Parametric Airfoil Catalog, Part II: An Aerodynamic and - DiVA

568 Pages·2013·31.08 MB·English

by  Tomas Melin

Cover art wing profiles are, top to bottom:
Clark Y
Joukovski 11
G¨ottingen 628
Eppler 793
Naca 0012
RAE 104
SC 20406
NLF 015
Whitcomb
Parametric Airfoil Catalog, Part II
An Aerodynamic and Geometric Comparison Between Parametrized and Point Cloud Airfoils
Tomas Melin
Copyright (cid:13)c2013, Tomas Melin
Published by:
Fluid and Mechatronic Systems,
Department of Management and Engineering,
The Institute of Technology,
Link¨oping University,
Link¨oping, Sweden
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Printed by:
Link¨oping University
LiU-Tryck
581 83 Link¨oping
SWEDEN
Typeset in LATEX
ISBN: 978-91-7519-656-5
First Edition, March 2013
Parametric Airfoil Catalog
Part II
Go¨ttingen 673 to YS930
An Aerodynamic and Geometric Comparison Between Parametrized and Point Cloud Airfoils.
Tomas Melin
Research Associate
Fluid and Mechatronic Systems,
Department of Management and Engineering,
The Institute of Technology,
Linko¨ping University,
Linko¨ping, Sweden
Contents
hq159b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
hq208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1 Acknowledgements 1 hq209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
hq259b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Introduction 1
hq309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
hq358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Background 1
hq359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
hq1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Method 2
hq1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
hq1510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . 2
hq1511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Base change . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
hq1512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Reproducing known airfoils . . . . . . . . 4
hq1585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
hq2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Discussion 5
hq2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Software 6 hq2090sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
hq2195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Airfoil Catalog 6 hq2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
goe673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 hq2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
goe675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 hq2590sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
goe676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 hq3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
goe677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 hq3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
goe679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 hq3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
goe681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 hq3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
goe682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 hq3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
goe683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 hq3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
goe685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 hq3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
goe692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 hq3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
goe693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 hq3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
goe703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 hq3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
goe704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 hq3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
goe711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 hsnlf213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
goe735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ht08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
goe738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ht12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
goe758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ht22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
goe766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ht23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
goe767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 isa571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
goe769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 isa960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
goe770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 isa961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
goe775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 isa962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
goe776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 joukovski11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
goe780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 joukovski12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
goe795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
goe795sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
goe797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 k3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
goe801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 k3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
goe802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 kc135a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
goe803h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 kc135b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
goe804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 kc135c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
gs1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 kc135d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
hobie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 l188root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
hobiesm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 l188tip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
hor20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 l7769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
hq07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 la2573a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
hq09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 la5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
hq010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 lds2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
hq108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 lg10sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
hq109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 lnv109a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
hq158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ls013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
hq159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ls413mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3
ls417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 mh114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
ls421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 mh115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
ls421mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 mh116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
lwk79100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 mh117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
lwk80080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 mh120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
lwk80100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 mh121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
lwk80120k25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 mh200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
lwk80150k25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 mh201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
m3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 miley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
m6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 mrc-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
m11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 mrc-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
m12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ms317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
m665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 mue139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
ma409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 n5h10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
ma409sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 n5h15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
marske1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 n5h20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
marske2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 n6h15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
marske3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 n8h12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
marske4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 n9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
marske5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 n10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
marske7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 n11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
mb253515sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 n0011sc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
mh18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 n12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
mh20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 n13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
mh22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 n14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
mh23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 n22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
mh24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 n24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
mh25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 n64215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
mh26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 naca0002mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
mh27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 naca0004mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
mh30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 naca0006mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
mh32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 naca0008mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
mh42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 naca0009sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
mh43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 naca0010mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
mh44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 naca0012mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
mh45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 naca0014mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
mh46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 naca0016mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
mh49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 naca0018mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
mh60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 naca0020mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
mh61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 naca0022mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
mh62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 naca0024mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
mh64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 naca0026mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
mh70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 naca0028mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
mh78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 naca0030mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
mh80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 naca64a010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
mh81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 naca64a210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
mh82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 naca66-018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
mh83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 naca632a015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
mh84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 naca747a315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
mh91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 naca747a415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
mh92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 naca000834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
mh93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 naca001034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
mh94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 naca001034a08cli0.2 . . . . . . . . . . . . . . . 221
mh95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 naca001035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
mh102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 naca001064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
mh104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 naca001065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
mh106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 naca001066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
mh108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 naca1108mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
mh110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 naca1110mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
mh113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 naca1112mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
naca1114mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 naca643218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
naca1116mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 naca643418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
naca1118mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 naca643618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
naca1120-mod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 naca644221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
naca1122-mod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 naca644421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
naca1124-mod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 naca651212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
naca001234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 naca651412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
naca001264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 naca652215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
naca001264a08cli0.2 . . . . . . . . . . . . . . . 237 naca652415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
naca2408mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 naca652415a05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
naca2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 naca653218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
naca6409mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 naca654221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
naca16006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 naca654421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
naca16009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 naca654421a05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
naca16012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 naca661212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
naca16015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 naca662215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
naca16018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 naca662415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
naca16021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 naca663218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
naca23012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 naca663418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
naca23015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 naca664221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
naca23018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 naca671215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
naca23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 nacacyh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
naca63010a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 nacam2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
naca63012a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 nacam3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
naca63015a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 nacam6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
naca63206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 nacam12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
naca63210a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 nasasc2-0714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
naca63212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 ncambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
naca63215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 nl722343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
naca63215b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 nl722362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
naca63412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 nlf0115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
naca63415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 nlf0215f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
naca64008a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 nlf414f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
naca64012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 nlf415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
naca64012a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 nlf416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
naca64015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 nlr1t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
naca64015a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 nlr7301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
naca64108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 nn7mk20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
naca64110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 npl9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
naca64206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 npl9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
naca64208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 npl9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
naca64209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 npl9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
naca64210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 nplx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
naca64212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 oa206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
naca64212mb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 oa209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
naca65209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 oa213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
naca65210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 oaf095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
naca65410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 oaf102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
naca66206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 oaf117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
naca66209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 oaf128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
naca632615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 oaf139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
naca633018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 p51droot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
naca633218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 p51dtip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
naca633418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 p51hroot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
naca633618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 p51htip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
naca634221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 pfcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
naca634421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 psu-90-125wl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
naca641112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 psu94097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
naca642215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 pt40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
naca642415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 r140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
r140sm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 s1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
r1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 s1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
r1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 s2027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
r1082t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 s2046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
rae69ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 s2048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
rae100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 s2050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
rae101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 s2055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
rae102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 s2060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
rae103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 s2062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
rae104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 s2091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
rae2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 s3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
rae5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 s3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
rae5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 s3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
rae5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 s3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
rae5215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 s3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
raf6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 s3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
raf25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 s3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
raf27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 s4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
raf28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 s4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
raf30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 s4061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
raf30md . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 s4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
raf31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 s4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
raf32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 s4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
raf32md . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 s4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
raf34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 s4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
raf38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 s4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
raf48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 s4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
raf69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 s4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
raf89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 s5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
rc08b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 s5020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
rc10b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 s6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
rc10n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 s6062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
rc12b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 s6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
rc12n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 s7012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
rc0864c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 s7055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
rcsc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 s7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
rg8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 s8025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
rg12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 s8035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
rg12a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 s8036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
rg12a189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 s8037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
rg14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 s8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
rg14a147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 s8052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
rg15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 s8055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
rg15a111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 s8064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
rg15a213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 s8065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
rg149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 s8066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
rg1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 s9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
rg1495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 s9026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
rhodesg30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 s9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
rhodesg32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 s9032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
rhodesg34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 s9033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
rhodesg36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 s9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
s3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 sa7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
s102b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 sa7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
s102s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 sa7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
s1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 sc1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
s1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 sc20010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
s1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 sc20012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
s1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 sc20402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
s1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 sc20403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
sc20404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 usa35b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
sc20406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 usa40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
sc20410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 usa40b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
sc20412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 usa41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
sc20414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 usa45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
sc20518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 usa45m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
sc20606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 usa46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
sc20610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 usa48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
sc20612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 usa49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
sc20614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 usa50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
sc20706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 usa51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
sc20710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 usa98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
sc20712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 usnps4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
sc20714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 v13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
sc21006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 v13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
sc21010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 v23010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
sd2030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 vr1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
sd2083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 vr7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
sd5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 vr7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
sd6060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 vr8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
sd6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 vr9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
sd7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 vr11x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
sd7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 vr12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
sd7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 vr13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
sd7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 vr14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
sd7043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 vr15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
sd7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 wb13535sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
sd7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 whitcomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
sd7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 ys900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
sd7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 ys915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
sd8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 ys930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
sd8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
sd8040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
sg6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
sg6041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
sg6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
sg6043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
sg6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
sg6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
sm701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
sokolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
spicasm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
ssca07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
ssca09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
stcyr24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
stcyr172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
stcyr234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
strand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
tempest1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
tsagi-r3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
tsagi8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
tsagi12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
ua79sf18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
uag8814320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
ui1720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
ultimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
us1000root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
usa22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
usa35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
usa35a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
1 Acknowledgements
catingthetrailingedgetomakesurethattheupperand
lower sides both ended at x=1.
This collection of parametrized airfoils would not have
been possible without the prior work of several indi-
viduals. Many thanks goes to Prof. Michael Selig at 3 Background
University of Illinois at Urbana-Champaign for supply-
ing the original point cloud airfoil database on which
A fundamental part of aircraft design involves wing air-
this work is based. All my appreciation to Brenda Kul-
foiloptimization,establishinganoutershapeofthewing
fan from Boeing for her inspiring work on class function
whichhasgoodaerodynamicperformanceforthedesign
/ shape function transformation technique. My warm
mission, good internal volume distribution for fuel and
thanks tho the research team at Link¨oping University:
systems and which also serves as an efficient structural
AntonJonz´en,ChetanNangunoori,JacobBj¨arkmar,Jo-
member supporting the load of the weight of the air-
han Karl´en, Svante L¨othgren and Vijaykumar Govin-
craft. The underlying idea with this parametrization is
darajan.
to couple an appropriate number of parameters, balanc-
The author also wishes to thank the sponsors: VIN- ing the need of geometric accuracy with the necessity of
NOVA and the industrial partner Saab AB for their few airfoil parameters in order to facilitate en expedient
funding through Nationella Flygtekniska Frsksprogram- optimisation, with the intrinsic value of having param-
met, NFFP5. eters that makes sense for a human; such as thickness,
camber and trailing edge thickness. Several approaches
to parametrization of wing profiles can be found in the
literature.
2 Introduction
Airfoilscanbedescribedbypointcloudsasdoneinmost
airfoil libraries [1]. The number of parameters is twice
Thisbookisintendedtoserveasareferenceforstudents,
as large as the number of points used (x and y coordi-
engineers and researchers requiring a parametrized air-
nates) and in the case of aerodynamic optimization this
foil that can model existing airfoils well as providing
parametrizationwillmostcertainlybenotwellbehaved,
a significant design space for optimisation. The pro-
sincenosmoothingfunctionisincludedandmustthere-
posedmethodcoversatleastonethousandoftheknown
forebeemployed. Otherproblemsmayariseforthefact
profiles used in aeronautics today, while enabling many
that the airfoils sometimes are defined with too few co-
more. The method uses 15 parameters defining a wing
ordinate points and/or too few decimals, a problem oc-
profile. This way many existing airfoils can be mod-
curring especially with old airfoils. On the other hand,
elled with close tolerance. In the following volumes,
thedesignspacethatthiskindofparametrizationallows
the parametrized airfoils are compared with the origi-
representingisextremelylarge,asanyandallshapescan
nal point cloud data. The comparison is made for ge-
be reproduced, even degenerate ones.
ometrical and aerodynamic similarity, but is should be
noted that the point clouds used may in some instances Airfoils can also be represented by mathematical func-
notberepresentativefortheoriginalairfoilduetoround tions. Among the most common representatives of this
off errors, discretisation error and other other unknown category are indeed the NACA 4-, 5- and 6-digits for-
errors. The parametrisation is intended for two dimen- mulations [2] [3]. Compared to point clouds, they could
sional airfoils but the method can easily be extended to be said to represent the opposite case: they are very
a three dimensional wing. wellbehavingparametrizations,buttheycannotcovera
very large design space, since they only provide four to
Thecoordinateresolutionbecomesinfiniteandpointdis-
six parameters respectively to be tuned. The NACA 4
tributionbecomesanon-issuebyemployingafunctional
digit series is particularly interesting as the parameters
parametric description with built-in smoothing and in-
are a part of the name of the airfoil. In the case of the
terpolation. In order to facilitate this, some basic as-
5- and 6 digit series, the name is instead constructed
sumptions regarding the shape of an airfoil are made:
from the airfoils aerodynamic characteristic and geome-
The airfoil is assumed to have one distinct top and bot-
try. Another known set of theoretically defined airfoils
tom point, the chord line has a length of exactly one,
aretheJoukowskiprofiles[4]. Usingtheconformalmap-
forming the x-axis of the profile, the trailing edge is as-
ping method, airfoils with a round nose and sharp trail-
sumedtobeeithersharp,i.e. withay-coordinateofzero
ing edge can be represented. Sadly the method is not to
forbothtopandbottomsides, orbluntwiththeycoor-
recommend for trying to match known airfoils and the
dinates of the top and bottom trailing edges being sym-
designspaceitdescribesisquiteconfinedtoairfoilswith
metricaroundthechordline. Theseassumptionsmeans
often poor performances.
thatalotofhistoricalairfoilsneededtobepreprocessed
before they could be parametrized. Preprocessing usu- More recently a very interesting and powerful represen-
ally involved rotating the coordinate cloud to form an tationmethod, theclassfunction/shapefunction’trans-
x-axis from the nose to the trailing edge, scaling to set formationCSTmethodwaspresentedbyKulfan[5]. The
thelengthoftheairfoiltoexactlyunityandfinallytrun- method is based on simple well behaved mathematical
1
functions that allow for increasing the number of pa-
rameters at will. Also the formulation is not restricted
to round nose and sharp trailing edge profiles, but can
describe almost any shape.
Figure 2: Parametrized transonic wing airfoil with
Bezi´er control points and control vectors, and the num-
bering of the control points.
4 Method
4.1 Model
the curve, giving 26 variables when both x and y co-
ordinates are taken into account. However when some
The envelope of the airfoil is described by a set of para- symmetriesandsimplificationsvalidforwingprofilesare
metric Bezi´er curves, which are closely related to Bern- taken into account the number of independent parame-
stein polynomials. The equation for an n-dimensional ters are reduced to 14. Control point 1 and 13 always
cubic Bezi´er curve is shown in equation 1. The cubic have the same x-coordinate, one, and the same absolute
Bezi´er curve requires the four control points, P to P valueoftheiry-coordinateisalsoequalastheiraverage,
0 3
in order to be defined. The points P to P span the the camber line, must be on the x-axis at the trailing
0 2
first control vector, and P to P span the second con- edge. Control points 3,4 and 5 on the bottom side have
2 3
trolvector,asshowninfigure1. TheBezi´eristangential the same y-coordinate. The same goes for the top side
to the control vectors at the start and endpoints of the control points 9, 10 and 11. The leading edge points 6,7
curve. This behaviour will ensure that the leading edge and8allhaveanx-coordinateofzero. Table1showthe
is tangential with the z-axis and that the curve at top dependent parameters for the control points.
pointoftheairfoilistangentialwiththex-axis. Theair-
Table 1: Coordinate dependency for the control points.
Some always take the value one or zero, while others
(a,b,c) always shares the same numerical while (x y )
n n
are allowed any value.
Coordinate
Point nr. X Y
1 1 a
2 x y
2 2
3 x b
3
4 x b
4
5 x b
5
6 0 y
6
7 0 0
Figure 1: Generic cubic Bezi´er curve with the four con-
8 0 y
trol points P to P marked. The Bezi´er is tangential 8
0 3 9 x c
to the control vectors at the start and endpoints of the 9
10 x c
curve. 10
11 x c
11
12 x y
foil’s top and bottom curves are modelled individually 12 12
13 1 −a
by two cubic Bezi´er curves in parametric form being C1
continuousatthedefinedtopandbottompoints,aswell
as the leading edge. C1 continuity was selected over C2
The control points for each of the investigated airfoils
continuityinordertoallowcurvefittingwithmanyolder
areavailableinthistabulatedformintheresultssection
airfoils which only exhibit C1 continuity.
of this book.
B¯ =(1−t)3P¯ +3t(1−t)2P¯ +3t2(1−t)P¯ +t3P¯ (1)
0 1 2 3
When modelling modern profiles, the proposed method
4.2 Parameterization
does allow C2 continuity as well. Figure 2 gives an ex-
ample of a transonic wing airfoil, the Lockheed C-5A
BL576, and show the outer envelope and the Bezi´er Handling the control point coordinates directly when
control points and control vectors. The control points specifying an airfoil is not user friendly. The coordi-
are numbered clockwise from the bottom side trailing nates themselves have no obvious relation to shape of
edge. The method of representing an airfoil is straight- the airfoil when reviewed alone and the possible range
forward. For a generic envelope built up by four cu- of the coordinate values exceed the allowed range for
bic Bezi´er curves, 13 control points are needed to define non-degenerate airfoils. To alleviate this concern, and
2