ebook img

Real and Functional Analysis PDF

591 Pages·2012·35.841 MB·English
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview Real and Functional Analysis

142 Graduate Texts in Mathematics Editorial Board S. Axler F.W. Gehring P.R. Halmos Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH BOOKS OF RELATED INTEREST BY SERGE LANG Fundamentals of Diophantine Geometry A systematic account of fundamentals, including the basic theory of heights, Roth and Siegel's theorems, the Neron-Tate quadratic form, the Mordell-Weill theorem, Weil and Neron functions, and the canonical form on a curve as it related to the Jacobian via the theta function. Introduction to Complex Hyperbolic Spaces Since its introduction by Kobayashi, the theory of complex hyperbolic spaces has progressed considerably. This book gives an account of some of the most important results, such as Brody's theorem, hyperbolic imbeddings, curvature properties, and some Nevanlinna theory. It also includes Cartan's proof for the Second Main Theorem, which was elegant and short. Elliptic Curves: Diophantine Analysis This systematic account of the basic diophantine theory on elliptic curves starts with the classical Weierstrass parametrization, complemented by the basic theory of Neron functions, and goes on to the formal group, heights and the Mordell Weil theorem, and bounds for integral points. A second part gives an extensive account of Baker's method in djophantine approximation and diophantine in equalities which were applied to get the bounds for the integral points in the first part. Cyclotomic Fields I and II This volume provides an up-to-date introduction to the theory of a concrete and classically very interesting example of number fields. It is of special interest to number theorists, algebraic geometers, topologists, and algebraists who work in K-theory. This book is a combined edition of Cyclotomic Fields (GTM 59) and Cyclotomic Fields II (GTM 69) which are out of print. In addition to some minor corrections, this edition contains an appendix by Karl Rubin proving the Mazur-Wiles theorem (the "main conjecture") in a self-contained way. OTHER BOOKS BY LANG PUBLISHED BY SPRINGER-VERLAG Introduction to Arakelov Theory • Riemann-Roch Algebra (with William Fulton) • Complex Multiplication • Introduction to Modular Forms • Modular Units (with Daniel Kubert) • Introduction to Aigebraic and Abelian Functions • Cyclotomic Fields I and il • Elliptic Functions • Number Theory • AIgebraic Number Theory • SL (R) • Abelian 2 Varieties. Differential Manifolds • Complex Analysis • Real Analysis • Undergraduate Analysis. Undergraduate Algebra • Linear Algebra • Introduction to Linear Algebra • Calculus of Several Variables • First Course in Calculus • Basic Mathematics • Geometry: (with Gene Murrow) • Math! Encounters with High School Students • The Beauty of Doing Mathematics • THE FILE Serge Lang Real and Functional Analysis Third Edition With 37 Illustrations , Springer Serge Lang Department of Mathematics Yale University New Haven, CT 06520 USA Editorial Board S. Axler F.W. Gehring P.R. Halmos Department of Department of Department of Mathematics Mathematics Mathematics Michigan State University University of Michigan Santa Clara University Bast Lansing, MI 48824 Ann Arbor, MI 48109 Santa Clara, CA 95053 USA USA USA MSC 1991: Subject Classification: 26-01, 28-01, 46-01 Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Lang, Serge, 1927- Real and functional analysis / Serge Lang. - 3rd ed. p. cm. - (Graduate texts in mathematics ; 142) Includes bibliographical references and index. ISBN 978-1-4612-6938-0 ISBN 978-1-4612-0897-6 (eBook) DOI 10.1007/978-1-4612-0897-6 1. Mathematical analysis. 1. Title. Il. Series. QA300.L274 1993 515-dc20 92-21208 CIP The previous edition was published as Real Analysis. Copyright 1983 by Addison-Wesley. Printed on acid-frec paper. © 1993 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1993 Softcover reprint ofthe hardcover 3rd edition 1993 AH rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without the written permission ofthe publisher Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, except for brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis. Use in connection with any form of information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is forbidden. The use of general descriptive names, trade names, trademarks, etc., in this publication, even if the former are not especially identified, is not to be taken as a sign that such names, as understood by the Trade Marks and Merchandise Marks Act, may accordingly be used freely by anyone. Production coordinated by Brian Howe and managed by Terry Komak; manufacturing supervised by Vincent Scelta. Typeset by Aseo Trade Typesetting Ltd., North Point, Hong Kong. 9 8 7 6 5 4 3 2 SPIN 10545036 FFoorreewwoorrdd TThhiiss bbooookk iiss mmeeaanntt aass aa tteexxtt ffoorr aa ffiirrsstt yyeeaarr ggrraadduuaattee ccoouurrssee iinn aannaallyyssiiss.. AAnnyy ssttaannddaarrdd ccoouurrssee iinn uunnddeerrggrraadduuaattee aannaallyyssiiss wwiillll ccoonnssttiittuuttee ssuuffffiicciieenntt pprreeppaarraattiioonn ffoorr iittss uunnddeerrssttaannddiinngg,, ffoorr iinnssttaannccee,, mmyy UUnnddeerrggrraadduuaattee AAnnaall yyssiiss.. II aassssuummee tthhaatt tthhee rreeaaddeerr iiss aaccqquuaaiinntteedd wwiitthh nnoottiioonnss ooff uunniiffoorrmm ccoonn vveerrggeennccee aanndd tthhee lliikkee.. IInn tthhiiss tthhiirrdd eeddiittiioonn,, II hhaavvee rreeoorrggaanniizzeedd tthhee bbooookk bbyy ccoovveerriinngg iinnttee ggrraattiioonn bbeeffoorree ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss.. SSuucchh aa rreeaarrrraannggeemmeenntt ffiittss tthhee wwaayy ccoouurrsseess aarree ttaauugghhtt iinn aallll tthhee ppllaacceess II kknnooww ooff.. II hhaavvee aaddddeedd aa nnuummbbeerr ooff eexxaammpplleess aanndd eexxeerrcciisseess,, aass wweellll aass ssoommee mmaatteerriiaall aabboouutt iinntteeggrraattiioonn oonn tthhee rreeaall lliinnee ((ee..gg.. oonn DDiirraacc sseeqquueennccee aapppprrooxxiimmaattiioonn aanndd oonn FFoouurriieerr aannaallyyssiiss)),, aanndd ssoommee mmaatteerriiaall oonn ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss ((ee..gg.. tthhee tthheeoorryy ooff tthhee GGeellffaanndd ttrraannssffoorrmm iinn CChhaapptteerr XXVVII)).. TThheessee uuppggrraaddee pprreevviioouuss eexxeerrcciisseess ttoo sseeccttiioonnss iinn tthhee tteexxtt.. IInn aa sseennssee,, tthhee ssuubbjjeecctt mmaatttteerr ccoovveerrss tthhee ssaammee ttooppiiccss aass eelleemmeennttaarryy ccaallccuulluuss,, vviizz.. lliinneeaarr aallggeebbrraa,, ddiiffffeerreennttiiaattiioonn aanndd iinntteeggrraattiioonn.. TThhiiss ttiimmee,, hhoowweevveerr,, tthheessee ssuubbjjeeccttss aarree ttrreeaatteedd iinn aa mmaannnneerr ssuuiittaabbllee ffoorr tthhee ttrraaiinniinngg ooff pprrooffeessssiioonnaallss,, ii..ee.. ppeeooppllee wwhhoo wwiillll uussee tthhee ttoooollss iinn ffuurrtthheerr iinnvveessttiiggaa ttiioonnss,, bbee iitt iinn mmaatthheemmaattiiccss,, oorr pphhyyssiiccss,, oorr wwhhaatt hhaavvee yyoouu.. IInn tthhee ffiirrsstt ppaarrtt,, wwee bbeeggiinn wwiitthh ppooiinntt sseett ttooppoollooggyy,, eesssseennttiiaall ffoorr aallll aannaallyyssiiss,, aanndd wwee ccoovveerr tthhee mmoosstt iimmppoorrttaanntt rreessuullttss.. II aamm sseelleeccttiivvee hheerree,, ssiinnccee tthhiiss ppaarrtt iiss rreeggaarrddeedd aass aa ttooooll,, eessppeecciiaallllyy CChhaapptteerrss II aanndd IIII.. MMaannyy rreessuullttss aarree eeaassyy,, aanndd aarree lleessss eesssseennttiiaall tthhaann tthhoossee iinn tthhee tteexxtt.. TThheeyy hhaavvee bbeeeenn ggiivveenn iinn eexxeerrcciisseess,, wwhhiicchh aarree ddeessiiggnneedd ttoo aaccqquuiirree ffaacciilliittyy iinn rroouuttiinnee tteecchhnniiqquueess aanndd ttoo ggiivvee fflleexxiibbiilliittyy ffoorr tthhoossee wwhhoo wwaanntt ttoo ccoovveerr ssoommee ooff tthheemm aatt ggrreeaatteerr lleennggtthh.. TThhee ppooiinntt sseett ttooppooll ooggyy ssiimmppllyy ddeeaallss wwiitthh tthhee bbaassiicc nnoottiioonnss ooff ccoonnttiinnuuiittyy,, ooppeenn aanndd cclloosseedd sseettss,, ccoonnnneecctteeddnneessss,, ccoommppaaccttnneessss,, aanndd ccoonnttiinnuuoouuss ffuunnccttiioonnss.. TThhee cchhaapptteerr vvii FFOORREEWWOORRDD ccoonncceerrnniinngg ccoonnttiinnuuoouuss ffuunnccttiioonnss oonn ccoommppaacctt sseettss pprrooppeerrllyy eemmpphhaassiizzeess rreessuullttss wwhhiicchh aallrreeaaddyy mmiixx aannaallyyssiiss aanndd uunniiffoorrmm ccoonnvveerrggeennccee wwiitthh tthhee llaanngguuaaggee ooff ppooiinntt sseett ttooppoollooggyy.. IInn tthhee sseeccoonndd ppaarrtt,, CChhaapptteerrss IIVV aanndd VV,, wwee ddeessccrriibbee bbrriieeffllyy tthhee ttwwoo bbaassiicc lliinneeaarr ssppaacceess ooff aannaallyyssiiss,, nnaammeellyy BBaannaacchh ssppaacceess aanndd HHiillbbeerrtt ssppaacceess.. TThhee nneexxtt ppaarrtt ddeeaallss eexxtteennssiivveellyy wwiitthh iinntteeggrraattiioonn.. WWee bbeeggiinn wwiitthh tthhee ddeevveellooppmmeenntt ooff tthhee iinntteeggrraall.. TThhee ffaasshhiioonn hhaass bbeeeenn ttoo eemmpphhaassiizzee ppoossiittiivviittyy aanndd oorrddeerriinngg pprrooppeerrttiieess ((iinnccrreeaassiinngg aanndd ddeeccrreeaass iinngg sseeqquueenncceess)).. II ffiinndd tthhiiss eexxcceessssiivvee.. TThhee ttrreeaattmmeenntt ggiivveenn hheerree aatttteemmppttss ttoo ggiivvee aa pprrooppeerr bbaallaannccee bbeettwweeeenn LL ii--ccoonnvveerrggeennccee aanndd ppoossiittiivviittyy.. FFoorr mmoorree ddeettaaiilleedd ccoommmmeennttss,, sseeee tthhee iinnttrroodduuccttiioonn ttoo PPaarrtt TThhrreeee aanndd CChhaapptteerr VVII.. TThhee cchhaapptteerrss oonn aapppplliiccaattiioonnss ooff iinntteeggrraattiioonn aanndd ddiissttrriibbuuttiioonnss pprroovviiddee ccoonnccrreettee eexxaammpplleess aanndd cchhooiicceess ffoorr lleeaaddiinngg tthhee ccoouurrssee iinn ootthheerr ddiirreeccttiioonnss,, aatt tthhee ttaassttee ooff tthhee lleeccttuurreerr.. TThhee ggeenneerraall tthheeoorryy ooff iinntteeggrraattiioonn iinn mmeeaa ssuurreedd ssppaacceess ((wwiitthh rreessppeecctt ttoo aa ggiivveenn ppoossiittiivvee mmeeaassuurree)) aalltteerrnnaatteess wwiitthh cchhaapptteerrss ggiivviinngg ssppeecciiffiicc rreessuullttss ooff iinntteeggrraattiioonn oonn eeuucclliiddeeaann ssppaacceess oorr tthhee rreeaall lliinnee.. NNeeiitthheerr iiss sslliigghhtteedd aatt tthhee eexxppeennssee ooff tthhee ootthheerr.. IInn tthhiiss tthhiirrdd eeddiittiioonn,, II hhaavvee aaddddeedd ssoommee mmaatteerriiaall oonn ffuunnccttiioonnss ooff bboouunnddeedd vvaarriiaattiioonn,, aanndd II hhaavvee eemmpphhaassiizzeedd ccoonnvvoolluuttiioonnss aanndd tthhee aapppprrooxxiimmaattiioonn bbyy DDiirraacc sseeqquueenncceess oorr ffaammiilliieess eevveenn mmoorree tthhaann iinn tthhee pprreevviioouuss eeddiittiioonnss,, ffoorr iinn ssttaannccee,, iinn CChhaapptteerr VVIIIIII,, §§22.. FFoorr wwaanntt ooff aa bbeetttteerr ppllaaccee,, tthhee ccaallccuulluuss ((wwiitthh vvaalluueess iinn aa BBaannaacchh ssppaaccee)) nnooww ooccccuurrss aass aa sseeppaarraattee ppaarrtt aafftteerr ddeeaalliinngg wwiitthh iinntteeggrraattiioonn,, aanndd bbeeffoorree tthhee ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss.. TThhee ddiiffffeerreennttiiaall ccaallccuulluuss iiss ddoonnee bbeeccaauussee aatt bbeesstt,, mmoosstt ppeeooppllee wwiillll oonnllyy bbee aaccqquuaaiinntteedd wwiitthh iitt oonnllyy iinn eeuucclliiddeeaann ssppaaccee,, aanndd iinnccoommpplleetteellyy aatt tthhaatt.. MMoorree iimmppoorrttaannttllyy,, tthhee ccaallccuulluuss iinn BBaannaacchh ssppaacceess hhaass aaccqquuiirreedd ccoonnssiiddeerr aabbllee iimmppoorrttaannccee iinn tthhee llaasstt ttwwoo ddeeccaaddeess,, bbeeccaauussee ooff mmaannyy aapppplliiccaattiioonnss lliikkee MMoorrssee tthheeoorryy,, tthhee ccaallccuulluuss ooff vvaarriiaattiioonnss,, aanndd tthhee NNaasshh--MMoosseerr iimm pplliicciitt mmaappppiinngg tthheeoorreemm,, wwhhiicchh lliieess eevveenn ffuurrtthheerr iinn tthhiiss ddiirreeccttiioonn ssiinnccee oonnee hhaass ttoo ddeeaall wwiitthh mmoorree ggeenneerraall ssppaacceess tthhaann BBaannaacchh ssppaacceess.. TThheessee rreessuullttss ppeerrttaaiinn ttoo tthhee ggeeoommeettrryy ooff ffuunnccttiioonn ssppaacceess.. CCff.. tthhee eexxeerrcciisseess ooff CChhaapptteerr XXIIVV ffoorr ssiimmpplleerr aapppplliiccaattiioonnss.. TThhee nneexxtt ppaarrtt ddeeaallss wwiitthh ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss.. TThhee ppuurrppoossee hheerree iiss ttwwooffoolldd.. WWee ppllaaccee tthhee lliinneeaarr aallggeebbrraa iinn aann iinnffiinniittee ddiimmeennssiioonnaall sseettttiinngg wwhheerree ccoonnttiinnuuiittyy aassssuummppttiioonnss aarree mmaaddee oonn tthhee lliinneeaarr mmaappss,, aanndd wwee sshhooww hhooww oonnee ccaann ""lliinneeaarriizzee"" aa pprroobblleemm bbyy ttaakkiinngg ddeerriivvaattiivveess,, aaggaaiinn iinn aa sseettttiinngg wwhheerree tthhee tthheeoorryy ccaann bbee aapppplliieedd ttoo ffuunnccttiioonn ssppaacceess.. TThhiiss ppaarrtt iinncclluuddeess sseevveerraall mmaajjoorr ssppeeccttrraall tthheeoorreemmss ooff aannaallyyssiiss,, sshhoowwiinngg hhooww wwee ccaann eexxtteenndd ttoo tthhee iinnffiinniittee ddiimmeennssiioonnaall ccaassee cceerrttaaiinn rreessuullttss ooff ffiinniittee ddiimmeenn ssiioonnaall lliinneeaarr aallggeebbrraa.. TThhee ccoommppaacctt aanndd FFrreeddhhoollmm ooppeerraattoorrss hhaavvee aappppllii ccaattiioonnss ttoo iinntteeggrraall ooppeerraattoorrss aanndd ppaarrttiiaall ddiiffffeerreennttiiaall eelllliippttiicc ooppeerraattoorrss ((ee..gg.. iinn ppaappeerrss ooff AAttiiyyaahh--SSiinnggeerr aanndd AAttiiyyaahh--BBootttt)).. CChhaapptteerrss XXIIXX aanndd XXXXIIXX,, oonn uunnbboouunnddeedd hheerrmmiittiiaann ooppeerraattoorrss,, ccoommbbiinnee FFOORREEWWOORRDD vviiii bbootthh tthhee lliinneeaarr aallggeebbrraa aanndd iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy iinn tthhee ssttuuddyy ooff ssuucchh ooppeerraattoorrss.. OOnnee mmaayy vviieeww tthhee ttrreeaattmmeenntt ooff ssppeeccttrraall mmeeaassuurreess aass pprroovviiddiinngg aann eexxaammppllee ooff ggeenneerraall iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy oonn llooccaallllyy ccoommppaacctt ssppaacceess,, wwhheerreebbyy aa mmeeaassuurree iiss oobbttaaiinneedd ffrroomm aa ffuunnccttiioonnaall oonn tthhee ssppaaccee ooff ccoonnttiinn uuoouuss ffuunnccttiioonnss wwiitthh ccoommppaacctt ssuuppppoorrtt.. II ffiinndd iitt aapppprroopprriiaattee ttoo iinnttrroodduuccee ssttuuddeennttss ttoo ddiiffffeerreennttiiaabbllee mmaanniiffoollddss dduurriinngg tthhiiss ffiirrsstt yyeeaarr ggrraadduuaattee aannaallyyssiiss ccoouurrssee,, nnoott oonnllyy bbeeccaauussee tthheessee oobbjjeeccttss aarree ooff iinntteerreesstt ttoo ddiiffffeerreennttiiaall ggeeoommeetteerrss oorr ddiiffffeerreennttiiaall ttooppoollooggiissttss,, bbuutt bbeeccaauussee gglloobbaall aannaallyyssiiss oonn mmaanniiffoollddss hhaass ccoommee iinnttoo iittss oowwnn,, bbootthh iinn iittss iinntteeggrraall aanndd ddiiffffeerreennttiiaall aassppeeccttss.. IItt iiss tthheerreeffoorree ddeessiirraabbllee ttoo iinntteeggrraattee mmaanniiffoollddss iinn aannaallyyssiiss ccoouurrsseess,, aanndd II hhaavvee ddoonnee tthhiiss iinn tthhee llaasstt ppaarrtt,, wwhhiicchh mmaayy aallssoo bbee vviieewweedd aass pprroovviiddiinngg aa ggoooodd aapppplliiccaattiioonn ooff iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy.. AA nnuummbbeerr ooff eexxaammpplleess aarree ggiivveenn iinn tthhee tteexxtt bbuutt mmaannyy iinntteerreessttiinngg eexxaammpplleess aarree aallssoo ggiivveenn iinn tthhee eexxeerrcciisseess ((ffoorr iinnssttaannccee,, eexxpplliicciitt ffoorrmmuullaass ffoorr aapppprrooxxiimmaattiioonnss wwhhoossee eexxiisstteennccee oonnee kknnoowwss aabbssttrraaccttllyy bbyy tthhee WWeeiieerrssttrraassss SSttoonnee tthheeoorreemm;; iinntteeggrraall ooppeerraattoorrss ooff vvaarriioouuss kkiinnddss;; eettcc)).. TThhee eexxeerrcciisseess sshhoouulldd bbee vviieewweedd aass aann iinntteeggrraall ppaarrtt ooff tthhee bbooookk.. NNoottee tthhaatt CChhaapptteerrss XXIIXX aanndd XXXX,, ggiivviinngg tthhee ssppeeccttrraall mmeeaassuurree,, ccaann bbee vviieewweedd aass pprroovviiddiinngg aann eexxaammppllee ffoorr mmaannyy nnoottiioonnss wwhhiicchh hhaavvee bbeeeenn ddiissccuusssseedd pprreevviioouussllyy:: ooppeerraattoorrss iinn HHiillbbeerrtt ssppaaccee,, mmeeaassuurreess,, aanndd ccoonnvvoolluuttiioonnss.. AAtt tthhee ssaammee ttiimmee,, tthheessee rreessuullttss lleeaadd ddiirreeccttllyy iinnttoo tthhee rreeaall aannaallyyssiiss ooff tthhee wwoorrkkiinngg mmaatthheemmaattiicciiaann.. AAss uussuuaall,, II hhaavvee aavvooiiddeedd aass ffaarr aass ppoossssiibbllee bbuuiillddiinngg lloonngg cchhaaiinnss ooff llooggiiccaall iinntteerrddeeppeennddeennccee,, aanndd hhaavvee mmaaddee cchhaapptteerrss aass llooggiiccaallllyy iinnddeeppeennddeenntt aass ppoossssiibbllee,, ssoo tthhaatt ccoouurrsseess wwhhiicchh rruunn rraappiiddllyy tthhrroouugghh cceerrttaaiinn cchhaapptteerrss,, oommiittttiinngg ssoommee mmaatteerriiaall,, ccaann ccoovveerr llaatteerr cchhaapptteerrss wwiitthhoouutt bbeeiinngg llooggiiccaallllyy iinnccoonnvveenniieenncceedd.. TThhee pprreesseenntt bbooookk ccaann bbee uusseedd ffoorr aa ttwwoo--sseemmeesstteerr ccoouurrssee,, oommiittttiinngg ssoommee mmaatteerriiaall.. II hhooppee II hhaavvee ggiivveenn aa ssuuiittaabbllee oovveerrvviieeww ooff tthhee bbaassiicc ttoooollss ooff aannaallyyssiiss.. TThheerree mmiigghhtt bbee ssoommee rreeaassoonn ttoo iinncclluuddee ootthheerr ttooppiiccss,, ssuucchh aass tthhee bbaassiicc tthheeoorreemmss ccoonncceerrnniinngg eelllliippttiicc ooppeerraattoorrss.. II hhaavvee oommiitttteedd tthhiiss ttooppiicc aanndd ssoommee ootthheerrss,, ppaarrttllyy bbeeccaauussee tthhee aappppeennddiicceess ttoo mmyy SSLL ((RR}} 22 ccoonnssttiittuutteess aa ssuubb--bbooookk wwhhiicchh ccoonnttaaiinnss tthheessee ttooppiiccss,, aanndd ppaarrttllyy bbeeccaauussee tthheerree iiss nnoo ttiimmee ttoo ccoovveerr tthheemm iinn tthhee bbaassiicc oonnee yyeeaarr ccoouurrssee aaddddrreesssseedd ttoo ggrraadduuaattee ssttuuddeennttss.. TThhee pprreesseenntt bbooookk ccaann aallssoo bbee uusseedd aass aa rreeffeerreennccee ffoorr bbaassiicc aannaallyyssiiss,, ssiinnccee iitt ooffffeerrss tthhee rreeaaddeerr tthhee ooppppoorrttuunniittyy ttoo sseelleecctt vvaarriioouuss ttooppiiccss wwiitthhoouutt rreeaaddiinngg tthhee eennttiirree bbooookk.. TThhee ssuubbjjeecctt mmaatttteerr iiss oorrggaanniizzeedd ssoo tthhaatt iitt mmaakkeess tthhee ttooppiiccss aavvaaiillaabb11ee ttoo aass wwiiddee aann aauuddiieennccee aass ppoossssiibbllee.. TThheerree aarree mmaannyy vveerryy ggoooodd bbooookkss iinn iinntteerrmmeeddiiaattee aannaallyyssiiss,, aanndd iinntteerr eessttiinngg rreesseeaarrcchh ppaappeerrss,, wwhhiicchh ccaann bbee rreeaadd iimmmmeeddiiaatteellyy aafftteerr tthhee pprreesseenntt ccoouurrssee.. AA ppaarrttiiaall lliisstt iiss ggiivveenn iinn tthhee BBiibblliiooggrraapphhyy.. IInn ffaacctt,, tthhee ddeetteerrmmiinnaa ttiioonn ooff tthhee mmaatteerriiaall iinncclluuddeedd iinn tthhiiss RReeaall aanndd FFuunnccttiioonnaall AAnnaallyyssiiss hhaass bbeeeenn ggrreeaattllyy mmoottiivvaatteedd bbyy tthhee eexxiisstteennccee ooff tthheessee ppaappeerrss aanndd bbooookkss,, aanndd bbyy tthhee nneeeedd ttoo pprroovviiddee tthhee nneecceessssaarryy bbaacckkggrroouunndd ffoorr tthheemm.. vviiiiii FFOORREEWWOORRDD FFiinnaallllyy,, II tthhaannkk aallll tthhoossee ppeeooppllee wwhhoo hhaavvee mmaaddee vvaalluuaabbllee ccoommmmeennttss aanndd ccoorrrreeccttiioonnss,, eessppeecciiaallllyy KKeeiitthh CCoonnrraadd,, MMaarrttiinn MMoohhlleennkkaammpp,, TTaakkeessii YYaammaannaakkaa,, aanndd SStteepphheenn CChhiiaappppaarrii,, wwhhoo rreevviieewweedd tthhee bbooookk ffoorr SSpprriinnggeerr VVeerrllaagg.. NNeeww HHaavveenn 11999933//11999966 SSEERRGGEE LLAANNGG CCoonntteennttss PPAARRTT OONNEE GGeenneerraall TTooppoollooggyy CCHHAAPPTTEERR II SSeettss .......... ................................................................................................................ 33 §§11.. SSoommee BBaassiicc TTeerrmmiinnoollooggyy ................................................................................ 33 §§22.. DDeennuummeerraabbllee SSeettss ............................................................................................ 77 §§33.. ZZoorrnn''ss LLeemmmmaa ...................................................................................... ............ 1100 CCHHAAPPTTEERR IIII TTooppoollooggiiccaall SSppaacceess 1177 §§ 11.. OOppeenn aanndd CClloosseedd SSeettss .................................................................................... 1177 §§22.. CCoonnnneecctteedd SSeettss ................................................................................................ 2277 §§33.. CCoommppaacctt SSppaacceess .............................................................................................. 3311 §§44.. SSeeppaarraattiioonn bbyy CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss .......................................................... 4400 §§55.. EExxeerrcciisseess .... .................................... .... ................................................................ 4433 CCHHAAPPTTEERR IIIIII CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss oonn CCoommppaacctt SSeettss 5511 §§11.. TThhee SSttoonnee--WWeeiieerrssttrraassss TThheeoorreemm .................................................................. 5511 §§22.. IIddeeaallss ooff CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss .................................................................... 5555 §§33.. AAssccoollii''ss TThheeoorreemm ............................................................................................ 5577 §§44.. EExxeerrcciisseess ............................................................................................ ................ 5599

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.