Probabilità , Statistica e Simulazione: Programmi applicativi scritti con Scilab

547 Pages·2012·3.853 MB·Italian

by  Alberto Rotondi, Paolo Pedroni, Antonio Pievatolo (auth.)

Probabilita`,StatisticaeSimulazione
Alberto Rotondi PaoloPedroni Antonio Pievatolo
• •
Probabilita`, Statistica
e Simulazione
Programmiapplicativi scritti con Scilab
3a edizione
AlbertoRotondi
DipartimentodiFisicaNucleareeTeorica,
Universita`diPavia
PaoloPedroni
IstitutoNazionalediFisicaNucleare,
SezionediPavia
AntonioPievatolo
IMATI-CNR,Milano
ISBN978-88-470-2363-5 e-ISBN978-88-470-2364-2
DOI10.1007/978-88-470-2364-2
SpringerMilanDordrechtHeidelbergLondonNewYork
©Springer-VerlagItalia2012
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Prefazione
Questo testo nasce dalla collaborazione tra due fisici sperimentali e uno
statistico.
Tra i non statistici, i fisici sono forse quelli che piu` apprezzano e utilizza-
no il calcolo delle probabilita` e la statistica, il piu` delle volte per`o in modo
pragmaticoemanualistico,avendoinmentelasoluzionediproblemioapplica-
zionitecniche. D’altraparte, nel confronto cruciale fra teoria ed esperimento,
occorre a volte utilizzare metodi sofisticati, che richiedono una conoscenza
profonda dei principi, anche logici e matematici, che stanno alla base dello
studio dei fenomeni casuali. Piu` in generale, anche chi non `e statistico deve
spesso affrontare, nell’ambito della ricerca, problemi che richiedono partico-
lari doti di attenzione e competenza nel trattamento degli aspetti casuali o
aleatori.Queste doti sono invece possedute in modo naturale dallo statistico,
ilquale fa delle leggi del caso l’oggetto delle proprie ricerche.
Questo testo `e maturato con l’intento di cercare una sintesi tra queste
esperienze diverse, per fornire al lettore non solo uno strumento utile ad af-
frontare i problemi, ma anche una guida ai metodi corretti per comprendere
ilcomplicato e affascinante mondo dei fenomeni aleatori.
Un tale obiettivo ha comportato ovviamente delle scelte, talvolta anche
dolorose,sia nel tipo sia nellaformadei contenuti. Nella forma,abbiamocer-
catodinonrinunciare allaprecisione necessaria per insegnare correttamente i
concetti importanti;nelleapplicazioni,abbiamoprivilegiatoimetodi che non
richiedonoeccessive elaborazioniconcettualipreliminari.Abbiamoadesempio
cercato diutilizzare,quando`e possibile,metodi approssimatiper lastimain-
tervallare,con leapprossimazionigaussiane alladistribuzione deglistimatori.
Allostesso modo,nelcasodeiminimiquadrati,abbiamousatoinmodoesteso
l’approssimazionebasatasulladistribuzioneχ2 per laverificadell’adattamen-
to di un modello ai dati. Abbiamo anche evitato di insistere nel trattamen-
to formale di problemi complicati nei casi in cui si puo` trovare la soluzione
utilizzando il computer e facili programmi di simulazione. Nel nostro testo
la simulazione riveste quindi un ruolo importante nell’illustrazione di molti
argomenti e nella verifica della bont`a di molte tecniche ed approssimazioni.
VI Prefazione
Il libro si rivolge in primo luogo agli studenti dei primi anni dei corsi di
indirizzo scientifico, come ingegneria, informaticae fisica. Pensiamo pero` che
esso possa risultare utile anche a tutti quei ricercatori che devono risolvere
problemiconcreti che coinvolgonoaspetti probabilistici,statistici e disimula-
zione. Per questo abbiamo dato spazio ad alcuni argomenti, come il metodo
Monte Carlo e le sue applicazioni, le tecniche di minimizzazione e i metodi
di analisidei dati, che solitamente non vengono trattati nei testi di carattere
introduttivo.
Le conoscenze matematiche richieste al lettore sono quelle impartite so-
litamente nell’insegnamento di Analisi Matematica I dei corsi di laurea ad
indirizzo scientifico, con l’aggiunta di nozioni minime di Analisi Matematica
II, come i fondamenti della derivazione ed integrazione delle funzioni di piu`
variabili.
La struttura del testo consente diversi percorsi didattici e livelli di let-
tura. I primi 6 capitoli trattano tutti gli argomenti solitamente svolti in un
corso istituzionale di statistica. A scelta del docente, questo programma pu`o
essere integrato con alcuni argomenti piu` avanzati tratti dagli altri capitoli.
Ad esempio, in un corso orientato alle tecniche di simulazione, va senz’altro
incluso il cap. 7. Le nozioni di probabilita` e statistica impartite di solito agli
studenti difisica nei corsi dilaboratoriodelprimobiennio sonocontenute nei
primi 3 capitoli,nel cap. 6 (statistica di base) e nel cap. 11, scritto esplicita-
mente per i fisici e per tutti coloro che hanno a che fare con il trattamento
dei dati provenienti da esperienze di laboratorio.
Molte pagine sono dedicate alla risoluzione completa di numerosi eserci-
zi inseriti direttamente nei capitoli ad illustrazione degli argomenti trattati.
Raccomandiamoallettoreancheiproblemi(tutticonsoluzione)riportatialla
fine di ogni capitolo.
Il testo `e stato scritto nel corso di diversi anni, nel tempo “libero” dagli
impegni dell’insegnamento e della ricerca. Molte parti del materiale che qui
presentiamo sono state collaudate in alcuni corsi per fisici, istituzionali e di
dottorato,sull’analisistatistica dei dati e sulle tecniche disimulazioneMonte
Carlo. Ringraziamo tutti gli studenti e i colleghi che ci hanno dato consigli,
suggerimenti e corretto errori e imprecisioni.
Leprincipalimodificheintrodotteinquestaterzaedizionesonolarevisione
della prima parte del cap. 6 (Statistica di base) e di tutto il cap. 10 (Minimi
quadrati).
Nel capitolo 6 sono state riportate nuove formule per il calcolo degli in-
tervalli di confidenza per la stima di efficienze e frequenze negli esperimenti
diconteggio.Leformuleproposte hannounamiglioreprobabilita`diincludere
il valore vero (copertura), come risulta dalla verifica, con tecniche di simu-
lazione, riportata in dettaglio nel par. 7.11 (Simulazione degli esperimenti di
conteggio).
Ilcap.10(Minimiquadrati),seguendoancheleindicazionidialcunilettori,
`estatointeramenterivistoeresopiu`chiaroeleggibile,almenoanostroparere.
Prefazione VII
Anche in questa edizione`e stato mantenutol’utilizzo,intutto iltesto, del
software libero SCILAB1. I programmi che abbiamo scritto e utilizzato nel
testo si possono ottenere dal sito web
http://www.mi.imati.cnr.it/~marco/springer/
Consigliamo quindi una lettura interattiva, che allo studio di un argomento
faccia seguire l’uso delle routine secondo le modalit`a indicate nel testo e le
istruzioni tecniche contenute in queste pagine web.
Ringraziamo ancora i lettori che ci hanno segnalato errori o imprecisioni
e la Springer per la fiducia che ha continuato ad accordarci.
Pavia,giugno 2011
Alberto Rotondi
Paolo Pedroni
Antonio Pievatolo
1 http://www.scilab.org
VIII Prefazione
Come utilizzare il testo
Figure, equazioni, definizioni, teoremi, tabelle ed esercizi sono numerati pro-
gressivamente all’internodi ogni capitolo.
Le sigle delle citazioni (ad esempio [57]) si riferiscono all’elenco riportato
nella bibliografiaallafine del libro.
Lasoluzionedei problemi`e apagina499.Puo`anche essere utilelatabella
dei simboli riportata nelle pagg. 493–494.
I codici di calcolo come histplot sono indicati su sfondo grigio. Le rou-
tine che iniziano con lettera minuscola sono quelle originali di SCILAB, che
possono essere liberamente copiate da
http://www.scilab.org,
mentrequellechecomincianoinmaiuscolosonoscrittedagliautoriesitrovano
in
http://www.mi.imati.cnr.it/~marco/springer/
Inquestositositrovanoanchetutteleinformazioniperlainstallazioneel’uso
di SCILAB, una guida all’uso delle routine scritte dagli autori e materiale
didattico complementare al testo.
Indice
Prefazione ..................................................... V
1 La probabilit`a ............................................. 1
1.1 Caso, caos e determinismo............................... 1
1.2 Terminologia .......................................... 8
1.3 Il concetto di probabilita` ................................ 10
1.4 Probabilita`assiomatica ................................. 13
1.5 Prove ripetute ......................................... 20
1.6 Calcolocombinatorio ................................... 24
1.7 Teorema di Bayes ...................................... 25
1.8 L’approccio bayesiano................................... 31
Problemi.................................................... 33
2 Rappresentazionedei fenomeni aleatori .................... 37
2.1 Introduzione ........................................... 37
2.2 Variabilialeatorie ...................................... 38
2.3 Funzione cumulativao di ripartizione ..................... 42
2.4 La rappresentazione dei dati ............................. 44
2.5 Variabilialeatorie discrete ............................... 47
2.6 La distribuzione binomiale............................... 49
2.7 Variabilialeatorie continue .............................. 52
2.8 Media, Varianza e Deviazione Standard ................... 55
2.9 Operatori ............................................. 60
2.10 Il campione casuale ..................................... 63
2.11 Criteri di convergenza................................... 64
Problemi.................................................... 68
3 Calcolo elementare delle probabilit`a ....................... 71
3.1 Introduzione ........................................... 71
3.2 Proprieta` della distribuzione binomiale .................... 71
3.3 La distribuzione di Poisson .............................. 74
X Indice
3.4 Densita` di Gauss o normale.............................. 76
3.5 Calcolodi distribuzioni in SCILAB ....................... 81
3.6 Legge 3-sigmae gaussiana standard....................... 82
3.7 Il teorema Limite Centrale: universalita` della gaussiana ..... 86
3.8 Processi stocastici poissoniani............................ 87
3.9 La densita` χ2 .......................................... 94
3.10 La densit`a uniforme ....................................100
3.11 Disuguaglianzadi Tchebychev............................104
3.12 Come utilizzare il calcolo delle probabilita` .................105
Problemi....................................................114
4 Calcolo delle probabilit`a per piu` variabili ..................117
4.1 Introduzione ...........................................117
4.2 Distribuzioni statistiche multidimensionali.................117
4.3 Covarianzae correlazione................................125
4.4 Densita` gaussiana bidimensionale.........................129
4.5 Generalizzazione in piu` dimensioni........................138
4.6 Insiemi di probabilita` in piu` dimensioni ...................142
4.7 La distribuzione multinomiale............................146
Problemi....................................................148
5 Funzioni di variabili aleatorie ..............................149
5.1 Introduzione ...........................................149
5.2 Funzione di una variabilealeatoria........................151
5.3 Funzioni di piu` variabilialeatorie .........................153
5.4 La trasformazione della media e della varianza .............165
5.5 Medie e varianze per n variabili ..........................171
Problemi....................................................176
6 Statistica di base ..........................................179
6.1 Introduzione ...........................................179
6.2 Intervallidi confidenza ..................................181
6.3 Determinazione degli intervallidi confidenza ...............185
6.4 Cenno all’approcciobayesiano............................186
6.5 Alcune notazioni .......................................187
6.6 Stima della probabilita`da grandi campioni ................188
6.7 Stima della probabilita`da piccoli campioni ................193
6.8 Intervallidi stima per eventi poissoniani...................200
6.9 Stima della media da grandi campioni.....................203
6.10 Stima della varianza da grandi campioni...................205
6.11 Stima di media e varianza da piccoli campioni..............209
6.12 Come utilizzare la teoria della stima ......................212
6.13 Stime da una popolazione finita ..........................218
6.14 Verifica di una ipotesi...................................220
6.15 Verifica di compatibilita`tra due valori ....................223
Indice XI
6.16 Stima della densita` di una popolazione ....................228
6.17 Verifica di compatibilita`tra campione e popolazione ........234
6.18 Verifica di ipotesi con test non parametrici.................242
6.19 Stima della correlazione .................................249
Problemi....................................................257
7 Il metodo Monte Carlo ....................................261
7.1 Introduzione ...........................................261
7.2 Cos’`e il metodo Monte Carlo?............................262
7.3 Fondamentimatematici .................................265
7.4 Generazione di variabilialeatorie discrete..................267
7.5 Generazione di variabilialeatorie continue .................270
7.6 Metodo del rigetto......................................274
7.7 Metodo di ricerca lineare ................................281
7.8 Metodi particolari di generazione casuale ..................282
7.9 Studio Monte Carlo di distribuzioni.......................288
7.10 Determinazione degli intervallidi confidenza ...............291
7.11 Simulazionedegli esperimenti di conteggio .................295
7.12 Bootstrap non parametrico...............................300
Problemi....................................................304
8 Applicazioni del metodo Monte Carlo......................307
8.1 Introduzione ...........................................307
8.2 Studio dei fenomeni di diffusione .........................307
8.3 Simulazionedei processi stocastici ........................315
8.4 Il numero di addetti ad un impianto:simulazionesincrona ...320
8.5 Il numero di addetti ad un impianto:simulazioneasincrona ..326
8.6 Algoritmodi Metropolis.................................327
8.7 Il modello di Ising ......................................330
8.8 Calcolodi integralidefiniti...............................334
8.9 Campionamentoad importanza ..........................338
8.10 Campionamentostratificato..............................339
8.11 Integrali multidimensionali ..............................343
Problemi....................................................344
9 Inferenza statistica e verosimiglianza ......................347
9.1 Introduzione ...........................................347
9.2 Il metodo della massima verosimiglianza...................349
9.3 Proprieta` degli stimatori ................................354
9.4 Teoremi sugli stimatori..................................357
9.5 Intervallidi confidenza ..................................366
9.6 Il metodo dei minimiquadrati e la massima verosimiglianza..370
9.7 Adattamento di densita` (best fit) ad istogrammi ............372
9.8 La media pesata........................................376
9.9 Verifica delle ipotesi ....................................380