Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y propagación

283 Pages·2007·2.03 MB·Spanish

Métodos numéricos.
Introducción, aplicaciones y
propagación
Antonio Huerta Cerezuelo
Josep Sarrate-Ramos
Antonio Rodríguez-Ferran
Primera edición:septiembre de 1998
Con la colaboración del Servei de Publicacions de la UPC
Diseño de la cubierta: Antoni Gutiérrez
© los autores, 1998
© Edicions UPC, 1998
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
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ISBN: 84-8301-265-0
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(cid:19)Indice i
(cid:19)
Indice
Pr(cid:19)ologo vii
1 Introducci(cid:19)on al uso de los ordenadores 1
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1
1.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1
1.2 Tipos de ordenadores ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1
1.3 Ordenadoresdigitales ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::3
1.4 Software :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::6
1.5 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::7
2 Introducci(cid:19)on a los sistemas operativos 9
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::9
2.1 Introducci(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::9
2.2 Estructura de directorios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::10
2.3 Edicio(cid:19)n de un archivo ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::11
2.4 Manipulacio(cid:19)n de (cid:12)cheros :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::12
2.4.1 Sintaxis de comandos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::13
2.4.2 Comodines :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::14
2.4.3 Especi(cid:12)caci(cid:19)on de directorios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::14
2.5 Utilizaci(cid:19)on del entorno Windows :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16
2.5.1 Los elementos del entorno Windows :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::17
2.5.2 Las ventanas del Windows ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::21
2.6 Introducci(cid:19)on al manejo de Excel ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::23
2.6.1 Paso 1: Introducci(cid:19)on de constantes ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::25
2.6.2 Paso 2: Introducci(cid:19)on de fo(cid:19)rmulas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::26
ii M(cid:19)etodos num(cid:19)ericos
2.6.3 Paso 3: Arrastre de f(cid:19)ormulas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::27
2.6.4 Paso 4: Modi(cid:12)caci(cid:19)on din(cid:19)amica:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::28
2.6.5 Representaci(cid:19)on gr(cid:19)a(cid:12)ca ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29
2.6.6 Importacio(cid:19)n de resultados ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::30
2.7 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::35
3 Introducci(cid:19)on a la programacio(cid:19)n FORTRAN 37
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::37
3.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::37
3.2 Fases del desarrollo de un programaen FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::37
3.3 Organizaci(cid:19)ongeneral de un programa en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::39
3.3.1 Normas de escritura de un programaen FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::39
3.3.2 Elementos de un programa en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::::::40
3.4 Constantes y variables en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::41
3.4.1 Constantes y variables enteras ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::42
3.4.2 Constantes y variables reales ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::43
3.4.3 Constantes y variables complejas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::45
3.4.4 Constantes y variables l(cid:19)ogicas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::47
3.4.5 Constantes y variables alfanum(cid:19)ericas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::48
3.4.6 Sentencia IMPLICIT :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::49
3.5 Funciones en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::50
3.6 Sentencias de entrada{salida en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::51
3.7 Sentencias de control en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::53
3.7.1 La sentencia IF :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::54
3.7.2 La sentencia GO TO :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::55
3.7.3 El bloque DO{ENDDO :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::57
3.8 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::61
4 Nu(cid:19)mero, algoritmo y errores 63
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::63
4.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::63
4.2 Nu(cid:19)mero ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::64
4.2.1 Almacenamiento de los nu(cid:19)meros enteros :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::65
4.2.2 Almacenamiento de los nu(cid:19)meros reales ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::67
(cid:19)Indice iii
4.2.3 Over(cid:13)ow y under(cid:13)ow :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::69
4.3 Algoritmo ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::70
4.4 Errores ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::72
4.4.1 Error absoluto, error relativo y cifras signi(cid:12)cativas ::::::::::::::::::::::::::::72
4.4.2 Clasi(cid:12)cacio(cid:19)n de los errores ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::75
4.5 Propagacio(cid:19)ndel error ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::76
4.5.1 Conceptos previos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::76
4.5.2 Propagaci(cid:19)ondel error en la suma :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::78
4.5.3 Propagaci(cid:19)ondel error en la resta ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::79
4.5.4 Propagaci(cid:19)ondel error en el producto ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::80
4.5.5 Propagaci(cid:19)ondel error en la divisi(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::80
4.5.6 Propagaci(cid:19)ondel error en una funci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::81
4.6 An(cid:19)alisis de perturbaciones ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::82
4.7 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::87
5 Ceros de funciones 89
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::89
5.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::89
5.1.1 Ca(cid:19)lculo de ra(cid:19)(cid:16)cescuadradas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::90
5.1.2 Co(cid:19)mo jugar al billar en una mesa circular :::::::::::::::::::::::::::::::::::::90
5.2 M(cid:19)etodo de la bisecci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::92
5.3 Criterios de convergencia :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::96
5.4 M(cid:19)etodo de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::98
5.4.1 Deducci(cid:19)on anal(cid:19)(cid:16)tica del m(cid:19)etodo de Newton ::::::::::::::::::::::::::::::::::::98
5.4.2 Deducci(cid:19)on gr(cid:19)a(cid:12)ca del m(cid:19)etodo de Newton ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::99
5.5 M(cid:19)etodo de la secante ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::102
5.6 Gra(cid:19)(cid:12)cas de convergencia ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::103
5.7 Aspectos computacionales: las funciones externas FUNCTIONen FORTRAN ::::::104
5.8 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::115
6 Una introducci(cid:19)on a los m(cid:19)etodos gaussianos para sistemas
lineales de ecuaciones 117
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::117
6.1 Consideracionesgenerales :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::117
iv M(cid:19)etodos num(cid:19)ericos
6.1.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::117
6.1.2 Planteamiento general :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::119
6.1.3 Resolucio(cid:19)n algebraica: m(cid:19)etodo de Cramer ::::::::::::::::::::::::::::::::::::119
6.1.4 Resolucio(cid:19)n num(cid:19)erica: un enfoque global ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::121
6.2 M(cid:19)etodos directos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::124
6.2.1 Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::124
6.2.2 Sistemas con solucio(cid:19)n inmediata :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::125
Matriz diagonal ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::125
Matriz triangular superior ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::125
Matriz triangular inferior :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::126
6.2.3 M(cid:19)etodos de eliminacio(cid:19)n ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::126
M(cid:19)etodo de Gauss ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::126
M(cid:19)etodo de Gauss-Jordan :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::131
Ana(cid:19)lisis matricial del m(cid:19)etodo de Gauss: Gauss compacto :::::::::::::::::133
6.2.4 M(cid:19)etodos de descomposici(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::138
Introducci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::138
M(cid:19)etodo de Crout :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::140
M(cid:19)etodo de Cholesky :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::143
T
M(cid:19)etodos LDU y LDL :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::144
6.3 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::145
7 Programaci(cid:19)on y aspectos computacionales de los sistemas
lineales de ecuaciones 147
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::147
7.1 Programacio(cid:19)n :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::147
7.1.1 Dimensionamiento de matrices :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::147
7.1.2 Programaci(cid:19)onestructurada: subrutinas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::152
7.2 Sistemas con solucio(cid:19)n inmediata: programaci(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::::157
7.2.1 Matriz diagonal :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::157
7.2.2 Matriz triangular inferior ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::158
7.3 Consideracionessobre la memoria :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::160
7.3.1 Tipos de memoria :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::160
7.3.2 Dimensionamiento dina(cid:19)mico :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::161
7.4 Almacenamiento de matrices ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::165
(cid:19)Indice v
7.4.1 Almacenamiento por defecto en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::165
7.4.2 Almacenamiento por (cid:12)las y por columnas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::166
Almacenamiento por columnas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::166
Almacenamiento por (cid:12)las :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 167
7.4.3 Matrices sim(cid:19)etricas o matrices triangulares :::::::::::::::::::::::::::::::::::168
Matriz triangular superior ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::168
7.4.4 Matrices en banda :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::169
7.4.5 Almacenamiento en skyline ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::173
7.4.6 Almacenamiento compacto ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::176
Almacenamiento comprimido por (cid:12)las ::::::::::::::::::::::::::::::::::::176
Producto de matriz por vector ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::177
7.5 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::177
8 Aplicaciones al c(cid:19)alculo integral 179
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::179
8.1 Introducci(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::179
8.2 El m(cid:19)etodo de las aproximacionesrectangulares ::::::::::::::::::::::::::::::::::182
8.3 El m(cid:19)etodo compuesto del trapecio :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::183
8.4 Extensio(cid:19)n al c(cid:19)alculo de volu(cid:19)menes :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::187
8.5 Ap(cid:19)endice :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::189
8.6 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::191
9 Aplicaciones al c(cid:19)alculo diferencial 193
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::193
9.1 Introducci(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::193
9.1.1 Ecuaci(cid:19)on diferencial ordinariade primer orden :::::::::::::::::::::::::::::::193
9.1.2 Ecuaciones diferenciales ordinariasde orden superior a uno :::::::::::::::::::194
9.1.3 Reduccio(cid:19)n de una EDO de orden n a un sistema de n EDOs de primer orden :195
9.2 El m(cid:19)etodo de Euler :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::197
9.3 El m(cid:19)etodo de Heun :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::201
9.4 Extensio(cid:19)n a un sistema de EDOs de primer orden :::::::::::::::::::::::::::::::203
9.5 Ap(cid:19)endice :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::204
9.6 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::207
vi M(cid:19)etodos num(cid:19)ericos
10 Resoluci(cid:19)on de los problemas propuestos 209
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::209
10.1 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 2 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::209
10.2 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 3 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::215
10.3 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 4 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::221
10.4 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 5 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::233
10.5 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 6 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::244
10.6 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 7 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::250
10.7 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 8 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::268
10.8 Problemas del cap(cid:19)(cid:16)tulo 9 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::273
Pr(cid:19)ologo vii
Pr(cid:19)ologo
Este libro presenta una breve introduccio(cid:19)n a los m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos. Abarca desde la in-
troducci(cid:19)on a los ordenadoresy la programaci(cid:19)onen lenguajeFORTRAN hasta las aplicaciones,
haciendo una incursi(cid:19)on en los m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos propiamente dichos.
De hecho, todos los temas del libro se tratan de forma b(cid:19)asica. S(cid:19)olo al abordar los m(cid:19)etodos
directos para sistemas lineales de ecuaciones se profundiza ma(cid:19)s, buscando dar una base s(cid:19)olida,
puesto que es uno de los temas fundamentales en m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos para ingenier(cid:19)(cid:16)a.
Laserratasyerroressoncompletamenteatribuiblesalosautores. Sinembargo,losaciertos,
tanto en el enfoque como en el contenido, son de todos los profesores que participan y han
participado en las asignaturas de m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos que impartimos. Seguramente, de entre
todos ellos, el m(cid:19)as sen~alado es Manuel Casteleiro, maestro de todos nosotros.
1 Introducci(cid:19)on al uso delos ordenadores 1
1 Introduccio(cid:19)n al uso de los ordenadores
Objetivos
(cid:15) Describir las diferencias conceptuales entre los ordenadores anal(cid:19)ogicosy digitales.
(cid:15) Presentarlascaracter(cid:19)(cid:16)sticasprincipalesdeloscomponentesb(cid:19)asicosdeunordenador
personal.
1.1 Introducci(cid:19)on
Durantelas u(cid:19)ltimas d(cid:19)ecadas,el ordenadorse ha convertidoen una de las herramientasm(cid:19)as
potentes y u(cid:19)tiles de que dispone el ingeniero. Su utilizaci(cid:19)on abarca desde la fase de disen~o y
validacio(cid:19)nexperimentalenunlaboratorio,hastalafasedeconstrucci(cid:19)onoproducci(cid:19)onindustrial,
pasando por la confecci(cid:19)on de planos y la redacci(cid:19)on de los pliegos de condiciones en los que se
utilizandiferentesequiposdeCADyo(cid:12)m(cid:19)atica. Paralelamenteaesteaugetambi(cid:19)enhaaparecido
la necesidad de recurrir a diferentes, y cada vez m(cid:19)as so(cid:12)sticados, m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos en varias
de las anterioresfases.
A la vista de lo anterior y aunque el objetivo de este libro no sea el estudio detallado
del funcionamiento interno de un ordenador, es muy interesante que un ingeniero posea unos
conocimientos m(cid:19)(cid:16)nimos sobre dicho funcionamiento. Adema(cid:19)s, este conocimiento le facilitara(cid:19) la
comprensi(cid:19)onde loslenguajesdeprogramaci(cid:19)onas(cid:19)(cid:16)como elan(cid:19)alisiseinterpretaci(cid:19)ontantode los
resultados obtenidos como de los posibles erroresde programaci(cid:19)on.
1.2 Tipos de ordenadores
Desde el punto de vista conceptual, existen dos tipos de ordenadores: los ordenadores
anal(cid:19)ogicos y los digitales. Los ordenadores anal(cid:19)ogicos se basan en una analog(cid:19)(cid:16)aentre las ecua-
ciones que rigenel problemaque se deseasimulary un fen(cid:19)omenof(cid:19)(cid:16)sicofa(cid:19)cilmente reproducible