Probabilità Statistica e Simulazione: Programmi applicativi scritti con Scilab, Seconda Edizione

510 Pages·2004·109.3 MB·English

by  A. Rotondi, P. Pedroni, A. Pievatolo

Probabilia, statistica
e sl ulaz one
I
A. Rotondi
P. Pedroni
A. Pievatolo
ALBERTROO TONDI
Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica
Universita di Pavia
PAOLPOE DRONI
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare
Sezione di Pavia
ANTONIPOIE VATOLO
Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche
CNR - Milano
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O Springer-Verlag Italia, Milano 2005
ISBN 88-470-0262-1
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lndice
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . La probabilith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Caso. caos e determinism0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. ... . . . . . . . . . .
1.3 I1 concetto di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Probabilitii assiomatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Prove ripetute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Teorema di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 L'approccio bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . Rappresentazione dei fenomeni aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funzione cumulativa o di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 La rappresentazione dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 La distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Media, Varianza e Deviazione Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 I1 campione casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo elementare delle probabilith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Proprieta della distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Densita di Gauss o normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Calcolo di distribuzioni in SCILAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Legge 3-sigma e gaussiana standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 I1 teorema Lirnite Centrale: universalita della gaussiana .....
VI lndice
3.8 Processi stocastici poissoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.9 La densith X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10 La densith uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.11 Disuguaglianza di Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.12 Come utilizzare il calcolo delle probabilith ................. 101
3.13 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 09
4 . Calcolo delle probabilitb p e r p ih variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Distribuzioni statistiche multidimensionali . . ............... 111
4.3 Covarianza e correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Densit&g aussiana bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Generalizzazione in pih dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6 Insiemi di probabilith in piil dimensioni ................... 136
4.7 La distribuzione multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.8 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5. Funzioni di variabili aleatorie ............................. 143
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Funzione di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 finzioni di pih variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 La trasformazione della media e della varianza . . . . . . . . . . . . . 158
5.5 Medie e varianze per n variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.6 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6 . Statistica d i base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3 Determinazione degli intervalli di confidenza ............... 176
6.4 Cenno all'approccio bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.5 Alcunenotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.6 Stima della probabilita da grandi campioni . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7 Stima della probabilita da piccoli campioni . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.8 Stima di valori limite poissoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.9 Stima della media da grandi campioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.10 Stima della varianza da grandi carnpioni . . ................. 194
6.11 Stima di media e varianza ha piccoli campioni . . . . . . . . . . . . . . 198
6.12 Come utilizzare la teoria della stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.13 Stime da una popolazione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.14 Verifica di una ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.15 Verifica di compatibilita t ra due valori . ................... 212
6.16 Stima della densith di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.17 Verifica di compatibilitb tra campione e popolazione . . . . . . . . 223
6.18 Verifica di ipotesi con test non parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.19 Stima della correlazione ................................. 238
lndice VII
6.20 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7 . I1 metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.2 Cosl&i l metodo Monte Carlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.3 Fondamenti matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.4 Generazione di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 52
7.5 Generazione di variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.6 Metodo del rigetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.7 Metodo di ricerca lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 66
7.8 Metodi particolari di generazione casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.9 Studio Monte Carlo di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.10 Determinazione degli intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.11 Bootstrap non parametric0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.12 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8 . Applicazioni del metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.2 Studio dei fenomeni di difisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.3 Simulazione dei processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 93
8.4 Il numero di addetti ad un impianto: simulazione sincrona . . . 298
8.5 I1 numero di addetti ad un impianto: simulazione asincrona . . 302
8.6 Algoritmo di Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.7 I1 modello di Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.8 Calcolo di integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.9 Campionamento ad importanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.10 Campionamento stratificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.11 Integrali multidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 20
8.12 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9 . Inferenza statistica e verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.2 Il metodo della massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.3 ProprietB degli stimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.4 Teoremi sugli stimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.5 Intervalli di confidenza . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.6 I1 metodo dei minimi quadrati e la massima verosimiglianza . . 345
9.7 Adattamento di densit& (best fit) ad istogrammi . . . . . . . . . . . . 347
9.8 La media pesata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.9 Verifica delle ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.10 Test di potenza massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.11 Funzioni test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.12 Test sequenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.13 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
VIII lndice
10. Minimiquadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 73
10.2 Predittori osservati senza errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.3 Rette dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4 Minimi quadrati lineari: caso. generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.5 Minimi quadrati lineari pesati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.6 ProprietA delle stime dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.7 Verifica del modello e determinazione di forme funzionali . . . 394
10.8 Ricerca delle correlazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.9 Test di adattamento del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.10 Errori sui predittori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.11 Minimizzazione non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.12Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11. Analisi dei dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
11.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.3 Grandezze fisiche costanti e variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.4 Sensibilita e accuratezza degli strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.5 Incertezza nelle operazioni di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.6 Misure indirette e propagazione degli errori . . . ............ 421
11.7 Definizione dei tipi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 32
11.8 Misure del tip0 M(0 , 0, A ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.9 Misure del tip0 M(0 , u, 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.10 Misure del tip0 M(0 , u. A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.11 Misure del tip0 M ( f . 0. 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.12 Misure del tip0 M ( f , u. 0 ) .M ( f . 0, A ) , M ( f . u, A ) . 444
11.13 Studio di un caso: gli esperimenti di Millikan . . . . . . . . . . . . . . 448
11.14 Alcune note sul metodo scientific0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 52
11.15Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Appendice A . Tabella dei simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Appendice B . Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Appendice C . Soluzioni dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Appendice D . Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
D.l Integrale della densit&g aussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 77
D.2 Valori quantili della densit& di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 78
D.3 Integrale della densita X2 ridotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
D.4 Valori quantili di x2 non ridotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
D.5 Valori quantili della densit& F ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 79
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Indice analitico ............................................... 491
Prefazione alla prima edizione
Questo testo nasce dalla collaborazione tra due fisici sperimentali e uno
statistico.
Tra i non statistici, i fisici sono forse quelli che piir apprezzano e uti-
lizzano il calcolo delle probabilith e la statistica, il pib delle volte perb in
mod0 pragmatic0 e manualistico, avendo in mente la soluzione di problemi
o applicazioni tecniche. D'altra parte, nel confront0 cruciale fra teoria ed
esperimento, occorre a volte utilizzare metodi sofisticati, che richiedono una
conoscenza profonda dei principi, anche logici e matematici, che stanno alla
base dello studio dei fenomeni casuali. Pib in generale, anche chi non i: stati-
stico deve spesso affrontare, nell'ambito della ricerca, problemi che richiedono
particolari doti di attenzione e competenza nel trattamento degli aspetti ca-
suali o aleatori. Queste doti sorlo irlvece possedute in mod0 naturale dallo
statistico, il quale fa delle leggi del caso l'oggetto delle proprie ricerche.
Questo testo B maturato con l'intento di cercare una sintesi tra queste
esperienze diverse, per fornire a1 lettore non solo uno strumento utile ad
affrontare i problemi, ma anche una guida ai metodi corretti per comprendere
il complicato e affascinante mondo dei fenomeni aleatori.
Un tale obiettivo ha comportato ovviamente delle scelte, talvolta anche
dolorose, sia nel tip0 sia nella forma dei contenuti. Nella forma, abbiamo cer-
cat0 di non rinunciare alla precisione necessaria per insegnare correttamente
i concetti importanti; nelle applicazioni, abbiamo privilegiato i metodi che
non richiedono eccessive elaborazioni concettuali preliminari. Abbiamo ad
esempio cercato di utilizzare, quando i: possibile, metodi approssimati per la
stima intervallare, con le approssimazioni gaussiane alla distribuzione degli
stimatori. Allo stesso modo, nel caso dei minimi quadrati, abbiamo usato in
mod0 esteso l'approssimazione basata sulla distribuzione X 2 per la verifica
dell'adattamento di un modello ai dati. Abbiamo anche evitato di insistere
nel trattamento formale di problemi complicati nei casi in cui si pub trovare
la soluzione utilizzando il computer e facili programmi di simulazione. Nel
nostro testo la simulazione riveste quindi un ruolo importante nell'illustra-
zione di molti argomenti e nella verifica della bont& di molte tecniche ed
approssimazioni.
I1 libro si rivolge in primo luogo agli studenti dei primi anni dei corsi di
indirizzo scientifico, come ingegneria, informatica e fisica. Pensiamo perb che
esso possa risultare utile anche a tutti quei ricercatori che devono risolvere
problemi concreti che coinvolgono aspetti probabilistici, statistici e di simu-
lazione. Per questo abbiamo dato spazio ad alcuni argomenti, come il metodo
Monte Carlo e le sue applicazioni, le tecniche di minimizzazione e i metodi
X Prefazione
di analisi dei dati, che solitamente non vengono trattati nei testi di carattere
introduttivo.
Le conoscenze matematiche richieste a1 lettore sono quelle impartite so-
litamente nell'insegnamento di Analisi Matematica I dei corsi di laurea ad
indirizzo scientifico, con l'aggiunta di nozioni minime di Analisi Matematica
11, come i fondamenti della derivazione ed integrazione delle funzioni di pih
variabili.
La struttura del testo consente diversi percorsi didattici e livelli di let-
tura. I prirni 6 capitoli trattano tutti gli argomenti solitamente svolti in un
corso istituzionale di statistica. A scelta del docente, questo programma pub
essere integrato con alcuni argomenti pib avanzati tratti dagli altri capitoli.
Ad esempio, in un corso orientato alle tecniche di simulazione, va senz'altro
incluso il capitolo 7. Le nozioni di probabilita e statistica impartite di solito
agli studenti di fisica nei corsi di laboratorio del primo biennio sono contenu-
te nei primi 3 capitoli, nel capitolo 6 (statistica di base) e nel capitolo lo1,
scritto esplicitamente per i fisici e per tutti coloro che hanno a che fare con
il trattamento dei dati provenienti da esperienze di laboratorio.
Molte pagine sono dedicate alla risoluzione completa di numerosi esercizi
inseriti direttamente nei capitoli ad illustrazione degli argomenti trattati.
Raccomandiamo a1 lettore anche i problemi (tutti con soluzione) riportati
alla fine di ogni capitolo.
I1 testo Q stato scritto nel corso di diversi anni, nel tempo "libero" dagli
impegni dell'insegnamento e della ricerca. Molte parti del materiale che qui
presentiamo sono state collaudate in alcuni corsi per fisici, istituzionali e di
dottorato, sull'analisi statistica dei dati e sulle tecniche di simulazione Monte
Carlo. Ringraziare uno per uno tutti gli studenti e i colleghi che ci hanno
dato consigli, suggerimenti e corretto errori e imprecisioni ci Q veramente
impossibile. Un grazie particolare va comunque a Franco Barbaini, Valerio
Filippini, Andrea Fontana e Victor Tretyak.
Infine, un sincero ringraziamento all'editore Springer per aver apprezzato
e sostenuto il nostro progetto.
Pavia, gennaio 2001
Gli Autori
Nella nuova edizione B il capitolo 11
Prefazione XI
Prefazione alla seconda edizione
In questa seconda edizione abbiamo tenuto conto delle numerose osservazioni
e di alcune segnalazioni di errori di molti lettori, che ringraziamo vivamente
per la collaborazione. E solo grazie a questi lettori che un libro non muore,
ma resta una cosa viva che evolve e migliora nel tempo.
La prima parte del capitolo 6 sulle stime frequentiste di Neyman e tutto
il capitolo 10 sui minimi quadrati sono stati riscritti cercando di presentare
la materia in mod0 pih chiaro e sintetico. Per soddisfare il notevole interes-
se sulle tecniche di simulazione Monte Carlo, l'argomento k stato ampliato,
arricchito di nuovi esempi ed applicazioni e suddiviso in due capitoli. I1 nuo-
vo materiale non ha aumentato la mole del testo, perchi: alcune parti di
secondaria importanza o troppo tecniche sono state alleggerite od eliminate.
Una delle maggiori novita i: l'utilizzo, in tutto il testo, del software libero
SCILAB~p, articolarmente semplice e potente, e di numerosi programmi che
abbiamo scritto e che si possono ottenere dal sito web dell'editore3.
Consigliamo quindi una lettura interattiva, che a110 studio di un argomen-
to faccia seguire l'uso delle routine second0 le modalita indicate nel testo e
le istruzioni tecniche contenute in queste pagine web.
Nella speranza che questa nuova fatica venga ripagata con lo stesso in-
teresse che ha accompagnato la prima edizione, ringraziamo ancora l'editore
Springer per la fiducia che ha continuato ad accordarci.
Pavia, agosto 2004
Gli Autori