Paolo Piazza Corso di Laurea Magistrale Geometria Superiore aa 2011-12

84 Pages·2012·0.54 MB·Italian

Paolo Piazza
Corso di Laurea Magistrale
Geometria Superiore
a.a. 2011-12
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2
Contents
1. Capitolo 1. Preliminari su variet`a reali e complesse. 5
1.1. Variet`a differenziabili reali 5
1.2. Variet`a complesse. 5
1.3. Esempi. 5
1.4. Spazio tangente ad una variet`a differenziabile in un punto. 5
1.5. Sottovariet`a. 5
1.6. Ripasso di Algebra Multilineare. 5
2. Capitolo 2. Fibrati vettoriali I. 6
2.1. Definizione di fibrato vettoriale. 6
2.2. Funzioni di transizione. 6
2.3. Morfismi di fibrati. 7
2.4. Esempi notevoli. 7
2.5. Sezioni di un fibrato. 8
3. Capitolo 3. Fibrati vettoriali II . 11
3.1. Operazioni sui fibrati. 11
3.2. Fibrato indotto da un’applicazione (pull-back). 11
3.3. Il semigruppo Vect(X). Teorema di omotopia 12
3.4. Sottofibrato. 13
3.5. Metrica riemanniana su un fibrato reale. 14
3.6. Metrica hermitiana su un fibrato complesso. 14
3.7. Matrice locale della metrica rispetto ad una base locale. 14
3.8. Fibrato normale. 15
4. Capitolo 4. Forme differenziali. 16
4.1. Forme differenziali su una variet`a differenziabile reale. 16
4.2. Differenziale di de Rham. Coomologia di de Rham. 17
4.3. Orientabilit`a. Integrazione. Teorema di Stokes 18
4.4. Variet`a complesse: fibrato tangente olomorfo. 18
4.5. Variet`a quasi-complesse. 20
4.6. Forme di tipo (p,q). Coomologia di Dolbeault. 20
4.7. Metriche hermitiane. Forma di K¨ahler 21
5. Capitolo 5. Connessioni. 23
5.1. Connessioni su un fibrato. 23
5.2. Descrizione locale delle connessioni. 24
5.3. Esistenza di una connessione. 25
5.4. Cambiamento di base locale. 25
5.5. Esempi. 25
5.6. Connessione pull-back 26
5.7. Trasporto parallelo 26
5.8. Ulteriori propriet`a 27
5.9. Curvatura 28
5.10. Connessione di Levi-Civita. 30
5.11. Descrizione locale della connessione di Levi-Civita. 30
6. Capitolo 6. Classi caratteristiche. Omomorfismo di Chern-Weil. 32
6.1. Polinomi invarianti. 32
6.2. L’omomorfismo di Chern-Weil. 32
3
6.3. Riduzione del gruppo di struttura. 36
7. Classi di Chern. Classi di Pontrjagin. Classe di Eulero. 38
7.1. Le classi di Chern di un fibrato complesso. 38
7.2. Classe totale di Chern. 39
7.3. Le classi di Pontryagin di un fibrato reale. 40
7.4. Classe di Pontryagin totale. 43
7.5. Polinomi SO(k)-invarianti. Classe di Eulero. 43
8. Carattere di Chern. Classi di Todd, Hirzebruch e Aˆ. Esempi 47
8.1. Carattere di Chern di un fibrato complesso con metrica hermitiana. 47
8.2. La classe di Todd di un fibrato complesso con metrica hermitiana. 47
8.3. La classe di Hirzebruch L(E) di un fibrato reale riemanniano. 48
8.4. La classe Aˆ di un fibrato reale riemanniano. 48
8.5. Fibrati olomorfi. Connessione complessa hermitiana. 49
9. Coomologia a valori in un fascio. 52
9.1. Fasci e Prefasci. 52
9.2. Complessi di cocatene. 52
9.3. Esempio: la successione di Mayer-Vietoris in coomologia di de Rham. 52
9.4. Coomologia a valori in un fascio. 52
9.5. Esempi di risoluzioni acicliche 52
9.6. Operatore ∗ di Hodge 54
9.7. Ancora sulle variet`a di Kahler 54
10. Operatori Pseudodifferenziali. 55
10.1. Trasformata di Fourier. 55
10.2. Spazi di Sobolev. 56
10.3. Operatori pseudodifferenziali (teoria locale). 57
10.4. Spazio dei simboli. Definizione di operatore pseudodifferenziale di ordine m. 57
10.5. Lemma di Kuranishi. 58
10.6. Composizione. Aggiunto formale. 59
11. Teoria globale. Propriet`a di Fredholm. Indice 62
11.1. Operatori su variet`a. Fibrati vettoriali. 62
11.2. Operatori pseudodifferenziali classici. Spazi di Sobolev 63
11.3. Operatori ellittici. Esistenza della parametrice. 64
11.4. Teoria locale degli operatori pseudodifferenziali ellittici. 64
11.5. Teorema di regolarit`a. 65
11.6. Operatori di Fredholm. 65
11.7. Propriet`a degli operatori di Fredholm. 65
11.8. Indice di un operatore ellittico. 66
11.9. Disuguaglianza di G¨arding. 66
12. Teoria di Hodge 67
12.1. Operatori ellittici formalmente autoaggiunti. 67
12.2. Complessi ellittici. 67
12.3. Teorema di Hodge generalizzato. Esempi. Indice di un complesso ellittico. 68
12.4. Esempi notevoli: de Rham, Dolbeault. 68
12.5. Dualit`a di Kodaira-Serre. 71
12.6. Propriet`a spettrali. 71
12.7. Formula di Kunneth. 71
12.8. Teoria di Hodge su variet`a di Kahler. Diamante di Hodge. 71
4
13. Teorema di Atiyah-Singer (via l’equazione del calore). 72
13.1. Equazione del calore. Traccia. 72
13.2. Formula di McKean-Singer 72
13.3. La formula dell’indice 73
13.4. Idea della dimostrazione. 73
14. Teorema di Atiyah-Singer tramite la K-Teoria: indice analitico ed indice
topologico. 74
14.1. Il gruppo di K-teoria 74
14.2. L’indice topologico. 75
14.3. Propriet`a di stabilit`a dell’indice di Fredholm 76
14.4. Operatori pseudodifferenziali ellittici e K-Teoria. 78
14.5. L’omomorfismo indice analitico. 79
14.6. Enunciato del teorema di Atiyah-Singer. Sketch della dimostrazione. 79
14.7. Formulazione coomologica del teorema di Atiyah-Singer. 80
15. Teoremi di Chern-Gauss-Bonnet, della segnatura di Hirzebruch e di
Riemann-Roch-Hirzebruch. 82
References 84
5
1. Capitolo 1. Preliminari su variet`a reali e complesse.
1.1. Variet`a differenziabili reali.
Per la definizione di variet`a differenziabile reale potete consultare Warner [13], da p. 5 a p. 8. In
alternativa, Kodaira[5, Definizione2.6]. IlKodairadefinisceprimalevariet`acomplesseepoiquelle
reali, ma non dovreste avere problemi perch´e le idee sono molto simili. Un’altra buona referenza `e
Sernesi [10], Capitolo 5.
1.2. Variet`a complesse.
Potete consultare il Kodaira [5, Def. 2.3] oppure il Griffith-Harris [3, p.14].
1.3. Esempi.
- Spazi proiettivi reali e complessi: sar`a un esercizio.
- Grassmanniane: sar`a un esercizio.
- sottovariet`a di Rn definite come insieme di zeri di r funzioni differenziabili con Jacobiano di rango
r.
- varieta` algebriche proiettive: Kodaira [5], sezione 2.2 (a). Qui trovate anche esempi notevoli di
variet`a proiettive.
- spazi quoziente per l’azione di un gruppo che opera liberamente ed in maniera propriamente
discontinua. Sempre [5], Sezione 2.2 (b). Esempi: curve ellittiche [5, Example 2.7], tori complessi
[5, Example 2.8].
1.4. Spazio tangente ad una variet`a differenziabile in un punto.
Vi rimando a Sernesi [10], sezione 21.
In alternativa Warner [13], da pag 11 a pag 15.
Per la dimostrazione che TM := ∪ T M `e una variet`a differenziabile vedere [13] pag. 19
p∈M p
(verifiche lasciate al lettore).
1.5. Sottovariet`a. Per la nozione di sottovarieta’ di una varieta’ differenziabile reale potete con-
sultare il Warner, da p. 22 a p. 33. In alternativa, piu’ facile ma meno completo, Sernesi 2: da
p. 213 a pag 216 (inclusione differenziabile e’ la stessa cosa di ”embedding”). Tuttavia, non mi
sembra che Sernesi nelle pagine seguenti, sulle summersioni, abbia il risultato piu’ generale per
la controimmagine di una sottovarieta’ tramite un’applicazione differenziabile (Theorem 1.39 in
Warner). Sottovariet`a complesse di variet`a complesse sono trattate in Griffiths-Harris, p.18
1.6. Ripasso di Algebra Multilineare.
- Sernesi, Geometria 2. Da p. 331 a p. 334.
- Warner, Foundations etc. Da p. 54 a p. 62.
- Lang, Algebra Lineare. Da pag 280 a pag 302.
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2. Capitolo 2. Fibrati vettoriali I.
2.1. Definizione di fibrato vettoriale.
Definizione 1. Un fibrato vettoriale C∞ di rango k `e una terna (E,π,M), dove E e M sono
variet`a C∞, π : E → M `e un’applicazione C∞ suriettiva, tale che per ogni m ∈ M
(i) la fibra E = π−1(m) ha una struttura di spazio vettoriale di dimensione k;
m
(ii) esiste un intorno U di m e un diffeomorfismo ϕ : π−1(U) → U ×Rk tale che
U
per ogni m(cid:48) ∈ U
a) ϕ (E ) ⊆ {m(cid:48)}×Rk
U m(cid:48)
b) ϕ | : E → {m(cid:48)}×Rk `e un isomorfismo di spazi vettoriali.
U Em(cid:48) m(cid:48)
La variet`a M `e detta base del fibrato; la variet`a E `e detta spazio totale del fibrato.
Gli intorni U sono detti intorni banalizzanti, i diffeomorfismi ϕ banalizzazioni locali.
U
Se per ogni m ∈ M l’intorno U pu`o essere scelto uguale ad M, il fibrato vettoriale si dice banale.
Notazione. Denoteremo spesso il fibrato (E,π,M) con (E → M), oppure, semplicemente con E.
Definizioni analoghe.
• Fibrati vettoriali nella categoria degli spazi topologici e applicazioni continue.
• Fibrati vettoriali su C.
• Se M ed E sono variet`a complesse (quindi le carte ψ : U → Cn hanno valori in Cn e le
α α
funzioni di transizione ψ ◦ψ−1 : ψ (U ) ⊆ Cn → ψ (U ) ⊆ Cn sono biolomorfe) allora (E,π,M)
β α α α β β
`e un fibrato vettoriale complesso olomorfo se ogni banalizzazione locale ϕ : π−1(U) → U ×Ck `e
U
biolomorfa.
2.2. Funzioni di transizione.
Dalla definizione segue che M ammette un ricoprimento {U } con intorni banalizzanti, che
α
chiameremo ricoprimento banalizzante. Per ogni coppia di aperti U ,U del ricoprimento, con
α β
U ∩U (cid:54)= ∅, e per ogni m ∈ U ∩U l’applicazione
α β α β
(cid:18) (cid:12) (cid:19)
g (m) = ϕ | ◦ ϕ−1(cid:12) :
αβ Uα Em Uβ(cid:12){m}×Rk
{m}×Rk → {m}×Rk
`e un isomorfismo di spazi vettoriali.
Allora possiamo pensare alle g (m) come applicazioni
αβ
g : U ∩U → GL(k,R).
αβ α β
Queste vengono dette funzioni di transizione e verificano due propriet`a:
1) g (m) = Id ∀m ∈ U ∩U ,
αα Rk α β
2) g ◦g = g in U ∩U ∩U .
αβ βγ αγ α β γ
Se M `e una variet`a differenziabile e se sono dati un ricoprimento {U } di M e mappe g :
α αβ
U ∩U → GL(k,R)soddisfacentilepropriet`a1)e2),allora`epossibiledefinireunfibratovettoriale
α β
7
(E,π,M) che ammetta le g come funzioni di transizione. Precisamente, consideriamo l’insieme
αβ
E(cid:98) ottenuto prendendo l’unione disgiunta di tutti gli intorni Uα ×Rk; introduciamo una relazione
d’equivalenza R in E(cid:98) come segue
U ×Rk (cid:51) (x,e)R(y,f) ∈ U ×Rk ⇔ x = y e f = g (x)e
α β αβ
Sia E lo spazio quoziente dotato della topologia indotta e sia π : E → M la mappa che associa alla
classe d’equivalenza di (x,e) il punto x ∈ M. Uno degli esercizi del secondo compito a casa consiste
nel dimostrare che (E,π,M) ha una naturale struttura di fibrato vettoriale.
Quindi si pu`o dare una definizione alternativa di fibrato vettoriale, come una variet`a M su cui
sianodatiunricoprimento{U }eunacollezionedimappedifferenziabilig : U ∩U → GL(k,R)
α αβ α β
soddisfacenti le propriet`a 1) e 2).
2.3. Morfismi di fibrati.
Definizione 2. Siano(E,π,M)e(F,π(cid:48),M)duefibrativettoriali(sullastessabase). Una mappa
di fibrati (o un morfismo di fibrati) da (E,π,M) a (F,π(cid:48),M) `e un’applicazione differenziabile
f : E → F che manda omomorficamente fibre in fibre corrispondenti, ovvero tale che per ogni
m ∈ M
1) f(E ) ⊆ F
m m
2) f| : E → F `e un omomorfismo di spazi vettoriali.
Em m m
Una mappa di fibrati f : E → F si dice isomorfismo di fibrati se `e un diffeomorphismo e manda
isomorficamente fibre in fibre corrispondenti, ovvero se per ogni m ∈ M
f| : E → F
Em m m
`e un isomorfismo di spazi vettoriali. Un’analoga definizione vale nel caso topologico (richiederemo
semplicemente che f sia continua e, nel caso di un isomorfismo, che sia un omeomorfismo).
Il seguente lemma `e di facile dimostrazione (altro esercizio del secondo compito a casa).
Lemma 1. Siano (E,π ,M) e (F,π ,M) due fibrati vettoriali. Sia f : E → F un morfismo di
E F
fibrati e supponiamo che f| sia un isomorfismo per ogni m ∈ M. Verificare che f `e allora un
Em
isomorfismo di fibrati (e cio`e f `e anche un diffeomorfismo).
2.4. Esempi notevoli.
Esempio 1. Sia M una variet`a differenziabile. Per ogni punto m ∈ M indichiamo con T M lo
m
spazio tangente alla variet`a M nel punto m. Poniamo
(cid:91)
TM = T M
m
m∈M
e definiamo π : TM → M ponendo π(x) = m se x ∈ T M. Si verifica che (TM,π,M) `e un fibrato
m
vettoriale il cui rango`e uguale alla dimensione di M. Tale fibrato vettoriale si dice fibrato tangente
ad M. Per ulteriori informazioni sul fibrato tangente potete consultare [13].
Esempio 2. Sia RPn lo spazio proiettivo di dimensione n. Ricordiamo che RPn ∼= Sn/ ∼, dove
∼ `e la relazione che identifica i vettori xe −x. Sappiamo che RPn `e una variet`a differenziabile
compatta. Consideriamo l’insieme
E (cid:0)Rn+1(cid:1) = (cid:8)([x],v) ∈ RPn×Rn+1 : v = λx(cid:9)
1
e l’applicazione π : E (cid:0)Rn+1(cid:1) → RPn definita da π([x],v) = [x]. La terna (cid:0)E (cid:0)Rn+1(cid:1),π,RPn(cid:1)
1 1
`e un fibrato vettoriale di rango 1. Facciamo vedere come trovare banalizzazioni locali: per ogni
8
[x] ∈ RPn,consideriamoU ,unintornodixinSn adintesezionevuotaconlasuaimmaginetramite
1
lamappaantipodale; l’apertoU = U / ∼⊆ RPn `eunintornobanalizzantedi[x]eildiffeomorfismo
1
ϕ : π−1(U) → U ×R definito da ϕ ([x],tx) = ([x],t) `e una banalizzazione locale.
U U
Analogamente la terna (cid:0)E (cid:0)Cn+1(cid:1),π,CPn(cid:1) `e un fibrato vettoriale complesso olomorfo di rango 1.
1
Esempio 3. Sia n > k. Poniamo
G (Rn) = {sottospazi vettoriali k−dimensionali di Rn}.
k
LospazioG (Rn)haunanaturaletopologia: siaV (Rn)l’apertodiRn××···×Rn k-voltecostituito
k k
dalle k-ple di vettori linearmente indipendenti. Esiste una suriezione π : V (Rn) → G (Rn)
k k
π(v ,...,v ) = Span(v ,...,v ).
1 k 1 k
Dotiamo G (Rn) della topologia quoziente: U `e aperto in G (Rn) se e solo se π−1(U) `e aperto in
k k
V (Rn).
k
G (Rn) ha una naturale struttura di variet`a differenziabile compatta di dimensione n(n−k). Con-
k
sideriamo l’insieme
E (Rn) = {(p,v) ∈ G (Rn)×Rn : v ∈ p}
k k
e l’applicazione π : E (Rn) → G (Rn) definita da π(p,v) = p. La terna (E (Rn),π,G (Rn)) `e
k k k k
un fibrato vettoriale di rango k e C∞. Le verifiche di tutte queste affermazioni costituiscono un
interessante esercizio. Si noti che per k = 1 riotteniamo l’esempio 2.
G (Rn)`edettalaGrassmannianadeik-pianiinRn. (E (Rn),π,G (Rn))`edettofibrato universale
k k k
sulla Grassmanniana.
Esempio 4. Analogamente lo spazio G (Cn) `e una variet`a complessa compatta di dimensione
k
complessa n(n−k) e la terna (E (Cn),π,G (Cn)) `e un fibrato vettoriale complesso olomorfo di
n k
rango k, detto fibrato universale su G (Cn).
k
Osservazioni.
1. Se T ∈ GL(n,C) allora T induce un’applicazione T : G (Cn) → G (Cn), che `e un diffeomor-
(cid:93) k k
fismo.
2. C’`e un’applicazione naturale
(1) ψ : G (Cn) → G (Cn)
k n−k
ottenuta mandando V in V⊥. Quest’applicazione `e un diffeomorfismo.
3. Alcuni autori definiscono la Grassmanniana G (Cn) come l’insieme dei sottospazi di codimen-
k
sione k in Cn. Le due definizioni sono compatibili tramite l’applicazione ψ in (1).
2.5. Sezioni di un fibrato.
Definizione 3. Sia (E,π,M) un fibrato vettoriale. Una sezione C∞ del fibrato `e un’appl.
differenziabile s : M → E tale che π ◦s = Id| ovvero tale che per ogni m ∈ M risulti s(m) ∈
M
E = π−1(m).
m
Denotiamo con C∞(M,E) l’insieme delle sezioni C∞ del fibrato (E,π,M). Si noti che, poich´e ogni
fibra`eunaspaziovettoriale,ancheC∞(M,E)`eunospaziovettoriale,lecuioperazionisonodefinite
punto per punto. Notiamo anche che C∞(M,E) ha una naturale struttura di C∞(M)-mudulo.
Proposizione 1. Un fibrato vettoriale (E,π,M) di rango k `e banale se e solo se esistono k sezioni
C∞ s ,...,s linearmente indipendenti, ovvero tali che s (m),...,s (m) siano linearmente indipen-
1 k 1 k
denti per ogni m ∈ M.
9
Dimostrazione.
⇒ Supponiamo(E,π,M)banale. AlloraesisteunamappadifibratiΦ : E → M×Rk cheinduce
un isomorfismo Φ : E → {m}×Rk su ogni fibra. Sia Ψ = Φ−1 : M ×Rk → E e definiamo le
m
applicazioni s : M → E ponendo s (m) = Ψ(m,e ) (dove e `e l’i -simo vettore canonico di Rk).
i i i i
Le applicazioni s ,...,s sono sezioni C∞ e per costruzione sono linearmente indipendenti.
1 k
⇐ Supponiamo che esistano k sezioni C∞ s ,...,s linearmente indipendenti. Definiamo Ψ :
1 k
M × Rk → Eponendo Ψ(m,x) = x1s (m) + ... + xks (m). L’applicazione Ψ `e C∞ e induce
1 k
un isomorfismo su ogni fibra. Allora non `e difficile vedere, questo `e il Lemma 1, che Ψ `e un
diffeomorfismo. Quindi (E,π,M) `e banale. (cid:3)
Osservazione. Notiamo che la dimostrazione stabilisce l’esistenza locale di k sezioni linearmente
indipendenti su ogni aperto banalizzante. Si dice che queste sezioni costituiscono una base locale.
Esempio. Il fibrato (cid:0)E (cid:0)Rn+1(cid:1),π,RPn(cid:1) non `e banale.
1
Dimostrazione. Basta far vedere che ogni s ∈ C∞(cid:0)RPn, E (cid:0)Rn+1(cid:1)(cid:1) si annulla in un punto. Sia
1
s : RPn → E (cid:0)Rn+1(cid:1) una sezione. Sia p : Sn → RPn la proiezione canonica. L’applicazione
1
q = s ◦ p : Sn → E (cid:0)Rn+1(cid:1) `e tale che q(x) = ([x],t(x)x), con t ∈ C∞(Sn). Inoltre, poich´e
1
q(−x) = q(x), si deve avere t(−x) = −t(x) . Allora, poich´e Sn `e connessa e in particolare
t ∈ C0(Sn), deve esistere x ∈ S tale che t(x ) = 0, ovvero tale che s([x ]) = ([x ],0). (cid:3)
0 n 0 0 0
Possiamo dare anche una definizione alternativa di sezione. Sia (E,π,M) un fibrato vettoriale,
con ricoprimento {U } e funzioni di transizione g : U ∩U → GL(k,R). Una sezione C∞ del
α αβ α β
fibrato `e allora una collezione {s } di mappe s : U → Rk differenziabili tali che per ogni coppia
α α α
di aperti U e U non disgiunti e per ogni m ∈ U ∩U risulti
α β α β
s (m) = g (m)s (m).
α αβ β
Le due definizioni sono equivalenti come ora mostreremo.
SiasunasezioneC∞ (nelsensodellaprimadefinizione). Occorreverificarecheesisteunacollezione
{s } di mappe che soddisfa le condizioni richieste nella seconda definizione. Sia m ∈ M e siano U
α α
un intorno di m banalizzante e ϕ una banalizzazione locale su U . Se e ,...,e sono i vettori della
α α 1 k
base canonica di Rn, ϕ−1(m,e ),...,ϕ−1(m,e ) sono una base di E . Quindi esistono k numeri,
α 1 α k m
che chiamo
s1 (m),...,sk (m)
α α
tali che
k
(cid:88)
s(m) = si (m)ϕ−1(m,e ).
α α i
i=1
Allora, considerando la restrizione di s a U ∩U , si ha
α β
k k
(cid:88) (cid:88)
s| = si (m)ϕ−1(m,e ) = si (m)ϕ−1(m,e ).
Uα∩Uβ α α i β β i
i=1 i=1
10
Applicando ϕ al secondo e terzo membro, si ha
α
k k
(cid:88) (cid:88) (cid:16) (cid:17)
si (m) e = si (m) ϕ ◦ϕ−1 (m,e ) =
α i β α β i
i=1 i=1
k
(cid:88)
= si (m)g (m)(e ) =
β αβ i
i=1
k
= (cid:88)si (m)(g (m))j(cid:0)e (cid:1).
β αβ i j
i=1
dove l’indice in basso in (g (m))j `e l’indice di colonna.
αβ i
Quindi
sk (m) = si (m)(g (m))k,
α β αβ i
Allora, ponendo s = (cid:0)s1,...,sk(cid:1)t, si ottiene
α α α
s = g s .
α αβ β
Quindi la collezione {s } soddisfa le condizioni richieste nella seconda definizione.
α
Il viceversa `e chiaro: se sono date le {s } e le banalizzazioni, allora possiamo definire una sezione
α
globale s (scrivete i dettagli per esercizio).