Table Of ContentNumerical simulation of dislocation
motion in icosahedral quasicrystals
Von der Fakulta(cid:127)t Physik der Universita(cid:127)t Stuttgart
zur Erlangung der Wu(cid:127)rde eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigte Abhandlung
von
Gunther Schaaf
aus Stuttgart
Hauptberichter: Prof. Dr. H.-R. Trebin
Mitberichter: Prof. Dr. G. Wunner
Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 30. September 2002
Institut fu(cid:127)r Theoretische und Angewandte Physik
Universita(cid:127)t Stuttgart
2002
Contents
Introduction 1
Zusammenfassung 3
1 Quasicrystals 13
1.1 Examples of quasicrystals . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Structure models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 From quasiperiodic order to quasicrystals . . . . . . . . 17
1.4 The icosahedral binary tiling (IBT) . . . . . . . . . . . . 23
2 Dislocations 27
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Dislocations in a continuum picture. . . . . . . . . . . . 31
2.3 Dislocations in crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Dislocations in quasicrystals . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Molecular dynamics 57
3.1 Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Linked-cell method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 Non-equilibrium molecular dynamics . . . . . . . . . . . 70
i
ii Contents
4 Visualization 75
5 Results of the simulations 81
5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Simulation of a perfect sample . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Simulations of a sample containing a dislocation . . . . 93
5.4 Energy of a model dislocation . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Conclusions and outlook 119
A Some remarks on continuum mechanics 123
A.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2 Classical theory of elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Estimation of the nucleation stress of a dislocation loop127
List of (cid:12)gures 129
List of tables 130
References 131
Glossary 147
ii
Introduction
Quasicrystals,discoveredin1984byShechtman et al. [1],areanew
classofsolidswithfascinatingproperties. Theyhavelongrangetransla-
tionalorder,asindicatedbyadi(cid:11)ractionpatternwhichconsistsofsharp
Braggpeaks. However,thisorderiscombinedwithnon-crystallographic
symmetries. Hence, quasicrystalscannotconsistof onebasicstructural
unit periodically repeated in space. Instead, at least two such units,
called tiles, are arranged non-periodically. In the description of an n-
dimensional quasiperiodic structure more than n length scales appear.
Thisleadstoadditionalphasondegreesoffreedom. Thelackoftransla-
tionalperiodicityprovidesachallengeforsolidstatephysicistsasmany
established tools making use of it cannot be applied.
Like in periodic crystals, quasicrystalline plasticity is mediated by
dislocations. This could be shown from measurements of their density
in deformed specimens and from in-situ observations in a transmission
electron microscope. Quasicrystals are brittle at low temperatures but
ductile at temperatures above 80% of the melting temperature. Due
to the non-periodicity quasicrystalline dislocations are always accom-
panied by a two-dimensional stacking fault. Because of its relation to
phasondisplacementsitiscalledphasonwall. Theinteractionofdisloca-
tionswithobstaclespresentinthestructureisnotyetfullyunderstood.
Several models of quasicrystalline plasticity have been proposed.
In many (cid:12)elds of modern physics computer simulations provide a
bridge between theoretical models and experimental observations. For
sucha simulation a physicalsystem is transformedinto asimple model
system tractable with numerical methods. In this thesis a model qua-
sicrystal with icosahedral symmetry is constructed and stabilized with
pair interactions. The evolution of the system in time is investigated
1
2 Introduction
with molecular dynamics (MD), a method to solve the classical equa-
tions of motion of a many-particlesystem. They are integratednumer-
ically by a discretization of time.
The physical observables are derived from the positions and mo-
menta of the atoms. Of course, both real structures and real inter-
actions are much more complicated than assumed in our calculations.
We can therefore hardly expect an accurate quantitative description.
However, we are mainly interested in a qualitative understanding of
quasicrystalline plasticity.
In shear simulations on a 2D model quasicrystal at various tem-
peratures [2, 3] the nucleation of dislocations could be observed and
their motion could be studied. We have performed a similar calcula-
tion in a 3D model system and observed dislocations compatible with
a Peierls-Nabarro (PN) model. The high nucleation stresses lead to
partial amorphization of the structure.
In a second simulation series a single PN dislocation with the ob-
served glide system was built into the structure. Its motion under an
applied shear stress was studied at various temperatures. The dislo-
cation was curved which indicates pinning at obstacles. The motion
becomes more viscous with increasing temperature.
Foraninterpretationofthe resultsastaticcalculationofthePeierls
energyofanidealizeddislocationwasperformed. Theenergylandscape
providedagoodexplanationof the observeddislocationcon(cid:12)gurations.
Itwasevenpossibletoidentifyaspeci(cid:12)cstructureelementwhichserves
as a dominant obstacle.
Outline
The(cid:12)rstsectionisabriefintroductiontoquasicrystals. Theirstructure
and a generation method are described as well as the model quasicrys-
tal used in the simulations. The next section deals with the theory of
dislocations and plasticity. Some basic de(cid:12)nitions and properties are
explained and extended to the quasicrystalline case, together with re-
sults of experiments and simulations. Molecular dynamics (MD) is the
topic of the third section. We show how a shear deformation can be
modeled. Adiscussionofthevisualizationtechniquefollows. Achapter
with the resultsof the simulationsandasummaryconcludethisthesis.
2
Zusammenfassung
Quasikristalle sind eine relativ junge Materialklasse,die im Jahre 1982
entdeckt wurde1. Im Beugungsbild einer Legierung der Zusammenset-
zung Al Mn fand man scharfe Bragg-Peaks, was auf eine weitrei-
86 14
chende Translationsordnung hinweist. Ihre Anordnung hatte jedoch
dieSymmetrieeinesIkosaeders,einesogenanntenichtkristallographische
Symmetrie, d.h. sie ist unvertra(cid:127)glich mit der den periodischen Kristal-
len2 eigenen Translationsperiodizita(cid:127)t.
Ein Kristall la(cid:127)sst sich ausgehend von einer Einheitszelle konstru-
ieren, z.B. einem Wu(cid:127)rfel. Durch periodisches Aneinanderreihen vieler
solcher Bausteine entsteht ein translationsperiodisches Gitter. Durch
Dekoration mit Atomen erha(cid:127)lt man einen Kristall. Man kann leicht
zeigen, dass nur Gitter mit zwei-, drei-, vier- oder sechsza(cid:127)hliger Ro-
tationssymmetrie erzeugt werden ko(cid:127)nnen, also insbesondere keine mit
fu(cid:127)nfza(cid:127)hliger Symmetrie, wie sie beim Ikosaeder auftritt. Es wurde re-
lativ schnell klar, dass man es mit einer ganz neuen Sto(cid:11)klasse zu tun
hatte,dieeineArtMittelstellungzwischendenKristallenunddenamor-
phen Sto(cid:11)en einnimmt. Wie hat man sich ihre Struktur vorzustellen?
Die Lo(cid:127)sung fand sich in einer Arbeit aus den 1970er Jahren, in
der ein nichtperiodisches Muster mit zehnza(cid:127)hliger Rotationssymmetrie
pra(cid:127)sentiert wurde, das Penrose-Tiling3. Durch Verwendung von mehr
als einem Baustein konnte das kristallographische Lemma umgangen
werden. Im Penrose-Tiling sind es zwei Rhomben mit Innenwinkeln,
1IndieserZusammenfassunggebenwirkeineLiteraturzitatean,stattdessenver-
weisenwiraufdieKapitel1{5.
2Imfolgendenschreibenwirfu(cid:127)rperiodischeKristallekurzKristalle. Damitsind
nichtQuasikristallegemeint.
3Tilingla(cid:127)sstsichmit,,Parkettierung"u(cid:127)bersetzen.
3
4 Zusammenfassung
die Vielfache von 36(cid:14) sind.
Im Gegensatz zu Gittervektoren in Kristallen ko(cid:127)nnen ganzzahlige
Linearkombinationen von Quasigittervektoren neue Vektoren ergeben,
die zwar parallel zu den urspru(cid:127)nglichen Gittervektoren sind, jedoch zu
diesen in einem irrationalen La(cid:127)ngenverha(cid:127)ltnis stehen. Es treten damit
in n Dimensionen d > n La(cid:127)ngenskalen auf, was sich auch in der Zahl
der Freiheitsgrade widerspiegelt. Neben den gewo(cid:127)hnlichen n transla-
torischen Freiheitsgraden, deren Anregung wie in Kristallen der Erzeu-
gungvonPhononenentspricht,gibtesd nzusa(cid:127)tzlicheFreiheitsgrade.
(cid:0)
IhreAnregungentsprichtderErzeugungeinesPhasonsodereinempha-
sonischen Flip. Hierbei tritt eine Umordnung der Bausteine auf.
Ein (dreidimensionales) Tiling mit ikosaedrischer Symmetrie konn-
te ebenfalls konstruiert werden. Es besteht aus zwei verschiedenen
Rhomboedern, deren Raumwinkel Vielfache von 4(cid:25)=20 sind. Sein Beu-
gungsbild stimmte hinsichtlich der Positionen der Peaks recht gut mit
dem von i-Al Mn 4 u(cid:127)berein. Durch Dekoration mit drei verschiede-
86 14
nen Atomen nach bestimmten Regeln erha(cid:127)lt man ein Strukturmodell
fu(cid:127)r i-AlMgZn. Eine bina(cid:127)re Dekoration (es wird nicht zwischen Al und
Zn unterschieden) erweist sich als geeignet fu(cid:127)r Computersimulationen,
da sie durch Lennard-Jones-Paarpotenziale stabilisiert werden kann.
Wir bezeichnen die entstehende Struktur als ikosaedrisches Bina(cid:127)rtiling
(IBT).
Die mechanischen Eigenschaften von Quasikristallen konnten erst
mit Beginn der 1990er Jahre untersucht werden, als die Erzeugung
strukturell hochperfekter Einquasikristalle mo(cid:127)glich wurde. Quasikris-
talle sind spro(cid:127)de bei tiefen Temperaturen, werden jedoch duktil ober-
halb etwa 80% der Schmelztemperatur. Dieser Spro(cid:127)de-Duktil-U(cid:127)bergang
und die ebenfalls beobachtete Entfestigung (zusehends leichtere Ver-
formbarkeit bei hohen Verzerrungen) sind zwei zentrale Aspekte der
Quasikristallplastizita(cid:127)t5. InverschiedenenExperimentenkonntegezeigt
werden, dass sie durch Versetzungen verursacht wird. Wir diskutieren
daher im folgenden kurz einige Eigenschaften von Versetzungen.
VersetzungensindlineareDefekteinFestko(cid:127)rpern. Siewurdeninden
1930erJahrenvorgeschlagen,umdieDiskrepanzzwischendengemessen
Werten von Schubfestigkeiten in Kristallen und den theoretischen Mo-
4Das,,i"bedeutet ikosaedrisch.
5InKristallenbeobachtet manfastimmereineVerfestigung.
4
Zusammenfassung 5
dellen zu erkla(cid:127)ren, die mehrere Gro(cid:127)(cid:25)enordnungen betrugen. Letztere
gingen von einer Abgleitung zweier Kristallha(cid:127)lften als Ganzes entlang
einer Gleitebene aus. Das hierzu notwendige simultane Brechen aller
Bindungen zwischen den Ha(cid:127)lften fu(cid:127)hrte zu den hohen Werten.
EineStufenversetzungbe(cid:12)ndetsichamEndeeinerzusa(cid:127)tzlichenato-
maren Halbebene, die in einen Kristall eingeschoben wird. Wa(cid:127)hrend
durchRelaxationsprozessedieAtomefastu(cid:127)berallwiederihreurspru(cid:127)ng-
lichen Positionen einnehmen, bleibt am Ende der Halbebene ein lin-
ienfo(cid:127)rmiger, topologischer Defekt erhalten. Plastische Verformung ist
jetzt allein durch die Bewegung der Versetzung mo(cid:127)glich: dann wan-
dert die zusa(cid:127)tzliche Halbebene durch den Kristall und fu(cid:127)hrt zu einer
Abscherung, sobald sie eine freie Ober(cid:13)a(cid:127)che erreicht. Fu(cid:127)r eine solche
Gleitbewegungmu(cid:127)ssennurdieBindungenimVersetzungskerngebrochen
werden, wofu(cid:127)r drastisch niedrigere Spannungen ausreichen.
Bei der Deformation eines Kristalles werden oberhalb einer kriti-
schen Spannung Versetzungsquellen aktiviert. Die neu entstandenen
Versetzungenfu(cid:127)hrendannzurplastischenVerformung. WirdihreDich-
tezuhoch,sobehindernsiesichgegenseitig,waszurVerfestigungfu(cid:127)hrt.
Jede Versetzung ist charakterisiertdurch ihren Burgersvektor b. Er
gibt die mit ihr assoziierte Verschiebung an. Eine Stufenversetzung ist
charakterisiertdurch einen Burgers-Vektororthogonalzu ihrer Linien-
richtung (cid:24). Beide Vektoren spannen die Gleitebene auf. Daneben gibt
es Schraubenversetzungen bei denen b und (cid:24) parallel sind (und es be-
liebigvieleGleitebenengibt),sowiegemischteVersetzungenmitStufen-
undSchraubenanteil. EineVersetzungkannsichauchsenkrechtzuihrer
Gleitebene bewegen,wasalsKletternbezeichnet wird. Hierfu(cid:127)rmussje-
doch di(cid:11)usive Bewegung von Atomen statt(cid:12)nden, denn die Halbebene
muss vergro(cid:127)(cid:25)ertoder verkleinertwerden. Klettern (cid:12)ndet daher nur bei
hohen Temperaturen statt.
Durch einen Burgersumlauf um die Versetzung herum kann b be-
stimmtwerden;diesentsprichteinerIntegrationdesVerschiebungsfeldes
entlang einer Kurve, die auf den Kristallgittervektoren verla(cid:127)uft. Bur-
gersvektoren sind zumeist Gittervektoren, ansonsten zo(cid:127)ge die Verset-
zung einen Stapelfehler mit divergenter Fehlpassungsenergie nach sich.
Die Verzerrungen in Kernna(cid:127)he erzeugen ein weitreichendes Span-
nungsfeld mit einem charakteristischen 1=r-Abfall (r ist der Abstand
vomKern). ZurBerechnungderWechselwirkungzwischeneinerVerset-
zungundeinempunktfo(cid:127)rmigenHindernis(z.B.einemFremdatom)wird
5
6 Zusammenfassung
dieLinienspannungsna(cid:127)herungverwendet,diedieVersetzungals(cid:13)exible
Saite mit einer gewissen Biegestei(cid:12)gkeit au(cid:11)asst. Das Hindernis u(cid:127)bt
eineKraftaufdieVersetzungausundverbiegtsie. DieGegenkraftauf-
grund der Biegestei(cid:12)gkeit fu(cid:127)hrt zu einer Gleichgewichtskon(cid:12)guration.
Die Versetzung nimmt eine gekru(cid:127)mmte Form um das Hindernis herum
ein.
Zur Bestimmung der Kernstruktur sind atomistische Rechnungen
notwendig,diemeistnumerischdurchgefu(cid:127)hrtwerdenmu(cid:127)ssen. Einwich-
tiges analytisches Modell des Verschiebungsfeldes des Kernes stammt
von Peierls und Nabarro. Sie berechneten die Ru(cid:127)ckstellkra(cid:127)fte auf-
grundderverzerrtenBindungenimKern. Siefu(cid:127)hrenzueinemmo(cid:127)glichst
kleinen Kern, was jedoch eine sehr starke Kompression der Atome in
Richtungvonbnachsichzieht. DieseverursachtwiederumeineGegen-
kraft die den Kern aufweitet. Im Gleichgewicht entsteht das Peierls-
Nabarro(PN)-VerschiebungsfeldinFormeinesArcustangens. Einneuer
Parameter taucht auf: die Weite des Kerns (cid:16). Sie entspricht der oben
beschriebenen Kernausdehnung und kann auch als Halbwertsbreite der
lorentzfo(cid:127)rmigen Burgersvektordichtede(cid:12)niert werden.
Die Bewegung einer Versetzung erfolgt in einem Potenzial, das im
PN-Modell berechnet werden kann. Es ist periodisch in der Gitterkon-
stanten. Die Versetzung liegt bevorzugt in einem Minimum. Zu ihrer
Bewegung u(cid:127)ber das na(cid:127)chste Maximum hinweg ist eine kritische Span-
nung no(cid:127)tig, die Peierlsspannung. Bei endlichen Temperaturen stellt
mansichvor,dasseinTeilderVersetzungthermischaktiviertdasMax-
imumu(cid:127)berwindet. DamitentstehenzweigebogeneAbschnitte,genannt
Kinken,diesichvoneinanderfortbewegen,bisdieganzeVersetzungdas
Maximum u(cid:127)berquert hat. Man spricht vom Peierlsmechanismus.
Die bislangdiskutiertenEigenschaftenvonVersetzungenlassen sich
weitgehendaufQuasikristalleu(cid:127)bertragen. EinwesentlicherUnterschied
folgt jedoch aus der fehlenden Translationssymmetrie: sich bewegende
Versetzungen hinterlassen zwangsla(cid:127)u(cid:12)g einen Stapelfehler. Er a(cid:127)u(cid:25)ert
sich in vera(cid:127)nderten Atomanordnungen, die phasonischen Flips entspre-
chen. DerStapelfehlerwirddaheralsPhasonenwandbezeichnet. Quasi-
kristallineBurgersvektorenhabend>nKomponenten: nphononische,
diewieimkristallinenFalldieVerschiebungderAtomebeschreibenund
d nphasonische. LetztereparametrisierendieDichtederphasonischen
(cid:0)
Flips in der Phasonenwand und damit deren Energie.
Der Spro(cid:127)de-Duktil-U(cid:127)bergang bei 80% der Schmelztemperatur kann
6
