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Mathematical Problem Posing: Conceptual Considerations and Empirical Investigations for Understanding the Process of Problem Posing PDF

299 Pages·2022·2.88 MB·English
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Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathematik Lukas Baumanns Mathematical Problem Posing Conceptual Considerations and Empirical Investigations for Understanding the Process of Problem Posing Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathematik Reiheherausgegebenvon NilsBuchholtz,Köln,Deutschland MichaelMeyer,Köln,Deutschland BirtePöhler,Köln,Deutschland BenjaminRott,Köln,Deutschland IngeSchwank,Köln,Deutschland HorstStruve,Köln,Deutschland CarinaZindel,Köln,Deutschland In dieser Reihe werden ausgewählte, hervorragende Forschungsarbeiten zum Lernen und Lehren von Mathematik publiziert. Thematisch wird sich eine breite Spanne von rekonstruktiver Grundlagenforschung bis zu konstruktiver Entwicklungsforschung ergeben. Gemeinsames Anliegen der Arbeiten ist ein tiefgreifendes Verständnis insbesondere mathematischer Lehr- und Lernprozesse, auch um diese weiterentwickeln zu können. Die Mitglieder des Institutes sind in diversen Bereichen der Erforschung und Vermittlung mathematischen Wis- sens tätig und sorgen entsprechend für einen weiten Gegenstandsbereich: von vorschulischen Erfahrungen bis zu Weiterbildungen nach dem Studium. Diese Reihe ist die Fortführung der „Kölner Beiträge zur Didaktik der Mathe- matik und der Naturwissenschaften“. Lukas Baumanns Mathematical Problem Posing Conceptual Considerations and Empirical Investigations for Understanding the Process of Problem Posing LukasBaumanns Cologne,Germany Die vorliegende Veröffentlichung wurde von der Mathematisch-Naturwissenschaftli- chenFakultätderUniversitätzuKölnalsDissertationangenommen.Am26.April2022 fanddieDisputationamInstitutfürMathematikdidaktikstatt.DiePrüfungskommission bestandausdenGutachternProf.Dr.BenjaminRottundProf.Dr.Hans-GeorgWeigand sowie dem Prüfungsvorsitzenden Prof. Dr. Andre´ Bresges und dem Beisitzer PD Dr. StephanBerendonk. ISSN2661-8257 ISSN2661-8265 (electronic) KölnerBeiträgezurDidaktikderMathematik ISBN978-3-658-39916-0 ISBN978-3-658-39917-7 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-39917-7 ©TheEditor(s)(ifapplicable)andTheAuthor(s),underexclusivelicensetoSpringer FachmedienWiesbadenGmbH,partofSpringerNature2022 Thisworkissubjecttocopyright.AllrightsaresolelyandexclusivelylicensedbythePublisher, whetherthewholeorpartofthematerialisconcerned,specificallytherightsoftranslation,reprint- ing, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physicalway,andtransmissionorinformationstorageandretrieval,electronicadaptation,computer software,orbysimilarordissimilarmethodologynowknownorhereafterdeveloped. Theuseofgeneraldescriptivenames,registerednames,trademarks,servicemarks,etc.inthis publicationdoesnotimply,evenintheabsenceofaspecificstatement,thatsuchnamesareexempt fromtherelevantprotectivelawsandregulationsandthereforefreeforgeneraluse. Thepublisher,theauthors,andtheeditorsaresafetoassumethattheadviceandinformationinthis bookarebelievedtobetrueandaccurateatthedateofpublication.Neitherthepublishernorthe authorsortheeditorsgiveawarranty,expressedorimplied,withrespecttothematerialcontained hereinorforanyerrorsoromissionsthatmayhavebeenmade.Thepublisherremainsneutralwith regardtojurisdictionalclaimsinpublishedmapsandinstitutionalaffiliations. ResponsibleEditor:MarijaKojic This Springer Spektrum imprint is published by the registered company Springer Fachmedien WiesbadenGmbH,partofSpringerNature. Theregisteredcompanyaddressis:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany Foreword What a ride. Who could have known what a ride it was going to be. Backin2017,whenItalkedwiththisbrightyoungmanabouthisMaster thesis, it seemed like an easy task: Replicate the method I used in my PhD thesis in the field of problem solving and transfer it to problem posing to characterize problem-posing processes. The result was one of the best Master theses I had supervised, but we quickly realized that ourworkwasnotfinished,buthadjuststarted. Fortunately,thatbright young man continued to do research on mathematical problem posing by starting a PhD project. But instead of immediately returning to the analyses of problem-posing processes, the terminology had to be addressedasthisfieldofresearchisstilldevelopingandinneedofproper definitions. The results were not one, but two review articles. Review articlesarehardtopublish; inthefirsttries,theybothgotrejected,and rejected again, discouraging our endeavors. But eventually, they both gotpublishedinverygoodjournals. Then,theempiricalworkcontinued with innovative methods and results that finally led to another two articles—with ups and downs in the revision processes—being published in very prestigious journals. These four articles, together with others texts, form the basis of the PhD thesis in front of the readers. Watch out for the author of this thesis—I am convinced that Lukas’ ideas will continue to shake up research on mathematical problem posing. What a ride, indeed. What a joyride! Cologne in August of 2022, Prof. Dr. Benjamin Rott v Danksagung „Da ligget se!“ Voller Stolz präsentiere ich den aktuellen Stand meiner Forschung zum Prozess des Aufwerfens mathematischer Probleme. Diesen Stand und die Freude an der Arbeit an diesem Projekt habe ich unter anderem den folgenden, großartigen Menschen zu verdanken. Zunächst möchte ich Prof. Dr. Benjamin Rott danken. Es war über die gesamten viereinhalb Jahre stets ein Privileg, Teil deiner Arbeits- gruppe zu sein, die Möglichkeit zu haben, mit dir zu diskutieren und Gedankengänge zu präzisieren. Vielen Dank dafür, Benjamin! Weiterer Dank gilt Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, dem ich für sein flexibles Engagement im Vorfeld der Disputation für die Übernahme des Zweitgutachtens danken möchte. Außerdem danke ich natürlich allen aktuellen und ehemaligen Mit- gliedern unserer Arbeitsgruppe für unzählige Diskussionen und Denk- anstöße: Julia, Raja, Anne, Udil, Moritz, Janine, Anna, Peter und Simon. So sind die entscheidenen Gedanken des zweiten Artikels, zum Beispiel, in einer verzweifelten, aber enorm hilfreichen AG-Sitzung ent- standen. Ich danke euch für die gemeinsame Zeit sehr und vermisse die Treffen mit euch unheimlich. Des Weiteren danke ich dem gesamten Institut für Mathematikdidaktik an der Universität zu Köln für die letzten vier Jahre. Die Diskussionen innerhalbderMitarbeiter*innenseminarewarimmereinhilfreicherBlick aus teils ganz anderen Blasen, die der eigenen Betriebsblindheit gut entgegenwirkten. Auch die gemeinsamen Mittagessen vor allem mit vii StephanundStefanwarenimmereineangenehmeMöglichkeit,Gedanken auszutauschen, kreisen oder schweifen zu lassen. Auch den zahlreichen Personen innerhalb der Mathematikdidaktik, die ichindenvergangenenJahrenimRahmenmeinerTätigkeitkennenlernen durfte und von denen ich für diese Arbeit viel gelernt und darüber hinaus viel Freundschaft erfahren habe, möchte ich herzlich danken. Auch wenn ich hier auf eine namentliche Aufzählung verzichte, wisst ihr hoffentlich, dass ihr gemeint seid. Besonderer Dank gilt jedoch in diesem Zusammenhang einer Person, deren Wert ich in den letzten Jahren beruflich, privat und weit darüber hinaus gar nicht hoch genug schätzen kann, mein ständiger Begleiter. Danke, Max! IchdankeauchallenmeinenFreund*innen,deretwegenichGottseiDank länger mit dem Fertigstellen meiner Dissertation gebraucht habe. Ohne euchwäremeinLebennurhalbsolustigundaufregend. OhnealleNamen aufzuzählen, wisst auch ihr sicherlich, dass ihr gemeint seid. Ich danke selbstverständlichnicht derCOVID19-Pandemie,dessentwegenichdiese Freund*innen viele Monate nicht sehen konnte und keine andere Wahl hatte, als Teile der durch die Freund*innen glücklicherweise verlorenen Zeit wieder aufzuholen. IchmöchteauchallenForschendenrundumdasThemaProblemPosing danken, deren Gedanken und Untersuchungen stets Quelle neuer Erken- ntnissefürmichwaren(insbesonderefürdieArtikel1und2). Außerdem danke ich allen Studierenden, deren Problem-Posing-Prozesse Anstoß und Ursprung meiner empirischen Studien waren (insbesondere für die Artikel 3 und 4). Abschließend danke ich meinen Eltern und meinen Brüdern, bei denen ich mich in manchen Phasen der Promotion zu ihrer Besorgnis zu selten gemeldet habe, für eure ständige und bedingungslose Unterstützung. Ohne euch wäre ich nicht(s). Danke, Mama und Papa. Und danke, Markus und Niklas. Ich liebe euch. viii Abstract Mathematical problem posing as the substantive formulation of mathe- matical problems is an activity that lies at the heart of mathematics. In recent years, research in mathematics education has endeavored to gain insights into problem posing—conceptually as well as empirically. In problem-posing research, there has been a focus on analyzing products, that is, the posed problems. Insights into the processes that lead to these products, however, have so far been lacking. Within four journal articles,summarizedinthiscumulativedissertation,theauthorattempts to contribute to the understanding of problem-posing processes through conceptual considerations and empirical investigations. The conceptual part consists of a conducted systematic literature review to investigate problem-posing situations and problem-posing activities. The studies in the empirical part deal with the analyses of problem-posing processes of pre-service mathematics teachers from a macroscopic and microscopic perspective. The aim is to develop coherent and meaningful concep- tual perspectives for analyzing empirical observations of problem-posing processes. ix Contents I Introduction 1 1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Objectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Thesis Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II Theoretical frame 17 4 Problem posing from a subject-matter didactics per- spective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1 Illustration with a geometric example . . . . . . . . 21 4.2 Conceptions of problem posing – Four mathematical miniatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1 Problem posing as generating new problems 50 4.2.2 Problemposingasreformulatingagivenprob- lem for problem solving . . . . . . . . . . . . 54 4.2.3 Problemposingasreformulatingagivenprob- lem for investigation . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.4 Problem posing as constructing tasks for others 61 5 Problemposinganditsconnectiontorelatedconstructs in mathematics education. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1 Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 xi

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