Precalculus Prerequisites aka 'Chapter 0'

146 Pages·2013·1.19 MB·English

Precalculus Prerequisites
a.k.a. ‘Chapter 0’
by
Carl Stitz, Ph.D. Jeff Zeager, Ph.D.
Lakeland Community College Lorain County Community College
August 16, 2013

Table of Contents
0 Prerequisites 1
0.1 Basic Set Theory and Interval Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.1 Some Basic Set Theory Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.2 Sets of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2 Real Number Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
0.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
0.3 Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
0.3.1 Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
0.3.2 Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
0.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
0.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0.4 Absolute Value Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
0.4.1 Absolute Value Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
0.4.2 Absolute Value Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
0.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
0.4.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
0.5 Polynomial Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
0.5.1 Polynomial Addition, Subtraction and Multiplication. . . . . . . . . . . . . . 61
0.5.2 Polynomial Long Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
0.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
0.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
0.6 Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
0.6.1 Solving Equations by Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
0.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
0.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
0.7 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
0.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
0.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
0.8 Rational Expressions and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
iv Table of Contents
0.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
0.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
0.9 Radicals and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
0.9.1 Rationalizing Denominators and Numerators . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
0.9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
0.9.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
0.10 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
0.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
0.10.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1 Relations and Functions 137
1.1 Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . 137
1.1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.1.2 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.2.1 Graphs of Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
1.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
1.4 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.4.1 Modeling with Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
1.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1.4.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
1.5 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
1.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1.6 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
1.6.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
1.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
1.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
1.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
1.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2 Linear and Quadratic Functions 283
2.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Table of Contents v
2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
2.4 Inequalities with Absolute Value and Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . 341
2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
2.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
3 Polynomial Functions 369
3.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
3.2 The Factor Theorem and the Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
3.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . 404
3.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . 407
3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
3.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . 421
3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
4 Rational Functions 437
4.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
4.3 Rational Inequalities and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
4.3.1 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
4.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
4.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
vi Table of Contents
5 Further Topics in Functions 495
5.1 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
5.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
5.2 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
5.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
5.3 Other Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
6 Exponential and Logarithmic Functions 553
6.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 553
6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
6.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
6.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
6.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
6.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
6.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
6.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
6.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 607
6.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
6.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
6.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
6.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
7 Hooked on Conics 633
7.1 Introduction to Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
7.2 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
7.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
7.3 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
7.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
7.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
7.4 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
7.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
7.5 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
7.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
Table of Contents vii
7.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684
8 Systems of Equations and Matrices 689
8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
8.3 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
8.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735
8.4 Systems of Linear Equations: Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
8.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752
8.5 Determinants and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
8.5.1 Definition and Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
8.5.2 Cramer’s Rule and Matrix Adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
8.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
8.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767
8.6 Partial Fraction Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
8.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
8.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
8.7 Systems of Non-Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
8.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
8.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
9 Sequences and the Binomial Theorem 793
9.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
9.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
9.2 Summation Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
9.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
9.3 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821
9.3.2 Selected Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
9.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
9.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
9.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836
viii Table of Contents
10 Foundations of Trigonometry 837
10.1 Angles and their Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837
10.1.1 Applications of Radian Measure: Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . . 850
10.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
10.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
10.2 The Unit Circle: Cosine and Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861
10.2.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
10.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880
10.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
10.3 The Six Circular Functions and Fundamental Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 888
10.3.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
10.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
10.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
10.4 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
10.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
10.5 Graphs of the Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
10.5.1 Graphs of the Cosine and Sine Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
10.5.2 Graphs of the Secant and Cosecant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 948
10.5.3 Graphs of the Tangent and Cotangent Functions . . . . . . . . . . . . . . . 952
10.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
10.5.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
10.6 The Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
10.6.1 Inverses of Secant and Cosecant: Trigonometry Friendly Approach . . . . 976
10.6.2 Inverses of Secant and Cosecant: Calculus Friendly Approach . . . . . . . 979
10.6.3 Calculators and the Inverse Circular Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . 983
10.6.4 Solving Equations Using the Inverse Trigonometric Functions. . . . . . . . 988
10.6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991
10.6.6 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
10.7 Trigonometric Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
10.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
10.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
11 Applications of Trigonometry 1031
11.1 Applications of Sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
11.1.1 Harmonic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036
11.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
11.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
11.2 The Law of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
11.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
11.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
11.3 The Law of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
Table of Contents ix
11.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068
11.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070
11.4 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
11.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083
11.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085
11.5 Graphs of Polar Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
11.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112
11.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
11.6 Hooked on Conics Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127
11.6.1 Rotation of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127
11.6.2 The Polar Form of Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136
11.6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142
11.6.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
11.7 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
11.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1160
11.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163
11.8 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169
11.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185
11.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189
11.9 The Dot Product and Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193
11.9.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202
11.9.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204
11.10 Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207
11.10.1Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219
11.10.2Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223
Index 1229
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