AG (Schweiz), im Oktober 2013 Martin Meyer
VII

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung ............................................................................................................................. 1
1.1 Das Konzept der Systemtheorie ...................................................................................... 1
1.2 Übersicht über die Methoden der Signalverarbeitung..................................................... 4
2 Analoge Signale .................................................................................................................... 14
2.1 Klassierung der Signale ................................................................................................ 14
2.1.1 Unterscheidung kontinuierlich - diskret ............................................................ 14
2.1.2 Unterscheidung deterministisch - stochastisch ................................................. 16
2.1.3 Unterscheidung Energiesignale - Leistungssignale........................................... 16
2.2 Die Fourier-Reihe ......................................................................................................... 19
2.2.1 Einführung ........................................................................................................ 19
2.2.2 Sinus- / Cosinus-Darstellung ............................................................................ 20
2.2.3 Betrags- / Phasen-Darstellung ........................................................................... 21
2.2.4 Komplexe Darstellung ...................................................................................... 22
2.2.5 Das Theorem von Parseval für Leistungssignale .............................................. 27
2.3 Die Fourier-Transformation (FT).................................................................................. 28
2.3.1 Herleitung des Amplitudendichtespektrums ..................................................... 29
2.3.2 Die Faltung ....................................................................................................... 34
2.3.3 Das Rechnen mit der Delta-Funktion ................................................................ 37
2.3.4 Die Fourier-Transformation von periodischen Signalen ................................... 41
2.3.5 Die Eigenschaften der Fourier-Transformation ................................................ 47
2.3.6 Das Theorem von Parseval für Energiesignale ................................................. 57
2.3.7 Tabelle einiger Fourier-Korrespondenzen ........................................................ 59
2.4 Die Laplace-Transformation (LT) ................................................................................ 60
2.4.1 Wieso eine weitere Transformation? ................................................................ 60
2.4.2 Definition der Laplace-Transformation und Beziehung zur FT ........................ 60
2.4.3 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation ............................................... 64
2.4.4 Die inverse Laplace-Transformation ................................................................ 69
2.4.5 Tabelle einiger Laplace-Korrespondenzen (einseitige Transformation) ........... 70
3 Analoge Systeme .................................................................................................................. 71
3.1 Klassierung der Systeme ............................................................................................... 71
3.1.1 Linearität ........................................................................................................... 71
3.1.2 Zeitinvarianz ..................................................................................................... 74
3.1.3 Kausale und deterministische Systeme ............................................................. 74
3.1.4 Dynamische Systeme ........................................................................................ 75
3.1.5 Stabilität ............................................................................................................ 75
3.2 Die Impulsantwort oder Stossantwort ........................................................................... 76
3.3 Der Frequenzgang und die Übertragungsfunktion ........................................................ 77
3.4 Die Schrittantwort oder Sprungantwort ........................................................................ 82
3.5 Kausale Systeme ........................................................................................................... 87
3.6 Pole und Nullstellen ...................................................................................................... 89
3.6.1 Einführung ........................................................................................................ 89
3.6.2 Amplitudengang, Phasengang und Gruppenlaufzeit ......................................... 91
3.6.3 PN-Schemata der Filterarten ............................................................................. 96
VIII Inhaltsverzeichnis

3.6.4 Realisierungsmöglichkeiten .............................................................................. 98
3.7 Bodediagramme ............................................................................................................ 99
3.8 Systemverhalten im Zeitbereich .................................................................................. 102
3.9 Spezielle Systeme ....................................................................................................... 106
3.9.1 Mindestphasensysteme .................................................................................... 106
3.9.2 Allpässe ........................................................................................................... 108
3.9.3 Zweipole ......................................................................................................... 109
3.9.4 Polynomfilter .................................................................................................. 110
3.10 Normierung ............................................................................................................... 110
3.11 Übersicht über die Systembeschreibungen ............................................................... 112
3.11.1 Einführung .................................................................................................... 112
3.11.2 Stabile LTI-Systeme mit endlich vielen konzentrierten Elementen .............. 114
3.11.3 Nichtlineare und/oder zeitvariante Systeme .................................................. 115
3.11.4 Bestimmen der Systemgleichung .................................................................. 116
3.11.5 Computergestützte Systemanalyse ................................................................ 120
4 Analoge Filter ..................................................................................................................... 123
4.1 Einführung .................................................................................................................. 123
4.2 Approximation des idealen Tiefpasses ........................................................................ 130
4.2.1 Einführung ...................................................................................................... 130
4.2.2 Butterworth-Approximation ............................................................................ 131
4.2.3 Tschebyscheff-I-Approximation ..................................................................... 134
4.2.4 Bessel-Approximation .................................................................................... 136
4.2.5 Tschebyscheff-II- und Cauer-Approximation ................................................. 137
4.2.6 Filter mit kritischer Dämpfung ........................................................................ 137
4.3 Frequenztransformation .............................................................................................. 138
4.3.1 Tiefpässe ......................................................................................................... 138
4.3.2 Hochpässe ....................................................................................................... 138
4.3.3 Bandpässe ....................................................................................................... 140
4.3.4 Bandsperren .................................................................................................... 144
4.3.5 Allpässe ........................................................................................................... 145
4.4 Die praktische Realisierung von aktiven Analogfiltern .............................................. 145
4.4.1 Darstellung in der Kaskadenstruktur und Skalierung ...................................... 145
4.4.2 Die Filter-Koeffizienten .................................................................................. 148
5 Digitale Signale .................................................................................................................. 150
5.1 Einführung .................................................................................................................. 150
5.2 Die Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) ................................................. 152
5.2.1 Einführung ...................................................................................................... 152
5.2.2 Die ideale Abtastung von Signalen ................................................................. 153
5.2.3 Das Spektrum von abgetasteten Signalen ....................................................... 154
5.2.4 Das Abtasttheorem .......................................................................................... 158
5.2.5 Die Rekonstruktion von abgetasteten Signalen (DA-Wandlung).................... 161
5.3 Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ............................................................... 164
5.3.1 Die Herleitung der DFT .................................................................................. 164
5.3.2 Die Verwandtschaft mit den komplexen Fourier-Koeffizienten ..................... 166
5.3.3 Die Eigenschaften der DFT ............................................................................. 169
5.3.4 Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ................................................... 174
5.3.5 Die Redundanz im Spektrum reeller Zeitfolgen.............................................. 180
Inhaltsverzeichnis IX

5.4 Spektralanalyse mit der DFT/FFT .............................................................................. 182
5.4.1 Einführung ...................................................................................................... 182
5.4.2 Periodische Signale ......................................................................................... 184
5.4.3 Quasiperiodische Signale ................................................................................ 187
5.4.4 Nichtperiodische, stationäre Leistungssignale ................................................ 199
5.4.5 Nichtstationäre Leistungssignale .................................................................... 199
5.4.6 Transiente Signale ........................................................................................... 201
5.4.7 Messung von Frequenzgängen ........................................................................ 202
5.4.8 Zusammenfassung .......................................................................................... 203
5.5 Die diskrete Faltung .................................................................................................... 204
5.6 Die z-Transformation (ZT) ......................................................................................... 206
5.6.1 Definition der z-Transformation ..................................................................... 206
5.6.2 Zusammenhang der ZT mit der LT und der FTA ........................................... 209
5.6.3 Eigenschaften der z-Transformation ............................................................... 211
5.6.4 Die inverse z-Transformation ......................................................................... 215
5.6.5 Tabelle einiger z-Korrespondenzen ................................................................ 218
5.7 Übersicht über die Signaltransformationen ................................................................. 219
5.7.1 Welche Transformation für welches Signal? .................................................. 219
5.7.2 Zusammenhang der verschiedenen Transformationen .................................... 220
6 Digitale Systeme ................................................................................................................. 225
6.1 Einführung .................................................................................................................. 225
6.2 Die Differenzengleichung ........................................................................................... 231
6.3 Die Impulsantwort ...................................................................................................... 233
6.4 Der Frequenzgang und die z-Übertragungsfunktion ................................................... 236
6.5 Die Schrittantwort ....................................................................................................... 242
6.6 Pole und Nullstellen .................................................................................................... 243
6.7 Strukturen und Blockschaltbilder ............................................................................... 245
6.8 Digitale Simulation analoger Systeme ........................................................................ 251
6.9 Übersicht über die Systeme ........................................................................................ 254
6.10 Der Einfluss der Amplitudenquantisierung ............................................................... 256
6.11 Die Realisierung von digitalen Systemen ................................................................. 263
7 Digitale Filter ..................................................................................................................... 264
7.1 IIR-Filter (Rekursivfilter) ........................................................................................... 264
7.1.1 Einführung ...................................................................................................... 264
7.1.2 Filterentwurf mit der impulsinvarianten z-Transformation ............................. 266
7.1.3 Filterentwurf mit der bilinearen z-Transformation.......................................... 274
7.1.4 Frequenztransformation im z-Bereich ............................................................. 284
7.1.5 Direkter Entwurf im z-Bereich ........................................................................ 285
7.2 FIR-Filter (Transversalfilter) ...................................................................................... 287
7.2.1 Einführung ...................................................................................................... 287
7.2.2 Die 4 Typen linearphasiger FIR-Filter ............................................................ 287
7.2.3 Filterentwurf mit der Fenstermethode ............................................................. 293
7.2.4 Filterentwurf durch Frequenz-Abtastung ........................................................ 301
7.2.5 Filterentwurf durch Synthese im z-Bereich ..................................................... 302
7.2.6 Linearphasige Hochpässe, Bandpässe und Bandsperren ................................. 303
7.3 Die Realisierung eines Digitalfilters ........................................................................... 313
X Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis .............................................................................................................. 315
Verzeichnis der Formelzeichen ............................................................................................ 318
Verzeichnis der Abkürzungen .............................................................................................. 320
Sachwortverzeichnis .............................................................................................................. 321

Anhänge, erhältlich unter „zusätzliche Informationen“ auf www.springer-vieweg.de:

Anhang A: Ergänzungen zu den Kapiteln 1 bis 7

Anhang B: Zusatzkapitel
8. Zufallssignale
9. Reaktion von Systemen auf Zufallssignale
10. Einige weiterführende Ausblicke

Anhang C: Hinweise zum Einsatz von MATLAB