Mehrdimensionale lineare Systeme: Fourier-Transformation und δ-Funktionen

253 Pages·1989·0.33 MB·German

by  Dr.-Ing. habil. Richard Bamler (auth.)

~actuichtentechrrik
Herausgegeben von H. .M arko
Band 20
Richard Bamler
Mehrdimensionale
lineare Systeme
Fourier-Transformation
und o-Funktionen
Mit 128 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg NewY ork
London Paris Tokyo Hong Kong 1989
Dr.-Ing. habil. RICHARD BAMLER
Wissenschaftlicher Mitarbeiter,
Deutsche Forschungsanstalt flir Luft-und Raumfahrt,
Oberpfaffenhofen
Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. HANS MARKO
Universitiitsprofessor, Lehrstuhl flir Nachrichtentechnik
Technische Universitiit Miinchen
ISBN-13 :978-3-540-51069-7 e-ISBN-13 :978-3-642-83763-0
DOl: 10.1007/978-3-642-83763-0
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Bamler, Richard:
Mehrdimensionale lineare Systeme : Fourier-Transformation und /)-Funktionen / Richard Bamler.
Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo; Hong Kong: Springer, 1989
(Nachrichtentechnik ; Bd. 20)
ISBN-13:978-3-540-51069-7
NE:GT
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989
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Zur Buchreihe "Nachrichtentechnik"
Die Nachrichten-oder Informationstechnik befindet sich seit vielen Jahrzehnten in
einer stetigen, oft sogarsti1rmisch verlaufenden Entwicklung, deren Ende derzeit noch
nicht abzusehen ist. Durch die Fortschritte derTechnologie wurden ebenso wie durch
die Verbesserung der theoretischen Methoden nicht nur die vohandenen Anwendungs
gebiete ausgeweitet und den sich stets andernden Erfordernissen angepaLH, sondern
auch neue Anwendungsgebiete erschlossen.
Zu den klassischen Aufgaben der Nachrichtenubertragung und der Nachrichten
vermittlung sind die Nachrichtenverarbeitung und die Datenverarbeitung hinzu
gekommen, die viele Gebiete des beruflichen und des privaten Lebens in zunehmen
dem Ma13e verandern. Die Bedurfnisse und Moglichkeiten der Raumfahrt haben
gleicherma13en neue Perspektiven eroiTnet wie die verschiedenen Alternativen zur
Realisierung breitbandiger Kommunikationsnetze. Neben die ana loge ist die digitale
Ubertragungstechnik, neben die klassische Text-, Sprach-und Bildubertragung ist die
Datenubertragung getreten. Die Nachrichtenvermittlung im Raumvielfach wurde
durch die elektronische zeitmultiplexe Vermittlungstechnik erganzt. Satelliten- und
Glasfasertechnik haben zu neuen Ubertragungsmedien gefUhrt. Die Realisierung
nachrichtentechnischer Schaltungen und Systeme ist durch den Einsatz von Elektro
nenrechnern sowie durch die digitale Schaltungstechnik erheblich verbessert und er
weitert worden. Die rasche Entwicklung der Halbleitertechnologie zu immer hoheren
Integrationsgraden erschlie13t neue Anwendungsgebiete besonders auf dem Gebiet der
digitalen Technik.
Die Buchreihe "Nachrichtentechnik" tragt dieser Entwicklung Rechnung und bietet
eine zeitgema13e Darstellung der wichtigsten Themen der Nachrichtentechnik an. Die
einzelnen Bande werden von Fachleuten geschrieben, die auf den jeweiligen Gebieten
kompetent sind. Jedes Buch soli in ein bestimmtes Teilgebiet einfUhren, die wesent
lichen heute bekannten Ergebnisse darstellen und eine Brucke zur weiterfUhrenden
Spezialliteratur bilden. Dadurch soli es sowohl dem Studierenden bei der Einarbeitung
in die jeweilige Thematik als auch dem im Beruf stehenden Ingenieur oder Physiker als
Grundlagen- oder Nachschlagewerk dienen. Die einzelnen Bande sind in sich abge
schlossen, erganzen einander jedoch innerhalb der Reihe. Damit ist eine gewisse Uber
schneidung unvermeidlich, ja sogar erforderlich.
Die derzeitige Planung der Reihe umfa13t die mathematischen Grundlagen, die Bau
gruppen und Systeme sowie die Technik der Signalverarbeitung und der SignalUber
tragung; eine Erganzung bildet die Me13technik (siehe Schema nachste Seite).
Herausgeber und Verlag danken fUr aile Anregungen zur weiteren Ausgestaltung
dieser Reihe. Die freundliche Aufnahme in der Fachwelt hat die Richtigkeit der Idee, das
sich schnell entwickelnde Gebiet der Nachrichtentechnik oder Informationstechnik in
einer Buchreihe darzustellen, bestatigt.
Munchen, im Fruhjahr 1989 H. Marko
VI
Bisher erschienene Bande der Buchreihe » Nachrichtentechnik«
Mathematische Band 1: Methoden der Systemtheorie (H. Marko)
Grundlagen
Band 4: Numerische Berechnung linearer Netzwerke
und Systeme (H. Kremer)
Band 7: Grundlagen digitaler Filter (R. Liicker)
Band 10: Grundlagen derTheorie statistischer Signale
(E. Hansler)
Band 15: Dbungsbeispiele zur Systemtheorie
(1. Hofer-Alfeis)
Band 20: Mehrdimensionale Iineare Systeme
(R. Bamler)
Baugruppen Band 3: Bau hybrider MikroschaItungen
und Systeme (E. Liider, vergriffen)
Band 8: Nichtlineare Schaltungen (R. Elsner)
Signal- Band 5: ProzeBrechentechnik (G. Farber)
verarbeitung
Band 12: Sprachverarbeitung und Sprachiibertragung
(K. Fellbaum)
Band 13: Digitale Bildsignalverarbeitung (F. Wahl)
Band 19: Wissensbasierte Bildverarbeitung
(C.-E. Liedtke, M. Ender)
Signal- Band 2: Femwirktechnik der Raumfahrt (P. Hartl)
iibertragung
Band 6: Nachrichteniibertragung iiber Satelliten
(E. Herter, H. Rupp)
Band 11: Bildkommunikation (H. Schonfelder)
Band 14: Digitale Dbertragungssysteme
(G. Soder, K. Trondle)
Band 16: Lichtwellenleiter fUr die optische
Nachrichteniibertragung (S. Geckeler)
Band 17: Optische Dbertragungssysteme mit Dber-
lagerungsempfang (1. Franz)
Band 18: Radartechnik (1. Detlefsen)
Erganzung Band 9: Nachrichten-MeBtechnik (E. Schuon, H. Wolf)
Vorwort
Die lineare Systemtheorie mit ihren 'Werkzeugen' Fa/tung, Fourier-Transformation
und o-Funktionen ist eine wohletablierte Methode zur Beschreibung von Zeitsystemen
und -signalen. Die Erweiterung dieser nachrichtentechnischen Betrachtungsweise
auf mehrdimensionale Systeme hat wesentlich zum Verstandnis von Problemen der
Bildgewinnung, der Bildverarbeitung und der Sensorik beigetragen.
Wahrend speziell (eindimensionale) Zeitsignale und (zweidimensionale) Bildsignale
in den Banden 1 und 13 dieser Reihe ausfOhrlich behandelt werden, will das vorlie
gende Buch die mathematischen Grundlagen einer allgemein n-dimensionalen line
aren Systemtheorie vermitteln und anhand von Beispielen illustrieren. Dabei werden
auch Gemeinsamkeiten und Unterschiede beim Obergang von einer auf mehrere
Dimensionen verdeutlicht, wobei die o-Funktionen ihrer - im Mehrdimensionalen -
besonderen Vielfalt wegen einen groBen Raum einnehmen.
Wegen dieser angestrebten Allgemeinheit werden in den Kapiteln 3 und 4 Gesetze
und Zusammenhange weitgehend frei von physikalischer Bedeutung und fOr unbe
schrankte Dimensionenzahl hergeleitet. Diese Rechenregeln dienen dann in Kapitel
5 beispielhaft zur systemtheoretischen Behandlung von Wellenausbreitungsproble
men. Diesem eigentlichen 'mehrdimensionalen Teil' ist das Kapitel 2 Ober eindimen
sionale Systemtheorie vorangestellt, einerseits urn Leser unterschiedlichen Vorwis
sens in die Nomenklatur und den Stil dieses Buches einzufOhren, andererseits urn
einige allgemeingOltige Oberlegungen schon vorab zu diskutieren. Dies ermoglicht in
den spateren Kapiteln, Herleitungen etwas straffer zu gestalten und Zusammenhange
induktiv zu verdeutlichen.
Das vorliegende Buch entstand wahrend meiner Lehr- und Forschungstatigkeit am
Lehrstuhl fOr Nachrichtentechnik der Technischen Universitat MOnchen. DaB an
diesem Lehrstuhl die Systemtheorie einen solch hohen Stellenwert einnimmt, ist in
erster Linie das Verdienst von Professor H. Marko, der dieses Buch initiiert und unter
stOtzt hat und der mir haufig Diskussionspartner war. Viele Anregungen, didaktische
Ratschlage und ein ungewohnlich freundschaftliches Arbeitsklima verdanke ich
H. Platzer, J. Hofer-Alfeis, H. GIOnder, A. Gerhard, R. Lenz und J. Steurer. Einen Teil
des Manuskripts hat S. Karl unter der erschwerten Bedingung meiner Handschrift in
Reinform gebracht.
Mein herzlichster Dank gilt jedoch meiner Frau Gabi und meinen Kindern Richard und
Robert, die auch dann mit mir Geduld hatten, wenn ich nicht in den uns gemeinsamen
Dimensionen x, y, z und t anzutreffen war.
MOnchen, im Januar 1989 Richard Bamler
Inhaltsverzeichnis
1 EinfOhrung
Signale und Systeme .................................................................... . 2
Systemklassen ............................................................................. . 5
Spektraltransformationen 8
2 Eindimensionale lineare Zeitsysteme .................................... 10
2.1 8-Funktionen .................................................................................... 10
Rechenregeln fUr 8-Funktionen ......................................................... 12
Differenzierte 8-Funktionen ............................... ................................ 13
Obertragung von 8-Funktionen Ober lineare Systeme ........................... 15
2.2 Zeitinvariante Systeme ........................................................................ 16
Veranschaulichung der Faltung ......................................................... 17
Faltung mit 8-Funktionen .................................................................. 19
2.3 Fourier-Transformation ........................................................................ 19
Gesetze und Korrespondenzen der Fourier-Transformation .................. 22
2.4 Laplace-Transformation ..................................................................... 25
2.5 Modulatoren .................................................................................... 28
2.6 Zeitvariante Systeme ........................................................................ 29
Beispiele spezieller linearer Systeme ................................................ 30
2.7 Analytische Signale ........................................................................... 31
2.8 Regulare Abtastung ........................................................................... 33
Das Spektrum des abgetasteten Signals .......................................... 34
Die Interpolation ........................................................................... 35
Abtastung von Spektren .................................................................. 37
Zeit-Bandbreite-Produkt von Signalen und Spektren ........................... 38
3 Mehrdimensionale Signale und Systeme .............................. 39
3.1 8-Funktionen im Mehrdimensionalen .... .... ... ..... ......... .... ........ .... .......... 40
Ein-und mehrdimensionale 8-Funktionen .......................................... 41
8-Punkte ....................................................................................... 45
Integration von 8-Funktionen ............................................................ 46
Eindimensionale 8-Geraden und 8-Ebenen ....................................... 47
Eindimensionale 8-Linien und 8-Fliichen .......................................... 48
Produkt von 8-Funktionen 51
Differenzierte 8-Funktionen. Dipolfunktionen ....................................... 54
Zusammenfassende Definitionen ...................................................... 57
IX
3.2 Mehrdimensionale Faltung .................................................................. 58
Faltung mit /)-Linien und /)-Flachen ................................................... 61
Faltung mit /)-Geraden und /)-Ebenen .............. .................................. 62
3.3 Mehrdimensionale Fourier-Transformation ............................................. 65
Rechengesetze der mehrdimensionalen Fourier-Transformation ..... ....... 67
Fourier-Spektren von /)-Punkten, B-Geraden und /)-Ebenen .................. 71
Das Zentralschnitt-Theorem ............................................................ 74
Fourierspektren von /)-Linien und /)-Flachen (asymptotisches Verhalten) 77
3.4 Spezielle Gesetze fOr zweidimensionale Signale .................................... 80
Rotationssymmetrische Signale und Spektren .................................... 82
Zirkularharmonische Signale ............................................................ 85
Entwicklung in Zirkularharmonische .... ............................................... 88
3.5 Spezielle Gesetze fOr dreidimensionale Signale .................................... 90
3.6 Bemerkenswertes und Asymptotisches ................................................... 91
GauB-Funtionen ........................................................................... 92
Signale mit quadratischer Phase ...................................................... 93
Polfunktionen ................................................................................. 93
/)-Linien, &-Flachen ........................................................................ 94
/)-GeradenbOschel, /)-EbenenbOschel ................................................ 95
Asymptotisches Verhalten von Spektren bestimmter Signalklassen 98
4 Abtastung und Projektion mehrdimensionaler Signale ...... 101
4.1 Regulare Abtastfunktionen und deren Spektren ....................................... 102
Eindimensionale Abtastfunktionen ................................................... 102
Mehrdimensionale Abtastfunktionen ................................................ 104
Systematische Konstruktion von Wiederholrastern .............................. 107
Dichteste Packung isotrop begrenzter Spektren ................................. 108
Orts-Bandbreite-Produkt mehrdimensionaler Signale und Spektren ...... 113
4.2 Einige spezielle Abtastprobleme ......................................................... 114
Zeilensequenzen ........................................................................... 114
Schnittbildsequenzen ..................................................................... 121
Ein Abtasttheorem fOr zeitvariante Systeme ....................................... 122
Das Abtasttheorem der Computer-Tomographie .................................. 127
5 Systemtheoretische Beschreibung physikalischer
Phanomene ................................................................................. 137
5.1 Allgemeine Problemstellungen ............................................................ 137
Ditferentialgleichungen .................................................................. 138
Das Quellenproblem ..................................................................... 144
Spezielle Quellenfunktionen ............................................................ 146
Das Anfangswertproblem ............................................................... 151
x
Das Randwertproblem ..................................................................... 155
Das Streuproblem ........................................................................ 159
Differentielle oder integrale Beschreibung? ....................................... 160
Raumliche Differentiationssatze ...................................................... 162
5.2 Wellenausbreitung ........................................................................... 164
Das Quellenproblem ..................................................................... 165
Herleitung von S(fr,f,) und s(r,t) aus der Wellengleichung ..................... 165
Spezielle Quellenfunktionen ............................................................ 169
Das Fernfeld synchroner Quellen ...................................................... 171
Das Anfangswertproblem ............................................................... 173
Das Randwertproblem ..................................................................... 175
5.3 Ausbreitung und Beugung harmonischer koharenter Wellen ..................... 177
Ebene Wellen .............................................................................. 178
Quellenproblem und Kugelwel\e ...................................................... 180
Das Teilspektrum sx.V(fx.fy'z) ............................................................ 182
Die Ewald-Kugel ........................................................................... 183
Das Fernfeld harmonischer Quel\en ................................................... 188
Randwertproblem, Punktantwort und Obertragungsfunktion des Raums ... 192
Geometrische Herleitung von S, u(fx' fy) ............................................. 194
Beugung koheranter Wel\en ............................................................ 198
Naherungen des Beugungsintegrals ................................................ 200
Fraunhofersche Fernfeldlosung ......................................................... 202
Nachrichtentechnische Analogien ................................................... 205
Koharent-optische Fourier-Transformation .......................................... 211
Koharente Abbildung, Ortsfrequenzfilterung ....................................... 215
Streuung harmonischer Wellen ......................................................... 216
Bornsche Naherungen .................................................................. 219
Das Fourier-Beugungs-Theorem ...................................................... 222
Tabelle der Symbole und Formelzeichen .................................... 227
Literaturverzeichnis ........................................................................ 233
Sachverzeichnis .............................................................................. 237
1 EinfUhrung
Systemtheorie ist die Behandlung von Problemen aus verschiedensten Gebieten
unter Abstraktion von deren physikalischer Natur. Diese von KOPFMOLLER [1.1-1.3]
maBgeblich gepragte Betrachtungsweise diente anfangs zur - z.T. idealisierten -
Analyse von linearen Zeitsystemen fOr die NachrichtenObertragung. Ein System wird
danach z.B. durch eine Ubertragungsfunktion vollstandig beschrieben, die den
mathematischen Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal darstell!.
AuBer Spektraltransformationen, wie die Fourier- und Laplace-Transformation,
spielen dabei o-Distributionen eine zentrale Rolle. Seither ist diese bestechend
einfache und eindimensionale 'Eingangs-Ausgangs-Systemtheorie' vor allem in zwei
Richtungen erweitert worden 1: Die EinfOhrung der Zustandsdarstellung von Zeit
systemen [1.5, 1.6] trug den BedOrfnissen der Regelungstechnik und der Automaten
theorie Rechnung; die Anwendung der Fourier-Methoden auf mehrdimensionale
Signale und Systeme andererseits ermoglichte das Einbringen nachrichtentech
nischer Beschreibungsweisen speziell in die Optik [1.7, 1.8]. Die letztgenannte Ent
wicklung ist nicht etwa nur ein 'Reimport' des Fourier-KalkOls in die Physik, sondern
tatsachlich eine Betrachtungsweise physikalischer Effekte unter anderen Aspekten:
Wahrend in der Physik Spektraltransformationen in erster Linie Hi/fsmittel zur Losung
von Differentialgleichungen sind [1.9-1.11]. stellen Integraloperatoren (also auch
Spektraltransformationen) bei der nachrichtentechnisch orientierten Systemtheorie
das Beschreibungsmittel selbst dar. Diese - und damit die Einbringung des System
beg riffs - ermoglichen die anschauliche Formulierung von Ursache-Wirkungs
Beziehungen, deren Bedeutung in der Physik haufig vor der Notwendigkeit in den
Hintergrund tritt, wirklich aile Losungen der entsprechenden Differentialgleichung zu
ermitteln. Diese unterschiedliche Wertung liegt daran, daB in der Nachrichtentechnik
der Verlauf einer physikalischen GrOBe nicht lediglich als - wertfreie - mathematische
Funktion betrachtet wird, sondern i. allg. ein informationstragendes Signal is!. Die
Systemtheorie maBt sich nicht an, physikalische Phanomene 'korrekter' zu beschrei
ben oder gar fundamentale Erkenntnisse ausschlieBlich zu ermoglichen - zumal die
ihr und der Physik zugrundeliegende Mathematik ja dieselbe ist; vielmehr ist ihre
Domane die 'Verwertung' physikalischer Gesetze auf einem hoheren Abstraktions
niveau, urn damit die Gemeinsamkeiten unterschiedlicher Phanomene bezOglich
ihrer Ubertragungseigenschaften aufzuzeigen.
1 Eine Historie der Systemtheorie lindet sich in [1.4).