Mathématiques : exercices incontournables : ECS 1re année

522 Pages·2015·83.835 MB·French

by  Blanc, Nicolas, Del Hierro, Martin, Péreyrol, Richard, Rousse, Vidian

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V, ROLBS IL PÉAIYAOL
Conception et création de couverture : Atelier 3+
Le pictogromme qui figure ci-contre d'enseignement supérieur, provoquant une
mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de
d'alerter le lecteur sur la menace que revues, au point que la possibilité même pour
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représente pour l'avenir de l'écrit, ----- les auteurs de créer des œuvres
particulièrement dans le domaine DANGER nouvelles et de les faire éditer cor-
de l'édition technique et universi- rectement est aujourd'hui menacée.
taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute
photocopillage. reproduction, portielle ou totale,
Le Code de la propriété intellec- de la présente publication est
tuelle du l er juillet 1992 interdit LE POOTOCOPILI.AΠinterdite sans autorisation de
en effet expressément la photoco- TUE LE LIVRE l'auteur, de son éditeur ou du
"'O pie à usage collectif sans autori- Centre français d'exploitation du
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C sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20, rue des
:J s'est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris).
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N © Dunod, 2015
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5 rue Laromiguière, 75005 Paris
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www.dunod.com
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> ISBN 978-2-10-072967-8
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Le Code de lo propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article
L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les « copies ou reproductions strictement
réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective »
et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dons un but d'exemple et
d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite
sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est
illicite » (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue
rait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
Table des matières
Algèbre
1 Calcul algébrique 9
2 Nombres complexes et polynômes 29
3 Calcul matriciel 59
4 Systèmes linéaires et matrices 93
5 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 113
6 Applications linéaires et matrices 169
Analyse
7 Nombres réels et suites réelles 245
8 Étude locale et globale des fonctions 265
9 Séries 305
10 Intégration des fonctions d'une variable réelle 337
"'O 11 Formules de Taylor et développements limités 379
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Probabilités
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@ 12 Dénombrement 407
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·CcJ l 13 Espaces probabilisés 423
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0 14 Variables aléatoires discrètes 449
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15 Variables aléatoires à densité 485
16 Convergence en probabilité et en loi 503
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Avant-propos
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants de première année E.C.S. de classes préparatoires
économiques. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de
mathématiques et d'algorithmique par le biais d'exercices. Chacun est suivi d'une
correction détaillée et commentée dans laquelle l'accent est mis sur la méthode qui
mène à la solution.
Le livre est divisé en trois parties et seize chapitres, consacrés chacun à une partie
du programme avec respect de la séparation en deux semestres. Au sein d'un même
chapitre, les exercices ont été choisis de façon à passer en revue toutes les capacités
attendues autour des notions à connaître. Ces capacités sont listées à la fin de chaque
chapitre avec un renvoi explicite aux questions et exercices dans lesquels elles sont
utilisées. Les principales formules sont également rappelées au sein de chaque capacité.
En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement :
• la réflexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements au
brouillon (nous nous somrn.es autorisés une plus grande liberté dans la façon de
formuler les idées et le sens profond de certaines notions parfois au mépris d'une
certaine rigueur mathématique mais toujours dans un souci pédagogique),
• de la rédaction finale, rigoureuse et précise.
Cette dernière étape est signalée dans le texte par la présence d'un liseré gris sur la
gauche et d'un ~- Bien évidemment, il n'est nullement question de prétendre, ici,
à l'unique cheminement logique, ou encore à la seule rédaction acceptable.
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0 Par ailleurs, nous avons souhaité mettre en exergue les idées réutilisables en les rédi-
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lJ"l geant sur un fond grisé et indiqué par un i>. De même, la présence d'une difficulté
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©N courante est si.g na le' e par un LÎ.f.!\J .
...µc L'index présent en fin d'ouvrage fournit des renvois aux principales notions aussi bien
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ï:::: vers la liste de capacités du chapitre dont elles dépendent que vers leurs utilisations
>
a. explicites dans d'autres chapitres.
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Enfin, comme l'usage le veut, l'expression « si et seulement si » sera parfois abrégée
en « ssi » et on écrira « resp. » comme abréviation de « respectivement ».
Chaque exercice est référencé selon le codage CHAP.EXO où CHAP est le numéro
du chapitre et EXO le numéro de l'exercice. De même chaque question d'un exercice
est référencée selon le codage CHAP.EXO.Q.SQ, voire Q.SQ, où Q est le numéro de
question et SQ la sous-question.
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Partie 1
Algèbre
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Copyright© 2015 Dunod.
Algèbre
1 Calcul algébrique 9
Semestre 1
1.1 : Techniques de sommation de base 9
1.2 : Séparation pairs/ impairs 15
1.3 : Sommes télescopiques 16
1.4 : Formule du binôme et moments de la loi binomiale 18
1.5 : La somme des premiers cubes 1 21
1.6 : La formule de Vandermonde 24
Liste des capacités attendues 27
2 Nombres complexes et polynômes 29
Semestre 1
2.1 : Complexes de module 1 29
2.2 : Équations sur (C 31
2.3 : Racines 5-ièmes et constructibilité du pentagone 34
2.4 : Linéarisation et primitivation 35
2.5 : Système d'équations sur (C 36
2.6 : La somme des premiers cubes 11 37
2.7 : Autour des polynômes de Tchebychev 41
2.8 : Division euclidienne et restes 45
2.9 : Polynômes interpolateurs de Lagrange 46
2.10 : Relation entre racines et coefficients 48
2.11 : Autour des racines n-ièmes de l'unité 49
"'O
0 2.12 : Divisibilité et ordre de multiplicité des racines 52
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0 Liste des capacités attendues 57
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N0 3 Calcul matriciel 59
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..c Semestre 1
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>a. 3.1 : Polynômes de matrice et inversibilité 60
0
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3.2 : Puissances de matrice 62
1
3.3 : Modèle de Leslie 66
1
3.4 : Théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2 x 2 70
3.5 : Produit scalaire, symétrie et antisymétrie 74
3.6 : Matrices de permutation 76
3.7 : Opérations élémentaires et produit matriciel 79
3.8 : Polynôme annulateur de matrice 87
Liste des capacités attendues 91
4 Systèmes linéaires et matrices 93
Semestre 1
4.1 : Systèmes rectangulaires et carrés 93
4.2 : Inversion matricielle et systèmes 95
4.3 : Systèmes à paramètres 1 96
4.4 : Systèmes à paramètres 11 98
4.5 : Systèmes et déterminant 100
4.6 : Résolution de systèmes par Scilab 103
4.7 : Méthode de Gauss-Jordan 108
Liste des capacités attendues 112
5 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels 113
Semestre 1
5.1 : Sous-espaces de ~ 5 114
5.2 : Équations cartésiennes et paramétrisation 122
5.3 : Espace de suites 125
5.4 : Famille de polynômes 129
5.5 : Famille échelonnée et famille de puissances 132
5.6 : Manifestement libre 139
5.7 : Familles extrémales 141
5.8 : Image et noyau d'une matrice 145
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0 Semestre 2
C
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0 5.9 : Espace de suites linéairement récurrentes 148
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,-t 5.10 : Carrés magiques 154
0
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@ 5.11 : Dimensions et espaces 160
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..c 5.12 : Analyse harmonique 163
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>- Liste des capacités attendues 167
Q.
0
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6 Applications linéaires et matrices 169
Semestre 2
6.1 : Applications coordonnées 169
6.2 : Projecteurs et symétries 172
1