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Préparation à l’agrégation, 29 mars 2016
Antoine Chambert-Loir
Résumé. — Définition et propriétés élémentaires du résultant de deux polynômes en une indé-
terminée,discriminant.Applicationsàlaloideréciprocitéquadratiqueetauthéorèmedeszérosde
Hilbert.
1. Définition et propriété principale
Définition 1.1. — Soit A un anneau (commutatif et unitaire). Soit P,Q ∈ A[T] des
polynômes en une indéterminée T à coefficients dans A; soit m,n des entiers (cid:62) 0 tels
que deg(P) (cid:54) m et deg(Q) (cid:54) n. On appelle résultant (en degrés (m,n)) de P et Q le
déterminant de l’application linéaire
Φ : A[T] ×A[T] → A[T] , (U,V) (cid:55)→ UP +VQ
P,Q <n <m <m+n
dans les bases (1,T,...,Tn−1;1,T,...,Tm−1) de A[T] ×A[T] et (1,T,...,Tm+n−1)
<n <m
de A[T] . On le note Res (P,Q).
<m+n m,n
Remarque 1.2. — SupposonsqueP = a +a T+···+a Tm etQ = b +b T+···+b Tn.
0 1 m 0 1 n
En écrivant la matrice de l’application linéaire Φ dans les bases indiquées, on peut donc
P,Q
calculerlerésultantdeP etQcommeledéterminantd’unematricedetaillem+n,appelée
matrice de Sylvester :
(cid:12) (cid:12)
a b
(cid:12) 0 0 (cid:12)
(cid:12)(cid:12)a a b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 0 1 (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... ... b (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 0 (cid:12)
Resm,n(P,Q) = (cid:12)(cid:12)(cid:12)am ... a0 ... b1 (cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12)(cid:12) ... a b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 n (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
m n
Explicitement, le vecteur-colonne (a ,...,a ) est recopié n fois, à chaque fois décalé d’une
0 m
ligne vers le bas, puis le vecteur-colonne (b ,...,b ) est recopié m fois, à chaque fois décalé
0 n
d’une ligne vers le bas.
Remarque 1.3. — Le résultant de P et Q est un élément de A.
Soit f: A → B un homomorphisme d’anneaux; notons P (cid:55)→ Pf l’homomorphisme
de A[T] dans B[T] qui applique un polynôme P = (cid:80)c Tj sur Pf = (cid:80)f(c )Tj. Alors,
j j
Res (Pf,Qf) = f(Res (P,Q)). En effet, la matrice de l’application linéaire Φ
m,n m,n Pf,Qf
est obtenue en appliquant f aux coefficients de la matrice de l’application linéaire Φ .
P,Q
2 ANTOINE CHAMBERT-LOIR
Remarque 1.4. — LaformulefondéesurledéterminantdeSylvestermontrequelerésul-
tant Res (P,Q) s’exprime comme un polynôme en les coefficients a ,...,a ,b ,...,b
m,n 0 m 0 n
de P et Q.
Précisément, considérons l’anneau A = Z[a ,...,a ,b ,...,b ] des polynômes à coeffi-
0 m 0 n
cients entiers en (m+1)+(n+1) indéterminées a ,...,a ,b ,...,b , et les polynômes
0 m 0 n
P = a +a +···+a Tm et Q = b +···+b Tn à coefficients dans cet anneau. Notons
0 1 m 0 n
R le résultant Res (P,Q); c’est un élément de cet anneau de polynômes. On peut
m,n m,n
démontrer qu’il est irréductible.
Le polynôme R est de degré m+n, et qu’il est homogène de degré n en les indéter-
m,n
minées (a ,...,a ) et est homogène de degré m en les indéterminées (b ,...,b ).
0 m 0 n
Démontrons aussi que R est quasi-homogène de degré mn si l’on attribue le poids i
m,n
aux indéterminées a et b . Pour cela, développons le déterminant de Sylvester suivant les
i i
permutationsσ de {1,...,m+n}. Le terme correspondant à une telle permutation est égal
à (cid:81)n a (cid:81)m+n b si 0 (cid:54) σ(i)−i (cid:54) m pour 1 (cid:54) i (cid:54) n et 0 (cid:54) σ(i)−i+n (cid:54) n
i=1 σ(i)−i i=n+1 σ(i)−i+n
pour n+1 (cid:54) i (cid:54) m; il est nul sinon. Lorsqu’il n’est pas nul, le poids de ce monôme est
donc égal à
n m+n m+n m+n
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
(σ(i)−i)+ (σ(i)−i+n) = σ(i)− i+nm = nm
i=1 i=n+1 i=1 i=1
puisque σ est une permutation. Nous avons ainsi démontré que R est somme de mo-
m,n
nômes de poids mn, ce qui signifie exactement que R est quasi-homogène de poids mn.
m,n
PourtoutanneauB ettoutcouple(p,q)depolynômesàcoefficientsdansB,dedegrés(cid:54)
m et (cid:54) n respectivement, il existe un unique homomorphisme d’anneaux f: A → B tel
que p = Pf et q = Qf : pour tous i,j, cet homomorphisme applique a sur le coefficient
i
de Ti de p et b sur le coefficients de Tj de q. Alors, Res (p,q) = Rf = R (p,q) est
j m,n m,n m,n
obtenu en évaluant le polynôme R en les coefficients de p et q.
m,n
Cette remarque nous permettra, pour démontrer certaines formules générales, de suppo-
serquel’anneauAestintègre,voiremême,enconsidérantsoncorpsdesfractions,quec’est
un corps, voire même, en en considérant une clôture algébrique, qu’il est algébriquement
clos.
Remarque 1.5. — Supposons que A = R. Pourtout entier n, soitP l’espace affineréel
n
des polynômes unitaires de degré n et soit π: P ×P → P l’application produit.
m n m+n
Elle est polynomiale; calculons sa différentielle en un couple (P,Q). Comme P est un
n
espace affine dirigé par l’espace vectoriel R[T] , on doit calculer π(P +U,Q+V) pour
<n
U ∈ R[T] et V ∈ R[T] . On a ainsi
<m <n
π(P +U,Q+V) = (P +U)(Q+V) = PQ+(VP +UQ)+UV
= π(P,Q)+Φ (V,U)+O(((cid:107)U(cid:107)+(cid:107)V(cid:107))2),
P,Q
où (cid:107)·(cid:107) est une norme arbitraire sur R[T] (resp. sur R[T] ). Ainsi, à l’échange près des
<m <n
facteurs, l’application Φ est la différentielle de l’application π.
P,Q
Le théorème d’inversion locale entraîne donc le cas particulier suivant. Suppo-
sons Res (P,Q) (cid:54)= 0. Il existe alors des voisinages U de P dans P , V de Q
m,n m
dans P , W de PQ dans P telle que l’application π induise, par restriction, un
n m+n
C∞-difféomorphisme de U ×V sur W .
Proposition 1.6. — Soit K un corps, soit P,Q ∈ K[T] des polynômes en une indé-
terminée T à coefficients dans K et soit m,n des entiers > 0 tels que deg(P) (cid:54) m et
RÉSULTANTS 3
deg(Q) (cid:54) n. Pour que Res (P,Q) = 0, il faut et il suffit que l’une au moins des deux
m,n
propriétés suivantes soit vérifiée :
(1) On a deg(P) < m et deg(Q) < n;
(2) Les polynômes P et Q ne sont pas premiers entre eux dans K[T].
Remarque 1.7. — Si l’on peut prendre m = 0, alors P = p est constant et l’on a
0
Res (P,Q) = pn; ainsi Res (P,Q) = 0 si et seulement si P = 0 et n > 0. De même, si
m,n 0 0,n
l’on peut prendre n = 0, alors Res (P,Q) = 0 si et seulement si Q = 0 et m > 0.
m,0
Démonstration. — Notons Φ = Φ . Par définition, Res (P,Q) = 0 si et seulement si
P,Q m,n
l’application linéaire Φ de K[T] ×K[T] dans K[T] n’est pas injective, c’est-à-
<n <m <m+n
dire s’il existe des polynômes U et V dans K[T] tels que UP +VQ = 0 et deg(U) < n et
deg(V) < m.
SupposonsP = 0.OnaalorsRes (P,Q) = 0,carn > 0.Deplus,soitdeg(Q) = 0 < n,
m,n
soit Q est un facteur commun de P et Q de degré > 0. Cela prouve l’assertion dans ce cas
et la preuve lorsque Q = 0 est similaire.
On suppose dans la suite de la démonstration que P et Q sont non nuls.
Supposons que deg(P) < m et deg(Q) < n; alors, Φ(−Q,P) = 0, donc Res (P,Q) =
m,n
0.
Supposons que P et Q aient un facteur commun D de degré > 0; soit P et Q des
1 1
polynômes tels que P = DP et Q = DQ . Puisque deg(D) > 0, on a deg(P ) < m et
1 1 1
deg(Q ) < n; alors, Φ(−Q ,−P ) = −PQ +QP = −DP Q +DP Q = 0. Ainsi, Φ
1 1 1 1 1 1 1 1 1
n’est pas injective et Res (P,Q) = 0.
m,n
SupposonsmaintenantqueRes (P,Q) = 0etsoitU,V ∈ K[T]despolynômesnonnuls
m,n
tels que UP +VQ = 0, deg(U) < n et deg(V) < m. Supposons que P et Q soient premiers
entre eux. Alors, P divise −UP = VQ, donc P divise V, d’après le lemme de Gauss; on a
donc m > deg(V) (cid:62) deg(P). Toujours d’après le lemme de Gauss, Q divise −VQ = UP,
donc P divise U, d’où n > deg(U) (cid:62) deg(Q).
Exemple 1.8. — Soit k un corps et soit K une extension de K. Soit α,β ∈ K, soit
P,Q ∈ k[T] des polynômes non nuls tels que P(α) = Q(β) = 0; posons m = deg(P) et
n = deg(Q).
(1) Soit R = Res(P(X − T),Q) ∈ k[X] le résultant des polynômes P(X − T) et
Q(T) considérés comme éléments de k[X][T]. On a R(α + β) = 0. En effet, R(α +
β) = Res (P(α + β − T),Q(T)) = 0 car β est une racine commune des polynômes
m,n
P(α + β − T) et Q(T). Soit de plus x ∈ K (voire une extension K(cid:48) de K). On a
R(x) = Res (P(x − T),Q(T)) et deg (P(x − T)) = m, deg(Q) = n; si R(x) = 0,
m,n T
alors il existe une racine t de Q telle que x−t soit racine de P ; l’ensemble des éléments
deK(cid:48) quisontsommed’uneracinedeP etd’uneracinedeQestfini.Enprenantxdistinct
de ces éléments, on a donc R(x) (cid:54)= 0 ce qui prouve que le polynôme R n’est pas nul.
Cela donne par exemple une démonstration constructive de ce que la somme de deux
éléments de K algébriques sur k est algébrique sur k.
(2) Posons P˜(X,T) = P(X/T)Tm; c’est un élément de k[X,T]. On démontre de façon
similaire que le polynôme Res (P˜(X,T),Q(T)) ∈ k[X] n’est pas nul et annule αβ.
m,n
(3) Soit f ∈ k[T]; posons γ = f(α) et n = deg(f). Alors, le polynôme R =
Res (P(T),X −f(T)) ∈ k[T] n’est pas nul et vérifie R(γ) = 0.
m,n
(4) Soit F ∈ k[X,Y] un polynôme tel que F(α,β) = 0. Alors, le polynôme R =
Res (P(T),F(X,T)) ∈ k[T] n’est pas nul et vérifie R(β) = 0.
m,n
4 ANTOINE CHAMBERT-LOIR
Corollaire 1.9. — Soit A un anneau factoriel, soit P,Q ∈ A[T] des polynômes en une
indéterminée T à coefficients dans A et soit m,n des entiers (cid:62) 0 tels que deg(P) (cid:54) m
et deg(Q) (cid:54) n. Soit p un élément irréductible de A; soit k le corps des fractions de
l’anneau intègre A/(p). Pour que p divise Res (P,Q), il faut et il suffit que l’une des
m,n
deux propriétés suivantes soit vérifiée :
(1) Les coefficients dominants a de P et b de Q sont multiples de p;
m n
(2) Les images P¯ et Q¯ de P et Q par l’homomorphisme de réduction modulo p de A[T]
dans k[T] ont un facteur commun dans k[T].
Corollaire 1.10. — Soit k un corps algébriquement clos, soit P,Q ∈ k[T ,...,T ] des
1 d
polynômes en n indéterminées T ,...,T et à coefficients dans k, soit m,n des entiers (cid:62) 0
1 d
telsquem (cid:62) deg (P)etn (cid:62) deg (Q).SoitdoncR ∈ k[T ,...,T ]lerésultant«enT »
T T 1 d−1 d
d d
de P et Q, considérés comme des éléments de k[T ,...,T ][T ].
1 d−1 d
Pour a ∈ kd−1, on a R(a) = 0 si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est
vérifiée :
(1) On a deg(P(a,T)) < m et deg(Q(a,T)) < n;
(2) Les polynômes P(a,T) et Q(a,T) ont une racine commune dans k.
Enparticulier,lorsqued = 2,lerésultantenY fournitl’équationdesabscissesdespoints
d’intersection des deux courbes planes définies par des polynômes P, Q ∈ k[X,Y].
Remarque 1.11. — Le résultant Res (P,Q) appartient à l’idéal de A[T] engendré
m,n
par P et Q.
Soit Ψ l’application linéaire de A[T] dans A[T] ×A[T] dont la matrice dans
<m+n <m <n
les bases indiquées est la transposée de la matrice des cofacteurs de la matrice de Φ .
P,Q
On a donc Φ ◦Ψ = deg(Φ )Id. Appliquons cette égalité au polynôme 1 et posons
P,Q P,Q
(U,V) = Ψ(1). On a donc UP +VQ = Res (P,Q), donc Res (P,Q) ∈ (P,Q).
m,n m,n
2. Formules
On va maintenant donner quelques formules explicites pour le résultant.
Lemme 2.1. — On a Res (P,Q) = (−1)mnRes (Q,P).
m,n n,m
Démonstration. — Soit c la permutation circulaire (1,...,m+n) → (2,...,m+n,1); sa
signature est (−1)m+n−1. La matrice de Φ est obtenue en appliquant la permutation
Q,P
circulairedescolonnes(1,...,m+n) → (n+1,...,n+m,1,...,n),égaleàcn;sasignature
est donc égale à (−1)(m+n−1)n = (−1)mn(−1)n2−n = (−1)mn puisque n2−n est pair.
Lemme 2.2. — On a Res (1,Q) = 1 et Res (P,1) = 1.
0,n m,0
Démonstration. — En effet, dans ces cas, l’application Φ est l’identité.
P,Q
Lemme 2.3. — Pour tous a,b ∈ A, on a Res (aP,bQ) = anbmRes (P,Q).
m,n m,n
Démonstration. — Cela découle de l’homogénéité du déterminant de Sylvester : pour le
couple (aP,bQ), il se déduit de celui du couple (P,Q) en multipliant par a les n premières
colonnes, et par b les m dernières.
Proposition 2.4. — On suppose que Q est unitaire de degré n, de sorte que la A-algèbre
Λ = A[T]/(Q) est un A-module libre de rang n. Le résultant Res (P,Q) est le déter-
Q m,n
minant de la multiplication par (la classe de) P dans Λ .
Q
RÉSULTANTS 5
Démonstration. — Soit θ: A[T] ×A[T] → A[T] l’application linéaire donnée par
<n <m m+n
(U,V) (cid:55)→ U + VQ. Comme Q est unitaire, le théorème de division euclidienne assure
qu’elle est bijective; notons (α,β) son inverse : on a donc α(U)+β(U)Q = U pour tout
U ∈ A[T] .
<m+n
Pour U ∈ A[T] et V ∈ A[T] , on a
<n <m
Φ (U,V) = UP +VQ = α(UP)+β(UP)Q+VQ = θ(α(UP),V +β(UP)),
P,Q
donc Res (P,Q) est le produit du déterminant de θ et du déterminant de l’application
m,n
(U,V) (cid:55)→ (α(UP),V +β(UP)).
La matrice de θ est triangulaire supérieure, et comme Q est unitaire, sa diagonale est
formée de 1; on a donc det(θ) = 1.
La matrice de (U,V) (cid:55)→ (α(UP),V +β(UP)) est triangulaire supérieure par blocs, donc
son déterminant est le produit des déterminants de deux blocs diagonaux. Le bloc en haut
à gauche est la matrice de la multiplication par P dans Λ . Le bloc en bas à droite est
Q
l’identité.
Cela démontre la proposition.
Corollaire 2.5. — Pour tout a ∈ A, on a Res (P,T −a) = P(a) et Res (T−a,Q) =
m,1 1,n
(−1)nQ(a).
Démonstration. — L’algèbreΛ = A[T]/(T−a)estégaleàA,etlaclassedeP danscette
T−a
algèbreestégaleàP(a).LapropositionentraînedonclapremièreégalitéRes (P,T−a) =
m,1
P(a). On a Res (T −a,Q) = (−1)nRes (Q,T −a), d’où la seconde égalité.
1,n n,1
Corollaire 2.6. — Soit P , P , Q des polynômes de A[T], soit m ,m ,n des entiers (cid:62) 0
1 2 1 2
tels que deg(P ) (cid:54) m , deg(P ) (cid:54) m et deg(Q) (cid:54) n. On a
1 1 2 2
Res (P P ,Q) = Res (P ,Q)Res (P ,Q).
m1+m2,n 1 2 m1,n 1 m2,n 2
Démonstration. — Il suffit de démontrer cette formule lorsque P ,P ,Q sont des poly-
1 2
nômes à coefficients indéterminés a (pour 0 (cid:54) i (cid:54) m ), b (pour 0 (cid:54) j (cid:54) m ) et c
i 1 j 2 k
(pour 0 (cid:54) k (cid:54) n) et l’anneau A est l’anneau des polynômes Z[(a ),(b ),(c )]. On peut
i j k
même prouver l’égalité dans le corps des fractions K de A. Observons que l’on a alors
deg(P ) = m , deg(P ) = m et deg(Q) = n. Posons m = m +m et P = P P . Les
1 1 2 2 1 2 1 2
deux membres sont homogènes de degrés m +m en les coefficients de Q; on peut donc
1 2
supposer que Q est unitaire.
Soit Λ l’algèbre K[T]/(Q). Notons µ la multiplication par un polynôme P dans cette
Q P
algèbre. D’après la proposition, on a Res (P ,Q) = det(µ ), et de même pour P et
m1,n 1 P1 2
P = P P . Comme µ = µ ◦µ , on a la formule voulue.
1 2 P1P2 P1 P2
Corollaire 2.7. — On suppose P = a(cid:81)m (T −α ) et Q = b(cid:81)n (T −β ). Alors,
i=1 i j=1 j
n m m n
(cid:89) (cid:89) (cid:89)(cid:89)
Res (P,Q) = bm P(β ) = (−1)mnan Q(α ) = anbm (β −α ).
m,n j i j i
j=1 i=1 i=1j=1
Remarque 2.8. — En raisonnant par récurrence sur n, on peut aussi démontrer le corollaire
précédent directement grâce à des combinaisons linéaires judicieuses de colonnes. En effet, si Q=
6 ANTOINE CHAMBERT-LOIR
b(cid:81)n (T −β )=b +b T +···+b Tn, on a (T −β)Q=−βQ+TQ, de sorte que
j=1 j 0 1 n
(cid:12)a −βb (cid:12)
(cid:12) 0 0 (cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12)a1 a0 b0−βb1 ... (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12) ... ... ... b1−βb2 ... −βb0 (cid:12)(cid:12)(cid:12)
Resm,n+1(P,(T −β)Q)=(cid:12)(cid:12)(cid:12)am ... a0 ... b0−βb1 (cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... a b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 n (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... b −βb (cid:12)(cid:12)
(cid:12) n−1 n (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
m n
En partant du bas, ajoutons à chaque ligne β fois la suivante. On obtient ainsi
(cid:12) P(β) βP(β) ··· βn−1P(β) 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12)a1+a2β+... P(β) βn−2P(β) b0 ... (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... b1 ... 0 (cid:12)(cid:12)(cid:12)
Resm,n+1(P,(T −β)Q)=(cid:12)(cid:12)(cid:12) am ... P(β) ... b0 (cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... a +βa +... b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 2 n (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... b (cid:12)(cid:12)
(cid:12) n−1 (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
m n
La première ligne est multiple de P(β), on a donc
(cid:12) 1 β ··· βn−1 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12)a1+a2β+... P(β) βn−2P(β) b0 ... (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... b1 ... 0 (cid:12)(cid:12)(cid:12)
Resm,n+1(P,(T −β)Q)=P(β)(cid:12)(cid:12)(cid:12) am ... P(β) ... b0 (cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... a +βa +... b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 2 n (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... b (cid:12)(cid:12)
(cid:12) n−1 (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
m n
En partant de la droite, soustrayons à chacune des n premières lignes β fois la précédente. On
obtient
(cid:12) 1 0 ··· 0 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12)a1+a2β+... a0 0 b0 ... (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12)(cid:12) ... ... ... ... b1 ... 0 (cid:12)(cid:12)(cid:12)
Resm,n+1(P,(T −β)Q)=P(β)(cid:12)(cid:12)(cid:12) am ... a0 ... b0 (cid:12)(cid:12)(cid:12).
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... a b ... (cid:12)(cid:12)
(cid:12) 1 n (cid:12)
(cid:12)(cid:12) ... ... ... b (cid:12)(cid:12)
(cid:12) n−1 (cid:12)
(cid:12) a b (cid:12)
m n
En développant ce déterminant suivant la première ligne, on trouve ainsi
Res (P,(T −β)Q)=P(β)Res (P,Q).
m,n+1 m,n
Le reste de la formule s’en déduit par récurrence.
RÉSULTANTS 7
3. Résultant et algorithme d’Euclide
Les formules explicites du paragraphe précédent permettent de fournit un algorithme
assez efficace pour calculer le résultant.
On pose P = P et P = Q puis, pour tout entier k tel que P (cid:54)= 0, soit P le reste
0 1 k k+1
de la division euclidienne de P par P . D’après l’algorithme d’Euclide, il existe un plus
k−1 k
petit entier d tel que P = 0, et P est le pgcd de P et Q.
d+1 d
On sait que Res (P,Q) = 0 si P et Q ne sont pas premiers entre eux, c’est-à-dire si
m,n
deg(P ) (cid:54)= 0.
d
On suppose dans la suite que P et Q sont premiers entre eux. Pour k (cid:54) d, notons n
k
le degré de P et a son coefficient dominant. Par homogénéité du résultant en le second
k k
polynôme, on a
n
Res (P ,P ) = a k−1Res (P ,P /a ).
nk−1,nk k−1 k k nk−1,nk k−1 k k
De plus, Res (P ,P /a ) est le déterminant de la multiplication par P dans
nk−1,nk k−1 k k k−1
l’algèbre K[T]/(P ). Comme P ≡ P (mod P ), c’est aussi le déterminant de la
k k+1 k−1 k
multiplication par P dans cette algèbre, de sorte que
k+1
Res (P ,P ) = ank−1Res (P ,P ) = ank−1(−1)nknk+1Res (P ,P ).
nk−1,nk k−1 k k nk+1,nk k+1 k k nk,nk+1 k k+1
Enfin, on a
n n
Res (P ,P ) = Res (P ,a ) = a d−1Res (P ,1) = a d−1.
nd−1,nd d−1 d nd−1,0 d−1 d d nd−1,0 d−1 d
On a donc
d d−1
Res (P,Q) = (cid:89)ank−1 (cid:89)(−1)nknk+1.
m,n k
k=1 k=1
4. Discriminant
Définition 4.1. — Soit P ∈ A[T] un polynôme de degré m dont le coefficient domi-
nant a est inversible; on appelle discriminant de P l’expression
m
Disc(P) = (−1)m(m−1)/2a−1Res (P,P(cid:48)).
m m,m−1
Remarque 4.2. — Prenons pour anneau A un anneau de polynômes Z[a ,...,a ] et
0 m
pour polynôme P le polynôme P = a + a T + ··· + a Tm dont les coefficients sont
0 1 m
les indéterminées. Soit R = Res (P,P(cid:48)). Dès qu’on évalue le polynôme R en un
m,m−1
polynôme p dont le coefficient de Tm est nul, on a deg(p) < m et deg(p(cid:48)) < m−1, donc
R(p) = Res (p,p(cid:48)) = 0.Parsuite,Restmultipledea etilexisteununiquepolynôme
m,m−1 m
D ∈ Z[a ,...,a ] tel que a D = (−1)m(m−1) = R. En particulier, Disc(p) = D (p)
m 0 m m m m
pour tout polynôme p de degré m dont le coefficient dominant est inversible.
LepolynômeD esthomogènededegré2m−2.Sia estdepoidsi,ilestquasi-homogène
m i
de poids m(m−1).
Proposition 4.3. — Soit K un corps et soit P ∈ K[T] un polynôme de degré n. Les
conditions suivantes sont équivalentes : (i) Disc(P) = 0; (ii) P et P(cid:48) ont un facteur
commun; (iii) P et P(cid:48) ont une racine commune dans une clôture algébrique.
Proposition 4.4. — Si P = a(cid:81)m (T −α ), on a
i=1 i
(cid:89)
Disc(P) = a2m−2 (α −α )2.
i j
i<j
8 ANTOINE CHAMBERT-LOIR
Démonstration. — Faisonsd’abordlecalculdansl’anneaudespolynômesZ[a,α ,...,α ],
1 m
c’est-à-dire lorsque P est le «polynôme générique scindé». Par définition, on a
m
(cid:89)
(−1)m(m−1)/2aDisc(P) = Res (P,P(cid:48)) = (−1)m(m−1)am−1 P(cid:48)(α ).
m,m−1 i
i=1
D’autre part, pour tout i ∈ {1,...,m}, on a
(cid:89)
P(cid:48)(α ) = a (α −α ),
i j i
j(cid:54)=i
de sorte que
(cid:89)
aDisc(P) = (−1)m(m−1)/2a2m−1 (α −α )
j i
j(cid:54)=i
(cid:89)
= a2m−1 (α −α )2.
j i
j<i
En simplifiant par a, on a le résultat voulu.
Lecalculprécédentrestevalablesiaestinversible,voiresiaestsimplifiabledansA.Dans
le cas général, Disc(P) s’obtient par évaluation du discriminant du polynôme générique
scindé, d’où le résultat.
Exemple 4.5. — (1) Pour P = aT2+bT +c, on a Disc(P) = b2−4ac.
(2) Pour P = T3+pT +q, on a Disc(P) = −4p3−27q2.
(3) Plus généralement, si P = Tn + pT + q, alors Disc(P) = (−1)n(n−1)/2(qn−1nn +
pn(1−n)n−1).
Il suffit de traiter le dernier exemple dans le cas où q (cid:54)= 0 et P et P(cid:48) sont scindés,
c’est-à-dire P = (cid:81)n (T −α ) et P(cid:48) = nTn−1 +p = n(Tn−1 +p/n) = n(cid:81)n−1(T −β ).
i=1 i j=1 j
Alors,
n−1
(cid:89)
Disc(P) = (−1)n(n−1)/2Res (P,P(cid:48)) = (−1)n(n−1)nn P(β ).
n,n−1 j
j=1
Pour tout j, on a βn−1 = −p/n, donc
j
P(β ) = βn+pβ +q = p(1−1/n)β +q,
j j j j
de sorte que
n−1
Disc(P) = (−1)n(n−1)/2nn (cid:89)(cid:0)p(1−1/n)β +q(cid:1)
j
j=1
n−1(cid:18) (cid:19)
(cid:89) qn
= (−1)n(n−1)/2pn−1(1−n)n−1n −β
j
p(1−n)
j=1
= (−1)n(n−1)/2pn−1(1−n)n−1P(cid:48)(qn/p(1−n))
= (−1)n(n−1)/2pn−1(1−n)n−1(cid:0)n(qn/p(1−n))n−1+p(cid:1)
= (−1)n(n−1)/2(cid:0)qn−1nn+(1−n)n−1pn(cid:1).
Remarque 4.6. — Supposons A = R et identifions à Rn l’espace affine des polynômes
unitairesdedegrén,parl’application(a ,...,a ) (cid:55)→ Tn+a Tn−1+···+a .Soitf: Rn →
1 n 1 n
Rn l’application qui applique α = (α ,...,α ) ∈ Rn sur le polynôme P = (cid:81)n (T −α ).
1 n α i=1 i
RÉSULTANTS 9
Elle est polynomiale, donnée aux signes près par les polynômes symétriques élémentaires :
F: α (cid:55)→ (−s (α),...,(−1)ns (α)).
1 n
Comme s (T ,...,T ) = s (T ,...,T )+T s (T ,...,T ), on a
i 1 n i 1 n−1 n i−1 1 n−1
∂ s = s (T ,...,T ) = s −T s (T ,...,T ) = s −T ∂ s .
n i i−1 1 n−1 i−1 n i−2 1 n−1 i−1 n n i−1
Par symétrie, on a plus généralement :
∂jsi = si−1(T1,...,T(cid:98)i,...,Tn) = si−1−Ti∂jsi−1,
soit encore
(−1)m∂ s = (−1)ms +(−1)m−1T ∂ s .
i m m−1 i i m−1
Pour i = 1, on a ∂ s = 1; ces formules sont donc valables à condition de poser s = 1.
j i 0
Voici une astuce pour calculer le jacobien de l’application f. Définissons deux vecteurs-
ligne 1 = (1,...,1) et T = (T ,...,T ); notons ∗ le produit composante par composante
1 n
desvecteurs-ligne.PosonsL = 1;si1 (cid:54) m (cid:54) n,notonsL l’opposédelaligned’indicem
0 m
de J ; on a donc L = (−1)m−1s 1+N ∗L , de sorte que le déterminant J vérifie
f m m−1 1 m−1 f
J = (−1)ndet(L ,...,L )
f 1 n
= (−1)ndet(1,−s +1+T∗L ,...,(−1)n−1s 1+T∗L )
1 1 n−1 n−1
= (−1)ndet(1,T∗L ,...,T∗L )
1 n−1
= ···
= (−1)ndet(1,T,...,Tn−1),
où on retrouve le déterminant de Vandermonde. Ainsi,
(cid:89)
J = (−1)n (T −T ).
f j i
j>i
Par conséquent, |Disc(P )| = J (α)2.
α f
Le théorème d’inversion locale fournit alors le résultat : Soit α ∈ Rn un vecteur à co-
ordonnées deux à deux distinctes; il existe un voisinage ouvert U de α dans Rn et un
voisinage ouvert V de P dans l’espace des polynômes unitaires de degré n tel que l’appli-
α
cation f induise un C∞-difféomorphisme de U sur V.
Autrement dit, sur V, on peut exprimer les racines d’un polynôme de façon C∞ en ses
coefficients.
5. Résultant et réciprocité quadratique
Définition 5.1 (Symbole de Legendre). — Soit p un nombre premier (cid:62) 3 et soit a
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a a
un élément de F×. On pose = 1 si a est un carré, et = −1 sinon.
p p p
(cid:18) (cid:19)
a
Proposition 5.2. — Pour tout a ∈ F×, on a = a(p−1)/2.
p p
Démonstration. — CommelegroupemultiplicatifdeF estdecardinalp−1,onaap−1 = 1
p
pour tout a ∈ F×, de sorte que (a(p−1)/2)2 = 1. Par suite, a(p−1)/2 = ±1. Si a est un carré,
p
disons a = b2, alors a(p−1)/2 = bp−1 = 1. Les carrés de F× sont l’image du morphisme
p
de groupes a (cid:55)→ a2, dont le noyau est {±1}; il y a donc (p−1)/2 carrés. Ces carrés sont
solutions de l’équation polynomiale T(p−1)/2 = 1, qui a au plus (p − 1)/2 solutions; ce
10 ANTOINE CHAMBERT-LOIR
sont donc exactement les solutions de cette équation. Ainsi, si a n’est pas un carré, on a
a(p−1)/2 = −1.
5.3. — Soit p un nombre impair. Considérons le polynôme cyclotomique d’indice p, Φ =
p
Xp−1+···+1. Comme il est réciproque, il existe un unique polynôme T ∈ Z[X] de degré
p
(p−1)/2 tel que Φ = T (X +1/X)X(p−1)/2.
p p
Soit K un corps algébriquement clos et soit a ∈ K une racine de Φ . Il existe deux
p
éléments x ∈ K tels que x+1 = a, ce sont les solutions de l’équation x2−ax+1 = 0; elles
x
sont inverses l’une de l’autre. (Ces deux racines sont confondues, égales à 1 si a = 2, et
à −1 si a = 0; sinon, elles sont distinctes.) On a donc Φ (x) = T (a)x(p−1)/2 = 0. Comme
p p
(X −1)Φ (X) = Xp−1, on a xp = 1.
p
Si x = 1, alors p = 0 dans K et K est de caractéristique p. Alors, a = 2. Dans ce cas, on
a Φ = (X−1)p−1 et a = 2 est l’unique racine de T . (Autrement dit, T = (X−2)(p−1)/2.)
p p p
Supposons que x (cid:54)= 1. Alors, x est une racine primitive p-ième de l’unité, et la caracté-
ristique de K est distincte de p.
Théorème 5.4 (Réciprocité quadratique). — Soit p (cid:54)= q des nombres premiers im-
(cid:18)p(cid:19)(cid:18)q(cid:19)
pairs. On a = (−1)(p−1)(q−1)/4.
q p
Démonstration. — Soit R = Res (T ,T ) le résultant des polynômes T et T .
(p−1)/2,(q−1)/2 p q p q
(cid:18)q(cid:19)
C’est un entier; nous allons démontrer que R = .
p
Démontrons d’abord que R = ±1. Sinon, soit (cid:96) un nombre premier qui divise R. Comme
T etT sontunitaires,ilsontunfacteurcommundansF [X].SoitK uneclôturealgébrique
p q (cid:96)
ducorpsfiniF etsoita ∈ K uneracinecommuneàT etT .Soitx ∈ K telquea = x+1/x.
(cid:96) p q
Alors xp = xq = 1. Comme p et q sont premiers et distincts, ils sont premiers entre eux,
on a donc x = 1 et a = 2. D’après la discussion précédente, la caractéristique de K, (cid:96), est
égale à p et à q, ce qui est impossible puisque p (cid:54)= q.
Calculons maintenant l’image de R modulo p. Soit K une clôture algébrique du corps
fini F . L’image R·1 de R dans K est le résultant des polynômes T et T , considérés
p K p q
comme éléments de K[X]. Dans K, 2 est la seule racine de T , avec multiplicité (p−1)/2.
p
On a ainsi
(cid:89) (cid:18)q(cid:19)
R·1 = Q(α) = T (2)(p−1)/2 = Φ (1)(p−1)/2 = q(p−1)/2 = .
K q q
p
Tp(α)=0
(cid:18)q(cid:19)
Cela démontre la congruence R ≡ (mod p).
p
(cid:18)q(cid:19)
Comme l’entier est le seul élément de {±1} qui satisfasse cette congruence, on a
p
(cid:18)q(cid:19)
prouvé que R = .
p
(cid:18)p(cid:19)
Par symétrie, on a Res(T ,T ) = .
q p
q
Puisque Res(T ,T ) = (−1)(p−1)(q−1)/4Res(T ,T ), on en déduit alors la loi de récipro-
p q q p
cité quadratique :
(cid:18)p(cid:19)(cid:18)q(cid:19)
= (−1)(p−1)(q−1)/4.
q p
