Mechanics of materials. Fundamentals of inelastic analysis

282 Pages·2002·1.966 MB·English

by  Saouma V.E.

Draft
DRAFT
Lecture Notes
Introduction to
MECHANICSofMATERIALS
Fundamentals of Inelastic Analysis

(cid:1)cVICTOR E. SAOUMA
Dept. of Civil Environmental and Architectural Engineering
University of Colorado, Boulder, CO 80309-0428
Draft
ii
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
iii
PREFACE
One of the most fundamental question that an Engineer has to ask him/herself is what is how does
it deform, and when does it break. Ultimately, it its the answer to those two questions which would
provide us with not only a proper safety assesment of a structure, but also how to properly design it.
Ironically, botht he ACI and the AISC codes are based on limit state design, yet practically all design
analyses are linear and elastic. On the other hand, the Engineer is often confronted with the task of
determiningtheultimateloadcaryingcapacityofastructureortoassessitsprogressivedegradation(in
the ontect of a forensic study, or the rehabilitation, or life extension of an existing structure). In those
particular situations, the Engineer should be capable of going beyond the simple linear elastic analysis
investigation.
Whereas the Finite Element Method has proved to be a very powerful investigative tool, its proper
(and correct) usage in the context of non-linear analysis requires a solid and thorough understanding of
the fundamentals of Mechanics. Unfortunately, this is often forgotten as students rush into ever more
advanced FEM classes without a proper solid background in Mechanics.
In the humble opinion of the author, this understanding is best achieved in two stages. First, the
student should be exposed to the basic principles of Continuum Mechanics. Detailed coverage of (3D)
Stress, Strain, General Principles, and Constitutive Relations is essential. In here we shall go from the
general to the specific.
Thenmaterialmodelsshouldbestudied. Plasticitywillprovideaframeworkfromwheretodetermine
the ultimate strength, Fracture Mechanics a framework to check both strength and stability of flawed
structures,andfinallyDamageMechanicswillprovideaframeworktoassessstiffnessdegradationunder
increased load.
The course was originally offered to second year undergraduate Materials Science students at the
Swiss Institute of Technology during the author’s sabbatical leave in French. The notes were developed
withthefollowingobjectivesinmind. Firsttheymustbecompleteandrigorous. Atanytime,astudent
should be able to trace back the development of an equation. Furthermore, by going through all the
derivations,thestudentwouldunderstandthelimitationsandassumptionsbehindeverymodel. Finally,
the rigor adopted in the coverage of the subject should serve as an example to the students of the
rigor expected from them in solving other scientific or engineering problems. This last aspect is often
forgotten.
Thenotesarebrokendownintoaveryhierarchicalformat. Eachconceptisbrokendownintoasmall
section (a byte). This should not only facilitate comprehension, but also dialogue among the students
or with the instructor.
Whenever necessary, Mathematical preliminaries are introduced to make sure that the student is
equipped with the appropriate tools. Illustrative problems are introduced whenever possible, and last
but not least problem set using Mathematica is given in the Appendix.
The author has no illusion as to the completeness or exactness of all these set of notes. They were
entirelydevelopedduringasingleacademicyear,andhencecouldgreatlybenefitfromathoroughreview.
As such, corrections, criticisms and comments are welcome.
Victor E. Saouma
Boulder, January 2002
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
iv
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
Contents
I CONTINUUM MECHANICS 1
1 MATHEMATICAL PRELIMINARIES; Part I Vectors and Tensors 1
1.1 Indicial Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Coordinate Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.1 † General Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.1.1 ‡Contravariant Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.1.2 Covariant Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2.2 Cartesian Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Tensor Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Rotation of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Principal Values and Directions of Symmetric Second Order Tensors . . . . . . . . 13
1.3.5 † Powers of Second Order Tensors; Hamilton-Cayley Equations . . . . . . . . . . . 14
2 KINETICS 1
2.1 Force, Traction and Stress Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Traction on an Arbitrary Plane; Cauchy’s Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
E 2-1 Stress Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Principal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Spherical and Deviatoric Stress Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Stress Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
E 2-2 Principal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
E 2-3 Stress Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 †Simplified Theories; Stress Resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.1 Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.2 Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 MATHEMATICAL PRELIMINARIES; Part II VECTOR DIFFERENTIATION 1
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.2 Derivative WRT to a Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
E 3-1 Tangent to a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.1 Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E 3-2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.2 Second-Order Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4.1 Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
E 3-3 Gradient of a Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Draft
ii CONTENTS
E 3-4 Stress Vector normal to the Tangent of a Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.2 Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
E 3-5 Gradient of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.3 Mathematica Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 KINEMATIC 1
4.1 Elementary Definition of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.1.1 Small and Finite Strains in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.1.2 Small Strains in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.2 Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2.1 Position and Displacement Vectors; (x,X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
E 4-1 Displacement Vectors in Material and Spatial Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2.1.1 Lagrangian and Eulerian Descriptions; x(X,t),X(x,t) . . . . . . . . . . . 6
E 4-2 Lagrangian and Eulerian Descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.2 Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.2.1 Deformation; (x∇X,X∇x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.2.1.1 † Change of Area Due to Deformation . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.2.1.2 † Change of Volume Due to Deformation . . . . . . . . . . . . . 8
E 4-3 Change of Volume and Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.2.2 Displacements; (u∇X,u∇x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
E 4-4 Material Deformation and Displacement Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.3 Deformation Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.3.1 Cauchy’s Deformation Tensor; (dX)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.3.2 Green’s Deformation Tensor; (dx)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
E 4-5 Green’s Deformation Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.4 Strains; (dx)2−(dX)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.4.1 Finite Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.4.1.1 Lagrangian/Green’s Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
E 4-6 Lagrangian Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.4.1.2 Eulerian/Almansi’s Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.4.2 Infinitesimal Strain Tensors; Small Deformation Theory . . . . . . . . . . 15
4.2.4.2.1 Lagrangian Infinitesimal Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.4.2.2 Eulerian Infinitesimal Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E 4-7 Lagrangian and Eulerian Linear Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.5 †Physical Interpretation of the Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.5.1 Small Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.5.2 Finite Strain; Stretch Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Strain Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1 †Linear Strain and Rotation Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1.1 Small Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1.1.1 Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1.1.2 Eulerian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
E 4-8 Relative Displacement along a specified direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
E 4-9 Linear strain tensor, linear rotation tensor, rotation vector. . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.2 Finite Strain; Polar Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
E 4-10 Polar Decomposition I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
E 4-11 Polar Decomposition II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E 4-12 Polar Decomposition III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Compatibility Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
E 4-13 Strain Compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
CONTENTS iii
4.6 Lagrangian Stresses; Piola Kirchoff Stress Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6.1 First . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6.2 Second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
E 4-14 Piola-Kirchoff Stress Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.7 Hydrostatic and Deviatoric Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.8 Principal Strains, Strain Invariants, Mohr Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E 4-15 Strain Invariants & Principal Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E 4-16 Mohr’s Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 Initial or Thermal Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.10 † Experimental Measurement of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.10.1 Wheatstone Bridge Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.10.2 Quarter Bridge Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 MATHEMATICAL PRELIMINARIES; Part III VECTOR INTEGRALS 1
5.1 Integral of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2 Line Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.4 Gauss; Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.4.1 †Green-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.5 Stoke’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.5.1 Green; Gradient Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
E 5-1 Physical Interpretation of the Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 FUNDAMENTAL LAWS of CONTINUUM MECHANICS 1
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.1.1 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.1.2 Fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.1.3 †Spatial Gradient of the Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 †Conservation of Mass; Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.3 Linear Momentum Principle; Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.3.1 Momentum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E 6-1 Equilibrium Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.3.2 †Moment of Momentum Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.4 Conservation of Energy; First Principle of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.4.1 Global Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.4.2 Local Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.5 Second Principle of Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.5.1 Equation of State. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6.5.2 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.5.2.1 †Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.5.2.2 Classical Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.6 Balance of Equations and Unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 CONSTITUTIVE EQUATIONS; Part I Engineering Approach 1
7.1 Experimental Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.1.1 Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.1.2 Bulk Modulus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Stress-Strain Relations in Generalized Elasticity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2.1 Anisotropic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2.2 †Monotropic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 † Orthotropic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.2.4 †Transversely Isotropic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.2.5 Isotropic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.2.5.1 Engineering Constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
iv CONTENTS
7.2.5.1.1 Isotropic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.2.5.1.1.1 Young’s Modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.2.5.1.1.2 Bulk’s Modulus; Volumetric and Deviatoric Strains. . . . 7
7.2.5.1.1.3 †Restriction Imposed on the Isotropic Elastic Moduli . . 8
7.2.5.1.2 †Transversly Isotropic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.5.2 Special 2D Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.5.2.1 Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.5.2.2 Axisymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2.5.2.3 Plane Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.3 †Linear Thermoelasticity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.4 Fourrier Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.5 Updated Balance of Equations and Unknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II ELASTICITY/SOLID MECHANICS 13
8 BOUNDARY VALUE PROBLEMS in ELASTICITY 1
8.1 Preliminary Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8.2 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8.3 Boundary Value Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.4 †Compact Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.4.1 Navier-Cauchy Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.4.2 Beltrami-Mitchell Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.4.3 Airy Stress Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.4.4 Ellipticity of Elasticity Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.5 †Strain Energy and Extenal Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.6 †Uniqueness of the Elastostatic Stress and Strain Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
8.7 Saint Venant’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
8.8 Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.8.1 Strains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.8.2 Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.8.3 Stress-Strain Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.8.3.1 Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8.8.3.2 Plane Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9 SOME ELASTICITY PROBLEMS 1
9.1 Semi-Inverse Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.1.1 Example: Torsion of a Circular Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
9.2 Airy Stress Functions; Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.2.1 Example: Cantilever Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9.2.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.2.2.1 Plane Strain Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.2.2.2 Axially Symmetric Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9.2.2.3 Example: Thick-Walled Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9.2.2.4 Example: Hollow Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9.3 Circular Hole, (Kirsch, 1898) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III FRACTURE MECHANICS 13
10 ELASTICITY BASED SOLUTIONS FOR CRACK PROBLEMS 1
10.1 †Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
10.2 †Complex Airy Stress Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
10.3 Crack in an Infinite Plate, (Westergaard, 1939) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
10.4 Stress Intensity Factors (Irwin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
CONTENTS v
10.5 Near Crack Tip Stresses and Displacements in Isotropic Cracked Solids . . . . . . . . . . 7
11 LEFM DESIGN EXAMPLES 1
11.1 Design Philosophy Based on Linear Elastic Fracture Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 1
11.2 Stress Intensity Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
11.3 Fracture Properties of Materials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.4.1 Example 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.4.2 Example 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.5 Additional Design Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11.5.1 Leak Before Fail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11.5.2 Damage Tolerance Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12 THEORETICAL STRENGTH of SOLIDS; (Griffith I) 1
12.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
12.1.1 Tensile Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
12.1.1.1 Ideal Strength in Terms of Physical Parameters . . . . . . . . . . . . . . 1
12.1.1.2 Ideal Strength in Terms of Engineering Parameter . . . . . . . . . . . . . 4
12.1.2 Shear Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
12.2 Griffith Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
12.2.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
13 ENERGY TRANSFER in CRACK GROWTH; (Griffith II) 1
13.1 Thermodynamics of Crack Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
13.1.1 General Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
13.1.2 Brittle Material, Griffith’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
13.2 Energy Release Rate Determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
13.2.1 From Load-Displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
13.2.2 From Compliance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
13.3 Energy Release Rate; Equivalence with Stress Intensity Factor . . . . . . . . . . . . . . . 7
13.4 Crack Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.4.1 Effect of Geometry; Π Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.4.2 Effect of Material; R Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
13.4.2.1 Theoretical Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
13.4.2.2 R vs KIc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
13.4.2.3 Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13.4.2.4 Plane Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
14 MIXED MODE CRACK PROPAGATION 1
14.1 Maximum Circumferential Tensile Stress. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
14.1.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15 FATIGUE CRACK PROPAGATION 1
15.1 Experimental Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.2 Fatigue Laws Under Constant Amplitude Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
15.2.1 Paris Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
15.2.2 Foreman’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.2.2.1 Modified Walker’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.2.3 Table Look-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.2.4 Effective Stress Intensity Factor Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.2.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.2.5.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.2.5.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
15.2.5.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
15.3 Variable Amplitude Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Victor Saouma Mechanics of Materials II
Draft
vi CONTENTS
15.3.1 No Load Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
15.3.2 Load Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.3.2.1 Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.3.2.2 Retardation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.3.2.2.1 Wheeler’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
15.3.2.2.2 Generalized Willenborg’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV PLASTICITY 9
16 PLASTICITY; Introduction 1
16.1 Laboratory Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
16.2 Physical Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
16.2.1 Chemical Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
16.2.2 Causes of Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
16.3 Rheological Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
16.3.1 Elementary Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
16.3.2 One Dimensional Idealized Material Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
17 LIMIT ANALYSIS 1
17.1 Review. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
17.2 Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
17.2.1 Upper Bound Theorem; Kinematics Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
17.2.1.1 Example; Frame Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
17.2.1.2 Example; Beam Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
17.2.2 Lower Bound Theorem; Statics Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
17.2.2.1 Example; Beam lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
17.2.2.2 Example; Frame Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
17.3 Shakedown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
18 CONSTITUTIVE EQUATIONS; Part II A Thermodynamic Approach 1
18.1 State Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
18.2 Clausius-Duhem Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
18.3 Thermal Equation of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
18.4 Thermodynamic Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
18.5 Linear Thermo-Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
18.5.1 †Elastic Potential or Strain Energy Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
18.6 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
18.6.1 Dissipation Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
19 3D PLASTICITY 1
19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
19.2 Elastic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.3 Idealized Uniaxial Stress-Strain Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.4 Plastic Yield Conditions (Classical Models) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19.4.1.1 Deviatoric Stress Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
19.4.1.2 Physical Interpretations of Stress Invariants. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
19.4.1.3 Geometric Representation of Stress States. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
19.4.2 Hydrostatic Pressure Independent Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
19.4.2.1 Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
19.4.2.2 von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
19.4.3 Hydrostatic Pressure Dependent Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
19.4.3.1 Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
19.4.3.2 Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Victor Saouma Mechanics of Materials II