Mathematical Foundations of Image Processing and Analysis 2

491 Pages·2014·4.308 MB·English

by  Jean-Charles Pinoli

Mathematical Foundations of Image
Processing and Analysis 2
To
Blandine, Flora and Pierre-Charles
Series Editor
Jean-Pierre Goure
Mathematical Foundations
of Image Processing
and Analysis 2
Jean-Charles Pinoli
Firstpublished2014inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&Sons,Inc.
Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as
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©ISTELtd2014
TherightsofJean-CharlesPinolitobeidentifiedastheauthorofthisworkhavebeenassertedbyhimin
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LibraryofCongressControlNumber:2014939771
BritishLibraryCataloguing-in-PublicationData
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ISBN978-1-84821-748-5
PrintedandboundinGreatBritainbyCPIGroup(UK)Ltd.,Croydon,SurreyCR04YY
Contents
PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
PART 5. TWELVE MAIN GEOMETRICAL FRAMEWORKS FOR BINARY
IMAGES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPTER21.THE SET-THEORETICFRAMEWORK . . . . . . . . . . . . . 3
21.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
21.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
21.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
21.3.MainnotionsandapproachesforIPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
21.3.1.Pixelsandobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
21.3.2.Pixelandobjectseparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
21.3.3.Localfiniteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
21.3.4.Settransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.4.MainapplicationsforIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.4.1.Objectpartitionandobjectcomponents . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.4.2.Set-theoreticseparationofobjectsandobjectremoval . . . . . . . 6
21.4.3.Countingofseparateobjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.4.4.Spatialsupportsbordereffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHAPTER22.THE TOPOLOGICALFRAMEWORK . . . . . . . . . . . . . . 9
22.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
22.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
22.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
22.2.2.SpecialclassesofsubsetsofRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
22.2.3.Felltopologyforclosedsubsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
vi MathematicalFoundationsofIPA2
22.2.4.Hausdorfftopologyforcompactsubsets . . . . . . . . . . . . . . . 10
22.2.5.Continuityandsemi-continuityofsettransformations . . . . . . . 12
22.2.6.Continuityofbasicset-theoreticandtopologicaloperations . . . . 12
22.3.MainnotionsandapproachesforIPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
22.3.1.TopologiesinthespatialdomainRn . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
22.3.2.TheLebesgue–(Cˇech)dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
22.3.3.Interiorandexteriorboundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
22.3.4.Path-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
22.3.5.Homeomorphicobjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
22.4.MainapplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
22.4.1.Topologicalseparationofobjectsandobjectremoval. . . . . . . . 14
22.4.2.Countingofseparateobjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
22.4.3.Contoursofobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
22.4.4.Metricdiameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
22.4.5.Skeletonsofproperobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
22.4.6.Dirichlet–Voronoidiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22.4.7.Distancemaps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22.4.8.Distancebetweenobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22.4.9.Spatialsupport’sbordereffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
CHAPTER23.THE EUCLIDEANGEOMETRICFRAMEWORK . . . . . . . 23
23.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
23.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
23.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
23.2.2.Euclideandimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23.2.3.Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23.2.4.Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23.2.5.Eigenvalues,eigenvectorsandtraceofamatrix . . . . . . . . . . . 27
23.2.6.Matrixnorms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
23.3.MainnotionsandapproachesforIPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23.3.1.Affinetransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23.3.2.Specialgroupsofaffinetransformations . . . . . . . . . . . . . . . 30
23.3.3.Linearandaffinesub-spacesandGrassmannians . . . . . . . . . . 31
23.3.4.Linearandaffinespans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23.4.MainapplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
23.4.1.Basicspatialtransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
23.4.2.Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
23.4.3.Polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
23.4.4.Minkowskiadditionandsubtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
23.4.5.Continuityandsemi-continuitiesofEuclideantransformations . . 34
23.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Contents vii
CHAPTER24.THE CONVEXGEOMETRICFRAMEWORK . . . . . . . . . . 37
24.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24.3.MainnotionsandapproachesforIPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24.3.1.Convexobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
24.3.2.Hausdorfftopologyforcompactconvexobjects. . . . . . . . . . . 40
24.3.3.Compactpoly-convexobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
24.3.4.Star-shapedobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
24.3.5.Simplices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
24.4.MainapplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
24.4.1.Convexdeficiencysetandconcavities . . . . . . . . . . . . . . . . 42
24.4.2.Functionsrelatedtoconvexandstar-shapedobjects . . . . . . . . 43
24.4.3.Delaunaytriangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
24.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CHAPTER25.THE MORPHOLOGICAL GEOMETRICFRAMEWORK . . . 47
25.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
25.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
25.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
25.3.MathematicalnotionsandapproachesforIPA . . . . . . . . . . . . . . 47
25.3.1.Morphologicaldilationanderosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
25.3.2.Morphologicalclosingandopening . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
25.3.3.Setpropertiesofmorphologicaldilation,erosion,
closingandopening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
25.3.4.Morphologicalregularobjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
25.3.5.Continuityofthemorphologicaloperations . . . . . . . . . . . . . 50
25.4.MainnotionsandapproachesforIPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
25.4.1.Morphologicaltransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
25.4.2.Parallelobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
25.4.3.Federersets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
25.5.MainapplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
25.5.1.Objectcontoursandmorphologicalboundaries . . . . . . . . . . . 52
25.5.2.Objectfilteringandmorphologicalsmoothing. . . . . . . . . . . . 53
25.5.3.Morphologicalskeleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
25.5.4.Ultimateerosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
25.5.5.Morphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
25.6.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
CHAPTER26.THE GEOMETRICAND TOPOLOGICALFRAMEWORK . . 57
26.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
26.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
viii MathematicalFoundationsofIPA2
26.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
26.2.2.ManifoldsorlocallyEuclideanspaces . . . . . . . . . . . . . . . . 58
26.2.3.Manifoldswithborder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
26.2.4.Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
26.2.5.Compactandclosedmanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
26.2.6.LipschitzmanifoldsandLipschitzsets . . . . . . . . . . . . . . . . 60
26.3.MathematicalapproachesforIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
26.3.1.Unitballandunitcube,toriiandannulii . . . . . . . . . . . . . . . 60
26.3.2.Points,curvesandsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
26.3.3.Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
26.3.4.Homeomorphicandhomotopicobjects. . . . . . . . . . . . . . . . 62
26.4.MainapplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
26.4.1.Contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
26.4.2.Topologicalcontent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
26.4.3.TheLebesgue(-Cˇech)dimensionofhomeomorphic
orhomotopicobjects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
26.4.4.TheDescartes–Euler–Poincaré’snumberandthe
Bettinumbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
26.4.5.Someparticularbasicmanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
26.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
CHAPTER27.THE MEASURE-THEORETICGEOMETRICFRAMEWORK 71
27.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
27.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
27.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
27.2.2.TheGaussmeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
27.2.3.ThePeano–Jordanmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
27.2.4.Measuresandcontents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
27.2.5.OutermeasuresandBorelsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
27.2.6.Finiteandσ-finitemeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
27.2.7.Nullsets,negligiblesetsandcompletemeasures . . . . . . . . . . 75
27.2.8.Atomsandatomicmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
27.2.9.Then-dimensionalLebesguemeasure . . . . . . . . . . . . . . . . 75
27.2.10.Them-dimensionalHausdorffmeasure . . . . . . . . . . . . . . . 78
27.2.11.Jordansets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
27.3.MainapproachesforIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
27.3.1.Rectifiableobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
27.3.2.Paralleldilatedobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
27.3.3.TheMinkowskicontents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
27.3.4.TheFréchet–Nikodym–Aronszajndistance . . . . . . . . . . . . . 83
27.3.5.Caccioppolisets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
27.4.ApplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
27.4.1.Perimetermeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Contents ix
27.4.2.Invariantmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
27.4.3.Them-dimensionalFavardmeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
27.4.4.Comparisonofobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
27.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
CHAPTER28.THE INTEGRAL GEOMETRICFRAMEWORK . . . . . . . . 89
28.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
28.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
28.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
28.2.2.Geometricfunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
28.2.3.IntrinsicvolumesandMinkowskifunctionalsoncompact
convexobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
28.2.4.Contentfunctionalsonfiniteunionsofcompactconvexobjects . . 92
28.2.5.Hadwiger’scharacterizationtheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
28.2.6.Particularm-dimensionalcontentfunctionals . . . . . . . . . . . . 93
28.2.7.Continuityofgeometricfunctionals . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
28.3.MainapproachesforIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
28.3.1.TheFavardmeasureandCauchy–Crofton’sformulas. . . . . . . . 95
28.3.2.Cauchy–Crofton’sformulasforcompact,
poly-convexobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
28.3.3.Cauchy–Crofton’sformulasfora
k-dimensionalcountablyrectifiablemanifold . . . . . . . . . . . . . 97
28.3.4.Intersectionswithlowerdimensionalaffinesubspaces . . . . . . . 98
28.3.5.Thecovariogramofameasurableobject . . . . . . . . . . . . . . . 99
28.4.ApplicationstoIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
28.4.1.p-dimensionalaffinesections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
28.4.2.m-dimensionalcontentfunctionalsforn“1,2and3 . . . . . . . 100
28.4.3.Steiner’sformulasforn“1,2and3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
28.4.4.Cauchy-Crofton’sformulasindimension2and3 . . . . . . . . . . 102
28.4.5.Feretdiametersandareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
28.4.6.Otherdiameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
28.4.7.Cauchy’sprojectionformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
28.4.8.Cabo–Baddeley’slinealtransformation . . . . . . . . . . . . . . . 107
28.4.9.Crofton–Hadwiger’schordpowerformula . . . . . . . . . . . . . . 107
28.4.10.Miles–Lantuéjoul’scorrectionmethod . . . . . . . . . . . . . . . 108
28.4.11.Hadwiger’srecursiveformulaforthe
Descartes–Euler–Poincaré(DEP)number . . . . . . . . . . . . . . . 109
28.5.Additionalcomments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
CHAPTER29.THE DIFFERENTIAL GEOMETRICFRAMEWORK . . . . . 111
29.1.Paradigms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
29.2.Mathematicalconceptsandstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
29.2.1.Mathematicaldisciplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111