Mathematics for Computer Graphics

250 Pages·2006·1.304 MB·English

by  John Vince MTech, PhD, DSc, FBCS, CEng (auth.)

MATHEMATICS FOR COMPUTER GRAPHICS
John Vince
Mathematics for
Computer Graphics
SecondEdition
With175Illustrations
JohnVince,MTech,PhD,DSc,FBCS,CEng
MediaSchool,
UniversityofBournemouth,TalbotCampus,FernBarrow,PooleBH125BB,UK
LibraryofCongressControlNumber:2005928172
ISBN-10:1-84628-034-6
ISBN-13:978-1-84628-034-4
ISBN1-85233-380-41stedition
Printedonacid-freepaper.
(cid:1)c Springer-VerlagLondonLimited2006
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Dedication
I dedicate this book to my wife Annie, who has had to tolerate a year of me
reading math books in bed, on planes, boats, trains, in hotels, in the garden,
in the bath, on holiday, and probably in my sleep!
Contents
Preface xiii
1 Mathematics 1
1.1 Is Mathematics Difficult? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Who should Read this Book?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Aims and Objectives of this Book . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Assumptions Made in this Book . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 How to Use the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Numbers 5
2.1 Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 The Number Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Algebra 11
3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Algebraic Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Associative Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Commutative Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.3 Distributive Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Solving the Roots of a Quadratic Equation . . . . . . . . . . . 14
viii MathematicsforComputerGraphics
3.4 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1 Laws of Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Further Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Trigonometry 17
4.1 The Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Inverse Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Trigonometric Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 The Sine Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6 The Cosine Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.7 Compound Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.8 Perimeter Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Cartesian Coordinates 23
5.1 The Cartesian xy-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.1 Function Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.2 Geometric Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.3 Polygonal Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.4 Areas of Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.5 Theorem of Pythagoras in 2D . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 3D Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.1 Theorem of Pythagoras in 3D . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.2 3D Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.3 Euler’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Vectors 31
6.1 2D Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.1 Vector Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.2 Graphical Representation of Vectors. . . . . . . . . . . 32
6.1.3 Magnitude of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 3D Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2.1 Vector Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2 Multiplying a Vector by a Scalar . . . . . . . . . . . . 36
6.2.3 Vector Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . 36
6.2.4 Position Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2.5 Unit Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2.6 Cartesian Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.7 Vector Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.8 Scalar Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Contents ix
6.2.9 Example of the Dot Product . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.10 The Dot Product in Lighting Calculations . . . . . . . 42
6.2.11 The Dot Product in Back-Face Detection . . . . . . . 43
6.2.12 The Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.13 The Right-Hand Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Deriving a Unit Normal Vector for a Triangle . . . . . . . . . 47
6.4 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Calculating 2D Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Transformation 51
7.1 2D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.2 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.3 Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.1 Systems of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.2 The Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Homogeneous Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.1 2D Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.2 2D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.3 2D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.4 2D Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.5 2D Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.6 2D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.7 2D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.8 2D Rotation about an Arbitrary Point . . . . . . . . . 65
7.4 3D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.1 3D Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.2 3D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.3 3D Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.4 Gimbal Lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4.5 Rotating about an Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.6 3D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Change of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5.1 2D Change of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.6 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.6.1 Positioning the Virtual Camera . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.2 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.3 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.7 Rotating a Point about an Arbitrary Axis . . . . . . . . . . . 83
7.7.1 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.7.2 Adding and Subtracting Quaternions . . . . . . . . . 91
7.7.3 Multiplying Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.7.4 The Inverse Quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
x MathematicsforComputerGraphics
7.7.5 Rotating Points about an Axis . . . . . . . . . . . . 92
7.7.6 Roll, Pitch and Yaw Quaternions . . . . . . . . . . . 95
7.7.7 Quaternions in Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . 96
7.7.8 Frames of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.8 Transforming Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.9 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.10 Perspective Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Interpolation 107
8.1 Linear Interpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Non-Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.1 Trigonometric Interpolation . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2 Cubic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Interpolating Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Interpolating Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Curves and Patches 123
9.1 The Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 The Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.3 B´ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3.1 Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3.2 Quadratic B´ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.3 Cubic Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 A recursive B´ezier Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 B´ezier Curves Using Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.1 Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.6 B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.1 Uniform B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.6.3 Non-Uniform B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6.4 Non-Uniform Rational B-Splines . . . . . . . . . . . 141
9.7 Surface Patches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1 Planar Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 Quadratic B´ezier Surface Patch . . . . . . . . . . . . 142
9.7.3 Cubic B´ezier Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . 144
9.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10 Analytic Geometry 147
10.1 Review of Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.1.2 Intercept Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.1.3 Golden Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Contents xi
10.1.5 Centre of Gravity of a Triangle . . . . . . . . . . . . 150
10.1.6 Isosceles Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.1.7 Equilateral Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.8 Right Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.9 Theorem of Thales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.10 Theorem of Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.11 Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.12 Trapezoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.13 Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.14 Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.15 Regular Polygon (n-gon) . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.1.16 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2 2D Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2.1 Equation of a Straight Line . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2.2 The Hessian Normal Form . . . . . . . . . . . . . . 158
10.2.3 Space Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.2.4 The Hessian Normal Form from Two Points . . . . 160
10.3 Intersection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3.1 Intersection Point of Two Straight Lines . . . . . . 161
10.3.2 Intersection Point of Two Line Segments . . . . . . 161
10.4 Point Inside a Triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4.1 Area of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4.2 Hessian Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.5 Intersection of a Circle with a Straight Line . . . . . . . . . . 168
10.6 3D Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6.1 Equation of a Straight Line . . . . . . . . . . . . . . 170
10.6.2 Point of Intersection of Two Straight Lines . . . . . 171
10.7 Equation of a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.7.1 Cartesian Form of the Plane Equation. . . . . . . . 174
10.7.2 General Form of the Plane Equation. . . . . . . . . 176
10.7.3 Parametric Form of the Plane Equation . . . . . . . 176
10.7.4 Converting From the Parametric to the General
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.7.5 Plane Equation from Three Points . . . . . . . . . . 179
10.8 Intersecting Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.8.1 Intersection of Three Planes . . . . . . . . . . . . . 184
10.8.2 Angle between Two Planes . . . . . . . . . . . . . . 186
10.8.3 Angle between a Line and a Plane . . . . . . . . . . 187
10.8.4 Intersection of a Line with a Plane. . . . . . . . . . 189
10.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11 Barycentric Coordinates 193
11.1 Ceva’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.2 Ratios and Proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.3 Mass Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
xii MathematicsforComputer Graphics
11.4 Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.5 Convex Hull Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.6 Areas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.7 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.8 B´ezier Curves and Patches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12 Worked Examples 223
12.1 Calculate the Area of Regular Polygon . . . . . . . . . . . . 223
12.2 Calculate the Area of any Polygon . . . . . . . . . . . . . . 224
12.3 Calculate the Dihedral Angle of a Dodecahedron . . . . . . 224
12.4 Vector Normal to a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.5 Area of a Triangle using Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.6 General Form of the Line Equation from Two Points . . . . 227
12.7 Calculate the Angle between Two Straight Lines . . . . . . 228
12.8 Test If Three Points Lie on a Straight Line. . . . . . . . . . 229
12.9 Find the Position and Distance of the Nearest Point on a
Line to a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.10 Position of a Point Reflected in a Line . . . . . . . . . . . . 232
12.11 Calculate the Intersection of a Line and a Sphere . . . . . . 234
12.12 Calculate If a Sphere Touches a Plane . . . . . . . . . . . . 238
12.13 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13 Conclusion 241
References 243
Index 245