Signaltheorie: Grundlagen der Signalbeschreibung, Filterbänke, Wavelets, Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und Signalschätzung

458 Pages·2013·3.9 MB·German

by  Alfred Mertins (auth.)

Signaltheorie
Alfred Mertins
Signaltheorie
Grundlagen der Signalbeschreibung,
Filterbänke, Wavelets,
Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und
Signalschätzung
3., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 194 Abbildungen und 5 Tabellen
Prof. Dr.-Ing. Alfred Mertins
Universität zu Lübeck
Deutschland
ISBN978-3-8348-1394-7 ISBN978-3-8348-8109-0(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-8109-0
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insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei-
cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
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Vorwort
BeidemvorliegendenLehrbuchhandeltessichumeineneuüberarbeiteteunderwei-
terteFassungdeserstmals1996imTeubner-VerlagerschienenenBuchesSignaltheorie,
von dem 1999 im Wiley-Verlag auch eine englische Ausgabe unter dem Titel Signal
Analysis:Wavelets,FilterBanks,Time-FrequencyTransformsandApplicationserschie-
nenist.BeiderOriginalausgabebestanddieZielsetzungdarin,einenTextzuschaffen,
in dem grundsätzliche Prinzipien der Signalbeschreibung und neuere Konzepte der
Signalanalyse und Signalverarbeitung beschrieben werden und das als Grundlage für
SpezialvorlesungeninhöherenSemesternderElektrotechnik/Informationstechnikund
Informatikdienenkonnte.DasindenIngenieurwissenschaftenüblicherweiseimRah-
men einer Systemtheorie-Vorlesung vermittelte Grundwissen über die Beschreibung
zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme wurde dabei vorausgesetzt und nicht
im Buch behandelt. Die 2010 erschienene zweite Auflage schloss bereits viele dieser
Grundlagen mit ein, um eine vollständigere Darstellung des Stoffes zu geben. In der
vorliegenden dritten Auflage wurden insbesondere die einführenden Teile nochmals
erweitertundmitzahlreichenneuenBeispielenversehen,diedenEinstiegindieThe-
matik erleichternsollen. Weiterhin wurde die Notation an einigenStellen geringfügig
geändertundvereinheitlicht.
Die ersten sechs Kapitel dieses Buches behandeln die klassischen Konzepte der
Signalverarbeitung.MitAusnahmevonKapitel2entsprechensieinweitenTeilendem
Stoff einer Vorlesung zur Signalverarbeitung, die ich an der Universität zu Lübeck
für Studierende mehrerer Studiengänge halte. Das erste Kapitel gibt eine Einführung
in Signale. Kapitel 2 beschreibt Signalräume und die mathematischen Prinzipien der
diskretenSignalrepräsentation.EsliefertdamitHintergrundwissen,dasindenspäteren
Kapiteln des Buches benötigt wird. Kapitel 3 ist der Beschreibung zeitkontinuier-
licher Signale und ihrer Verarbeitung mit linearen zeitinvarianten Systemen gewid-
met. Fragen nach der Stabilität rückgekoppelter zeitkontinuierlicher Systeme werden
bewusst ausgeklammert und sind in Standardtexten zur Systemtheorie zu finden. In
Kapitel 4 werden diskrete Systeme und ihre Analyse mittels der Fourier- und der Z-
Transformation behandelt. Kapitel 5 beschäftigt sich mit Blocktransformationen, die
V
VI Vorwort
in vielen Bereichen der Signalverarbeitung eingesetzt werden. Das sechste Kapitel
enthält eine Einführung in die Methoden zur Beschreibung zufälliger Signale. Neben
den klassischen Charakterisierungenund Transformationen enthält es auch eine Ein-
führungindieUnabhängigkeitsanalyse(independentcomponentanalysis),dieihrerseits
Grundlage neuer Konzepte der Signalanalyseund Quellentrennung ist. Die Kapitel 7
bis 11 enthalten Stoff für Vertiefungsveranstaltungen zur Signalverarbeitung. In Ka-
pitel 7 werden Multiratensystemebeschrieben, die heute integraler Bestandteil vieler
Signalverarbeitungs-undCodierungsalgorithmensind.DieKapitel8und9beinhalten
dieKurzzeit-Fourier-unddieWavelet-Transformation.ImzehntenKapitelwerdendie
Wigner-Verteilung und andere quadratische Zeit-Frequenz-Analysemethoden behan-
delt.Kapitel11gibteineEinführungindieSchätztheorieundinlineareOptimalfilter,
die inder Signalverbesserungund der mehrkanaligenSignalverarbeitungAnwendung
finden.
AufderInternetseite
http://www.isip.uni-luebeck.de/Signaltheoriebuch
und über den OnlinePLUS-Service des Verlags werden bekannte Fehler und deren
Korrekturen dokumentiert, und es wird zusätzliches Material zum Buch präsentiert.
Insbesondere werden hier die im Buch verwendeten Abbildungen für die Erstellung
von Lehrmaterialien und eine Sammlung von Übungsaufgaben bereitgestellt. Anre-
gungenzumBuchundentdeckteFehlerwerdenunterderE-Mail-Adresse
[email protected]
gerneentgegengenommen.
An dieser Stelle möchte ich mich noch bei all den Personen bedanken, die bei
der Erstellung des Buches geholfen haben. Insbesondere danke ich Frau Christiane
Ehlers,FrauDr.rer.nat.MariyaDoneva,HerrnDr.-Ing.AlexandruPaulCondurache,
Herrn Prof. Dr. rer. nat. Ulrich G. Hofmann, Herrn MSc. Inform. Ole Jungmann,
HerrnDr.-Ing.MarkusKallinger,HerrnDr.-Ing.RadoslawMazur,HerrnDipl.-Inform.
FlorianMüllerundHerrnDr.rer.nat.StefanStrahlfürdieDurchsichtvonTeilendes
Manuskripts zur zweiten bzw. dritten Auflage, die damit verbundene Mühe und die
kritischen Anmerkungen, die zu zahlreichen Verbesserungen in der Darstellung des
Stoffesgeführthaben.
LübeckimSeptember2012
AlfredMertins
Inhaltsverzeichnis
1 Signale................................................................. 1
1.1 CharakterisierungvonSignalen ...................................... 1
1.2 HäufigverwendeteTestsignale ....................................... 8
Literaturverzeichnis ..................................................... 16
2 SignalräumeunddiskreteSignaldarstellungen ............................. 17
2.1 Signalräume........................................................ 17
2.1.1 Vektorräume................................................. 17
2.1.2 MetrischeRäume............................................. 20
2.1.3 NormierteRäume ............................................ 23
2.1.4 RäumemitSkalarprodukt ..................................... 27
2.2 Orthogonalreihen................................................... 32
2.2.1 BerechnungderKoeffizienten ................................. 32
2.2.2 OrthogonaleProjektion ....................................... 33
2.2.3 Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren.................. 34
2.2.4 DieParseval’scheGleichung................................... 35
2.2.5 VollständigeorthonormaleFunktionensysteme .................. 36
2.2.6 DieFourier-Reihenentwicklung................................ 37
2.3 AllgemeineReihenentwicklungen.................................... 38
2.3.1 BerechnungderKoeffizienten ................................. 39
2.3.2 OrthogonaleProjektion ....................................... 43
2.3.3 OrthogonaleProjektionvonN-Tupeln.......................... 44
Literaturverzeichnis ..................................................... 46
3 ZeitkontinuierlicheSignaleundSysteme .................................. 47
3.1 BeschreibunglinearerzeitinvarianterSystemeimZeitbereich........... 47
3.1.1 Impulsantwort,FaltungundSprungantwort ..................... 48
3.1.2 ImpulsantwortenausgewählterLTI-Systeme .................... 52
3.1.3 StabilitätvonLTI-Systemen ................................... 54
3.1.4 SystemantwortaufExponentialfunktionen ...................... 54
3.2 DieFourier-Transformation.......................................... 57
3.2.1 Definition.................................................... 57
3.2.2 BeispielefürdiedirekteAuswertungdesFourier-Integrals ....... 59
3.2.3 SymmetrienderFourier-Transformation ........................ 60
3.2.4 WeitereEigenschaftenderFourier-Transformation............... 63
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
3.2.5 EinigespezielleFourier-Korrespondenzen ...................... 69
3.2.6 DieParseval’scheGleichung................................... 71
3.2.7 Fourier-TransformationperiodischerSignale .................... 72
3.2.8 Fourier-TransformationderDirac-Impulsfolge................... 72
3.2.9 DiePoisson’scheSummenformel............................... 74
3.2.10 Zeit-undbandbegrenzteSignale ............................... 75
3.2.11 DasGibbs’schePhänomen .................................... 76
3.3 EnergiedichteundKorrelation....................................... 76
3.3.1 DefinitionundEigenschaften .................................. 76
3.3.2 Energiedichte und Korrelation bei der Übertragung durch
LTI-Systeme ................................................. 79
3.4 FrequenzbereichsanalysevonLTI-Systemen........................... 80
3.4.1 Betrag,PhaseundGruppenlaufzeit............................. 80
3.4.2 IdealeundrealeFilter ........................................ 81
3.5 DieHilbert-Transformation.......................................... 83
3.6 KausaleSignaleunddieHilbert-Transformation....................... 86
3.7 RepräsentationvonBandpasssignalen ................................ 87
Literaturverzeichnis ..................................................... 94
4 DiskreteSignaleundSysteme ............................................ 95
4.1 AbtastungzeitkontinuierlicherSignale................................ 95
4.2 Eingangs-Ausgangs-BeziehungendiskreterLTI-Systeme................ 103
4.2.1 Impulsantwort,FaltungundSprungantwort ..................... 104
4.2.2 FIR-Filter.................................................... 105
4.2.3 RekursiveFilter .............................................. 107
4.2.4 AntwortdiskreterLTI-SystemeaufExponentialfolgen ........... 110
4.3 DiezeitdiskreteFourier-Transformation .............................. 113
4.3.1 DefinitionundKonvergenz .................................... 113
4.3.2 EigenschaftenderzeitdiskretenFourier-Transformation.......... 114
4.3.3 ZeitdiskreteFourier-TransformationsinusförmigerSignale ....... 117
4.4 KorrelationundEnergiedichte....................................... 117
4.5 DieZ-Transformation............................................... 119
4.5.1 DefinitionundKonvergenzeigenschaften........................ 119
4.5.2 DieinverseZ-Transformation.................................. 122
4.5.3 EigenschaftenderZ-Transformation............................ 124
4.6 AnalysediskreterLTI-Systeme ...................................... 129
4.6.1 PoleundNullstellenvonFIR-Filtern ........................... 129
4.6.2 FIR-FiltermitlinearerPhase .................................. 134
4.6.3 EntwurfvonFIR-FilternmitderFenstertechnik................. 135
4.6.4 PoleundNullstellenvonrekursivenFiltern ..................... 141
4.6.5 BestimmungderImpulsantworteinesrekursivenFilters.......... 143
4.6.6 StabilitätdiskreterSysteme.................................... 146
4.6.7 Minimalphasigkeit............................................ 149
4.6.8 Allpass-Filter................................................. 151
4.6.9 Entfaltung ................................................... 152
Inhaltsverzeichnis IX
4.6.10 FaktorisierungvonrekursivenSystemen ........................ 153
4.7 DieChirp-Z-Transformation......................................... 154
4.8 ZeitdiskreteVerarbeitungkontinuierlicherSignale..................... 156
Literaturverzeichnis ..................................................... 158
5 DiskreteBlocktransformationen.......................................... 159
5.1 DiediskreteFourier-Transformation(DFT) ........................... 159
5.2 DieschnelleFourier-Transformation.................................. 166
5.2.1 Radix-2-Decimation-in-Time-FFT.............................. 166
5.2.2 Radix-2-Decimation-in-Frequency-FFT......................... 169
5.2.3 Radix-4-FFT ................................................. 170
5.2.4 Split-Radix-FFT .............................................. 171
5.2.5 WeitereFFT-Algorithmen ..................................... 172
5.3 DieschnelleFaltungaufBasisderFFT ............................... 174
5.4 DiediskreteKosinustransformation .................................. 175
5.5 DiediskreteHartley-Transformation ................................. 178
5.6 Hadamard-undWalsh-Hadamard-Transformation..................... 180
Literaturverzeichnis ..................................................... 181
6 CharakterisierungundTransformationvonZufallsprozessen ................ 183
6.1 EigenschaftenvonZufallsvariablen................................... 183
6.2 ZeitkontinuierlicheZufallsprozesse .................................. 187
6.2.1 KorrelationsfunktionenundStationarität ....................... 187
6.2.2 SpektraleLeistungsdichte ..................................... 190
6.2.3 TransformationstochastischerProzessedurchlineareSysteme .... 192
6.2.4 Suchfilter(Matched-Filter) .................................... 193
6.2.5 StationäreBandpassprozesse .................................. 194
6.3 DiezeitkontinuierlicheKarhunen-Loève-Transformation............... 197
6.4 ZeitdiskreteZufallsprozesse ......................................... 200
6.4.1 KorrelationundLeistungsdichte ............................... 201
6.4.2 Transformation zeitdiskreter Zufallsprozesse durch lineare
Systeme ................................................... 202
6.4.3 Korrelationsmatrizen.......................................... 203
6.4.4 Schätzung von Autokorrelationsfolgen und
Leistungsdichtespektren .................................... 205
6.5 DiediskreteKarhunen-Loève-Transformation......................... 207
6.6 Karhunen-Loève-TransformationreellwertigerAR(1)-Prozesse ......... 210
6.7 Whitening-Transformation........................................... 212
6.8 IndependentComponentAnalysis ................................... 214
Literaturverzeichnis ..................................................... 218
7 Multiratensysteme ...................................................... 219
7.1 GrundlegendeMultiraten-Operationen ............................... 220
7.1.1 FilterungundAbtastratenumsetzung ........................... 220
7.1.2 Polyphasenzerlegung.......................................... 222
X Inhaltsverzeichnis
7.1.3 Multiraten-Identitäten ........................................ 224
7.1.4 Polyphasen-InterpolationundDezimation ...................... 225
7.2 Zwei-Kanal-Filterbänke............................................. 228
7.2.1 BeziehungenzwischenEin-undAusgang ....................... 228
7.2.2 Quadratur-Spiegel-Filter ...................................... 229
7.2.3 PerfektrekonstruierendeZwei-Kanal-Filterbänke ............... 230
7.2.4 Polyphasendarstellung perfekt rekonstruierender Zwei-Kanal-
Filterbänke .................................................. 232
7.2.5 ParaunitäreZwei-Kanal-Filterbänke............................ 235
7.2.6 ParaunitäreFilterbankinLattice-Struktur ...................... 239
7.2.7 Lifting-Strukturen ............................................ 241
7.3 FilterbänkeinBaumstruktur......................................... 242
7.4 GleichförmigeM-Kanal-Filterbänke.................................. 245
7.4.1 Beziehungen zwischen Ein- und Ausgang gleichförmiger
M-Kanal-Filterbänke.......................................... 245
7.4.2 Polyphasendarstellung ........................................ 247
7.4.3 ParaunitäreFilterbänke ....................................... 249
7.4.4 EntwurfkritischabgetasteterFIR-Filterbänke................... 250
7.5 DFT-Filterbänke.................................................... 251
7.6 Kosinus-modulierteFilterbänke...................................... 254
7.6.1 DiemodulierteüberlappendeTransformation ................... 254
7.6.2 Kosinus-modulierteFilterbänkemitkritischerAbtastung......... 258
7.6.3 Überabgetastetekosinus-modulierteFilterbänke................. 262
7.6.4 Pseudo-QMF-Bänke .......................................... 263
7.7 ÜberlappendeorthogonaleTransformationen ......................... 264
7.8 AnalysevonFilterbank-Eigenschaften................................ 266
7.8.1 Frame-Analyse ............................................... 266
7.8.2 Bifrequenzanalyse ............................................ 268
7.9 BeschreibungvonZufallsprozesseninMultiratensystemen ............. 270
7.9.1 SpektrenstationärerundinstationärerProzesse ................. 270
7.9.2 EffektederAbtastratenumsetzung ............................. 272
7.9.3 SignalstatistikingleichförmigenFilterbänken ................... 273
7.10 TeilbandzerlegungendlichlangerSignale ............................. 276
7.11 TeilbandcodierungvonBildern....................................... 279
7.12 Transmultiplexer-Filterbänke ........................................ 280
Literaturverzeichnis ..................................................... 282
8 Kurzzeit-Fourier-Transformation.......................................... 285
8.1 TransformationanalogerSignale ..................................... 285
8.1.1 Definition.................................................... 285
8.1.2 Zeit-Frequenz-Auflösung...................................... 286
8.1.3 DieUnschärferelation ........................................ 288
8.1.4 DasSpektrogramm ........................................... 290
8.1.5 Rücktransformation .......................................... 292
8.2 TransformationzeitdiskreterSignale.................................. 293
Inhaltsverzeichnis XI
8.3 DieschnelleFaltungmittelsderSTFT ................................ 297
8.4 SpektraleSubtraktionaufBasisderSTFT ............................ 298
Literaturverzeichnis ..................................................... 300
9 DieWavelet-Transformation ............................................. 301
9.1 DiezeitkontinuierlicheWavelet-Transformation ....................... 301
9.2 WaveletsfürdieZeit-Skalen-Analyse................................. 305
9.3 IntegraleRücktransformationundEnergieerhaltung................... 307
9.4 Wavelet-Reihen .................................................... 309
9.4.1 DyadischeAbtastung ......................................... 309
9.4.2 Erhöhung der Frequenzauflösung durch die Aufteilung von
Oktaven ..................................................... 311
9.5 DiediskreteWavelet-Transformation................................. 313
9.5.1 DasKonzeptderMehrfach-Auflösung.......................... 313
9.5.2 SignalanalysedurchMultiraten-Filterung ....................... 319
9.5.3 Wavelet-SynthesedurchMultiraten-Filterung ................... 320
9.5.4 EigenschaftenderdiskretenFilter.............................. 322
9.6 KonstruktionvonWaveletsdurchVorgabevonFilterkoeffizienten ...... 323
9.6.1 DieallgemeineVorgehensweise................................ 323
9.6.2 Momente .................................................... 329
9.6.3 Regularität................................................... 331
9.6.4 WaveletsmitendlicherZeitdauer .............................. 331
9.7 Wavelet-Familien................................................... 332
9.7.1 BiorthogonalelinearphasigeWavelets .......................... 332
9.7.2 OrthonormaleDaubechies-Wavelets............................ 337
9.7.3 Coiflets ...................................................... 338
9.8 Wavelet-TransformationzeitdiskreterSignale.......................... 340
9.8.1 DerÀ-Trous-Algorithmus ..................................... 341
9.8.2 ZeitdiskretesMorlet-Wavelet .................................. 345
9.9 DieDual-Tree-Wavelet-Transformation............................... 346
9.10 Wavelet-basierteBildkompression.................................... 347
9.11 SpärlicheWavelet-RepräsentationenundihreAnwendungen ........... 348
9.11.1 ErzeugungspärlicherRepräsentationen......................... 349
9.11.2 Wavelet-basierteRauschreduktion ............................. 351
9.11.3 KomprimierteAbtastung...................................... 352
Literaturverzeichnis ..................................................... 353
10 Zeit-Frequenz-Verteilungen.............................................. 355
10.1 Ambiguitätsfunktion................................................ 355
10.2 Wigner-Verteilung .................................................. 359
10.2.1 DefinitionundEigenschaften .................................. 359
10.2.2 BeispielevonZeit-Frequenz-Verteilungen ...................... 362
10.2.3 KreuztermeundKreuz-Wigner-Verteilungen.................... 364
10.2.4 EinflusslinearerOperationen.................................. 366
10.3 AllgemeineZeit-Frequenz-Verteilungen .............................. 368