Mathematik für Informatiker I und II [Lecture notes]

308 Pages·2009·1.757 MB·German

by  Martin Skutella

Skript zu den Vorlesungen
Mathematik für Informatiker I und II
(WiSe 2009/10 und SoSe 2010)

Im WiSe 2009/10 gehalten von:
Prof. Dr. Barbara Baumeister

Lehrstuhl für Algebra
Fachbereich Mathematik
Universität Dortmund

[e-mail]

Autor: Martin Skutella
Lehrstuhl für Diskrete Optimierung
Fachbereich Mathematik
Universität Dortmund
[e-mail]

(Version vom 15. Oktober 2007)

Vorwort
Das vorliegende Skript entstand im Winter- und Sommersemester 2005/06 w¨ah-
rend ich die Vorlesungen Mathematik fu¨r Informatiker I und II“ an der Univer-
”
sit¨at Dortmund hielt. Ich habe versucht, die wichtigsten Punkte der behandelten
Themen darin zusammen zu stellen, um den H¨orerinnen und H¨orern einen Leit-
faden fu¨r die Nachbereitung der Vorlesung an die Hand zu geben. Das Skript
erhebt nicht den Anspruch eines Lehrbuchs hinsichtlich Exaktheit, Vollst¨andig-
keit und Pr¨asentation der Themen. Ich m¨ochte beispielhaft auf einige Lehrbu¨cher
verweisen, die beim weiteren Studium der Materie hilfreich sein k¨onnten.
• M. Aigner. Diskrete Mathematik. Vieweg Verlag, 2004.
• M. Brill. Mathematik fu¨r Informatiker. Hanser Verlag, 2001.
• D. Hachenberger. Mathematik fu¨r Informatiker. Pearson Studium, 2005.
• P. Hartmann. Mathematik fu¨r Informatiker. Vieweg Verlag, 2004.
• G. Rosenberger. Lineare Algebra und algebraische Strukturen fu¨r Informa-
tiker. Shaker Verlag, 2002.
• A. Steger. Diskrete Strukturen (Band 1). Springer Verlag, 2001.
• M. Wolff, P. Hauck und W. Ku¨chlin. Mathematik fu¨r Informatik und Bio-
informatik. Springer Verlag, 2004.
Daru¨ber hinaus gibt es natu¨rlich eine Vielzahl weiterer Lehrbu¨cher, auf die ich
hier jedoch nicht n¨aher eingehe.
Teile dieses Skripts basieren auf Skripten und Aufzeichnungen zu fru¨heren
Vorlesungen an der Universit¨at Dortmund, die mir meine Kollegen freundlicher-
weise zur Verfu¨gung gestellt haben. Mehr dazu findet sich zu Beginn der ent-
sprechenden Kapitel. Die Assistenten der beiden Vorlesungen, Ronald Koch und
Sammy Barkowski, haben mit zahlreichen wertvollen Text- und Bildbeitr¨agen,
Hinweisen und Verbesserungsvorschl¨agen wesentlich zum Gelingen des Skripts
beigetragen. Dafu¨r sei ihnen ganz herzlich gedankt.
iii
iv Mathematik fu¨r Informatiker M. Skutella
Aufgrund der begrenzten Zeit, die ich auf das Erstellen dieses Skripts verwen-
den konnte, ist es sicherlich weit davon entfernt, fehlerfrei zu sein. Fu¨r entspre-
chende Hinweise (am besten per Email an [e-mail])
bin ich jederzeit dankbar.
Dortmund, im Juli 2006 Martin Skutella
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagen, Mengen, Abbildungen, Relationen 1
1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Informelle Definition von Aussagen . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Logische Verknu¨pfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Mengen und deren Beschreibungen . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Allquantor und Existenzquantor . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 M¨achtigkeit endlicher Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Abbildungsvorschrift, Definitions- und Bildbereich . . . . . 11
1.3.2 Bilder und Urbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Eigenschaften und Komposition von Abbildungen . . . . . 14
1.3.4 Bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 M¨achtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Grundbegriffe und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Verkettung und Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 A¨quivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.5 Verb¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Zahlbereiche 31
2.1 Natu¨rliche Zahlen, vollst¨andige Induktion und Rekursion . . . . . 31
2.1.1 Axiome der natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Vollst¨andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Rekursive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Gruppen, Ringe, K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Halbgruppen, Monoide, Gruppen . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
v
vi Mathematik fu¨r Informatiker M. Skutella
2.4 Primfaktorzerlegung und der euklidische Algorithmus . . . . . . . 51
2.4.1 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Der euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.3 Primzahlen und Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Modulare Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Addition und Multiplikation modulo m . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Einheiten und Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.3 Nullteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.4 Chinesischer Restesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Lineare Algebra 67
3.1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.2 Teilr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme . . . . . . . 85
3.2.4 Lineare Abh¨angigkeit und lineare Unabh¨angigkeit . . . . . 88
3.2.5 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.6 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.7 Eine Anwendung: Endliche K¨orper . . . . . . . . . . . . . 102
3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.1 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.2 Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.3 Kern und Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.4 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.5 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.6 Eine Anwendung: Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . 123
3.3.7 Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3.8 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.9 Algebra der linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3.10 Die volle lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4.1 Alternierende Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 Analysis 141
4.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.1 Die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . 141
4.1.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.3 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.1.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1.5 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . 161
Mathematik fu¨r Informatiker M. Skutella vii
4.1.6 Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2.1 Beru¨hrungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.2.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.2.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.2.4 Elementare Funktionen: exp, ln, cos, sin, tan etc. . . . . . 181
4.2.5 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . 187
4.3 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3.1 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen . . . . . 189
4.3.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.3.3 Mittelwerts¨atze und Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.3.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3.5 Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher . . . . . . . . . . . . . 208
4.4 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.4.1 Das Integral einer Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . 214
4.4.2 Riemann-integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 217
4.4.3 Integration und Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.4.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.4.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.5 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.5.1 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.5.2 Eine nichtlineare Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . 232
4.5.3 Lineare Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5 Kombinatorik und Graphentheorie 235
5.1 Abz¨ahlende Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.1.1 Einige elementare Z¨ahlprinzipien . . . . . . . . . . . . . . 236
5.1.2 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.1.3 Auswahlen aus einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.1.4 Ein- und Ausschließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.1.5 Partitionen und Stirlingzahlen zweiter Art . . . . . . . . . 250
5.1.6 Stirlingzahlen erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.1.7 Zerlegungen einer natu¨rlichen Zahl . . . . . . . . . . . . . 254
5.2 Rekursion und erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.2.1 Formale Potenzreihen und erzeugende Funktionen . . . . . 256
5.2.2 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3 Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.3.1 Grundlegende Begriffe der Graphentheorie . . . . . . . . . 269
5.3.2 Zusammenh¨angende Graphen und Euler-Touren . . . . . . 273
5.3.3 B¨aume und W¨alder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
viii Mathematik fu¨r Informatiker M. Skutella
6 Algebra 281
6.1 Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.1.1 Untergruppen und erzeugte Untergruppen . . . . . . . . . 281
6.1.2 Gruppenordnungen und der Satz von Lagrange . . . . . . 285
6.1.3 Der Homomorphiesatz fu¨r Gruppen . . . . . . . . . . . . . 288
6.2 Ringtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.2.1 Faktorringe und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.2.2 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.2.3 Gr¨oßter gemeinsamer Teiler in Polynomringen . . . . . . . 298
Kapitel 1
Aussagen, Mengen, Abbildungen,
Relationen
Das erste Kapitel dieses Vorlesungsskriptes beruht teilweise auf Skripten von
HerrnKahlhoff,HerrnM¨ollerundHerrnScharlau,denenichhiermitganzherzlich
danke.
1.1 Aussagen
1.1.1 Informelle Definition von Aussagen
Im t¨aglichen Leben ziehen Menschen mehr oder weniger korrekte Schlussfolge-
rungen, ohne sich der Gesetze bewusst zu sein, nach denen sich dieses Schließen
vollzieht. Fu¨r wissenschaftliches, insbesondere mathematisches Arbeiten erweist
sich dieses intuitive Schließen als unzureichend. Zudem zeigt sich, dass die Um-
gangsspracheinmancherHinsichtzudiffusist,ummitihrpr¨aziseeinenmathema-
tischen Sachverhalt ausdru¨cken zu k¨onnen. Der Begriffsinhalt von Substantiven
und Adjektiven ist manchmal mehrdeutig, manchmal nur unscharf abgegrenzt
und zudem Schwankungen unterworfen, sowohl von Mensch zu Mensch wie auch
fu¨r den einzelnen selbst im Laufe seines Lebens. Beispiele:
• Schloss — Bank — Hahn — Messe — Steuer — ...
• alter Mensch — Freiheit — groß — unertr¨aglich — warm — kalt — ...
Bei den ersten fu¨nf Worten liegt Mehrdeutigkeit vor (das bekannte Kinderspiel
des Teekesselratens“ beruht gerade auf solchen Mehrdeutigkeiten), die auch bei
”
wissenschaftlichen Bezeichnungen (bedauerlicherweise) zu finden ist. Die weite-
ren Begriffe weisen ein diffuses, subjektives Begriffsspektrum auf. So ist eine Ju-
gendliche geneigt, einen Vierzigj¨ahrigen schon als alten Mann“ zu bezeichnen,
”
w¨ahrend eine Achtzigj¨ahrige in diesem noch einen jungen Mann sieht. Ebenso ist
1
2 Mathematik fu¨r Informatiker M. Skutella
beispielsweise die Abgrenzung von warm“ und kalt“ nicht eindeutig an einer
” ”
Temperaturgrenze festzumachen.
Auch die Satzverbindungen, die die logischen Zusammenh¨ange beinhalten,
werden in wechselnden Bedeutungen verwendet. So etwa im Falle des Wortes
und“:
”
• Lena und Jakob sind Skifahrer.
• 3 und 5 sind Primzahlen.
• Lena und Jakob sind befreundet.
• 3 und 5 ist 8.
• Lena und Jakob haben ein Auto.
• Jakob wird krank und der Arzt kommt.
• Der Arzt kommt und Lena wird krank.
• ...na und?
Die somit fu¨r den wissenschaftlichen Gebrauch notwendige begriffliche Pr¨azisie-
rung der Sprache fu¨hrt einerseits zu den in Definitionen klar umrissenen Fach-
ausdru¨cken (deren Bedeutung freilich bei verschiedenen Autoren unterschiedlich
sein kann) und andererseits im Falle der Satzverbindungen zu logischen Operati-
onsvorschriften, die Einzelaussagen zu einer neuen Aussage verbinden. Was sind
aber zun¨achst Aussagen?
Erkl¨arung 1.1.1. Aussagen sind sprachliche Gebilde, denen genau einer der
Wahrheitswerte w (wahr) oder f (falsch) zugeordnet ist.
Beispiele.
• A := Die Erde ist eine Scheibe.“ ist Aussage (Wahrheitswert f).
1 ”
• A := 64 ist durch 4 teilbar.“ ist Aussage (Wahrheitswert w).
2 ”
• A := Diese Aussage ist falsch.“ ist keine Aussage.
3 ”
• A := 225964951 −1 ist eine Primzahl.“ ist Aussage (Wahrheitswert w).
4 ”
• A := Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen.“ ist Aussage
5 ”
(Wahrheitswert unbekannt, Goldbachsche Vermutung, ...12 = 5+7...).
• A := Es gibt unendlich viele Zahlen a, so dass a und a + 2 Primzahlen
6 ”
sind.“ ist Aussage (Wahrheitswert unbekannt, z.B. 5 und 7 oder 9629 und
9631).