Table Of ContentArndt • Haenel, 1t
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Jo rg Arndt • Christoph Haenel
Pi
Algorithmen, Computer, Arithmetik
Mit CD-ROM
Springer
Jorg Arndt
Hiihlweg 37
D-95448 Bayreuth
Christoph Haenel
W aldfriedenweg 24
D-82223 Eichenau
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ISBN 978-3-662-12712-4
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Pi: Algorithmen, Computer, Arithmetik I Jorg Arndt; Christoph Haenel.
ISBN 978-3-662-12712-4 ISBN 978-3-662-12711-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-12711-7
Buch. 1998Gb. CD-ROM. 1998
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©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1998
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Nil desparare
(Nicht verzweifeln)
Sinnspruch in GauB' Mathematischem Tagebuch (1796-1814),
in dem der Zusammenhang zwischen 1r-Berechnung und
Arithmetisch-Geometrischem Mittel aufgezeigt wird.
Vorwort
Die Zahl 1r, von der die meisten nur wissen, daB sie das Verhaltnis von Kreis
umfang zu Kreisdurchmesser ausdrtickt und mit 3, 14 ... beginnt, wurde im
Juli 1997 auf 51,5 Milliarden Dezimalstellen genau berechnet. Was der Sinn
solch aberwitzig genauer Weltrekordberechnungen ist und daB dabei jenseits
der Ziffernfolge, die Tausende von Telefonbtichern ftillen wtirde, sehr viel mehr
herauskommt, erfahren Sie in diesem Buch. Die Verfahren, die zu den hochge
nauen Berechnungen eingesetzt werden, spiegeln Ergebnisse der Mathematik
wider, deren Bedeutung weit tiber das schiere ,1r-Ausrechnen" hinausgeht.
Diese neuen und effektiven Algorithmen haben tiberraschenderweise die an
genehme Eigenschaft, leicht verstandlich zu sein.
Wir beschreiben die Ingredienzen der Rekordjagd und geben Ihnen auf der
beigefiigten CD Programme in die Hand, mit denen Sie auf Ihrem Computer
selbst einige Millionen Stellen von 1r berechnen konnen. Alle Programme und
Beispiele finden Sie auch im Sourcecode, dartiberhinaus auch weiterftihrende
Texte zu Themen, die den Rahmen dieses Buches sprengen wtirden. Damit
Sie eigene Recherchen im Internet starten konnen, haben wir auch an eine
Sammlung von WWW-Links gedacht. Fur die Statistiker unter Ihnen haben
wir einige Millionen Stellen von 1r auf der CD untergebracht.
SchlieBlich berichten wir auch von Personen und Begebenheiten der Hi
storie von 1r, in der es neben Wissenschaftlichem auch einiges an Kuriosem
und Verrticktem zu verzeichnen gibt.
Bei der Enstehung dieses Buches haben uns die folgenden Personen mit
Kommentaren und Anregungen sehr geholfen: Dieter Beule, Lothar Kruger,
Heinz Pohlmann, Georg SeBler, Mikko Tommila, Ute Zwerschke und auch ein
besonders kooperativer Leser, der nicht genannt werden will. Ihnen allen sei
an dieser Stelle ganz herzlich gedankt !
Wir wtinschen Ihnen eine angenehme Reise in die faszinierende Welt der
Zahl 1r !
Jorg Arndt, Christoph Haenel
Inhaltsverzeichnis
1. Der Stand der Dinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Wie zufiillig ist 1r? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Wahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 1st 1r normal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Doch nicht normal? ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Weitere statistische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Leichte Wege zu 1r........................................ 23
3.1 Kannitverstahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Monte Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Memorabilia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Die friiheste Kreisquadratur der Geschichte ? . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Verbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Der 1r-Saal in Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Naherungen fiir 1r und Kettenbriiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Niiherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Uber Kettenbriiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Arcus Tange ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
5.1 Die arctan-Formel von John Machin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Weitere arctan-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. Tropfel-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Ein Mini-C-Programm fiir 1r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Der Tropfel-Algorithmus im Detail. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Eine einfachere Variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5 Tropfel-Algorithmus fiir e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7. GauB und 1r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1 Die 1r-AGM-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 Der GauB-AGM-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Historie einer Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
X Inhaltsverzeichnis
8. Ramanujan und 1r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Ramanujansche Reihen................... . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Ramanujans ungewohnliche Biographie.................... 77
8.3 Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9. Die Borweins und rr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10. Das BBP-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1 Binare Modulo-Exponentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.2 Ein C-Programm zur BBP-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.3 VTerbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11. Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.1 Karatsuba Multiplikation ................................ 100
11.2 Schnelle Fourier-Multiplikation ........................... 101
11.3 Division ............................................... 104
11.4 Berechnung von Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12. Vermischtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
12.1 Ein Pi-Quiz ............................................ 107
12.2 Laf3t Zahlen sprechen ................................... 108
12.3 Ein Beweis fi.ir 1r = 2 .................................... 109
12.4 The Big Change ........................................ 109
12.5 Fast voll daneben ....................................... 109
12.6 Warum immer mehr Stellen? ............................ 111
12.7 Kreisquadratur mit Lochern ............................. 111
13. Historie .................................................. 115
13.1 Altertum .............................................. 116
13.2 Archimedes und die zwei Jahrtausende danach ............. 117
13.3 Unendliche Reihen ...................................... 123
13.4 Hochleistungsalgorithmen ............................... 131
13.5 Ein 1r-Gesetz ........................................... 137
13.6 Der Fall Bieberbach .................................... 138
13.7 Ein friiher (Fast-)Weltrekord ............................. 139
14. Die Zukunft: Internet rr-Berechnungen ................... 143
14.1 Der binary splitting (binsplit) Algorithmus ................ 143
14.2 Das Internet 1r-Projekt .................................. 146
15. Formelsammlung rr ....................................... 149
Inhaltsverzeichnis XI
16. Tabellen .................................................. 163
16.1 Ausgewahlte Konstante auf 100 Stellen (Basis 10) .......... 163
16.2 Die ersten 2.500 Stellen von 1r (Basis 10) .................. 164
16.3 Ausgewahlte Konstante auf 100 Stellen (Basis 16) .......... 165
16.4 Die ersten 2.500 Stellen von 1r (Basis 16) .................. 166
A. Documentation for the hfloat library ...................... 167
A.1 What hfloat is (good for) ................................ 167
A.2 Compiling the library ................................... 168
A.3 Functions of the hfloat library ............................ 168
A.4 Using hfloats in your own code ........................... 170
A.5 Computations with extreme precision ..................... 173
A.6 Precision and radix ..................................... 173
A.7 Compiling & running the 1r-example code .................. 174
A.8 Structure of hfloat ...................................... 175
A.9 Organisation of the files ................................. 176
A.10 Distribution policy & no warranty ........................ 177
B. Other high precision libraries ........................... .. 179
Literaturverzeichnis .......................................... 181
Index ......................................................... 187
1. Der Stand der Dinge
Im Juli 1997 gab Prof. Yasumasa Kanada von der Universitiit von Tokio
im Internet bekannt, daB es ihm und seinem Mitarbeiter Daisuke Takahashi
gelungen sei, den Weltrekord fi.ir die Berechnung von 1r erneut zu verbessern
und zwar auf 51,5 Milliarden Dezimalstellen1.
Das Statement erfolgte knapp zwei Jahre nach der vorigen Feststellung des
gleichen Mannes, worin der Weltrekord von 6,4 Milliarden Stellen verki.indet
wurde. Kurz davor waren es schon 3,5 Milliarden. Allein seit 1981 ist der
Weltrekord i.iber 20 mal, von damals 2 Millionen Stellen verbessert worden
- pro J ahr fast urns Doppelte.
Die letzten Weltrekorde erreichten entweder das Team urn Prof. Kanada
oder die Bri.ider David und Gregorij Chudnovsky. Uber andere n-Numeriker
mit Weltrekordambitionen und i.iber ihre Plane ist nichts bekannt.
Die Computer, die beim Berechnen der Weltrekorde zum Einsatz ka
men, waren meist Super-Rechner, die eigens fi.ir das ,Zahlenkauen" (number
crunching) entwickelt wurden und Millionen Dollar kosten. Den letzten Re
kord errechnete ein Hitachi SR2201 Multi-Prozessor mit 1024 Prozessoren in
66 Stunden (einschlieBlich Nachpri.ifung). Diese 66 Stunden sind deutlich we
niger (60%) als die Zeit, die die vorige Berechnung dauerte, obwohl das neue
1r 8mal liinger ist und Kanada dieselbe Berechnungsmethode verwendet hat.
Die Rechengeschwindigkeit, i.iber die Kanada verfi.igt, ist also in zwei Jahren
urn mehr als das Zehnfache gestiegen.
Trotzdem kann man auch weniger groBe Computer mit Geschick dazu
bringen, konkurrenzfiihige n-Berechnungen zu vollbringen. Dafi.ir gibt es in
der Geschichte der Weltrekorde mehrere Beispiele. So haben vor einigen Jah
ren die Gebri.ider Chudnovsky in New York 4 Milliarden Stellen von 1r auf
einem Computer berechnet, den sie sich a us Kaufhaus-Teilen selbst zusam
mengebaut hatten.
Wir besitzen seit Mitte 1997 also 51,5396 Milliarden Stellen, die mit
3,1415 anfangen und mit 12904 aufhoren. Das ist eine ganze Menge. Es
wi.irde schon ein paar Wochen dauern, urn sie auch nur i.iber den Bildschirm
flitzen zu lassen. Wenn man 100 Millionen Stellen von diesem 1r ausgedruckt
hiitte, blieben immer noch 51,4 Milliarden Stellen i.ibrig. Erst 5000 Biinde a
1 ftp: I /www. cc. u-tokyo. ac. jp/README. our _latest..record
J. Arndt et al., Pi
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
