Table Of ContentLecture Notes
in Economics and
Mathematical Systems
Operations Research, Computer Science, Social Science
Edited by M. Beckmann, Providence and H. P. Kunzi, Zurich
64
P. Gessner
K. Spremann
Optimierung in
Funktionenraumen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH 1972
Advisory Board
H. Albach . A. V. Balakrishnan . F. Ferschl . R. E. Kalman . W. Krelle . N. Wirth
Peter Gessner
Klaus Spremann
Technische Universitat Miinchen
Institut fUr Angewandte Mathematik
8000 Miinchen 2, Arcisstr. 21
AMS Subject Classifications (1970): 49-02, 49 B 30, 49 B 35, 49 D 05, 49 D 10, "49 D 99, 93 C xx
ISBN 978-3-540-05794-9 ISBN 978-3-662-09123-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-09123-4
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1972.
Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1972.
Library of Congress Catalog Card Number 72-75816.
Offsetdruck:Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
INHALT
EINLEITUNG ..................................................... 1
§1 DAS ALLGEMEINE MODELL UND DIE DIREKTE METHODE ............ . 4
Optimierungsproblem - das allgemeine Modell -
Linearisierung - LBsung des linearen'Modells -
Bemerkungen.
§2 KONTROLLPROZESSE ......................................... . 15
Proze£ - Beschreibung durch das allgemeine Modell -
Linearisierung - das lineare Modell - Berechnung der
Adjungierten - Projektion in den Quader - Rechen
schritte - weitere ftir die Steuerun
Einschr~nkungen
gen.
§3 TREPPENFUNKTIONEN ALS STEUERUNGEN ........................ . 26
Treppenfunktion - Berticksichtigung im Raum der
Steuerungen - Berticksichtigungen in den Restrik
tionen - Rechenschritte.
§4 PROBLEMTRANSFORMATIONEN .................................. . 33
Zeitskalierung - autonomer Proze£ - Zielfunktionen
nach Lagrange und Mayer - Probleme mit freiem Zeit
intervallende - Synthese als closed-loop control.
§5 DISKRETE STUFENPROZESSE 42
Beschreibung durch das allgemeine Modell -
Linearisierung - numerische LBsung des linearen
M,odells - Rechenschritte.
- IV -
§ 6 BESCHRANKUNGEN FUR DIE ZUSTANDSVARIABLEN .......•.......... 50
Straffunktionen - Randbedingungen bei (MKT) -
Beschrankungen bei diskreten Stufenprozessen.
§ 7 DAS MAXIMUMPRINZIP VON PONTRJAGIN ......................... 57
Ausgangsproblem - das Maximumprinzip - die
Transversalitatsbedingungen - Bemerkungen.
§ 8 KONSTRUKTIVE ANWENDUNGEN DES MAXIMUMPRINZIPS .............. 66
Schwierigkeiten - die Eliminationsmethode -
praktische Durchfuhrung - die iterative Maximierung
der Hamiltonfunktion - Zusammenfassung.
§ 9 DAS DISKRETE MAXIMUMPRINZIP ............................... 75
Gegenbeispiele - Globalitat - hinreichende Bedingungen.
§10 LINEARISIERUNG UND GLOBALISIERUNG ......................... 82
ein Gradientenprinzip - Kriterium fur Globalisierung -
ein vergleichender Satz - Deutung der konstruktiven
Anwendungen.
§11 ZUSAMMENFASSENDER VERGLEICH ............................... 93
§12 WEITERE ANWENDUNGEN DER DIREKTEN METHODE .................. 96
Uberbestimmte Randwertprobleme - Integrodifferential
gleichungen - verzogerte Differentialgleichungen -
partielle Differentialgleichungen.
ANHANG 104
Ordnungsrelationen - Literatur - Bezeichnungen und
Symbole.
EINLEITUNG
Die Methoden der Kontrolltheorie und der optimalen Steuerung von Pro
zessen ~indet st~ndig neue Anwendungsgebiete in 5konomik, Naturwissen
sehaften und Teehnik. W~hrend die diskreten dynamisehen Stufenprozesse
sehon seit langerer Zeit ihre Leistungsf~higkeit in den Wirtsehaftswis
sensehaften zeigen, lassen sieh heute mit weiteren mathematisehen Opti
mierungsver~ahren der Anlauf von Atomreaktoren, Rendezvous, Re-entry
und Treibstoffminimierung von Raumfahrzeugen, der katalytisehe Kraek
prozeB (Hoehtemperatur-Pyrolyse polymerer Kohlenwasserstoffe) zur Her
stellung von Benzin und Kunststoffen okonomiseher und sieherer dureh
~i.ihren.
Die Ergebnisse dieser mathematisehen Methoden (mit verzogerten Diffe
rentialgleiehungen, Integrodifferentialgleiehungssystemen und i.iberbe
stimmten Randwertproblemen) helfen bei Problemen der experimentellen
Bakteriologie, bei der Kardiographie in der Medizin und konnen auf Pro
bleme des Massenverkehrs angewandt werden.
Teehnisehe Neuentwieklungen eroffnen der Kontrolltheorie weiter Anwen
dungsmogliehkeiten: die erstmalig im Jumbo-Jet realisierte "inertial
navigation" (Gyroautopilot mit Integratoren) bei der vollautomatisehen
Zielfi.ihrung und Landung von Verkehrsflugzeugen, Chromatograph und Mas
senspektrometer in der Lebensmittelehemie zur Konstanthaltung der Qua
litat von Nahrungsmitteln.
Neuerdings zeigen sieh sogar bei der gi.instigsten Wahl von Amplituden-,
Frequenz- und Pulsmodulation in der Informationstheorie interessante
Anwendungen der Optimierung in Funktionenraumen.
Die mathematisehen Modelle, die der Besehreibung der eben genannten
Aufgabenstellungen dienen, haben trotz individueller Versehiedenheiten
- 2 -
gemeinsame Merkmale, die eine Lasung nach einheitlichen Verfahren und
Prinzipien ermaglichen: alle Modelle sind charakterisiert durch einen
linearen Raum, auf dem ein reelles Funktional definiert ist. Es sollen
nun Elemente dieses linearen Raumes gefunden werden, die zusatzlich ge
gebene Nebenbedingungen erfullen und das Funktional den graBtmaglichen
Wert annehmen lassen. Im Unterschied zur linearen Programmierung sind
aber hier die beteiligten Abbildungen nicht linear und die Raume unend
lichdimensional: es handelt sich um Funktionenraume. Im Unterschied zur
klassischen Variationsrechnung sind zur Maximierung des Funktionals
nicht alle Funktionen des Raumes zugelassen, sondern nur solche, die
Elemente einer vorgegebenen, beschrankten, haufig abgeschlossenen und
konvexen Teilmenge sind. So liegen die gesuchten optimalen Funktionen
oft, bei manchen Problemen immer, auf dem Rand dieser Teilmenge und die
klassischen Methodenvon BERNOULLI, EULER, L~GRANGE und WEIERSTRASS
sind nicht anwendbar.
Die Entwicklung numerisch praktikabler Lasungsverfahren fur die oben er
wahnten Probleme steht im Mittelpunkt dieser Lecture Notes. Hierzu wer
den eine funktionalanalytische Methode und das Maximumprinzip von Pon
trjagin diskutiert und miteinander verglichen, soweit letzteres anwend
bar ist.
Fur die funktionalanalytische Methode beschreiben wir in § 1 zunachst
ein allgemeines Modell, das alle zu behandelnden Optimierungsprobleme
umfaBt. Seine prinzipielle Lasungsmethode laBt sich als "Linearisieren
und Verbessern" charakterisieren: Man geht von einer willkurlich gewahl
ten Kontrollvariablen BUS und verbessert diese schrittweise. Die "Ver
besserung" wird jeweils ohne Verfahrensfehler als optimale Steuerung
eines linearen Modells berechnet.
In den §§ 2, 3 und 5 zeigen wir die konkrete Durchfuhrung der Methode
bei den wichtigsten Problemklassen der Kontrolltheorie - bereits hi er
- 3 -
ist das Prinzip von Pontrjagin teilweise nicht mehr anwendbar. Die be
schriebenen Verfahren sind grUndlich erprobt; vie le Beispiele auch mit
hoherdimensionalen Zustands- und Entscheidungsvariablen wurden erfolg
reich an Digital- und Hybridrechnern gelost ([30),[36),[43),[65)). Als
Erg~nzung gehen wir in §4 auf modifizierte Aufgabenstellungen und auf
die Synthese optimaler Steuerungen ein. In §6 losen wir Probleme mit Be
fUr die Zustandsvariablen.
schr~nkungen
Der konstruktiven Anwendung des Maximumprinzips von Pontrjagin und sei
nem Vergleich mit der funktionalanalytischen Methode sind die §§ 7 mit
11 gewidmet. Das Maximumprinzip, das stark dem Vorgehen der klassischen
Variationsrechnung verhaftet ist, war Grundlage und Ausgangspunkt fUr
viele Versuche zur Entwicklung von Losungsverfahren fUr Kontrollproble
me. Trotz aller BemUhungen zeigt sich aber:
Das Prinzip ist konstruktiv immer nur auf spezielle Beispiele an
wendbar - in den §§ 7 und 8 wird versucht, die Moglichkeiten der
konstruktiven Nutzung systematisch zu erfassen.
Bei modifizierten Problemen (z.B. bei diskreten Kontrollproblemen)
gilt sogar das Prinzip selbst nicht mehr - die tieferen Ursachen
hierfUr werden in §9 aufgezeigt.
Die mit dem Maximumprinzip erzielten konstuktiven Verfahren
schlieBlich kann man direkter und Ubersichtlicher mit der funktio
nalanalytischen Methode erhalten (§§ 10 und 11).
Ein Ausblick auf weitere Ortimierungsprobleme in Funktionenraumen, die
sich nach der funktionalanalytischen Methode losen lassen, wird in §12
gegeben.
MUnchen, im Januar 1972 Peter Gessner
Klaus Spremann
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§1 DAS ALLGEMEINE MODELL UND DIE DIREKTE METHODE
Alle der in dieser Arbeit untersuchten Optimierungsprobleme in Funktio
nenraumen lassen sich durch ein einziges mathematisches Modell erfassen
und einheitlich mit der direkten M~thode losen. Neben der EinfUhrung
von Bezeichnungen und der Bereitstellung von Begriffen ist es demnach
Aufgabe dieses Paragraphen, diesen Losungsweg vorzustellen. Wie man die
wichtigsten Arten von Problemen durch das allgemeine Modell beschreibt
und wie die direkte Methode dann konkret durchzufUhren ist, zeigen wir
dann spater in den §§ 2, 3, 5 und 12.
Jedes nichtstochastische Optimierungsproblem wird durch vier wesentli
che Merkmale charakterisiert:
den beteiligten linearen R a u men in denen sich alles
abspielt. Wie Ublich wird mit X der Raum der Zustandsvaria
blen und mit U der Raum der Steuervariablen (Politiken) be
zeichnet.
den N e ben bed i n gun g e n (bzw. Pro z e B) die
eine Beziehung zwischen den Steuerungen u E U und den Zu
standsvariablen x e X herstellen. Diese Beziehung wird durch
einen Operator beschrieben, der hier mit T bezeichnet wird.
der Z i elf u n k t ion, die maximiert werden solI. Sie
ist durch ein reelles Funktional S gegeben.
den Res t r i k t ion en. Nicht alle Elemente von U
und X sind zur Maximierung des Zielfunktionals S zugelassen,
sondern nur solche, die in vorgegebenen Teilmengen Qu C U
und Qx C X liegen.
Diese Vorbetrachtungen erlauben die
- 5 -
Definition 1
Unter einem OPTIMIERUNGSPROBLEM verstehen wir jedes 6-Tupel
(X, U, Qx' Qu' T, S) wenn
X und U sind reelle lineare R~ume
T : X x U + X, der Operator T soll mindestens auf
Qx x Qu definiert sein
zu jedem u E Qu gibt es genau ein x E X mit T(x,u)=O
S : X x U + R, das Funktional S soll mindestens auf
Qx x Qu definiert sein.
gilt. Ist zus~tzlich
T und S sind linear
erfUllt, dann heiBt das Optimierungsproblem selbst LINEAR.
Nur die Bedeutung von (OP4) ist noch nicht klar: dieses Axiom sichert
u
die Existenz einer Abbildung F : U + X, die jeder Steuerung E U die
ZUGEH5RIGE .Zustandsvariable i E X mit T(i,u) = 0 zuordnet; Fist ein-
deutig bestimmt undwenigstens auf Qu definiert.
Die Allgemeinheit dieser Definition ermoglicht es, verschiedenste Ar-
ten von Optimierungsaufgaben zusammenzufassen und erlaubt eine einheit-
liche Betrachtungsweise: verschiedene Aufgabentypen der Kontrolltheorie
(§§2, 3),Mehrpunktrandwertprobleme bei gewohnlichen DGLsystemen, mehr
stufige dynamische Systeme aus der qnternehmensforschung (§5) sowie
Optimierungsprobleme mit Integrodifferentialgleichungen als Nebenbe
dingungen (§12) etc. gestatten die Formulierung als Tupel (X, U, Qx'
Qu' T, S),das die Axiome (OP1)
Andererseits ist die Allgemeinheit der Def. 1 gerechtfertigt, weil es
