Point de vue mathématique et didactique sur la proportionnalité

478 Pages·2014·17.81 MB·French

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Université Victor Segalen Bordeaux 2
Année 2013
Thèse n°2087
THÈSE
pour le
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ BORDEAUX 2
École doctorale Sociétés, Politique, Santé publique
Mention : Sociétés, Politique, Santé publique
Spécialité : Sciences de l'éducation
Présentée et soutenue publiquement
Le 17 décembre 2013
Par Voisin Samuel
Né le 08 juin 1973 à Caen
L'ENSEIGNEMENT DE LA PROPORTIONNALITÉ EN SEGPA
Contraintes, spécificités, situations
Membres du Jury
Isabelle BLOCH Professeur émérite, Université Bordeaux IV, Directrice
Corine CASTELA Maître de Conférences HDR, Université de Rouen, Examinateur
Lalina COULANGE Professeur, ESPE Aquitaine, Examinateur
Magali HERSANT Professeur, Université de Nantes, Rapporteure
Pascale MASSELOT Maître de Conférences, Université de Cergy, Directrice
Sophie RENE DE COTRET Professeur, Université de Montréal, Rapporteure
Gérard SENSEVY Professeur, Université de Bretagne, Président
Céline VENDEIRA Docteure en Sciences de l’Éducation, Université de Genève Examinateur
Samuel VOISIN 2013
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REMERCIEMENTS
Je remercie Marc Bailleul sans qui je n'aurais pas envisagé d'entreprendre un tel voyage
initiatique. Marc, dès mon mémoire professionnel de deuxième année d'IUFM, tu as su
m'intéresser à la didactique des mathématiques.
Je remercie Isabelle Bloch et Pascale Masselot qui ont accepté de diriger ce travail. Vos
remarques m’ont permis de progresser, d'apprendre et de me transformer. Merci pour votre
accueil, votre bienveillance et votre patience. En effet, il m’a fallu du temps pour comprendre
la nature profonde d'un travail de thèse.
Je remercie Magali Hersant et Sophie René De Cotret d'avoir accepté d'être rapporteurs de
cette thèse, et tous les membres du jury, en particulier Gérard Sensevy qui a accepté de le
présider.
Je remercie Jean-Michel Gualbert qui m'a permis d'observer des enseignants et des élèves de
SEGPA pendant leurs cours de mathématiques.
Je remercie Géraldine Hermilly, Sébastien Gemy et Thomas Delahaye qui m'ont ouvert les
portes de leurs classes et ont accepté de me livrer leurs pratiques professionnelles et leurs
conceptions sur l’enseignement des mathématiques. Je remercie particulièrement Thomas qui
m'a fait confiance en se portant volontaire pour cette expérimentation. Ton implication dans
ce projet est une réelle preuve d'amitié.
Je remercie mon amie, Anne-Sophie Fouenard, pour sa relecture et ses conseils pertinents.
Je remercie ma mère qui m'a aidé dans ce laborieux travail de transcription de ces nombreuses
séances filmées.
Mes pensées se tournent aussi vers ma famille, au sens large et vers mes amis que j'ai dû
délaisser durant cette longue période.
J'adresse enfin mes remerciements à ma femme et à mes enfants qui m'ont encouragé pendant
ces années et qui ont su se montrer patients et compréhensifs. Les étincelles de fierté
présentes dans vos quatre paires d'yeux m'ont aidé à maintenir les miens ouverts durant ces
longues nuits passées devant l'écran d'ordinateur. Merci à Thyl pour sa lucidité : « En fait,
quand on comprend, la proportionnalité c'est facile ! ». Merci à Rachel pour ses
encouragements : « T’arrête pas Papa t'es bien parti ! ». Merci à Romane pour m'avoir permis
à plusieurs reprises de participer aux activités familiales : « Quand est-ce qu'on pourra faire
une partie de sept familles tous les cinq ? ». Merci à Stéphanie pour son aide inconditionnelle
et sans faille. Ton dévouement me va droit au cœur.
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SUMMARY
The teaching of proportionality in special-needs secondary schools : constraints,
specificities, situations.
The purpose of this thesis is to investigate the teaching of proportionality to 11 to 16-year old
pupils registered in special-needs schools including pupils with more severe learning
disabilities.
Studies related to the teaching of mathematics have shown that the understanding of
proportionality by pupils up to middle school age and more particularly by children with
significant learning difficulties is often inappropriate.
In order to find out if an adjustment can be made without any impact on the knowledge
requirements, we experimented a teaching plan concerning the learning of proportionality by
children with special-needs in the context of our study.
We insist on the importance of the organization of the different types of knowledge within this
teaching plan and also on the relevance of backgrounds and values of numerical didactical
parameters.
Analysis of our observations is carried out with statistical implicative analysis, Theory of
Didactical Situations and with the frame of the double approach used to analyse the practices
of teachers.
The implementation of such a teaching plan requires, for teachers, mathematical knowledge.
In order to reactivate this knowledge, we propose a symbolic scheme for each resolving
technique applied to problems involving direct proportionality.
KEY WORDS
Proportionality, tables, SEGPA, ASH (special educational needs and disability act), adapted
learning, Theory of Didactical Situations, double approach, statistical implicative analysis,
CHIC software (Classification Hiérarchique Implicative and Cohésitive), techniques
representations, background, mathematical relevance.
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RESUME
L'enseignement de la proportionnalité en SEGPA : contraintes, spécificités, situations.
Cette thèse questionne l'enseignement de la proportionnalité à des élèves de 11 à 16 ans
relevant de l'adaptation scolaire et de la scolarisation des élèves handicapés. Les travaux de
didactique des mathématiques ont montré l'inaboutissement fréquent du projet d'appropriation
de la proportionnalité auprès des élèves jusqu'au collège, et tout particulièrement en ASH.
Afin de savoir si une adaptation peut se faire sans dénaturer le savoir, nous proposons donc
une progression sur l'enseignement de la proportionnalité en classe de Quatrième SEGPA.
Nous insistons sur l'importance de l'organisation des savoirs au sein de cette progression et sur
la pertinence des contextes et des valeurs des variables didactiques numériques.
Les analyses de nos observations se font dans le cadre de l'analyse statistique implicative, de
la Théorie des Situations Didactiques ainsi que de la double approche utilisée dans l'analyse
des pratiques des enseignants.
La mise en œuvre de la progression construite nécessite pour les enseignants des
connaissances mathématiques. Afin de réactiver ces connaissances, nous proposons des
représentations symboliques qui illustrent les techniques de résolution de problèmes relevant
de la proportionnalité simple.
MOTS CLES
Proportionnalité, tableaux, SEGPA (Section d'Enseignement Général et Professionnel
Adapté), ASH (Adaptation scolaire et Scolarisation des élèves Handicapés), progression
adaptée, Théorie des Situations Didactiques, double approche, analyse statistique implicative,
Logiciel CHIC (Classification Hiérarchique Implicative et Cohésitive), représentations des
techniques, contexte, pertinence mathématique.
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SOMMAIRE
REMERCIEMENTS..................................................................................................................................................2
SUMMARY................................................................................................................................................................3
KEY WORDS.............................................................................................................................................................3
RESUME...................................................................................................................................................................4
MOTS CLES..............................................................................................................................................................4
SOMMAIRE..............................................................................................................................................................5
INTRODUCTION.....................................................................................................................................................7
PREMIERE PARTIE..............................................................................................................................................10
CHAPITRE 1 : Point de vue mathématique et didactique sur la proportionnalité.................................................11
Introduction.................................................................................................................................................14
I. La proportionnalité : caractéristiques mathématiques............................................................................14
II. Les recherches didactiques sur la proportionnalité................................................................................20
III. Observations et questions......................................................................................................................33
IV. Situations de référence et proportionnalité............................................................................................44
V. Tableaux de proportionnalité et représentations.....................................................................................50
CHAPITRE 2 : L’enseignement des mathématiques en ASH..................................................................................59
Introduction.................................................................................................................................................61
I. Le contexte ASH et les SEGPA.................................................................................................................61
II. Recherches en didactique sur l’ASH.......................................................................................................67
III. La proportionnalité en SEGPA : premières questions...........................................................................85
CHAPITRE 3 : Problématique et cadres théoriques..............................................................................................87
I. Problématique..........................................................................................................................................89
II. Outils retenus pour l'analyse a priori.....................................................................................................90
III. Outils d'analyse du travail des élèves et du milieu..............................................................................102
IV. Double approche : Analyse des actions du professeur.........................................................................117
V. L'action conjointe..................................................................................................................................128
VI. Usage dans la recherche des outils théoriques....................................................................................131
VII. Hypothèses..........................................................................................................................................131
DEUXIEME PARTIE...........................................................................................................................................133
CHAPITRE 4 : Premiers constats expérimentaux, outils d’analyse et perspectives............................................134
Introduction...............................................................................................................................................137
I. Ressources institutionnelles...................................................................................................................137
II. Premières observations.........................................................................................................................161
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III. Test.......................................................................................................................................................167
IV. Articulations, différents contextes, alternatives envisageables............................................................185
CHAPITRE 5 : Construction d’une progression..................................................................................................188
Introduction...............................................................................................................................................190
I. La séquence : une progression adaptée.................................................................................................192
II. Analyse a priori des séances.................................................................................................................194
Conclusion.................................................................................................................................................226
CHAPITRE 6 : Analyse a posteriori et observations............................................................................................227
Introduction...............................................................................................................................................229
I. Compte-rendu de l’expérimentation.......................................................................................................229
II. Analyse des observations......................................................................................................................241
III. Résultats expérimentaux......................................................................................................................265
IV. Conclusions de l’expérimentation........................................................................................................267
CONCLUSION......................................................................................................................................................269
I. Quid de nos questions initiales...............................................................................................................271
II. L’apprentissage de la proportionnalité en SEGPA, succès ou échec possible ?...................................272
III. Rémanence de phénomènes de contrats..............................................................................................273
IV. Les limites de notre méthodologie........................................................................................................274
V. Prolongements, nouvelles questions......................................................................................................274
BIBLIOGRAPHIE.................................................................................................................................................277
ANNEXES.............................................................................................................................................................287
ANNEXE 1 : Proportionnalité simple et représentations en tableaux......................................................290
ANNEXE 2 : Pages de manuels analysées................................................................................................294
ANNEXE 3 : Test diagnostique..................................................................................................................298
ANNEXE 4 : Données statistiques issues du test diagnostique.................................................................300
ANNEXE 5 : Graphes implicatifs issus du traitement des données recueillies.........................................301
ANNEXE 6 : Progression...........................................................................................................................308
ANNEXE 7 : Transcriptions......................................................................................................................322
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INTRODUCTION
Cette recherche est une étude menée en France sur l'enseignement de la proportionnalité en
classes de SEGPA (Section d'Enseignement Général et Professionnel Adapté). Ces classes de
SEGPA dépendent de l'ASH (Adaptation scolaire et Scolarisation des élèves Handicapés).
Les différents travaux en didactique des mathématiques et en sciences de l'éducation tout
comme les évaluations montrent l'inaboutissement fréquent du projet d'appropriation de la
proportionnalité auprès des élèves de l'école élémentaire jusqu'au collège. Les lacunes
résistantes sur la multiplication, la non compréhension des problèmes de proportionnalité et
de non proportionnalité et l'extrême difficulté des calculs de pourcentages sont autant de
signes qui montrent les difficultés liées à l'apprentissage de la notion de proportionnalité.
Le public de SEGPA est en principe constitué d'élèves présentant des difficultés scolaires
graves et durables ayant un retard d'au moins un an par rapport au cursus scolaire normal. Ils
ne maîtrisent pas toutes les compétences et connaissances attendues à la fin du cycle des
apprentissages fondamentaux et présentent a fortiori des lacunes importantes dans
l'acquisition de celles prévues à l'issue du cycle des approfondissements. Cependant nous
trouvons aussi dans les classes de SEGPA des élèves présentant des troubles du
comportement, des troubles cognitifs graves ou encore des difficultés liées à la
compréhension de la langue française.
A l'issue de leur scolarité au collège, les élèves de SEGPA sont très majoritairement orientés
en CAP (Certificat d'Aptitude Professionnelle) ; c'est, en France, la formation diplômante de
plus bas niveau (niveau V). Dans les référentiels de CAP ainsi que dans les métiers auxquels
ils mènent, les compétences liées à la notion de proportionnalité sont nécessaires et
omniprésentes.
Nous proposons d'organiser les contenus disciplinaires relatifs à la proportionnalité non pas
du plus simple au plus complexe mais en adaptant les savoirs. Les situations complexes
relatives à la proportionnalité se situent à la croisée des problèmes relevant des structures
additives et multiplicatives. Elles amènent à mobiliser des connaissances anciennes qui ont été
présentées par de nombreux intervenants.
Au vu des difficultés reconnues chez les élèves de SEGPA à s'approprier de nouveaux savoirs
ou à réinvestir des savoirs plus anciens, nous nous posons des questions quant à
l'enseignement de la proportionnalité dans ce cadre. Cet enseignement est néanmoins une
nécessité sociale puisque le but institutionnel est l'insertion des élèves à situation de handicap
(dont sont supposés faire partie les élèves de SEGPA, le handicap étant ici d'ordre cognitif).
Dans ce travail, nous entendons montrer comment des outils de la didactique peuvent
permettre d’adapter un savoir scolaire à un type de classe spécifique.
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Dans cette perspective, nous proposons une progression adaptée sur l'enseignement de la
proportionnalité simple et directe. Il ne s'agit pas de réduire les tâches liées à la notion de
proportionnalité mais davantage de les adapter à partir de situations proposées au collège.
Nous proposons à la fois d'agir sur des variables didactiques et de faire référence à des
contextes familiers aux élèves de SEGPA. Nous pensons que les élèves de SEGPA peuvent
progresser dans cet apprentissage malgré leurs lacunes antérieures et ceci sans que le savoir
en jeu ne soit dénaturé.
Cette thèse est composée de deux parties :
La première partie présente les cadres théoriques mobilisés.
Dans le chapitre 1, nous rappelons la structure mathématique de la proportionnalité et
envisageons son enseignement dans notre contexte. Nous présentons le contexte à partir de
nos premières observations et l'émergence de nos premières questions.
Le chapitre 2 précise le contexte de l'ASH. Nous présentons le contexte institutionnel français
de l'enseignement adapté au collège et des travaux de recherches sur la didactique des
mathématiques dans l'enseignement spécialisé.
Le chapitre 3 nous précisons les cadres et outils théoriques retenus pour notre recherche. Nous
précisons la problématique en posant des questions sur le rapport aux savoirs que peuvent
entretenir les élèves de SEGPA relativement aux opérations en général et sur la
proportionnalité en particulier.
La deuxième partie, qui comporte les chapitres 4 à 6, rend compte de notre expérimentation.
Le chapitre 4 présente les premiers constats expérimentaux, complétés par des outils d'analyse
et de perspectives. Les constats présentés sont établis à partir des analyses de manuels, des
observations de séances ordinaires et de l'analyse des réponses à un test exploratoire.
Le chapitre 5 est consacré à la présentation de l'ingénierie didactique élaborée. Nous montrons
comment nous nous appuyons sur les analyses effectuées afin de concevoir une progression
de la proportionnalité en SEGPA. Nous en présentons la genèse, les raisons des choix et
l'analyse a priori.
Le chapitre 6 présente les milieux effectifs auxquels les élèves ont été confrontés et l'analyse
de la mise en œuvre de cette progression. Nous présentons les résultats de notre étude et
dégageons des conclusions expérimentales.
Dans la conclusion nous formalisons les déductions relatives à nos hypothèses et à notre
problématique et nous proposons des pistes de poursuite de ce travail.
Nous mobilisons des apports de la théorie des situations afin de mener au mieux différentes
analyses. Ainsi, nous explicitons dans le chapitre 6 comment, à partir des observations de
pratiques existantes, nous avons conçu une progression pour tester nos hypothèses. L'analyse
a posteriori se fait aussi dans le cadre de la théorie des situations. Nous insistons sur les
variables didactiques dans l'analyse a priori des séances qui composent notre progression.
Nous faisons varier les valeurs de ces variables afin de confronter nos hypothèses à la
contingence du milieu observé.
Pour résumer, la théorie des situations nous permet d'analyser un matériau issu d'observations
naturalistes au travers de traces écrites d'élèves, de manuels de classe, de séances de
professeur des écoles en poste dans l'ASH. Nous posons ensuite des hypothèses et
construisons une progression qui nous permet de vérifier ces hypothèses.
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Comment observer, relever et prendre en charge les potentialités et les lacunes des élèves de
SEGPA en ce qui concerne la proportionnalité ? En amont, l'analyse a priori de notre
progression nous permet une approche didactique et épistémologique de cette notion de
proportionnalité. Nous nous appuyons ainsi sur les travaux de Vergnaud (1997), Comin
(2000), Hersant (2001), Belmas (2001), Levain, Le Borgne et Simard (2006), Simard (2012)
qui nous permettent d'étudier les cadres, les tâches et les procédures liés à la notion de
proportionnalité au travers de nos premières observations.
Ensuite nous étayons notre recherche par des travaux concernant l'enseignement adapté et
l'enseignement aux élèves en difficulté. Nous nous appuyons ainsi sur les travaux de Conne
(2000), Bloch et Salin (2003), Favre (2003), Salin (2005), Bloch (2008), Giroux (2008),
Assude, Pérez, Tambone et Vérillon (2012) concernant l'enseignement spécialisé. Nous
empruntons également des conclusions à des travaux de recherches portant sur les ZEP
(Zones d’Éducation Prioritaire), les REP (Réseau d'Éducation Prioritaire), les RAR (Réseau
Ambition Réussite) telles que celles de Perrin-Glorian (1993), Peltier-Barbier (2004), Bloch
(2011), Charles-Pézard, Butlen et Masselot (2012). Ces différents apports nous permettent de
concevoir une progression adaptée à ce type de classes en tenant compte également des études
sur les pratiques des professeurs. Nous proposons des représentations symboliques des
techniques de recherche d'une quatrième proportionnelle. Dans notre recherche, ces
représentations symboliques servent de rappel de cours à destination d'un enseignant et nous
envisageons d'observer la transposition didactique de ces représentations.
Les cadres théoriques, d'une part la double approche (Robert 2005), et d'autre part, la TSD
(Théorie des Situations Didactiques, Bloch et Gibel 2011) structurent notre analyse a
posteriori. Nous croisons ces deux outils d'analyse selon l'avancement du temps didactique.
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PREMIERE PARTIE
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