Table Of ContentCommutation and Rearrangements
An electronic reedition of the monograph
Probl(cid:18)emes combinatoires de
commutation et r(cid:19)earrangements
by P. Cartier, D. Foata
with three new appendices by
D. Foata, B. Lass
and Ch. Krattenthaler
2006
Foreword
The monograph \Probl(cid:18)emes combinatoires de commutation et r(cid:19)earran-
gements" was originally published as no. 85 in the Springer-Verlag Lecture
Notes in Mathematics Series, back in 1969. The algebraic and combinatorial
techniques developed there have since been used in various branches of
mathematics and alsocomputer science. The notionof partiallycommutative
monoid, that was (cid:12)rst introduced for extending the MacMahon Master
Theorem to the noncommutative case, has been used in other contexts. In
particular, it has provided an appropriate mathematical model for the study
of computer parallelism. The fundamental result deals with an inversion
formula, that has been expressed in di(cid:11)erent algebraic structures, originally
the algebra of a partially commutative monoid.
It was then appropriate, with this electronic reedition of the monograph,
to have three appendices which could illustrate how that fundamental in-
version formula was implemented in other environments, explicitly and also
implicitly.
In the (cid:12)rst appendix (\Inversions de Mo(cid:127)bius") it is shown how to go from
the Mo(cid:127)bius inversion formula for a partially commutative monoid to the
Mo(cid:127)bius formula for a locally (cid:12)nite partially ordered set, and conversely.
In the second appendix Bodo Lass shows that by means of a simple
specialization of the variables the fundamental inversion formula provides
a noncommutative version of the celebrated chromatic polynomial identity
for graphs : ((cid:0)1)jVj(cid:31) ((cid:0)1) = a(G).
G
The third appendix, written by Christian Krattenthaler, presents Vien-
not’s theory of heaps of pieces, a theory that has been very fruitful in the
combinatorial theory of orthogonal polynomials and in the calculation of
multivariable generating functions for polyominoes. The equivalence of the
theory of heaps and the theory of partiallycommutative monoids is explicitly
established.
COMMUTATION AND REARRANGEMENTS
P. Cartier, D. Foata :
Probl(cid:18)emes combinatoires de commutation et r(cid:19)earrangements, 54 pages.
D. Foata :
Inversions de Mo(cid:127)bius, 5 pages ...................................p. 55
B. Lass :
Le polyno^me chromatique, 2 pages ...............................p. 61
Ch. Krattenthaler :
The theory of heaps and the Cartier-Foata monoid, 11 pages ........p. 63
Lecture Notes in
Mathematics
A collection of informal reports and seminars
Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zu(cid:127)rich
Series : Institut de Math(cid:19)ematique, Universit(cid:19)e de Strasbourg
Adviser : P. A. Meyer
85
P. Cartier D. Foata
(cid:15)
Universit(cid:19)e de Strasbourg
Probl(cid:18)emes combinatoires de
commutation et r(cid:19)earrangements
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1969
(cid:15) (cid:15)
The present volumeis a 2005 TEX-reproduction of theoriginal text that was originally
published in the Springer-Verlag Lecture Notes in Mathematics Series in 1969.
TABLE DES MATIE(cid:18)RES
Introduction ............................................................. 1
CHAPITRE PREMIER. Mono(cid:127)(cid:16)des d(cid:19)e(cid:12)nis par des relations de com-
mutation ............................................................ 5
1. Rappels sur les mono(cid:127)(cid:16)des libres ................................. 5
2. Construction de L(Z;C) ........................................ 6
3. Structure de L(Z;C) ............................................ 7
4. Un exemple ...................................................... 9
CHAPITRE 2. Fonction de Mo(cid:127)bius d’un mono(cid:127)(cid:16)de .................. 11
1. D(cid:19)ecompositions .................................................. 11
2. Formule d’inversion de Mo(cid:127)bius ................................. 12
3. Fonction de Mo(cid:127)bius du mono(cid:127)(cid:16)de L(Z;C) ...................... 13
4. Cas particuliers .................................................. 13
CHAPITRE 3. Circuits dans un graphe............................... 15
1. D(cid:19)e(cid:12)nitions ....................................................... 15
2. Structure des (cid:13)ots ............................................... 16
3. Structure des circuits............................................ 17
4. Cycles ............................................................ 18
5. Relation avec les chemins ....................................... 19
6. D(cid:19)ecomposition descendante d’un circuit ....................... 21
CHAPITRE 4. R(cid:19)earrangements de suites............................. 24
1. Mono(cid:127)(cid:16)de des r(cid:19)earrangements.................................... 24
2. D(cid:19)ecomposition d’un r(cid:19)earrangement en cycles .................. 25
3. Mono(cid:127)(cid:16)de d’intercalement ........................................ 26
4. D(cid:19)ecomposition descendante d’un mot .......................... 29
5. Une m(cid:19)ethode de r(cid:19)earrangement................................. 30
CHAPITRE 5. Sur le hhMaster Theoremii de MacMahon ......... 33
1. Une g(cid:19)en(cid:19)eralisation non commutative du Master Theorem . 33
hh ii
2. Une autre g(cid:19)en(cid:19)eralisation du th(cid:19)eor(cid:18)eme de MacMahon ......... 35
iv
CHAPITRE 6. Relations entre coe(cid:14)cients binomiaux ............. 37
1. Description du graphe........................................... 37
2. E(cid:19)tude des circuits pairs ......................................... 37
3. E(cid:19)tude des circuits impairs ...................................... 38
4. Autres identit(cid:19)es.................................................. 39
5. Utilisation du Master Theorem de MacMahon.............. 40
hh ii
Formulaire............................................................ 43
CHAPITRE 7. Applications probabilistes ............................ 45
1. Identit(cid:19)e de Spitzer............................................... 45
2. Propri(cid:19)et(cid:19)es du permanent........................................ 47
3. Fonctions caract(cid:19)eristiques de certaines variables al(cid:19)eatoires.... 49
Bibliographie ............................................................ 52
Index des principales notations ...................................... 53
INTRODUCTION
Dans sa th(cid:18)ese [1], l’un d’entre nous a (cid:19)etudi(cid:19)e les probl(cid:18)emes combinatoires
li(cid:19)es aux r(cid:19)earrangements de suites (cid:12)nies et a(cid:18) la d(cid:19)ecomposition en cycles de
permutations avec r(cid:19)ep(cid:19)etitions . Nous reprenons ici ces questions par des
hh ii
m(cid:19)ethodes nouvelles : la nouveaut(cid:19)e principale est l’introduction du mono(cid:127)(cid:16)de
des circuits sur un un graphe et, comme cas particulier, celle des mono(cid:127)(cid:16)des
de r(cid:19)earrangements. Nous pouvons ainsi donner des d(cid:19)emonstrations assez in-
tuitives de plusieurs th(cid:19)eor(cid:18)emes de factorisation; on obtient deux bijections
distinctes de l’ensemble des mots sur l’ensemble des r(cid:19)earrangements, dont
la composition redonne un th(cid:19)eor(cid:18)eme de r(cid:19)earrangement, sans recourir aux
constructions (cid:19)elabor(cid:19)ees dans [1]. Nous examinerons maintenant les princi-
paux th(cid:18)emes de ce travail.
A. Fonction de Mo(cid:127)bius
Le but des chapitres I et II est d’(cid:19)etablir l’identit(cid:19)e g(cid:19)en(cid:19)erale
(cid:0)1
(1) ((cid:0)1)r T (cid:1)(cid:1)(cid:1)T = T (cid:1)(cid:1)(cid:1)T ;
i1 ir j1 js
(cid:16)i1X;:::;ir (cid:17) j1X;:::;js
dont la signi(cid:12)cation est la suivante : on consid(cid:18)ere des s(cid:19)eries formelles a(cid:18) co-
e(cid:14)cients entiers en des ind(cid:19)etermin(cid:19)ees T auxquelles on impose certaines re-
i
lations de commutation T T = T T ((cid:19)eventuellement aucune ou toutes). Le
i j j i
membre de gauche comporte une sommation sur tous les mono^mes distincts
form(cid:19)es de lettres distinctes commutant deux a(cid:18) deux et celui de droite com-
porte une sommation sur tous les mono^mes distincts (si plusieurs mono^mes
se trouvent ^etre (cid:19)egaux en vertu des relations de commutation impos(cid:19)ees, on
ne prend que l’un d’entre eux dans la sommation). En sp(cid:19)ecialisant au cas ou(cid:18)
les ind(cid:19)etermin(cid:19)ees ne commutent jamais ou au contraire commutent toujours,
on retrouve les identit(cid:19)es connues
n 1
(cid:0)1
(2) 1(cid:0) T = T (cid:1)(cid:1)(cid:1)T ;
i i1 ir
(cid:16) Xi=1 (cid:17) Xr=0i1X;:::;ir
(cid:0)1
(3) (1(cid:0)T )(cid:1)(cid:1)(cid:1)(1(cid:0)T ) = T(cid:11)1 (cid:1)(cid:1)(cid:1)T(cid:11)n:
1 n 1 n
(cid:16) (cid:17) (cid:11)1X;:::;(cid:11)n
L’(cid:19)etablissement de (1) se fait en deux (cid:19)etapes. Consid(cid:19)erons un mono(cid:127)(cid:16)de M
dans lequel tout(cid:19)el(cid:19)ement n’a qu’un nombre (cid:12)ni de d(cid:19)ecompositions en produit
2 INTRODUCTION
(d’un nombre quelconque de facteurs). On peut alors former des s(cid:19)eries
formelles a (cid:1)x a(cid:18) coe(cid:14)cients entiers par exemple. Nous montrons qu’il
x2M x
existe unePfonction (cid:22)M (fonction de Mo(cid:127)bius de M) telle que
(cid:0)1
(4) (cid:22) (x)(cid:1)x = x;
M
(cid:16)X (cid:17) X
x2M x2M
cette relation (cid:19)equivaut a(cid:18) (cid:22) (y) = 0 pour x 6= 1 et (cid:22) (1) = 1.
M M
yz=x
P
Lorsque M est l’ensemble des entiers strictement positifs, avec la multipli-
cation pour op(cid:19)eration, la fonction (cid:22) est la fonction de Mo(cid:127)bius usuelle ([2],
M
p. 234) et la relation (4) (cid:19)equivaut a(cid:18) l’identit(cid:19)e connue
1 1
(cid:0)1
(5) (cid:22)(n)(cid:1)n(cid:0)s = n(cid:0)s:
(cid:16)nX=1 (cid:17) nX=1
Il reste a(cid:18) expliciter la fonction (cid:22) pour certains mono(cid:127)(cid:16)des. Pour cela, nous
M
(cid:19)etudionsauchapitreIlesmono(cid:127)(cid:16)desengendr(cid:19)es pardesg(cid:19)en(cid:19)erateursT soumisa(cid:18)
i
certaines relations de commutation. Le r(cid:19)esultat principal est le th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.2
qui r(cid:19)esout le probl(cid:18)eme des mots pour de tels mono(cid:127)(cid:16)des, en indiquant une
famille r(cid:19)eduite et un algorithme pour la r(cid:19)eduction a(cid:18) la forme r(cid:19)eduite.
B. Flots et cycles sur un graphe
Le chapitre 3 est consacr(cid:19)e a(cid:18) une g(cid:19)en(cid:19)eralisation non commutative de
l’homologie. Nous consid(cid:19)erons un graphe orient(cid:19)e G (vari(cid:19)et(cid:19)e combinatoire
orient(cid:19)ee de dimension 1); les simplexes de dimension 0 sont appel(cid:19)es sommets
et ceux de dimension 1 ar^etes. On suppose pour simpli(cid:12)er qu’il n’y a
qu’un nombre (cid:12)ni de sommets et d’ar^etes. Pour i = 0;1, on note C le
i
groupe commutatif libre engendr(cid:19)e par les simplexes de dimension i, appel(cid:19)e
classiquement groupe des i-cha^(cid:16)nes; l’op(cid:19)erateur bord @ : C ! C est carac-
1 0
t(cid:19)eris(cid:19)e par @(a) = t(cid:0)s pour toute ar^ete a joignant le sommet s au sommet t.
Le premier groupe d’homologie H du graphe G est le noyau de @.
1
Pour tout sommet s, soit C(s) le groupe libre engendr(cid:19)e par les ar^etes
d’origine s; notons aussi C le produit de tous ces groupes C(s). Il existe
1 b
un homomorphisme canonique surjectif (cid:25) : C ! C , dont le noyau est le
b 1 1 b
groupe des commutateurs de C . Le groupe H = (cid:25)(cid:0)1(H ) m(cid:19)erite le nom de
1 1 1
b
premier groupe d’homologie non commutatif de G.
b b
Enfait,nousnenousint(cid:19)eressonsqu’ausous-mono(cid:127)(cid:16)deF de C engendr(cid:19)epar
1
lesar^etes,dontles(cid:19)el(cid:19)ementssontappel(cid:19)es(cid:13)ots.Les(cid:19)el(cid:19)ementsdeF\H sontap-
1
b
pel(cid:19)es circuits. Les r(cid:19)esultats essentiels sont deux th(cid:19)eor(cid:18)emes de d(cid:19)ecomposition
b
d’un circuit. Le th(cid:19)eor(cid:18)eme 3.5 a(cid:14)rme que le mono(cid:127)(cid:16)de des circuits est du type
envisag(cid:19)e au chapitre I : les g(cid:19)en(cid:19)erateurs sont des cycles g(cid:19)eom(cid:19)etriques et
hh ii
deux cycles commutent si et seulement s’ils n’ont aucun sommet en com-
mun. Ce r(cid:19)esultat pr(cid:19)ecise et g(cid:19)en(cid:19)eralise les th(cid:19)eor(cid:18)emes usuels de d(cid:19)ecomposition
