Random Matrices

706 Pages·2004·2.945 MB·English

by  Mehta M.L.

RANDOM MATRICES
ThirdEdition
Thisisvolume142inthePUREANDAPPLIEDMATHEMATICSseries
FoundingEditors:PaulA.SmithandSamuelEilenberg
RANDOM MATRICES
Third Edition
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Firstedition2004
LibraryofCongressCataloginginPublicationData
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SeriesISSN0079-8169
ISBN:0-12-088409-7
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PrintedintheNetherlands.
CONTENTS
PrefacetotheThirdEdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
PrefacetotheSecondEdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
PrefacetotheFirstEdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Chapter1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. RandomMatricesinNuclearPhysics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. RandomMatricesinOtherBranchesofKnowledge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. ASummaryofStatisticalFactsaboutNuclearEnergyLevels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. LevelDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. DistributionofNeutronWidths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3. RadiationandFissionWidths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4. LevelSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. DefinitionofaSuitableFunctionfortheStudyofLevelCorrelations . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. WignerSurmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. ElectromagneticPropertiesofSmallMetallicParticles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. AnalysisofExperimentalNuclearLevels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8. TheZerosofTheRiemannZetaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9. ThingsWorthConsideration,ButNotTreatedinThisBook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chapter2. GaussianEnsembles.TheJointProbabilityDensityFunctionfortheMatrixElements. 33
2.1. Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Time-ReversalInvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. GaussianOrthogonalEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. GaussianSymplecticEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5. GaussianUnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6. JointProbabilityDensityFunctionfortheMatrixElements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7. GaussianEnsembleofHermitianMatricesWithUnequalRealandImaginaryParts. . . . . . 48
2.8. Anti-SymmetricHermitianMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
SummaryofChapter2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
v
vi Contents
Chapter3. GaussianEnsembles.TheJointProbabilityDensityFunctionfortheEigenvalues . . . 50
3.1. OrthogonalEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. SymplecticEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. UnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. EnsembleofAnti-SymmetricHermitianMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5. GaussianEnsembleofHermitianMatricesWithUnequalRealandImaginaryParts. . . . . . 60
3.6. RandomMatricesandInformationTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
SummaryofChapter3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapter4. GaussianEnsemblesLevelDensity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1. ThePartitionFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. TheAsymptoticFormulafortheLevelDensity.GaussianEnsembles . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. TheAsymptoticFormulafortheLevelDensity.OtherEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . 67
SummaryofChapter4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Chapter5. Orthogonal,Skew-OrthogonalandBi-OrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . 71
5.1. Quaternions,Pfaffi(cid:1)ans,Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2. AverageValueof Nj=1f(xj);OrthogonalandSkew-OrthogonalPolynomials . . . . . . . . 77
5.3. Caseβ=2;OrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4. Caseβ=4;Skew-OrthogonalPolynomialsofQuaternionType . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5. Caseβ=1;Skew(cid:1)-OrthogonalPolynomialsofRealType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6. AverageValueof Nj=1ψ(xj,yj);Bi-OrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7. CorrelationFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.8. ProofofTheorem5.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.8.1. Caseβ=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.8.2. Caseβ=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.8.3. Caseβ=1,EvenNumberofVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.8.4. Caseβ=1,OddNumberofVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.9. SpacingFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.10. DeterminantalRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.11. IntegralRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.12. PropertiesoftheZeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.13. OrthogonalPolynomialsandtheRiemann–HilbertProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.14. ARemark(Balian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
SummaryofChapter5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Chapter6. GaussianUnitaryEnsemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1. Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1. AboutCorrelationandClusterFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2. AboutLevel-Spacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.3. SpacingDistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.4. CorrelationsandSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2. Then-PointCorrelationFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3. LevelSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4. SeveralConsecutiveSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5. SomeRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
SummaryofChapter6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Contents vii
Chapter7. GaussianOrthogonalEnsemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1. Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2. CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3. LevelSpacings.IntegrationOverAlternateVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4. SeveralConsecutiveSpacings:n=2r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5. SeveralConsecutiveSpacings:n=2r−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5.1. Casen=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.5.2. Casen=2r−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.6. BoundsfortheDistributionFunctionoftheSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
SummaryofChapter7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Chapter8. GaussianSymplecticEnsemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1. AQuaternionDeterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2. CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.3. LevelSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
SummaryofChapter8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Chapter9. GaussianEnsembles:BrownianMotionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.1. StationaryEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2. NonstationaryEnsembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3. SomeEnsembleAverages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
SummaryofChapter9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapter10. CircularEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.1. OrthogonalEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.2. SymplecticEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.3. UnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.4. TheJointProbabilityDensityoftheEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
SummaryofChapter10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Chapter11. CircularEnsembles(Continued) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.1. UnitaryEnsemble.CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2. UnitaryEnsemble.LevelSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.3. OrthogonalEnsemble.CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.3.1. TheCaseN=2m,Even . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.3.2. TheCaseN=2m+1,Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.3.3. ConditionsofTheorem5.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.3.4. CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.4. OrthogonalEnsemble.LevelSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.5. SymplecticEnsemble.CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.6. RelationBetweenOrthogonalandSymplecticEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.7. SymplecticEnsemble.LevelSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.8. BrownianMotionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
SummaryofChapter11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
viii Contents
Chapter12. CircularEnsembles.Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.1. ThePartitionFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.2. ThermodynamicQuantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.3. StatisticalInterpretationofUandC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.4. ContinuumModelfortheSpacingDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
SummaryofChapter12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Chapter13. GaussianEnsembleofAnti-SymmetricHermitianMatrices . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.1. LevelDensity.CorrelationFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.2. LevelSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
13.2.1. CentralSpacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
13.2.2. Non-CentralSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
SummaryofChapter13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Chapter14. AGaussianEnsembleofHermitianMatricesWithUnequalRealandImaginaryParts. 244
14.1. SummaryofResults.MatrixEnsemblesFromGOEtoGUEandBeyond . . . . . . . . . . . 245
14.2. MatrixEnsemblesFromGSEtoGUEandBeyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
14.3. JointProbabilityDensityfortheEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.3.1. MatricesFromGOEtoGUEandBeyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
14.3.2. MatricesFromGSEtoGUEandBeyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14.4. CorrelationandClusterFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
SummaryofChapter14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Chapter15. MatricesWithGaussianElementDensitiesButWithNoUnitaryorHermitian
ConditionsImposed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.1. ComplexMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.2. QuaternionMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
15.3. RealMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
15.4. Determinants:ProbabilityDensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
SummaryofChapter15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Chapter16. StatisticalAnalysisofaLevel-Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
16.1. LinearStatisticortheNumberVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
16.2. LeastSquareStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
16.3. EnergyStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
16.4. CovarianceofTwoConsecutiveSpacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
16.5. TheF-Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
16.6. The(cid:3)-Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.7. StatisticsInvolvingThreeandFourLevelCorrelations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.8. OtherStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
SummaryofChapter16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Chapter17. Selberg’sIntegralandItsConsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
17.1. Selberg’sIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
17.2. Selberg’sProofofEq.(17.1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Contents ix
17.3. Aomoto’sProofofEqs.(17.1.4)and(17.1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
17.4. OtherAverages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
17.5. OtherFormsofSelberg’sIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
17.6. SomeConsequencesofSelberg’sIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
17.7. NormalizationConstantfortheCircularEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
17.8. AveragesWithLaguerreorHermiteWeights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
17.9. ConnectionWithFiniteReflectionGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
17.10. ASecondGeneralizationoftheBetaIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
17.11. SomeRelatedDifficultIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
SummarytoChapter17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Chapter18. AsymptoticBehaviourofEβ(0,s)byInverseScattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
18.1. Asymptoticsofλn(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
18.2. AsymptoticsofToeplitzDeterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
18.3. FredholmDeterminantsandtheInverseScatteringTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
18.4. ApplicationoftheGel’fand–LevitanMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
18.5. ApplicationoftheMarchenkoMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
18.6. AsymptoticExpansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
SummaryofChapter18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Chapter19. MatrixEnsemblesandClassicalOrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 354
19.1. UnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
19.2. OrthogonalEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
19.3. SymplecticEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
19.4. EnsemblesWithOtherWeights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
19.5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
SummaryofChapter19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Chapter20. LevelSpacingFunctionsEβ(r,s);Inter-relationsandPowerSeriesExpansions . . . . 365
20.1. ThreeSetsofSpacingFunctions;TheirInter-Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
20.2. RelationBetweenOddandEvenSolutionsofEq.(20.1.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
20.3. RelationBetweenF1(z,s)andF±(z,s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
20.4. RelationBetweenF4(z,s)andF±(z,s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
20.5. PowerSeriesExpansionsofEβ(r,s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
SummaryofChapter20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Chapter21. FredholmDeterminantsandPainlevéEquations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
21.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
21.2. ProofofEqs.(21.1.11)–(21.1.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
21.3. DifferentialEquationsfortheFunctionsA,BandS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
21.4. AsymptoticExpansionsforLargePositiveτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
21.5. FifthandThirdPainlevéTranscendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
21.6. SolutionofEq.(21.3.6)forLarget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
SummaryofChapter21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
x Contents
Chapter22. MomentsoftheCharacteristicPolynomialintheThreeEnsemblesofRandomMatrices 409
22.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
22.2. CalculationofIβ(n,m;x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
22.2.1. Iβ(n,m;x)asadeterminantoraPfaffianofamatrixofsizedependingonn . . . . 412
22.2.2. Iβ(n,m;x)asdeterminantsofsizedependingonm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
22.3. SpecialCaseofth(cid:1)eGaussianWeight (cid:1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
22.4. AverageValueof mi=1det(xiI−A) (cid:6)j=1det(zjI−A)−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
SummaryofChapter22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Chapter23. HermitianMatricesCoupledinaChain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
23.1. GeneralCorrelationFunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
23.2. ProofofTheorem23.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
23.3. SpacingFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
23.4. TheGeneratingFunctionR(z1,I1;...;zp,Ip). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
23.5. TheZerosoftheBi-OrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
SummaryofChapter23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Chapter24. GaussianEnsembles.EdgeoftheSpectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
24.1. LevelDensityNeartheInflectionPoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
24.2. SpacingFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
24.3. DifferentialEquations;Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
SummarytoChapter24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
Chapter25. RandomPermutations,CircularUnitaryEnsemble(CUE)andGaussianUnitary
Ensemble(GUE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
25.1. LongestIncreasingSubsequencesinRandomPermutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
25.2. RandomPermutationsandtheCircularUnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
25.3. Robinson–SchenstedCorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
25.4. RandomPermutationsandGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
SummaryofChapter25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
Chapter26. ProbabilityDensitiesoftheDeterminants;GaussianEnsembles . . . . . . . . . . . . . 469
26.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
26.2. GaussianUnitaryEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
26.2.1. MellinTransformofthePDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
26.2.2. InverseMellinTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
26.3. GaussianSymplecticEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
26.4. GaussianOrthogonalEnsemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
26.5. GaussianOrthogonalEnsemble.Casen=2m+1Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
26.6. GaussianOrthogonalEnsemble.Casen=2mEven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
SummaryofChapter26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Chapter27. RestrictedTraceEnsembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
27.1. FixedTraceEnsemble;EquivalenceofMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
27.2. ProbabilityDensityoftheDeterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490