Numerical Methods in Heat, Mass, and Momentum Transfer

196 Pages·2002·0.748 MB·English

by  Murthy J.Y.

Draft Notes
ME 608
Numerical Methods in Heat, Mass, and
Momentum Transfer
Instructor: Jayathi Y. Murthy
School of Mechanical Engineering
Purdue University
Spring 2002
(cid:0)
c 1998 J.Y. Murthy and S.R. Mathur.
All Rights Reserved
2
Contents
1 MathematicalModeling 9
1.1 ConservationEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 ConservationForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 GoverningEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 TheEnergyEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 TheMomentumEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 TheSpeciesEquation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 TheGeneralScalarTransportEquation. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 MathematicalClassificationofPartialDifferentialEquations . . . . . 14
1.4.1 EllipticPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 ParabolicPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 HyperbolicPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 BehavioroftheScalarTransportEquation . . . . . . . . . . . 17
1.5 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 NumericalMethods 21
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 MeshTerminologyandTypes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 RegularandBody-fittedMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Structured,BlockStructured,andUnstructuredMeshes . . . . 23
2.2.3 ConformalandNon-ConformalMeshes . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 CellShapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.5 Node-BasedandCell-BasedSchemes . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 DiscretizationMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 FiniteDifferenceMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 FiniteElementMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 FiniteVolumeMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 SolutionofDiscretizationEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 DirectMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 IterativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Accuracy,Consistency,StabilityandConvergence . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
2.5.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 TheDiffusionEquation: AFirstLook 37
3.1 Two-DimensionalDiffusioninRectangularDomain . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 BoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 DirichletBoundaryCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 NeumannBoundaryCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 MixedBoundaryCondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 UnsteadyConduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 TheExplicitScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 TheFully-ImplicitScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 TheCrank-NicholsonScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 DiffusioninPolarGeometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 DiffusioninAxisymmetricGeometries. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 FinishingTouches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.1 InterpolationofG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.2 SourceLinearizationandTreatmentofNon-Linearity . . . . . 57
3.6.3 Under-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8 TruncationError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.1 SpatialTruncationError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.2 TemporalTruncationError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9 StabilityAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 TheDiffusionEquation: ACloserLook 67
4.1 DiffusiononOrthogonalMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Non-OrthogonalMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 SecondaryGradientCalculation . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 DiscreteEquationforNon-OrthogonalMeshes . . . . . . . . 75
4.3 BoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 GradientCalculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.1 StructuredMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.2 UnstructuredMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 InfluenceofSecondaryGradientsonCoefficients . . . . . . . . . . . 86
4.6 ImplementationIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.1 DataStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.2 OverallSolutionLoop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4
5 Convection 91
5.1 Two-DimensionalConvectionandDiffusioninARectangularDomain 91
5.1.1 CentralDifferencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.2 UpwindDifferencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Convection-DiffusiononNon-OrthogonalMeshes . . . . . . . . . . . 96
5.2.1 CentralDifferenceApproximation . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.2 UpwindDifferencingApproximation . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 AccuracyofUpwindandCentralDifferenceSchemes . . . . . . . . . 98
5.3.1 AnIllustrativeExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2 FalseDiffusionandDispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 First-OrderSchemesUsingExactSolutions . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.1 ExponentialScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.2 HybridScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.3 PowerLawScheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 UnsteadyConvection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5.1 1DFiniteVolumeDiscretization . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5.2 CentralDifferenceScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5.3 FirstOrderUpwindScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.4 ErrorAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5.5 Lax-WendroffScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6 Higher-OrderSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6.1 Second-OrderUpwindSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6.2 Third-OrderUpwindSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6.3 ImplementationIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7 Higher-OrderSchemesforUnstructuredMeshes. . . . . . . . . . . . 114
5.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.9 BoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.9.1 InflowBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.9.2 OutflowBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.9.3 GeometricBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 FluidFlow: AFirstLook 121
6.1 DiscretizationoftheMomentumEquation . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 DiscretizationoftheContinuityEquation . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 TheStaggeredGrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5 SolutionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6 TheSIMPLEAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.1 ThePressureCorrectionEquation . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.6.2 OverallAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.6.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.6.4 BoundaryConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.6.5 PressureLevelandIncompressibility . . . . . . . . . . . . . 134
6.7 TheSIMPLERAlgorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7.1 OverallAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5
6.7.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.8 TheSIMPLECAlgorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.9 OptimalUnderrelaxationforSIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.10 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.11 Non-OrthogonalStructuredMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.12 UnstructuredMeshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.13 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7 FluidFlow: ACloserLook 145
7.1 VelocityandPressureCheckerboarding . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.1 DiscretizationofMomentumEquation. . . . . . . . . . . . . 146
7.1.2 DiscretizationofContinuityEquation . . . . . . . . . . . . . 147
7.1.3 PressureCheckerboarding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.1.4 VelocityCheckerboarding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2 Co-LocatedFormulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 TheConceptofAddedDissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 AccuracyofAddedDissipationScheme . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.6 Two-DimensionalCo-LocatedVariableFormulation. . . . . . . . . . 153
7.6.1 DiscretizationofMomentumEquations . . . . . . . . . . . . 153
7.6.2 MomentumInterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.7 SIMPLEAlgorithmforCo-LocatedVariables . . . . . . . . . . . . . 154
7.7.1 VelocityandPressureCorrections . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.7.2 PressureCorrectionEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.7.3 OverallSolutionProcedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.7.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.8 UnderrelaxationandTime-StepDependence . . . . . . . . . . . . . . 158
7.9 Co-LocatedFormulationforNon-OrthogonalandUnstructuredMeshes 159
7.9.1 FaceNormalMomentumEquation. . . . . . . . . . . . . . . 161
7.9.2 MomentumInterpolationforFaceVelocity . . . . . . . . . . 162
7.10 TheSIMPLEAlgorithmforNon-OrthogonalandUnstructuredMeshes 163
7.10.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.11 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 LinearSolvers 167
8.1 DirectvsIterativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2 StorageStrategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.3 Tri-DiagonalMatrixAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.4 LinebylineTDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.5 JacobiandGaussSeidelMethods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.6 GeneralIterativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.7 ConvergenceofJacobiandGaussSeidelMethods . . . . . . . . . . . 175
8.8 AnalysisOfIterativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.9 MultigridMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.9.1 CoarseGridCorrection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.9.2 GeometricMultigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6
8.9.3 AlgebraicMultigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.9.4 AgglomerationStrategies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.9.5 CyclingStrategiesandImplementationIssues . . . . . . . . . 189
8.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7
8
Chapter 1
Mathematical Modeling
In order to simulate fluid flow, heat transfer, and other related physical phenomena,
it is necessary to describe the associated physics in mathematical terms. Nearly all
the physical phenomena of interest to us in this book are governed by principles of
conservation and are expressed in terms of partial differential equations expressing
these principles. For example, the momentum equations express the conservation of
linearmomentum; theenergyequation expresses theconservationoftotalenergy. In
this chapter we derive a typical conservation equation and examine its mathematical
properties.
1.1 Conservation Equations
Typicalgoverningequationsdescribingtheconservationofmass,momentum,energy,
orchemicalspeciesarewrittenintermsofspecificquantities-i.e.,quantitiesexpressed
onaperunitmassbasis. Forexample,themomentumequationexpressestheprinciple
of conservation of linear momentum in terms of the momentum per unit mass, i.e.,
velocity.Theequationforconservationofchemicalspeciesexpressestheconservation
ofthemassofthespeciesintermsofitsmassfraction
Letusconsidera specificquantityf , whichmaybemomentumperunitmass, or
(cid:1) (cid:1)
theenergyperunitmass,oranyothersuchquantity.Consideracontrolvolumeofsize
D x D y D zshowninFigure1.1.Wewanttoexpressthevariationoff inthecontrol
volume over time. Letus assume that f is governedby a conservationprinciplethat
states
(cid:2)
Accumulationoff inthecontrolvolumeovertimeD t (cid:3)
Netinfluxoff intocontrolvolume
Netgenerationoff
insidecontrolvolume
(1.1)
9
D y
Jx Jx+D x
D z
D x
Figure1.1:ControlVolume
Theaccumulationoff intheco(cid:4) ntrolvolumeo(cid:4)vertimeD t isgivenby
(cid:5)(cid:7)(cid:6) (cid:5)(cid:10)(cid:6)
(cid:8) (cid:9)
r f D r f D (1.2)
(cid:5) t D t t (cid:1) (cid:1)
Here,r isthedensityofthefluid,D isthevolumeofthecontrolvolume(D x D y
D z)andt istime.
Thenetgenerationoff insidethecontrolvolumeovertimeD t isgivenby
(cid:5)
SD D t (1.3)
whereSisthegenerationoff perunitvolume. Sisalsosometimescalledthesource
term.
Letusconsidertheremainingterm,thenetinfluxoff intothecontrolvolum(cid:8) e.Let
J representthefluxof(cid:3)f comingintothecontrolvolumethroughfacex,andJ the
x x D x
fluxleavingthefacex D x. Similarfluxesexistontheyandzfacesrespectively. The
netinfluxo(cid:11) ff intothecontrolvolumeovertimeD t is (cid:11)
(cid:3)(cid:14)(cid:13) (cid:3)
(cid:9) (cid:8) (cid:12) (cid:9) (cid:8) (cid:15) (cid:9) (cid:8) (cid:12)
J J D yD zD t J J D xD zD t J J D xD yD t (1.4)
x x D x y y D y z z D z
We have not yet said what physical mechanisms cause the influx of f . For physical
phenomenaof interest to us, f is transported by two primary mechanisms: diffusion
duetomolecularcollision,andconvectionduetothemotionoffluid. Inmanycases,
thediffusionfluxmaybewrittenas
(cid:2)
(cid:16) (cid:9)
¶ f
J G (1.5)
diffusionx ¶ x
Theconvectivefluxmaybewrittenas
(cid:2)
(cid:16)
J r uf (1.6)
convectionx
10