Partial Differential Equations and Functional Analysis: The Philippe Clément Festschrift

293 Pages·2006·5.092 MB·English

by  Gabriella Caristi, Enzo Mitidieri (auth.), Erik Koelink, Jan van Neerven, Ben de Pagter, Guido Sweers, Annemarie Luger, Harald Woracek (eds.)

(cid:25)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:35)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:1)(cid:29)(cid:42)(cid:39)(cid:49)(cid:51)(cid:58)(cid:10)(cid:1)(cid:11)(cid:38)(cid:55)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:52)(cid:1)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:1)
(cid:11)(cid:50)(cid:50)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:49)(cid:48)(cid:52)
(cid:31)(cid:49)(cid:46)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:17)(cid:9)(cid:22)(cid:24)(cid:8)
(cid:4)(cid:14)(cid:18)(cid:24)(cid:20)(cid:22)(cid:3)
(cid:6)(cid:2)(cid:1)(cid:5)(cid:20)(cid:17)(cid:12)(cid:15)(cid:22)(cid:16)
(cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:25)(cid:40)(cid:60)(cid:1)(cid:37)(cid:39)(cid:10) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:29)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:54)(cid:51)(cid:49)(cid:38)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:49)(cid:45)(cid:58)(cid:49)(cid:3)
(cid:28)(cid:37)(cid:42)(cid:49)(cid:49)(cid:46)(cid:1)(cid:49)(cid:40)(cid:1)(cid:23)(cid:35)(cid:53)(cid:42)(cid:39)(cid:47)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:37)(cid:35)(cid:46)(cid:1) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:35)(cid:46)(cid:41)(cid:35)(cid:51)(cid:58)(cid:3)
(cid:28)(cid:37)(cid:43)(cid:39)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:52) (cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:39)(cid:51)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:18)(cid:35)(cid:43)(cid:40)(cid:35)(cid:3)
(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:1)(cid:30)(cid:48)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:53)(cid:58) (cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:43)(cid:53)(cid:58)(cid:35)(cid:41)(cid:43)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:49)(cid:46)(cid:54)(cid:47)(cid:36)(cid:54)(cid:52)(cid:3)
(cid:27)(cid:35)(cid:47)(cid:35)(cid:53)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:4)(cid:1)(cid:19)(cid:52)(cid:51)(cid:35)(cid:39)(cid:46) (cid:31)(cid:6)(cid:1)(cid:25)(cid:46)(cid:52)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:51)(cid:52)(cid:3)
(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:26)(cid:54)(cid:53)(cid:43)(cid:48)(cid:35)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:12)(cid:35)(cid:51)(cid:36)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:3)
(cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:12)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:38)(cid:10) (cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:49)(cid:38)(cid:47)(cid:35)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:46)(cid:50)(cid:35)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:5)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3) (cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:49)(cid:55)(cid:48)(cid:58)(cid:35)(cid:45)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:42)(cid:35)(cid:51)(cid:46)(cid:49)(cid:53)(cid:53)(cid:39)(cid:52)(cid:55)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:51)(cid:35)(cid:59)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:18)(cid:35)(cid:43)(cid:40)(cid:35)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:52)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:45)(cid:39)(cid:46)(cid:39)(cid:58)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:53)(cid:59)(cid:47)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:3) (cid:19)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:50)(cid:43)(cid:53)(cid:45)(cid:49)(cid:55)(cid:52)(cid:45)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:35)(cid:46)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:35)(cid:37)(cid:45)(cid:52)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:29)(cid:51)(cid:39)(cid:43)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:26)(cid:51)(cid:49)(cid:55)(cid:43)(cid:38)(cid:39)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:39)(cid:48)(cid:5)(cid:11)(cid:51)(cid:53)(cid:59)(cid:43)(cid:1)(cid:2)(cid:29)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:11)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:30)(cid:50)(cid:47)(cid:39)(cid:43)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:23)(cid:35)(cid:51)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:41)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:37)(cid:49)(cid:55)(cid:43)(cid:37)(cid:43)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:47)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:3) (cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:31)(cid:39)(cid:51)(cid:38)(cid:54)(cid:58)(cid:48)(cid:1)(cid:22)(cid:54)(cid:48)(cid:39)(cid:46)(cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:39)(cid:43)(cid:38)(cid:39)(cid:48)(cid:3)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:62)(cid:53)(cid:53)(cid:37)(cid:42)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:42)(cid:39)(cid:47)(cid:48)(cid:43)(cid:53)(cid:59)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:31)(cid:49)(cid:43)(cid:37)(cid:54)(cid:46)(cid:39)(cid:52)(cid:37)(cid:54)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:51)(cid:45)(cid:39)(cid:46)(cid:39)(cid:58)(cid:3)
(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:46)(cid:35)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:58)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:53)(cid:42)(cid:39)(cid:48)(cid:52)(cid:4)(cid:1)(cid:30)(cid:28)(cid:11)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:33)(cid:43)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:24)(cid:35)(cid:52)(cid:42)(cid:55)(cid:43)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:3)
(cid:22)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:49)(cid:36)(cid:54)(cid:51)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:54)(cid:40)(cid:40)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:3) (cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:35)(cid:39)(cid:55)(cid:1)(cid:2)(cid:27)(cid:39)(cid:48)(cid:48)(cid:39)(cid:52)(cid:3)
(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:13)(cid:54)(cid:51)(cid:53)(cid:49)(cid:1)(cid:2)(cid:19)(cid:49)(cid:56)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:43)(cid:53)(cid:58)(cid:3)
(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:35)(cid:55)(cid:43)(cid:38)(cid:52)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:32)(cid:35)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:4)(cid:1)(cid:25)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:51)(cid:43)(cid:49)(cid:3) (cid:18)(cid:49)(cid:48)(cid:49)(cid:51)(cid:35)(cid:51)(cid:58)(cid:1)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:1)(cid:11)(cid:38)(cid:55)(cid:43)(cid:52)(cid:49)(cid:51)(cid:58)
(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:49)(cid:54)(cid:41)(cid:46)(cid:35)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:13)(cid:49)(cid:46)(cid:46)(cid:39)(cid:41)(cid:39)(cid:1)(cid:28)(cid:53)(cid:35)(cid:53)(cid:43)(cid:49)(cid:48)(cid:3) (cid:15)(cid:38)(cid:43)(cid:53)(cid:49)(cid:51)(cid:43)(cid:35)(cid:46)(cid:1)(cid:12)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:38)(cid:10)
(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:52)(cid:47)(cid:35)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:51)(cid:49)(cid:48)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:39)(cid:48)(cid:3) (cid:13)(cid:6)(cid:1)(cid:16)(cid:49)(cid:43)(cid:35)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:46)(cid:49)(cid:49)(cid:47)(cid:43)(cid:48)(cid:41)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:58)(cid:47)(cid:1)(cid:2)(cid:27)(cid:39)(cid:42)(cid:49)(cid:55)(cid:49)(cid:53)(cid:3) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:27)(cid:6)(cid:1)(cid:18)(cid:35)(cid:46)(cid:47)(cid:49)(cid:52)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:46)(cid:35)(cid:51)(cid:35)(cid:3)
(cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:16)(cid:54)(cid:42)(cid:51)(cid:47)(cid:35)(cid:48)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3) (cid:29)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:43)(cid:46)(cid:35)(cid:53)(cid:42)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:53)(cid:35)(cid:48)(cid:40)(cid:49)(cid:51)(cid:38)(cid:3)
(cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:51)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:37)(cid:42)(cid:1)(cid:2)(cid:23)(cid:35)(cid:43)(cid:48)(cid:59)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:48)(cid:41)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:31)(cid:43)(cid:39)(cid:48)(cid:48)(cid:35)(cid:3)
(cid:20)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:18)(cid:39)(cid:46)(cid:53)(cid:49)(cid:48)(cid:1)(cid:2)(cid:22)(cid:35)(cid:1)(cid:20)(cid:49)(cid:46)(cid:46)(cid:35)(cid:3) (cid:26)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:35)(cid:57)(cid:1)(cid:2)(cid:24)(cid:39)(cid:56)(cid:1)(cid:34)(cid:49)(cid:51)(cid:45)(cid:3)
(cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:35)(cid:52)(cid:42)(cid:49)(cid:39)(cid:45)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:39)(cid:51)(cid:38)(cid:35)(cid:47)(cid:3) (cid:23)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:6)(cid:1)(cid:22)(cid:43)(cid:55)(cid:52)(cid:43)(cid:37)(cid:1)(cid:2)(cid:12)(cid:39)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:28)(cid:42)(cid:39)(cid:55)(cid:35)(cid:3)
(cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:35)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:1)(cid:2)(cid:11)(cid:51)(cid:41)(cid:49)(cid:48)(cid:48)(cid:39)(cid:3) (cid:18)(cid:6)(cid:1)(cid:32)(cid:43)(cid:38)(cid:49)(cid:47)(cid:1)(cid:2)(cid:28)(cid:35)(cid:48)(cid:53)(cid:35)(cid:1)(cid:13)(cid:51)(cid:54)(cid:59)(cid:3)
(cid:42)(cid:7)(cid:62)(cid:21)(cid:192)(cid:15)(cid:204)(cid:22)(cid:136)(cid:11)(cid:62)(cid:24)(cid:143)(cid:20)(cid:202)(cid:12)(cid:22)(cid:1)(cid:136)(cid:10)(cid:118)(cid:118)(cid:17)(cid:105)(cid:15)(cid:192)(cid:20)(cid:105)(cid:22)(cid:152)(cid:26)(cid:204)(cid:1)(cid:136)(cid:62)(cid:143)
(cid:13)(cid:11)(cid:19)(cid:181)(cid:14)(cid:213)(cid:1)(cid:62)(cid:6)(cid:19)(cid:204)(cid:14)(cid:136)(cid:156)(cid:15)(cid:152)(cid:27)(cid:1)(cid:195)(cid:19)(cid:202)(cid:18)(cid:62)(cid:24)(cid:15)(cid:152)(cid:1)(cid:96)
(cid:19)(cid:6)(cid:19)(cid:213)(cid:19)(cid:152)(cid:15)(cid:86)(cid:22)(cid:1)(cid:204)(cid:8)(cid:136)(cid:156)(cid:22)(cid:20)(cid:152)(cid:14)(cid:62)(cid:25)(cid:143)(cid:202)(cid:13)(cid:1)(cid:24)(cid:1)(cid:152)(cid:9)(cid:62)(cid:21)(cid:143)(cid:11)(cid:222)(cid:13)(cid:195)(cid:15)(cid:136)(cid:195)(cid:23)
(cid:47)(cid:15)(cid:34)(cid:133)(cid:22)(cid:35)(cid:105)(cid:22)(cid:202)(cid:30)(cid:42)(cid:36)(cid:22)(cid:133)(cid:21)(cid:1)(cid:136)(cid:31)(cid:143)(cid:30)(cid:136)(cid:171)(cid:1)(cid:36)(cid:25)(cid:171)(cid:22)(cid:105)(cid:1)(cid:31)(cid:202)(cid:20)(cid:10)(cid:20)(cid:19)(cid:143)(cid:35)(cid:106)(cid:26)(cid:31)(cid:147)(cid:30)(cid:1)(cid:31)(cid:105)(cid:23)(cid:1)(cid:152)(cid:36)(cid:25)(cid:204)(cid:22)(cid:202)(cid:1)(cid:19)(cid:34)(cid:22)(cid:105)(cid:36)(cid:26)(cid:34)(cid:195)(cid:22)(cid:204)(cid:29)(cid:195)(cid:22)(cid:86)(cid:30)(cid:133)(cid:36)(cid:1)(cid:31)(cid:192)(cid:23)(cid:136)(cid:1)(cid:11)(cid:118)(cid:204)(cid:22)(cid:26)(cid:30)(cid:39)(cid:1)(cid:12)(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:22)(cid:34)(cid:1)(cid:26)(cid:30)(cid:1)(cid:36)(cid:25)(cid:22)
(cid:9)(cid:31)(cid:28)(cid:28)(cid:31)(cid:33)(cid:37)(cid:26)(cid:37)(cid:29)(cid:1)(cid:31)(cid:30)(cid:1)(cid:14)(cid:32)(cid:22)(cid:34)(cid:19)(cid:36)(cid:31)(cid:34)(cid:1)(cid:16)(cid:25)(cid:22)(cid:31)(cid:34)(cid:38)(cid:2)(cid:1)(cid:17)(cid:26)(cid:22)(cid:30)(cid:30)(cid:19)(cid:2)(cid:1)(cid:13)(cid:19)(cid:34)(cid:20)(cid:25)(cid:1)(cid:5)(cid:4)(cid:4)(cid:6)
(cid:13)(cid:19)(cid:36)(cid:36)(cid:25)(cid:26)(cid:19)(cid:35)(cid:1)(cid:12)(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:22)(cid:34)
(cid:7)(cid:30)(cid:30)(cid:22)(cid:29)(cid:19)(cid:34)(cid:26)(cid:22)(cid:1)(cid:12)(cid:37)(cid:24)(cid:22)(cid:34)
(cid:13)(cid:11)(cid:192)(cid:19)(cid:136)(cid:142)(cid:34)(cid:19)(cid:202)(cid:28)(cid:28)(cid:21)(cid:156)(cid:1)(cid:18)(cid:105)(cid:143)(cid:136)(cid:31)(cid:152)(cid:34)(cid:142)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:27)
(cid:27)(cid:10)(cid:62)(cid:21)(cid:152)(cid:26)(cid:36)(cid:202)(cid:31)(cid:219)(cid:34)(cid:62)(cid:35)(cid:152)(cid:202)(cid:32)(cid:105)(cid:105)(cid:192)(cid:219)(cid:105)(cid:152)
(cid:9)(cid:105)(cid:152)(cid:202)(cid:96)(cid:105)(cid:202)(cid:42)(cid:62)(cid:125)(cid:204)(cid:105)(cid:192)
(cid:20)(cid:213)(cid:136)(cid:96)(cid:156)(cid:202)(cid:45)(cid:220)(cid:105)(cid:105)(cid:192)(cid:195)
(cid:13)(cid:96)(cid:136)(cid:204)(cid:156)(cid:192)(cid:195)
(cid:8)(cid:26)(cid:34)(cid:27)(cid:25)(cid:41)(cid:37)(cid:35)(cid:22)(cid:34)(cid:1)(cid:17)(cid:22)(cid:34)(cid:28)(cid:19)(cid:24)
(cid:3) (cid:3)
(cid:8)(cid:19)(cid:35)(cid:22)(cid:28) (cid:1)(cid:8)(cid:31)(cid:35)(cid:36)(cid:31)(cid:30)(cid:1) (cid:1)(cid:8)(cid:22)(cid:34)(cid:28)(cid:26)(cid:30)
(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:86)(cid:86)(cid:29)(cid:29)
(cid:48)(cid:37)(cid:82)(cid:68)(cid:73)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:0)(cid:75)(cid:43)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:86)(cid:69)(cid:3)(cid:76)(cid:47)(cid:73)(cid:78)(cid:68)(cid:75)(cid:81)(cid:12)(cid:74)(cid:0)(cid:42)(cid:72)(cid:65)(cid:85)(cid:78)(cid:0)(cid:86)(cid:65)(cid:78)(cid:0)(cid:46)(cid:69)(cid:69)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:78)(cid:12)(cid:0)(cid:34)(cid:69)(cid:78)(cid:0)(cid:68)(cid:69)(cid:0)(cid:48)(cid:65)(cid:71)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:0)(cid:65)(cid:78)(cid:68) (cid:36)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:88)(cid:74)(cid:72)(cid:85)
(cid:39)(cid:39)(cid:72)(cid:85)(cid:83)(cid:73)(cid:68)(cid:68)(cid:79)(cid:85)(cid:87)(cid:0)(cid:80)(cid:51)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:69)(cid:87)(cid:69)(cid:3)(cid:82)(cid:82)(cid:83)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86) (cid:43)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:71)(cid:3)(cid:58)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:78)
(cid:56)(cid:52)(cid:69)(cid:81)(cid:67)(cid:76)(cid:72)(cid:89)(cid:78)(cid:72)(cid:85)(cid:73)(cid:83)(cid:86)(cid:67)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:92)(cid:69)(cid:3)(cid:82)(cid:0)(cid:53)(cid:73)(cid:3)(cid:78)(cid:54)(cid:73)(cid:87)(cid:86)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:82)(cid:75)(cid:83)(cid:73)(cid:70)(cid:84)(cid:79)(cid:69)(cid:92)(cid:73)(cid:71)(cid:84)(cid:0)(cid:72)(cid:36)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84) (cid:44)(cid:81)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:87)(cid:3)(cid:73)(cid:129)(cid:85)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)
(cid:21)(cid:36)(cid:25)(cid:41)(cid:3)(cid:33)(cid:53)(cid:45)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:87) (cid:55)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:81)
(cid:42)(cid:48)(cid:14)(cid:79)(cid:47)(cid:68)(cid:86)(cid:14)(cid:0)(cid:74)(cid:34)(cid:82)(cid:79)(cid:90)(cid:88)(cid:3)(cid:0)(cid:42)(cid:21)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:20)(cid:17)(cid:59)(cid:43) (cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:43)(cid:68)(cid:88)(cid:83)(cid:87)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:27)(cid:178)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:18)(cid:3)(cid:20)(cid:19)(cid:20)
(cid:56)(cid:18)(cid:22)(cid:46)(cid:16)(cid:16)(cid:0)(cid:39)(cid:33)(cid:0)(cid:36)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84) (cid:20)(cid:19)(cid:23)(cid:19)(cid:3)(cid:58)(cid:76)(cid:72)(cid:81)
(cid:72)(cid:52)(cid:16)(cid:72)(cid:80)(cid:69)(cid:68)(cid:0)(cid:46)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:69)(cid:3)(cid:84)(cid:80)(cid:72)(cid:69)(cid:79)(cid:35)(cid:82)(cid:76)(cid:65)(cid:80)(cid:78)(cid:68)(cid:68)(cid:83)(cid:87)(cid:75)(cid:86)(cid:17)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:88)(cid:78) (cid:36)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:68)
(cid:69)(cid:13)(cid:77)(cid:65)(cid:73)(cid:76)(cid:26)(cid:0)(cid:40)(cid:14)(cid:52)(cid:14)(cid:43)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:73)(cid:78)(cid:75)(cid:32)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:14)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84)(cid:14)(cid:78)(cid:76) (cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:88)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:17)(cid:93)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:17)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:68)(cid:87)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:42)(cid:14)(cid:86)(cid:65)(cid:78)(cid:46)(cid:69)(cid:69)(cid:82)(cid:86)(cid:69)(cid:78)(cid:32)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:14)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84)(cid:14)(cid:78)(cid:76) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:75)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:71)(cid:17)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:78)(cid:35)(cid:87)(cid:88)(cid:90)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:68)(cid:87)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:34)(cid:14)(cid:68)(cid:69)(cid:48)(cid:65)(cid:71)(cid:84)(cid:69)(cid:82)(cid:32)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:14)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84)(cid:14)(cid:78)(cid:76)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:39)(cid:14)(cid:40)(cid:14)(cid:51)(cid:87)(cid:69)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:32)(cid:77)(cid:65)(cid:84)(cid:72)(cid:14)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:70)(cid:84)(cid:14)(cid:78)(cid:76)
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:38)(cid:21)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:19)(cid:30)(cid:3)(cid:54)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:22)(cid:23)(cid:47)(cid:19)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:24)(cid:26)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:24)
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:22)(cid:24)(cid:91)(cid:91)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:24)(cid:91)(cid:91)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:39)(cid:91)(cid:91)
(cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:44)(cid:51)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:82)(cid:74)(cid:88)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:58)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:39)(cid:17)(cid:38)(cid:17)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:192)(cid:3)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:31)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:71)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:17)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:16)(cid:16)(cid:26)(cid:28)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:178)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:178)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:192)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:192)(cid:3)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)
(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:69)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:5)(cid:7)(cid:17)(cid:19)(cid:1)(cid:15)(cid:11)(cid:1)(cid:6)(cid:16)(cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:12)(cid:10)(cid:17)(cid:1)(cid:6)(cid:8)(cid:13)(cid:10)(cid:14)(cid:8)(cid:10)(cid:2)(cid:3)(cid:20)(cid:18)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:18)(cid:18)(cid:1)(cid:4)(cid:10)(cid:9)(cid:13)(cid:7)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:39)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:19)(cid:16)(cid:16)(cid:28)(cid:26)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:19)(cid:20)(cid:20)(cid:25)(cid:16)(cid:16)(cid:24)(cid:26)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:16)(cid:16)(cid:23)(cid:26)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Preface ................................................................... vii
Portrait of Philippe Cl´ement .............................................. viii
Philippe Cl´ement: Curriculum Vitae ...................................... ix
Gabriella Caristi and Enzo Mitidieri
Harnack Inequality and Applications to
Solutions of Biharmonic Equations ................................... 1
Carsten Carstensen
Cl´ement Interpolation and Its Role in
Adaptive Finite Element Error Control .............................. 27
Sandra Cerrai
Ergodic Properties of Reaction-diffusion Equations
Perturbed by a Degenerate Multiplicative Noise ...................... 45
Giuseppe Da Prato and Alessandra Lunardi
KolmogorovOperators of Hamiltonian Systems
Perturbed by Noise .................................................. 61
A.F.M. ter Elst, Derek W. Robinson, Adam Sikora and Yueping Zhu
Dirichlet Forms and Degenerate Elliptic Operators ................... 73
Onno van Gaans
On R-boundedness of Unions of Sets of Operators ................... 97
Matthias Geißert, Horst Heck and Matthias Hieber
On the Equation divu=g and Bogovski˘ı’sOperator
in Sobolev Spaces of Negative Order ................................. 113
F. den Hollander
Renormalization of Interacting Diffusions:
A Programand Four Examples ...................................... 123
Tuomas P. Hyto¨nen
Reduced Mihlin-Lizorkin Multiplier Theorem
in Vector-valued Lp Spaces .......................................... 137
vi Contents
Stig-Olof Londen
Interpolation Spaces for Initial Values of
Abstract Fractional Differential Equations ........................... 153
Noboru Okazawa
Semilinear Elliptic Problems Associated with
the Complex Ginzburg-Landau Equation ............................ 169
Jan Pru¨ss and Gieri Simonett
Operator-valuedSymbols for Elliptic and
Parabolic Problems on Wedges ...................................... 189
Jan Pru¨ss and Mathias Wilke
Maximal L -regularity and Long-time Behavior
p
of the Non-isothermal Cahn-Hilliard Equation
with Dynamic Boundary Conditions ................................. 209
Jacques Rappaz
Numerical Approximation of PDEs and Cl´ement’s Interpolation ...... 237
Erik G.F. Thomas
On Prohorov’s Criterion for Projective Limits ........................ 251
Lutz Weis
The H∞ Holomorphic Functional Calculus
for Sectorial Operators – a Survey ................................... 263
Preface
The present volume is dedicated to Philippe Cl´ement on the occasion of his re-
tirement in December 2004. It has its origin in the workshop “Partial Differen-
tial Equations and Functional Analysis” (Delft, November 29–December 1, 2004)
which was held to celebrate Philippe’s profound contributions in various areas of
Mathematical Analysis.
The articles presented here offer a panorama of current developments in the
theory of partial differential equations as well as applications to such diverse ar-
eas as numerical analysis of PDEs, Volterra equations, evolution equations, H∞-
calculus, elliptic systems, mathematical physics, and stochastic analysis.They re-
flect Philippe’s interests very well and indeed several of the authors have collabo-
rated with him in the course of his career.
TheeditorsgratefullyacknowledgethefinancialsupportoftheRoyalNether-
lands Academy of Arts and Sciences, the Netherlands Organization for Scientific
Research, and the Thomas Stieltjes Institute for organizing the workshop. They
also thank Thomas Hempfling for the pleasant collaboration during the prepara-
tion of this volume.
Lastbutnotleasttheeditors,allmembersofhisformergroup,thankPhilippe
for his constant inspiration and for sharing his enthusiasm in mathematics with
them.
The Editors
This volume is dedicated to Philippe Cl´ement
on the occasion of his retirement.
Philippe Cl´ement: Curriculum Vitae
PhilippeCl´ement,bornon9January1943inBillens,Switzerland,startedhisstudy
inPhysicsattheEcolePolytechniquedel’Universit´edeLausanne(nowEPFL)in
1962andobtainedthedegreeofPhysicist-Engineerin1967.Duringthatperiodhe
discovered that his true interest was much more in Mathematics and he obtained
the License des Sciences Math´ematiquesin1968fromthe University ofLausanne.
Hereafterhestartedtoworkonhis Ph.D.thesis inthe areaofNumericalAnalysis
atthe EPFLwithJ.Desclouxassupervisor.He defendedhisthesis,“M´ethode des
´el´ements finis appliqu´ee `a des probl`emes variationnels de type ind´efini”, in Febru-
ary1974.Some ofthe resultswerepublishedinhis seminalpaper“Approximation
by finite element functions using local regularization” (Rev. Franc¸aise Automat.
Informat. Recherche Op´erationelle,RAIRO Analyse Num´erique 9, 1975, R-2, 77–
84). In this paper he introduced what is nowadays known in the literature as
the Cl´ement-type interpolation operators, which play a key role in the analysis of
adaptive finite element methods.
In the period 1972–74 Philippe was First Assistant at the Department of
Mathematics of the EPFL and under the influence of B. Zwahlen he became in-
terested in Nonlinear Analysis. It was a very stimulating and inspiring time and
environment for him, in particular, he met at various workshops Amann, Aubin,
Da Prato,Grisvard, Tartar and others. The years 1974–77Philippe continued his
mathematical work, supported by the Swiss National Foundation for Scientific
Research, in Madison (USA), first as Honorary Fellow at the Mathematics De-
partment,later asa ResearchStaff Member atthe Mathematics ResearchCenter,
of the University of Wisconsin.In thatperiod he came into contactwith Crandall
and Rabinowitz and worked on nonlinear elliptic problems. Together with Nohel
and Londen, he started to be involved in nonlinear Volterra equations.
In1977PhilippemovedtotheUniversityofTechnologyinDelft,werehewas
appointedas Associate Professor.In1980he became full professorandin 1985he
obtainedthe Chair in Functional Analysis in Delft. His mainareasof interestand
researchwere(andstillare)thetheoryofevolutionequations,operatorsemigroups
aswellastheVolterraequationsandellipticproblemsmentionedbefore.Inpartic-
ular,hewasinvolvedinproblemsconcerningmaximalregularityandproblemsre-
latedtofunctionalcalculus.Philippeiswidelyrecognizedforhisimportantcontri-
butionsintheseareas.TheverystimulatingseminarsinDelftonthetheoryofsemi-
groups have resulted in the book “One-Parameter Semigroups” (Cl´ement, Heij-
mansetal.).Inrecentyearshisinterestsalsoincludestochasticintegralequations.
OperatorTheory:
Advances andApplications,Vol.168,1–26
(cid:1)c 2006Birkh¨auserVerlagBasel/Switzerland
Harnack Inequality and Applications to
Solutions of Biharmonic Equations
Gabriella Caristi and Enzo Mitidieri
This paper is dedicated to our friend Philippe Cl´ement for “not killing birds”
Abstract. We prove Harnack type inequalities for linear biharmonic equa-
tionscontainingaKatopotential.Variousapplicationstolocal boundedness,
Ho¨lder continuity and universal estimates of solutions for biharmonic equa-
tions are presented.
1. Introduction
During the last decade considerable attention has been paid to solutions of the
time-independent Schr¨odinger equation
−∆u=V(x)u, x∈Ω⊆RN, (1.1)
where Ω is an open subset of RN and the potential V belongs to the Kato class
KN,1(Ω).See,e.g.,AizenmanandSimon[1],Zhao[28],[29],[30],FabesandStrook
loc
[8], Chiarenza, Fabes and Garofalo [7], Hinz and Kalf [13], Serrin and Zou [22],
Simader [23] and the references therein. Following different approaches these au-
thors have studied the regularity of the solutions and proved a Harnack-type
inequality. Such inequality in turn can be used to prove results such as strong
maximum principles, removable point singularities, existence of solutions for the
Dirichletproblem,Liouvilletheoremsanduniversalestimatesonsolutionsfornon-
linear equations.
In the present paper we shall discuss weak solutions of the following fourth-
order elliptic equation
∆2u=V u, x∈Ω⊆RN, (1.2)
where the potential V is nonnegative in Ω and belongs to KN,2(Ω) the natural
loc
Kato class of potentials associated to the biharmonic operator. See Definition
2.2 in the next section. We point out that Kato classes of potentials associated
to polyharmonic operators and some generalizations have been used in a series
2 G. Caristi and E. Mitidieri
of works by Bachar et al. see [3], [4] and Maagli et al. [14]. In these papers the
authorsprovevariousinterestingresultsincluding3GtypeTheoremsandexistence
of positive solutions for second order and semilinear polyharmonic equations.
Here we are interested in several kinds of results of qualitative nature and
mainlysomeoftheconsequencesthatcanbededucedfromHarnackinequalitythat
we are going to prove during the course. The first one is the regularity problem
which includes the local boundedness and the Ho¨lder continuity of solutions. The
secondkindofresultsareHarnack-typeinequalities.Theprototypeversionofthese
states: There exist constants C =C(N) and r >0 depending on Ω and norms of
V such that all solutions of (1.2) with u ≥ 0, −∆u ≥ 0 in Ω (i.e., in the sense of
distributions in Ω) satisfy
supu(x)≤C inf u(x), (1.3)
Br/2 Br/2
where B denotes any ball contained in Ω.
r/2
Our interest in these results was stimulated by studying certain nonlinear
biharmonic equations and their isolated singularities (see [5], [25]). For several
questions concerning the nature of non-removable singularities and the behavior
of a positive solution in a neighborhood of the isolatedsingularity it is customary
to assume that V ∈Lq (Ω) for q > N.
loc 4
On the other hand the technique for proving Lp-estimates for all p < ∞,
relatingthesuputocertainintegralsinvolvingthesolutionof(1.2)asemployedby
Serrin[20],[21],Stampacchia[26],Trudinger[27]forsecondorderellipticequations
andbyMandras[15]inthecontextofweaklycoupledlinearellipticsystems,seems
not to be easily extendable for this kind of equations.
In order to derive a local a priori majorization for the supu, we shall follow
two different approaches. The first one was introduced by Simader in [23] and it
is based onrepresentationformulae of solutions and the 3G theoremof Zhao [30],
while the latter havebeenusedbyChiarenzaetal[7]andits mainingredientsare
Caccioppoli-type inequalities and maximum principle arguments for the operator
∆2−V.
We remark that the Harnack inequality (1.3) admits a rather simple proof
in the special case V ≡ 0, that is for the biharmonic equation ∆2u = 0 in Ω. In
fact, due to the special type of mean value formulas for biharmonic functions (see
formula (3.4) of Simader [24])
0
(cid:1) (cid:2) (cid:3)
N +1 1 |y−x|
u(x)= u(y) (N +2)−(N +3) dy
2 |B (x)| R
R BR(x)
it turns out that for x ∈Ω and B (x )⊂Ω
0 2r 0
(cid:1)
c(N)
sup |u(x)|≤ |u(y)| dy,
|B (x )|
Br/2(x0) r 0 Br(x0)